Diketahui a,b, dan c berturut-turut adalah suku ke-2,ke-4, dan ke-6 suatu barisan aritmatika. Jika (a + b + c)/(b +1) = 4 maka nilai b adalah – Diketahui a,b, dan c berturut-turut adalah suku ke-2,ke-4, dan ke-6 suatu barisan aritmatika. Jika (a + b + c)/(b +1) = 4 maka nilai b adalah. Nah, soal ini tuh kayak teka-teki angka yang butuh sedikit trik buat dipecahin. Kita punya tiga tokoh utama, a, b, dan c, yang ternyata punya hubungan keluarga dalam barisan aritmatika. Mereka berjarak tetap, dan tugas kita adalah mengungkap identitas si b dari persamaan yang terlihat sedikit jlimet itu.
Sebelum panik lihat angkanya, mari kita pahami dulu skenarionya. Dalam barisan aritmatika, selisih antar suku itu selalu sama, namanya beda (d). Kalau a adalah suku ke-2, b suku ke-4, dan c suku ke-6, berarti mereka bisa kita ungkapkan cuma pakai suku pertama (U1) dan si beda ini. Setelah itu, kita masukkan ekspresi mereka ke dalam persamaan yang diberikan. Proses aljabarnya nggak serumit kelihatannya, kok, asal kita sabar dan teliti langkah demi langkah.
Memahami Masalah Barisan Aritmatika
Sebelum kita terjun ke dalam angka dan variabel, mari kita sepakati dulu dasarnya. Barisan aritmatika itu sederhana, ia adalah daftar bilangan yang selisih antar dua suku berurutannya selalu sama. Selisih tetap ini kita sebut beda, biasa disimbolkan dengan d. Rumus untuk mencari suku ke- n sangat elegan: Un = a + (n-1)d , di mana a adalah suku pertama.
Dalam soal ini, kita punya tiga karakter utama: a sebagai suku ke-2, b sebagai suku ke-4, dan c sebagai suku ke-6. Nama mereka agak menyesatkan karena ‘b’ bukan beda, melainkan nama untuk suku keempat. Hubungan mereka sangat teratur karena berasal dari barisan yang sama. Dengan rumus tadi, kita bisa ungkapkan ketiganya dalam bahasa yang sama, misalnya menggunakan suku pertama (U 1) dan beda (d).
Hubungan Antara Suku ke-2, ke-4, dan ke-6, Diketahui a,b, dan c berturut-turut adalah suku ke-2,ke-4, dan ke-6 suatu barisan aritmatika. Jika (a + b + c)/(b +1) = 4 maka nilai b adalah
Mari kita terjemahkan informasi soal ke dalam bahasa matematika yang lebih universal. Jika suku pertama kita sebut U 1 dan bedanya adalah d, maka:
- Suku ke-2 (a): U 2 = U 1 + d
- Suku ke-4 (b): U 4 = U 1 + 3d
- Suku ke-6 (c): U 6 = U 1 + 5d
Lihat polanya? Ini seperti tangga dengan anak tangga yang sama panjangnya, yaitu d. Dari a ke b naik 2 anak tangga (2d), dan dari b ke c juga naik 2 anak tangga (2d). Dengan demikian, kita sebenarnya punya tiga ekspresi yang saling terkait. Untuk mempermudah, kita bisa menyatakan semuanya hanya dalam satu atau dua variabel.
Misalnya, kita bisa nyatakan U 1 dalam bentuk a dan d, atau lebih praktis, kita langsung bekerja dengan a sebagai titik awal relatif.
Merumuskan Persamaan dari Kondisi yang Diberikan
Source: amazonaws.com
Sekarang kita masuk ke inti teka-tekinya. Soal memberikan sebuah persamaan yang menghubungkan ketiga suku tadi: (a + b + c) / (b + 1) = 4. Tugas kita adalah memasukkan ekspresi aljabar untuk a, b, dan c yang baru saja kita buat ke dalam persamaan ini. Proses substitusi ini akan mengubah persamaan yang awalnya terlihat kompleks menjadi sesuatu yang lebih sederhana dan bisa dipecahkan.
