Diketahui barisan geometri: 5,15,45,135, . Tentukan: a. pembanding dari barisan tersebut b. suku ke-7 dari barisan tersebut c. suku ke-n dari barisan – Diketahui barisan geometri: 5, 15, 45, 135, . Tentukan: a. pembanding dari barisan tersebut b. suku ke-7 dari barisan tersebut c. suku ke-n dari barisan.
Kalau lihat deretan angka seperti itu, pasti ada polanya, kan? Nah, ini dia salah satu konsep matematika yang sebenarnya sering banget kita temui dalam kehidupan, dari pertumbuhan bakteri sampai hitungan bunga majemuk di bank. Barisan geometri itu seru karena perkembangannya bisa meledak-ledak atau menciut, semua tergantung pada satu angka kunci: si pembanding atau rasio.
Mari kita bedah bareng-bareng barisan ini. Dengan langkah yang sistematis dan jelas, kita akan mencari tahu angka sakti yang menjadi pengali setiap sukunya, kemudian melacak suku ketujuhnya yang mungkin jauh lebih besar, dan akhirnya merumuskan sebuah formula ampuh untuk menemukan suku ke berapa pun, bahkan yang ke-1000 sekalipun. Tenang, prosesnya akan dijelaskan dengan santai tapi tetap runut, biar kamu nggak cuma bisa jawab soal ini, tapi juga paham logika di baliknya.
Mengenal Barisan Geometri: Pola Perkalian yang Menawan
Dalam dunia matematika, ada sebuah pola bilangan yang pertumbuhannya begitu dramatis dan elegan, layaknya sebuah cerita yang berkembang secara eksponensial. Pola ini disebut barisan geometri. Pada dasarnya, barisan geometri adalah sederet bilangan dimana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang tidak nol. Bilangan tetap inilah yang menjadi jantung dari barisan, dikenal sebagai rasio atau pembanding (r).
Ciri utama barisan ini adalah laju pertumbuhannya yang konsisten dalam bentuk perkalian. Jika barisan aritmatika naik secara ‘tambahan’ yang sama, barisan geometri melesat dengan ‘perkalian’ yang sama. Contoh sederhana dalam kehidupan adalah pelipatgandaan bakteri (dalam kondisi ideal), penyusutan nilai barang karena depresiasi, atau bahkan pola sebaran berita viral di media sosial dimana setiap orang membagikan ke dua orang lainnya.
Perbandingan Barisan Geometri dan Aritmatika, Diketahui barisan geometri: 5,15,45,135, . Tentukan: a. pembanding dari barisan tersebut b. suku ke-7 dari barisan tersebut c. suku ke-n dari barisan
Source: peta-hd.com
Memahami perbedaan mendasar antara barisan geometri dan aritmatika membantu dalam mengidentifikasi pola dengan cepat. Perbedaan ini tidak hanya pada operasi matematikanya, tetapi juga pada visual grafik dan aplikasinya.
| Aspek | Barisan Aritmatika | Barisan Geometri |
|---|---|---|
| Pola Dasar | Penambahan atau pengurangan bilangan tetap (beda, b). | Perkalian atau pembagian bilangan tetap (rasio, r). |
| Rumus Suku ke-n | Un = a + (n-1)b | Un = a . r^(n-1) |
| Grafik Pertumbuhan | Membentuk garis lurus (linear). | Membentuk kurva eksponensial (melengkung tajam). |
| Contoh Sederhana | 2, 5, 8, 11, … (ditambah 3) | 2, 6, 18, 54, … (dikali 3) |
| Aplikasi Khas | Menghitung total tabungan rutin, pola kursi di stadion. | Bunga majemuk, pertumbuhan populasi, peluruhan radioaktif. |
Menemukan Kunci Pola: Rasio Barisan Geometri
Langkah pertama dan terpenting dalam menguak misteri suatu barisan geometri adalah menemukan rasionya. Rasio ini adalah kunci yang membuka pola seluruh barisan. Cara mencarinya sangat intuitif: bagilah suatu suku dengan suku sebelumnya. Yang perlu diperhatikan adalah konsistensi; hasil pembagian harus sama untuk setiap pasangan suku berurutan.
