Tentukan selesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut y = 2x – 2 y = 2x + 9. Kedengarannya seperti teka-teki aljabar biasa, kan? Tapi jangan salah, di balik susunan angka dan variabel yang terlihat mirip ini, tersembunyi sebuah cerita matematika yang cukup menarik untuk diungkap. Kita akan mengajak kamu melihat lebih dekat, seolah sedang mengamati dua garis nasib yang berjalan beriringan namun tak pernah benar-benar bertemu.
Nah, soal SPLDV y = 2x – 2 dan y = 2x + 9 itu bikin penasaran, kan? Garisnya sejajar, jadi nggak ada titik temu alias tidak punya solusi. Mirip kayak kita lagi nyari pola dalam barisan aritmetika—misalnya, kalau mau tahu cara cari bedanya ketika suku ke-3 dan ke-5 diketahui, kamu bisa cek pembahasan detailnya di sini: Jika suku ke-3 dan ke-5 barisan aritmetika berturut-turut adalah 6 dan 18, beda barisan tersebut adalah.
Konsep konsistensi itu penting, makanya kembali ke SPLDV tadi, karena kedua persamaan punya gradien sama tapi intercept beda, ya sudah pasti nggak ketemu solusinya.
Secara umum, sistem persamaan linear dua variabel adalah tentang mencari titik temu, koordinat ajaib di mana dua garis lurus bersepakat untuk berpotongan. Metode seperti substitusi, eliminasi, atau menggambar grafik biasanya jadi senjata andalan. Nah, dalam kasus dua persamaan dengan kemiringan sama ini, kita justru akan menemukan sebuah kejutan yang memaksa kita memahami konsep “tidak ada solusi” dengan cara yang lebih visual dan logis.
Pengantar Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Dalam dunia matematika, terutama aljabar, kita sering kali bertemu dengan situasi di mana dua hal yang berbeda saling terkait. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel, atau yang biasa disingkat SPLDV, adalah alat yang ampuh untuk memodelkan hubungan seperti itu. Secara sederhana, SPLDV terdiri dari dua persamaan linear yang masing-masing memiliki dua variabel yang sama, biasanya x dan y. Bentuk umumnya bisa ditulis sebagai ax + by = c dan px + qy = r, di mana a, b, p, q adalah koefisien, dan c, r adalah konstanta.
Untuk menemukan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan sekaligus—yang kita sebut solusi—ada beberapa metode klasik yang bisa digunakan. Metode grafik dilakukan dengan menggambar kedua garis di bidang koordinat dan mencari titik potongnya. Metode substitusi menggunggulkan satu persamaan ke dalam persamaan lain, sementara metode eliminasi mengutamakan menambah atau mengurangi persamaan untuk menghilangkan salah satu variabel. Seringkali, kombinasi atau metode campuran dari substitusi dan eliminasi juga digunakan untuk efisiensi.
Contoh SPLDV dengan Satu Solusi
Sebagai ilustrasi, mari kita ambil sistem persamaan sederhana: 2x + y = 8 dan x – y = 1. Sistem ini memiliki satu solusi tunggal. Dengan metode eliminasi, kita bisa menjumlahkan kedua persamaan langsung untuk menghilangkan variabel y.
x + y = 8
x – y = 1
- ———— +
- x = 9
x = 3
Setelah mendapatkan x = 3, substitusikan ke persamaan kedua: 3 – y = 1, sehingga y = 2. Jadi, solusi sistem ini adalah (3, 2), yang berarti hanya pasangan bilangan inilah yang membuat kedua pernyataan matematika tersebut benar secara bersamaan.
Analisis Sistem Persamaan: y = 2x – 2 dan y = 2x + 9
Sekarang, mari kita telaah kasus yang lebih khusus dan menarik: sistem persamaan y = 2x – 2 dan y = 2x + 9. Sepintas, kedua persamaan ini terlihat mirip, bukan? Keduanya sudah dalam bentuk y = mx + c, yang memudahkan kita untuk langsung mengidentifikasi komponen-komponen pentingnya.
Pada persamaan pertama, y = 2x – 2, koefisien x atau gradien (kemiringan) adalah 2, dan konstanta atau titik potong di sumbu-y adalah -2. Persamaan kedua, y = 2x + 9, memiliki gradien yang persis sama, yaitu 2, tetapi titik potong sumbu-y-nya berbeda, yaitu 9. Inilah kunci permasalahannya. Dalam geometri analitik, gradien yang sama menunjukkan bahwa kedua garis tersebut sejajar. Karena titik potongnya berbeda, mereka adalah dua garis lurus yang sejajar dan tidak akan pernah bertemu.
