Jika A = 1, 2, 5, 10, B = 1, 3, 5, dan C = 1, 2, 3, 4, maka (A – B) n (A – C) adalah

Jika A = {1, 2, 5, 10}, B = {1, 3, 5}, dan C = {1, 2, 3, 4}, maka (A – B) n (A – C) adalah – Jika A = 1, 2, 5, 10, B = 1, 3, 5, dan C = 1, 2, 3, 4, maka (A – B) n (A – C) adalah—pertanyaan ini mungkin awalnya bikin mikir dua kali, tapi percayalah, ini lebih sederhana daripada memilih baju di hari Minggu. Kita cuma lagi main-main dengan konsep himpunan, sebuah cara keren untuk mengelompokkan benda atau angka.

Setelah kita selesaikan soal himpunan di mana (A – B) n (A – C) menghasilkan 10, rasanya puas banget, ya? Nah, biar otak makin terasah, coba deh tantang diri dengan soal lain yang seru, kayak Diketahui a dan b merupakan akar-akar persamaan kuadrat x^2 – 7x + 10 = 0. Nilai a^2 + b^2 – ab =. Konsepnya beda tapi logikanya sama-sama mengasyikkan.

Jadi, setelah beres hitung-hitungan akar persamaan, kamu pasti bakal lebih jago lagi ngerjain soal himpunan kayak tadi, trust me!

Bayangkan himpunan itu seperti tas koleksimu; ada tas untuk sepatu, tas untuk kaos, dan tas untuk aksesori. Operasi seperti pengurangan dan irisan himpunan itu ibarat kita sedang memilah-milah isi tas tersebut untuk menemukan barang spesifik yang kita cari.

Nah, soal ini sebenarnya mengajak kita untuk melakukan dua kali penyaringan. Pertama, kita cari anggota A yang tidak ada di B. Lalu, kita cari juga anggota A yang tidak ada di C. Setelah itu, kita lihat angka mana saja yang lolos dari kedua penyaringan itu sekaligus. Proses ini bukan cuma teori, tapi logikanya bisa diterapkan buat nyaring data, bikin playlist lagu, atau bahkan memilih teman yang diundang ke dua acara berbeda.

Mari kita urai pelan-pelan, karena jawabannya ternyata sangat elegan dan mencerahkan.

Pengantar Konsep Himpunan dan Operasi Dasar

Sebelum kita menyelami penyelesaian soal yang spesifik, mari kita sepakati dulu bahasanya. Dalam matematika, himpunan adalah kumpulan objek yang terdefinisi dengan jelas. Objek-objek ini disebut anggota atau elemen. Kalau kita punya himpunan A berisi 1, 2, 5, 10, artinya keempat bilangan itu adalah anggota A. Notasi umumnya, jika suatu objek x adalah anggota A, kita tulis x ∈ A.

Untuk menggambarkan hubungan antarhimpunan, diagram Venn adalah alat visual yang sangat membantu.

Dua operasi kunci yang akan kita gunakan adalah pengurangan (difference) dan irisan (intersection). Operasi pengurangan, ditulis A – B, berarti kita mengambil semua anggota A yang tidak sekaligus menjadi anggota B. Sementara irisan, ditulis A ∩ B, adalah himpunan yang berisi anggota yang sama-sama dimiliki oleh A dan B.

Simbol dan Makna Operasi Himpunan

Berikut adalah tabel ringkasan untuk tiga operasi himpunan dasar yang perlu kamu ingat. Tabel ini dirancang responsif agar mudah dibaca di berbagai perangkat.

Mari kita lihat contoh konkret operasi selisih. Misal kita punya himpunan P = apel, jeruk, mangga dan Q = jeruk, pisang. Proses mencari P – Q adalah sebagai berikut:

• Ambil semua anggota P: apel, jeruk, mangga.
• Lihat, mana yang juga anggota Q? Jeruk adalah anggota Q.
• Keluarkan jeruk dari daftar.
• Hasil P – Q = apel, mangga.

Analisis Mendalam Soal: (A – B) ∩ (A – C)

Sekarang, dengan pemahaman dasar tadi, kita siap membedah soal inti: Jika A = 1, 2, 5, 10, B = 1, 3, 5, dan C = 1, 2, 3, 4, maka berapakah (A – B) ∩ (A – C)? Kuncinya adalah menyelesaikannya langkah demi langkah, jangan terburu-buru.