Mari kita terapkan pada barisan yang diberikan: 5, 15, 45, 135, … Perhitungan rasio bukan hanya sekadar menjawab soal, tetapi memverifikasi bahwa kita memang berhadapan dengan barisan geometri murni.
| Suku ke- | Nilai | Proses Perhitungan Rasio (r) | Hasil Rasio |
|---|---|---|---|
| U1 | 5 | – | – |
| U2 | 15 | 15 : 5 | 3 |
| U3 | 45 | 45 : 15 | 3 |
| U4 | 135 | 135 : 45 | 3 |
Dari tabel di atas, terlihat jelas bahwa rasio (r) = 3. Inilah pembanding yang konstan. Nilai rasio ini menentukan karakter barisan. Jika |r| > 1, barisan akan meledak (eksponensial naik atau turun). Jika 0 < |r| < 1, barisan akan menyusut mendekati nol. Rasio adalah DNA dari barisan geometri.
Rumus Sakti: Mencari Suku ke-n (Un)
Setelah mengetahui suku pertama (a) dan rasio (r), kita memiliki kekuatan untuk melompat ke suku manapun tanpa harus menghitung semua suku di antaranya. Kekuatan ini diberikan oleh rumus umum suku ke-n barisan geometri. Rumus ini bukan mantra, melainkan konsekuensi logis dari pola perkalian berulang.
Penurunannya sederhana: suku pertama adalah a. Suku kedua adalah a dikali r sekali (a x r). Suku ketiga adalah a dikali r dua kali (a x r x r atau a x r²). Dengan pola yang sama, suku ke-n adalah a dikali r sebanyak (n-1) kali.
Un = a . r^(n-1)
Beberapa poin kunci dari rumus ini perlu digarisbawahi:
- a mewakili suku pertama (U1).
- r adalah rasio yang telah dihitung dan harus konsisten.
- n adalah posisi suku yang ingin dicari (bilangan asli).
- Eksponen (n-1) menunjukkan bahwa perkalian dengan r terjadi sebanyak (n-1) kali, dimulai dari suku kedua.
Sebagai contoh penerapan di luar soal, misal ada barisan geometri 100, 50, 25, 12.5, … dengan a=100 dan r=0.
5. Suku ke-10 (U10) dapat langsung dihitung: U10 = 100 x (0.5)^(9) = 100 x 1/512 = 0.1953125. Bayangkan betapa repotnya jika harus mengalikan setengah terus sebanyak 9 kali secara manual.
Menerapkan Rumus: Mencari Suku ke-7 Barisan 5, 15, 45, …
Sekarang kita akan menggunakan rumus yang telah dipahami untuk menjawab pertanyaan spesifik. Dari pembahasan sebelumnya, kita telah mengantongi data penting: suku pertama (a) = 5 dan rasio (r) = 3. Tujuannya adalah mencari suku ketujuh (U7), artinya n = 7.
Proses perhitungannya adalah substitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus utama. Berikut langkah-langkah sistematisnya yang ditulis untuk memudahkan pemahaman.
Langkah 1: Identifikasi komponen.
a = 5, r = 3, n = 7.Langkah 2: Substitusi ke dalam rumus Un = a . r^(n-1).
U7 = 5 . 3^(7-1)Langkah 3: Sederhanakan perhitungan.
U7 = 5 . 3^(6)
U7 = 5 . 729Langkah 4: Dapatkan hasil akhir.
U7 = 3.645
Jadi, suku ke-7 dari barisan tersebut adalah 3.645. Angka ini memberikan gambaran nyata tentang sifat eksponensial barisan geometri. Dari hanya 5, dalam 7 langkah dengan pengganda 3, nilainya melonjak menjadi ribuan. Ini mengilustrasikan bagaimana pertumbuhan geometri, meski dimulai dari angka kecil, dapat menghasilkan nilai yang sangat besar dalam waktu singkat.
Merumuskan Polan: Suku ke-n Barisan 5, 15, 45, …
Lebih dari sekadar mencari satu suku, kekuatan matematika yang sesungguhnya adalah merumuskan pola umum. Dengan rumus suku ke-n, kita dapat memprediksi nilai suku pada posisi berapa pun, bahkan yang sangat jauh, seperti suku ke-100 atau ke-1000, tanpa kesulitan berarti.