Kita punya kebebasan memilih variabel dasar. Mari kita pilih suku pertama (U 1) dan beda (d) sebagai fondasi. Substitusi menghasilkan:
((U1 + d) + (U 1 + 3d) + (U 1 + 5d)) / ((U 1 + 3d) + 1) = 4
Mari kita sederhanakan langkah demi langkah. Jumlahkan semua suku di pembilang: U 1 + U 1 + U 1 = 3U 1, dan d + 3d + 5d = 9d. Jadi pembilang menjadi 3U1 + 9d . Penyebutnya tetap U1 + 3d + 1 . Persamaan kita sekarang adalah:
(3U1 + 9d) / (U 1 + 3d + 1) = 4
Untuk memberikan gambaran bagaimana nilai-nilai ini berinteraksi, perhatikan tabel berikut yang menunjukkan beberapa kemungkinan nilai jika kita asumsikan suatu nilai d dan menyesuaikan U 1 agar persamaan mendekati benar. Tabel ini bersifat eksploratif sebelum kita dapat solusi pasti.
| Asumsi Beda (d) | Suku Pertama (U1) yang Mungkin | Nilai a (U2) | Nilai b (U4) | Nilai c (U6) | Hasil (a+b+c)/(b+1) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 5 | 7 | (15)/(6)=2.5 |
| 2 | 1 | 3 | 7 | 11 | (21)/(8)=2.625 |
| 2 | -5 | -3 | 1 | 5 | (3)/(2)=1.5 |
Terlihat bahwa untuk mendekati nilai 4, kita perlu kombinasi U 1 dan d yang spesifik. Mari kita cari dengan aljabar yang tepat.
Menyelesaikan Persamaan dan Menemukan Nilai b
Dari persamaan (3U1 + 9d) / (U 1 + 3d + 1) = 4 , kita bisa menyelesaikannya. Kalikan kedua ruas dengan penyebut:
3U1 + 9d = 4(U 1 + 3d + 1)
U1 + 9d = 4U 1 + 12d + 4
Kumpulkan semua suku yang mengandung variabel di satu sisi dan konstanta di sisi lain:
3U1
- 4U 1 + 9d – 12d = 4
- U 1
- 3d = 4
Kalikan dengan -1:
U 1 + 3d = -4
Ini adalah sebuah terobosan. Perhatikan baik-baik: U1 + 3d bukanlah lain dari suku ke-4, yaitu b itu sendiri! Dari rumus, b = U 1 + 3d.
Dengan demikian, dari penyederhanaan aljabar, kita langsung mendapatkan:
b = -4
Proses ini sangat elegan karena kita tidak perlu mencari U 1 dan d secara terpisah. Nilai b langsung jatuh di pangkuan kita. Solusi ini valid untuk semua barisan aritmatika yang memenuhi kondisi awal, apapun nilai U 1 dan d-nya, asalkan hubungan U 1 + 3d = -4 terpenuhi.
Verifikasi dan Interpretasi Hasil
Hasil perhitungan mengatakan b = –
4. Mari kita uji kebenarannya. Kita perlu mencari pasangan U 1 dan d yang konsisten. Dari persamaan U 1 + 3d = -4, kita bisa pilih secara bebas. Misalnya, pilih d =
2.
Maka U 1 = -4 – 3(2) = –
10. Sekarang hitung:
a = U 2 = -10 + 2 = -8.
c = U 6 = -10 + 5(2) =
0. Masukkan ke persamaan awal: (a+b+c) = (-8) + (-4) + 0 = -12. (b+1) = (-4)+1 = -3.
Hasilnya -12 / -3 = 4. Persis!
Nilai b = -4 ini adalah suku keempat dari barisan tersebut. Ia bisa saja negatif, itu bukan masalah. Yang penting pola penjumlahannya tetap konsisten. Berikut adalah dua contoh barisan berbeda yang sama-sama menghasilkan b = -4, menunjukkan bahwa solusi ini memiliki banyak kemungkinan realisasi.
Nah, kalau soal barisan aritmatika tadi, mencari nilai b itu seru banget karena kita main-main dengan pola dan hubungan antar suku. Gak jauh beda serunya dengan teka-teki himpunan, kayak soal tentang Banyak korespondensi satu-satu dari A ke B adalah 24. Jika A = faktor dari 21, maka himpunan berikut yang dapat menjadi himpunan B adalah yang juga butuh logika sistematis.
Jadi, setelah paham konsep korespondensi, balik lagi ke soal aritmatika, kamu pasti lebih mudah menemukan nilai b yang tepat dari persamaan (a+b+c)/(b+1)=4 itu.
| Variabel | Contoh 1 | Contoh 2 |
|---|---|---|
| Beda (d) | 2 | -1 |
| Suku Pertama (U1) | -10 | -1 |
| a (U2) | -8 | -2 |
| b (U4) | -4 | -4 |
| c (U6) | 0 | -6 |
Kedua barisan ini berbeda jauh, tetapi keduanya memenuhi semua kondisi soal. Intinya, nilai b telah terkunci, meskipun wujud barisannya bisa beragam.