Langkah Menghitung A – B dan A – C

Pertama, kita hitung A – B. Kita ambil anggota A satu per satu dan periksa keanggotaannya di B.

• Anggota A: 1 → Apakah 1 ∈ B? Ya. Maka 1 TIDAK dimasukkan ke hasil.
• Anggota A: 2 → Apakah 2 ∈ B? Tidak. Maka 2 dimasukkan.
• Anggota A: 5 → Apakah 5 ∈ B? Ya. Maka 5 TIDAK dimasukkan.
• Anggota A: 10 → Apakah 10 ∈ B? Tidak. Maka 10 dimasukkan.

Jadi, A – B = 2, 10.

Kedua, kita hitung A – C. Proses yang sama diterapkan dengan himpunan C.

• Anggota A: 1 → Apakah 1 ∈ C? Ya. Maka 1 TIDAK dimasukkan.
• Anggota A: 2 → Apakah 2 ∈ C? Ya. Maka 2 TIDAK dimasukkan.
• Anggota A: 5 → Apakah 5 ∈ C? Tidak. Maka 5 dimasukkan.
• Anggota A: 10 → Apakah 10 ∈ C? Tidak. Maka 10 dimasukkan.

Jadi, A – C = 5, 10.

Mencari Irisan dari Kedua Hasil

Kita sudah punya dua himpunan baru: X = 2, 10 dan Y = 5, 10. Operasi (A – B) ∩ (A – C) sekarang berubah menjadi X ∩ Y. Irisan mencari anggota yang sama. Dari kedua himpunan itu, hanya angka 10 yang muncul di X dan juga di Y. Dengan demikian, hasil akhirnya adalah 10.

Prosedur lengkapnya dapat dirangkum dalam blok berikut:

Diketahui: A = 1, 2, 5, 10, B = 1, 3, 5, C = 1, 2, 3, 4
Langkah 1: Hitung A – B = 2, 10.
Langkah 2: Hitung A – C = 5, 10.
Langkah 3: Hitung irisan dari hasil Langkah 1 dan 2: 2, 10 ∩ 5, 10 = 10.
Jawaban: (A – B) ∩ (A – C) = 10.

Visualisasi dengan Diagram Venn

Memahami himpunan hanya dengan angka bisa abstrak. Diagram Venn memberi kita “peta” untuk melihat interaksi antarhimpunan secara visual. Bayangkan tiga lingkaran yang saling bertumpang tindih, masing-masing mewakili A, B, dan C.

Lingkaran A akan memuat angka 1, 2, 5, 10. Lingkaran B memuat 1, 3, 5. Lingkaran C memuat 1, 2, 3, 4. Area tumpang tindih antara A dan B berisi angka 1 dan 5. Area tumpang tindih antara A dan C berisi 1 dan 2.

Angka 10 hanya ada di A saja, tidak menyentuh lingkaran B atau C.

Nah, kalau kita hitung soal himpunan di mana A = 1, 2, 5, 10, B = 1, 3, 5, dan C = 1, 2, 3, 4, hasil dari (A – B) n (A – C) itu sebenarnya sederhana, lho. Mirip kayak memahami kompleksitas data demografi, misalnya saat kita lihat Berdasarkan data BPS tahun 2010 (www.bps.go.id) jumlah penduduk pulau Jawa mencapai 130 juta jiwa (melalui proses pembulatan).

Sedangkan luas pulau yang butuh ketelitian ekstra. Begitu juga dengan operasi himpunan ini, kuncinya adalah fokus pada elemen yang unik di A setelah dikurangi B dan C, dan jawabannya akan jelas.

Menggambarkan Operasi pada Diagram

BACA JUGA  Pangkat Positif dari (3a^2)^-4 Adalah Bentuk Akhir Sederhana

Source: amazonaws.com

Operasi A – B direpresentasikan oleh seluruh area di dalam lingkaran A yang TIDAK masuk ke dalam lingkaran B. Pada diagram, ini adalah bagian A yang tidak bertumpuk dengan B. Dari soal, area ini berisi angka 2 (yang juga masuk C) dan 10 (yang eksklusif di A).