Alasan Ketidakhadiran Solusi
Logika sederhananya: jika kedua garis sejajar dan tidak berhimpit, maka tidak ada satu titik koordinat pun di bidang kartesius yang dilalui oleh kedua garis tersebut secara bersamaan. Dengan kata lain, tidak ada pasangan (x, y) yang dapat memenuhi kedua persamaan y = 2x – 2 dan y = 2x + 9 pada saat yang sama. Sistem persamaan seperti ini dikatakan tidak memiliki solusi atau disebut inconsistent.
Metode Penyelesaian dan Verifikasi
Meskipun kita sudah bisa menduga hasilnya dari analisis gradien, penting untuk membuktikan ketiadaan solusi ini melalui metode penyelesaian formal. Mari kita coba selesaikan dengan dua metode utama: eliminasi dan substitusi.
Penyelesaian dengan Metode Eliminasi
Kedua persamaan sudah dalam bentuk yang rapi, sehingga kita bisa langsung mengurangkannya untuk mengeliminasi variabel y.
| Langkah | Proses | Keterangan |
|---|---|---|
| 1. Susun Persamaan | y = 2x – 2 y = 2x + 9 |
Kedua persamaan sudah setara. |
| 2. Eliminasi y | y – y = (2x – 2)
|
Variabel x ikut tereliminasi. |
| 3. Analisis Hasil | Diperoleh pernyataan 0 = -11. | Pernyataan ini palsu (false). |
Hasil akhirnya adalah kontradiksi, yaitu 0 = -11. Dalam matematika, ketika proses penyelesaian menghasilkan pernyataan yang jelas-jelas salah, itu adalah bukti formal bahwa sistem persamaan tersebut tidak memiliki solusi.
Penyelesaian dengan Metode Substitusi
Metode substitusi juga akan membawa kita pada kesimpulan yang sama. Karena kedua persamaan sudah menyatakan y dalam x, kita bisa langsung menyamakannya.
Nah, lihat nih, sistem persamaan y = 2x – 2 dan y = 2x + 9 itu paralel abis, jadi nggak punya titik temu alias nggak ada solusinya. Sama kayak logika himpunan, kadang kita perlu cari irisan dari selisihnya, kayak yang dijelaskan di sini Jika A = 1, 2, 5, 10, B = 1, 3, 5, dan C = 1, 2, 3, 4, maka (A – B) n (A – C) adalah.
Nah, balik lagi ke SPLDV tadi, karena gradiennya sama tapi konstanta beda, ya sudah pasti nggak ketemu solusi nyatanya.
Persamaan pertama menyatakan y = 2x – 2. Substitusikan ekspresi ini ke dalam y pada persamaan kedua.
(2x – 2) = 2x + 9
Kedua ruas dikurangi 2x:
x – 2 – 2x = 2x + 9 – 2x
– 2 = 9
Kita kembali mendapatkan pernyataan yang kontradiktif, -2 = 9. Ini mengonfirmasi bahwa tidak ada nilai x yang dapat memenuhi sistem.
Tabel Perbandingan Hasil Metode
| Metode | Proses Inti | Hasil Akhir | Kesimpulan |
|---|---|---|---|
| Eliminasi | Mengurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua. | 0 = -11 | Tidak ada solusi. |
| Substitusi | Menyamakan 2x – 2 dengan 2x + 9. | -2 = 9 | Tidak ada solusi. |
Kedua metode secara konsisten menghasilkan kontradiksi, yang dengan tegas menyatakan bahwa sistem persamaan y = 2x – 2 dan y = 2x + 9 tidak memiliki penyelesaian.
Interpretasi Grafis dan Konsep Geometris: Tentukan Selesaian Dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Berikut Y = 2x – 2 Y = 2x + 9
Bayangkan sebuah bidang koordinat kartesius. Garis pertama, y = 2x – 2, akan digambar sebagai garis lurus yang memotong sumbu-y di titik (0, -2) dan memiliki kemiringan curam ke atas. Untuk setiap kenaikan 1 unit ke kanan pada sumbu-x, garis naik 2 unit pada sumbu-y.