Eksplorasi Variasi Soal Serupa
Pola soal seperti ini tak terhitung jumlahnya. Bayangkan jika soalnya diubah: Diketahui x, y, z berturut-turut adalah suku ke-3, ke-7, dan ke-11 suatu barisan aritmatika. Jika (x – y + z)/(z) = 0.5, tentukan nilai y. Struktur penyelesaiannya akan serupa: nyatakan x, y, z dalam U 1 dan d, substitusi, sederhanakan, dan selesaikan.
Soal barisan aritmatika yang cari nilai b itu memang perlu trik, tapi tenang, logikanya mirip kayak hitung persentase yang lebih riil. Misal, kita analogikan dengan kasus Gabah hasil panen sawah mempunyai kadar air 25%. Setelah dijemur kadar airnya menyusut sebanyak 80%. Kadar air gabah tersebut saat ini adalah —paham itu, otomatis nalar matematikamu lebih siap. Nah, balik lagi ke soal awal, kunci jawaban b itu bisa ditemukan kalau kita paham pola hubungan antar sukunya dalam deret.
Prosedur umumnya bisa dirangkum dalam langkah-langkah sistematis berikut:
- Identifikasi posisi suku yang diketahui dan beri nama variabel (misal: p=Um, q=U n, r=U o).
- Tuliskan setiap variabel dengan rumus U n = a + (n-1)d.
- Substitusi ekspresi tersebut ke dalam persamaan kondisi yang diberikan dalam soal.
- Sederhanakan persamaan aljabar. Seringkali, kita akan mendapatkan hubungan linear sederhana antara a dan d, atau langsung mendapatkan nilai salah satu suku.
- Selesaikan untuk variabel yang ditanyakan.
Ilustrasi menariknya adalah, perubahan posisi suku yang diketahui akan mengubah “koefisien” dari a dan d pada persamaan akhir. Misalnya, jika suku yang diketahui berjarak genap (seperti soal kita: ke-2, ke-4, ke-6), seringkali penyederhanaan akan sangat rapi. Jika jaraknya tidak seragam, persamaan akhir mungkin mengharuskan kita mencari nilai a atau d terlebih dahulu sebelum menjawab pertanyaan. Intinya, setiap variasi soal adalah puzzle aljabar kecil dengan pola penyederhanaan yang unik, tetapi akar metodologinya tetap sama: terjemahkan, substitusi, dan selesaikan.
Ringkasan Penutup
Jadi, setelah melalui proses substitusi dan penyederhanaan, nilai b yang memenuhi adalah 7. Hasil ini bukan cuma angka biasa, tapi ia adalah suku ke-4 dari sebuah barisan aritmatika yang konsisten. Dengan b=7, kita bisa balik lagi untuk menemukan suku pertama dan bedanya, lalu memverifikasi bahwa semua syarat soal terpenuhi. Soal seperti ini mengajarkan kita untuk melihat pola dan hubungan tersembunyi di balik simbol-simbol, sebuah keterampilan yang berguna banget buat ngadepin soal-soal matematika yang lebih kompleks ke depannya.
FAQ Terpadu: Diketahui A,b, Dan C Berturut-turut Adalah Suku Ke-2,ke-4, Dan Ke-6 Suatu Barisan Aritmatika. Jika (a + B + C)/(b +1) = 4 Maka Nilai B Adalah
Apakah nilai b selalu berupa bilangan bulat dalam soal seperti ini?
Tidak selalu. Nilai b bergantung pada persamaan yang diberikan. Dalam soal ini kebetulan menghasilkan bilangan bulat, tetapi bisa saja berbentuk pecahan atau bilangan lain tergantung kondisinya.
Bagaimana jika persamaannya bukan (a+b+c)/(b+1)=4, tapi bentuk lain?
Langkah awalnya sama: nyatakan a, b, c dalam U1 dan d. Lalu substitusi ke persamaan baru tersebut dan selesaikan. Bentuk akhir persamaan (linear atau kuadrat) yang akan menentukan cara penyelesaiannya.
Apakah mungkin ada lebih dari satu nilai b yang memenuhi?
Sangat mungkin, terutama jika persamaan akhir yang terbentuk adalah persamaan kuadrat. Namun, kita harus selalu mengecek apakah semua solusi tersebut valid dalam konteks barisan aritmatika (misalnya, tidak menyebabkan pembagian dengan nol).
Bisakah soal ini diselesaikan tanpa memisalkan suku pertama (U1)?
Bisa, alternatifnya kita bisa langsung menyatakan semua suku dalam variabel b dan beda (d). Misalnya, a = b – 2d dan c = b + 2d. Ini akan langsung menghubungkan persamaan dengan variabel b dan d.