Sementara itu, A – C adalah area di dalam lingkaran A yang TIDAK masuk ke dalam lingkaran C. Area ini berisi angka 5 (yang juga masuk B) dan 10 (eksklusif di A).

Irisan dari (A – B) dan (A – C) adalah area yang merupakan bagian dari A – B sekaligus bagian dari A – C. Dalam diagram, cari daerah yang termasuk kedua area yang kita arsir sebelumnya. Satu-satunya daerah yang memenuhi adalah bagian di A yang sama sekali tidak bersentuhan dengan B maupun C, yaitu daerah yang hanya berisi angka 10.

Berikut panduan membuat ilustrasi manualnya:

• Gambarlah tiga lingkaran yang saling bertumpang tindih. Labeli masing-masing A, B, C.
• Berdasarkan anggota, tempatkan angka 1 di area tumpang tiga lingkaran (jika ada), atau di tumpang A dan B, dan A dan C.
• Tempatkan angka 2 di area A yang tumpang dengan C, tetapi di luar B.
• Tempatkan angka 5 di area A yang tumpang dengan B, tetapi di luar C.
• Tempatkan angka 10 di bagian lingkaran A yang tidak menyentuh B dan C.
• Untuk melihat A – B, arsir atau beri border tebal pada area A yang berisi angka 2 dan 10.
• Untuk melihat A – C, arsir atau beri pola berbeda pada area A yang berisi angka 5 dan 10.
• Area yang mendapat dua jenis arsiran/pola (yaitu hanya daerah angka 10) adalah hasil irisannya.

Variasi Soal dan Penerapan Konsep: Jika A = {1, 2, 5, 10}, B = {1, 3, 5}, Dan C = {1, 2, 3, 4}, Maka (A – B) N (A – C) Adalah

Agar pemahamanmu semakin terasah, coba latih dengan pola soal yang berbeda. Inti dari latihan ini adalah membiasakan diri dengan logika “anggota A yang tidak di B” dan kemudian mencari kesamaan dari hasil tersebut.

Contoh Soal Latihan

Tabel berikut menyajikan tiga variasi soal dengan tingkat kesulitan yang bertahap. Coba selesaikan sendiri sebelum melihat petunjuknya.

Kesalahan umum yang sering terjadi adalah salah urutan atau salah menafsirkan operasi. Misalnya, mengira (A – B) ∩ C sama dengan A – (B ∩ C). Keduanya sangat berbeda. Yang pertama cari selisih dulu baru diiriskan dengan C, yang kedua cari irisan B dan C dulu baru dikurangkan dari A. Selalu kerjakan yang di dalam kurung terlebih dahulu.

Perubahan anggota himpunan bisa sangat mempengaruhi hasil. Misalnya, jika pada soal awal kita ubah anggota A dengan menambahkan angka 7, maka 7 akan masuk ke dalam A – B (karena 7 ∉ B) dan juga ke A – C (karena 7 ∉ C), sehingga hasil akhirnya akan menjadi 10, 7. Sebaliknya, jika angka 5 dikeluarkan dari B, maka 5 akan tetap ada di A – C, tetapi 5 tidak lagi ada di A – B (karena sekarang 5 ∈ B?

Tidak). Ini akan mengubah hasil irisan.

Penyelesaian Soal Variasi 2

Mari kita demonstrasikan penyelesaian untuk soal nomor 2. Pertama, kita definisikan anggota himpunannya.

• X = Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12
• Y = Bilangan prima ≤ 12 = 2, 3, 5, 7, 11
• Z = Bilangan genap ≤ 12 = 2, 4, 6, 8, 10, 12

Kedua, hitung X – Y. Anggota X yang bukan anggota Y: 1, 4, 6, 12.

Ketiga, hitung X – Z. Anggota X yang bukan anggota Z: 1, 3.

Terakhir, cari irisan dari 1, 4, 6, 12 dan 1, 3. Satu-satunya anggota yang sama adalah 1. Jadi, (X – Y) ∩ (X – Z) = 1.

Aplikasi dalam Logika dan Pemecahan Masalah

Konsep himpunan ini bukan cuma untuk latihan matematika di kertas. Ia hidup dalam logika pemrograman dan pengolahan data sehari-hari. Operasi difference seperti filter “kecuali”, sementara intersection seperti filter “dan”.