Garis kedua, y = 2x + 9, digambar dengan kemiringan yang persis sama. Ia dimulai dari titik yang lebih tinggi, yaitu (0, 9), dan kemudian bergerak sejajar dengan garis pertama. Secara visual, kita akan melihat dua garis lurus yang tidak akan pernah bersentuhan, bagaikan dua rel kereta api yang lurus dan sejajar.
Hubungan Kesejajaran dan Solusi, Tentukan selesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut y = 2x – 2 y = 2x + 9
Posisi relatif dua garis linear dalam sebuah SPLDV menentukan jenis solusinya. Jika kedua garis berpotongan di satu titik, sistem memiliki solusi tunggal. Jika kedua garis berhimpit (satu garis sama persis di atas yang lain), sistem memiliki solusi tak terhingga karena semua titik pada garis tersebut adalah solusi. Dan jika kedua garis sejajar seperti pada kasus kita, sistem tidak memiliki titik potong, yang berarti tidak ada solusi.
Tabel Karakteristik Garis
| Karakteristik | Garis 1: y = 2x – 2 | Garis 2: y = 2x + 9 | Keterangan |
|---|---|---|---|
| Bentuk Umum | y = mx + c | y = mx + c | Sudah dalam bentuk intersep gradien. |
| Gradien (m) | 2 | 2 | Sama, menunjukkan kemiringan identik. |
| Intercept Sumbu-y (c) | -2 | 9 | Berbeda, menunjukkan garis yang terpisah. |
| Posisi Relatif | Sejajar | Tidak berpotongan. | |
| Jarak Vertikal | 11 unit | Dihitung dari selisih intercept: 9 – (-2) = 11. | |
Jenis-Jenis Solusi SPLDV dan Contoh Lainnya
Berdasarkan analisis kita, SPLDV ternyata punya tiga ending yang mungkin: happy ending dengan satu solusi, sad ending tanpa solusi, atau ending yang ambigu dengan solusi tak terhingga. Memahami ketiganya penting untuk mengantisipasi hasil dari berbagai masalah pemodelan.
Solusi tunggal terjadi ketika gradien kedua garis berbeda. Tanpa solusi terjadi ketika gradien sama tetapi intercept berbeda. Solusi tak terhingga terjadi ketika kedua persamaan sebenarnya merepresentasikan garis yang sama; gradien dan intercept-nya sama, atau satu persamaan adalah kelipatan dari persamaan lainnya.
Tabel Contoh Berbagai Jenis Solusi
| Contoh Sistem Persamaan | Metode Singkat & Hasil | Jenis Solusi | Interpretasi Grafis |
|---|---|---|---|
|
1. x + y = 5 |
Eliminasi
3x=9 → x=3, y=2. |
Tunggal (3, 2) | Dua garis berpotongan di satu titik. |
|
2. y = 3x + 1 |
Substitusi
3x+1=3x-5 → 1=-5 (kontradiksi). |
Tidak Ada | Dua garis sejajar. |
| 3. 2x + 4y = 8 x + 2y = 4 |
Persamaan kedua dikali 2 hasilnya sama dengan persamaan pertama. | Tak Terhingga | Dua garis berhimpit. |
Aplikasi dan Latihan Soal
Konsep garis sejajar dalam SPLDV bukan cuma teori. Dalam kehidupan sehari-hari, ini bisa muncul dalam skenario di mana dua kondisi tidak mungkin terpenuhi bersama-sama. Misalnya, membandingkan dua paket layanan dengan struktur biaya yang sama persis tetapi berbeda biaya tetapnya, mustahil kita akan menemukan titik di mana total biayanya sama.
Soal Cerita dengan Garis Sejajar
Berikut dua contoh soal cerita yang pemodelannya menghasilkan sistem persamaan tanpa solusi:
- Paket Nonton Streaming: Perusahaan A menawarkan paket langganan dengan biaya Rp 50.000 per bulan ditambah Rp 5.000 per film premium yang ditonton. Perusahaan B menawarkan paket dengan biaya Rp 120.000 per bulan, tetapi film premium gratis. Dalam sebulan, setelah menonton berapa film total biaya langganan kedua perusahaan akan sama? (Petunjuk: Modelkan dengan y = 5000x + 50000 dan y = 0x + 120000).