Bayangkan kamu punya satu database berisi semua kontak di ponselmu (himpunan A). Lalu kamu punya daftar kontak yang sudah kamu hubungi pekan ini (himpunan B), dan daftar kontak yang mengirimmu email (himpunan C). Ekspresi (A – B) ∩ (A – C) akan memberikanmu himpunan kontak yang belum kamu hubungi DAN belum mengirimimu email pekan ini. Ini bisa jadi daftar orang yang perlu kamu kejar.

Analogi dengan Query Database, Jika A = {1, 2, 5, 10}, B = {1, 3, 5}, dan C = {1, 2, 3, 4}, maka (A – B) n (A – C) adalah

Dalam bahasa query seperti SQL, operasi ini sangat jelas. A – B mirip dengan perintah SELECT
- FROM A WHERE id NOT IN (B) . Operasi ∩ mirip dengan klausa AND. Jadi, (A – B) ∩ (A – C) kira-kira akan ditulis sebagai: SELECT
- FROM A WHERE id NOT IN (B) AND id NOT IN (C) . Hasilnya adalah data yang memenuhi kedua kondisi tersebut sekaligus.

Mari kita susun skenario sederhana. Seorang guru (X) memiliki daftar semua siswa kelasnya. Dia juga punya daftar siswa yang sudah mengumpulkan tugas matematika (Y) dan daftar siswa yang sudah mengumpulkan tugas bahasa Indonesia (Z). Guru ingin mengetahui siswa yang belum mengumpulkan tugas matematika DAN juga belum mengumpulkan tugas bahasa Indonesia. Ekspresi himpunannya adalah (X – Y) ∩ (X – Z).

Penyelesaiannya persis seperti langkah-langkah yang sudah kita bahas: tentukan semua siswa, kurangi dengan yang sudah mengumpulkan tugas pertama, kurangi dengan yang sudah mengumpulkan tugas kedua, lalu cari siswa yang ada di kedua hasil pengurangan tersebut. Hasilnya adalah daftar siswa yang perlu ditegur untuk kedua tugas tersebut.

Kesimpulan

Jadi, setelah melewati proses penyaringan ganda yang ketat, kita menemukan bahwa (A – B) n (A – C) = 10. Hanya angka 10 yang setia berada di A, tetapi tidak terdaftar sebagai anggota B maupun C. Ini menunjukkan kekuatan operasi irisan setelah pengurangan; ia mencari elemen yang benar-benar unik bagi A dalam konteks perbandingan dengan himpunan lain. Konsep ini jauh lebih dari sekadar angka dalam kurung kurawal.

Ia adalah fondasi logika yang berguna dalam analisis data, pemrograman, dan pengambilan keputusan. Coba terapkan logika serupa pada hal-hal di sekitarmu, dan lihat bagaimana pola-pola menarik mulai bermunculan.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa bedanya ‘A – B’ dengan ‘B – A’?

‘A – B’ adalah anggota A yang tidak ada di B, sedangkan ‘B – A’ adalah anggota B yang tidak ada di A. Hasilnya umumnya berbeda, karena operasi pengurangan himpunan tidak bersifat komutatif.

Apakah hasil (A – B) n (A – C) bisa sama dengan himpunan kosong?

Bisa saja. Itu terjadi jika tidak ada satupun anggota A yang secara bersamaan tidak berada di B dan tidak berada di C. Dengan kata lain, semua anggota A pasti menjadi anggota B atau C.

Bagaimana jika urutan operasinya dibalik, misal (A n A)
-(B n C), apakah hasilnya sama?

Tidak sama. (A n A) adalah A sendiri. Jadi itu akan menjadi A – (B n C), yang mencari anggota A yang tidak ada di irisannya B dan C. Ini berbeda dengan soal awal yang melakukan pengurangan terlebih dahulu baru mengiriskan hasilnya.

Apakah simbol ‘n’ dalam soal berarti angka atau huruf ‘n’?

Dalam konteks himpunan, simbol ‘n’ yang ditulis kecil dan miring (atau sering ditulis sebagai ∩) adalah simbol untuk operasi irisan (intersection), bukan huruf atau angka.