- Sewa Mobil: Rental “Lancar” mengenakan tarif Rp 300.000 flat per hari. Rental “Cepat” mengenakan tarif Rp 200.000 flat per hari plus biaya kilometer Rp 500 per km. Untuk jarak tempuh berapa kilometer dalam satu hari, total biaya sewa kedua rental akan sama? (Petunjuk: Modelkan dengan y = 300000 dan y = 500x + 200000).
Penyelesaian Soal Sewa Mobil
Mari kita selesaikan soal sewa mobil secara bertahap:
- Langkah 1: Membuat Model Matematika.
Misal y = total biaya sewa, dan x = jarak tempuh (km).
Rental Lancar: y = 300.000
Rental Cepat: y = 500x + 200.000 - Langkah 2: Menyusun Sistem Persamaan.
Kita punya sistem: y = 300.000 dan y = 500x + 200.000. - Langkah 3: Substitusi.
Substitusi y dari persamaan pertama ke kedua: 300.000 = 500x + 200.000. - Langkah 4: Penyelesaian.
500x = 300.000 – 200.000
500x = 100.000
x = 200 km. - Langkah 5: Interpretasi.
Berbeda dengan contoh utama artikel, sistem ini justru memiliki solusi, yaitu pada x = 200 km. Ini terjadi karena gradiennya berbeda (0 vs 500). Contoh ini menunjukkan pentingnya analisis koefisien.
Kumpulan Latihan Soal
Untuk mengasah pemahaman, coba kerjakan latihan berikut dengan tingkat kesulitan yang beragam:
- Mudah: Tentukan jenis solusi dari sistem: y = -x + 3 dan 2x + 2y =
10. (Petunjuk: Ubah persamaan kedua ke bentuk y = mx + c). - Sedang: Sebuah SPLDV dinyatakan sebagai 4x – 2y = 6 dan -6x + 3y = 5. Buktikan bahwa sistem ini tidak memiliki solusi menggunakan metode eliminasi.
- Menantang: Diketahui sistem persamaan px + 2y = 8 dan 3x + qy = 12 tidak memiliki solusi. Jika nilai p adalah 6, tentukan kemungkinan nilai q. (Petunjuk: Ingat syarat garis sejajar).
Ringkasan Akhir
Source: cilacapklik.com
Jadi, begitulah akhir dari petualangan kita dengan sistem persamaan y = 2x – 2 dan y = 2x + 9. Keduanya memilih untuk berjalan sejajar, menjaga jarak yang tetap, dan menolak untuk bertemu di satu titik pun. Pelajaran yang bisa diambil di sini bukan sekadar tentang tidak adanya solusi, tetapi tentang mengenali pola, memahami karakter setiap garis, dan menerima bahwa dalam matematika—seperti dalam banyak hal—tidak semua pencarian akan berujung pada pertemuan.
Yang penting adalah proses analisisnya yang teliti dan kesimpulan yang tepat.
FAQ Lengkap
Apakah mungkin dua persamaan linear yang berbeda sama sekali tidak memiliki titik potong?
Ya, sangat mungkin. Itulah yang terjadi ketika kedua garis memiliki gradien atau kemiringan yang persis sama, tetapi konstanta atau titik potong sumbu Y-nya berbeda. Secara grafis, mereka adalah dua garis sejajar.
Mengapa metode eliminasi dan substitusi menghasilkan pernyataan yang salah seperti “0 = -11”?
Pernyataan “0 = -11” adalah kontradiksi (pernyataan yang selalu salah). Ini adalah sinyal matematis yang formal dan tegas bahwa tidak ada pasangan bilangan (x, y) yang dapat memenuhi kedua persamaan secara bersamaan. Ini bukan berarti perhitungannya salah, justru itulah jawabannya.
Dalam soal cerita, situasi seperti apa yang bisa dimodelkan dengan sistem persamaan tanpa solusi?
Contohnya adalah membandingkan dua paket layanan dengan tarif tetap dan tarif per unit yang identik, tetapi biaya langganan awalnya berbeda. Mustahil pengeluaran dari kedua paket itu akan sama, berapa pun unit yang dipakai. Atau, dua orang yang berjalan dengan kecepatan sama dari start berbeda, mereka tidak akan pernah bertemu jika berjalan lurus.
Apakah sistem persamaan ini bisa disebut “kontradiktif”?
Tepat sekali. Sistem persamaan linear yang tidak memiliki solusi disebut sebagai sistem yang tidak konsisten atau sistem yang kontradiktif, karena persamaan-persamaannya saling bertentangan.