Untuk barisan kita dengan a=5 dan r=3, rumus suku ke-n-nya sangat langsung.
Un = 5 . 3^(n-1)
Rumus ini adalah representasi aljabar dari seluruh barisan. Untuk memverifikasi dan melihat pola perkembangannya, mari kita lihat tabel perbandingan untuk beberapa nilai n awal.
| n (Posisi) | Perhitungan Menggunakan Un = 5 . 3^(n-1) | Hasil (Un) |
|---|---|---|
| 1 | 5 . 3^(0) | 5 |
| 2 | 5 . 3^(1) | 15 |
| 3 | 5 . 3^(2) | 45 |
| 4 | 5 . 3^(3) | 135 |
| 5 | 5 . 3^(4) | 405 |
Dengan rumus Un = 5 . 3^(n-1), prediksi untuk suku-suku besar menjadi mungkin. Misalnya, suku ke-15 adalah U15 = 5 . 3^(14) = 5 . 4.782.969 = 23.914.845.
Bayangkan, hanya dalam 15 langkah, dari angka 5 kita mencapai angka puluhan juta. Inilah esensi dari pertumbuhan eksponensial yang sering kita dengar dalam konteks penyebaran virus atau pertumbuhan investasi jangka panjang.
Melatih Keterampilan dan Melihat Aplikasi Nyata
Memahami konsep menjadi lebih mantap ketika dilatih dengan berbagai variasi soal. Berikut beberapa soal latihan dengan tingkat kerumitan berbeda untuk mengasah pemahaman tentang rasio, suku ke-n, dan penerapan rumus.
Nah, kalau kamu lagi seru-serunya ngitung barisan geometri kayak 5, 15, 45, 135 untuk cari rasio dan suku ke-n, ingat ya, logika matematika itu saling nyambung. Coba deh lihat soal Keliling sebuah lahan yang berbentuk persegi panjang adalah 180 m. Jika selisih panjang dan lebarnya 14 m, luas lahan tersebut adalah yang juga butuh ketelitian serupa. Setelah itu, balik lagi ke barisan tadi, pasti kamu makin jago nemuin pola dan rumus umumnya untuk jawab semua pertanyaan dengan tepat.
- Level Dasar: Diketahui barisan geometri: 2, 10, 50, 250, … Tentukan rasio (r) dan suku ke-6 (U6) dari barisan tersebut.
- Level Menengah: Suku ke-3 dan suku ke-6 suatu barisan geometri berturut-turut adalah 12 dan 96. Tentukan suku pertama (a) dan rasio (r) barisan itu.
- Level Lanjut: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 14 dan hasil kalinya 64, tentukan ketiga bilangan tersebut.
Strategi umum dalam menyelesaikan masalah barisan geometri selalu dimulai dengan mencari dua informasi kunci: suku pertama (a) dan rasio (r). Gunakan data yang diberikan untuk membentuk persamaan berdasarkan rumus Un. Seringkali, membagi dua persamaan yang melibatkan Un dan Um dapat mengeliminasi ‘a’ dan membantu menemukan ‘r’ terlebih dahulu.
Aplikasi dalam Bunga Majemuk
Salah satu aplikasi paling klasik dan penting dari barisan geometri adalah dalam perhitungan bunga majemuk di dunia keuangan. Berbeda dengan bunga sederhana yang tumbuh secara aritmatika, bunga majemuk ‘berbunga’—bunga yang didapatkan akan ditambahkan ke pokok untuk menghitung bunga periode berikutnya.
Misalkan kamu menginvestasikan modal awal (M) sebesar Rp 10.000.000 di sebuah instrumen dengan bunga majemuk 10% per tahun. Nilai investasimu setelah n tahun dapat dimodelkan sebagai barisan geometri: Tahun ke-1: M x (1 + 0.10). Tahun ke-2: [M x (1.10)] x (1.10) = M x (1.10)². Pola ini persis dengan Un = a . r^(n-1), dimana a = M, r = (1 + bunga), dan n = tahun ke-.
Jadi, setelah 5 tahun, nilai investasimu bukan Rp 15.000.000 (bunga sederhana), tetapi Rp 10.000.000 x (1.10)^5 ≈ Rp 16.105.100. Perbedaan yang signifikan ini menunjukkan kekuatan ‘efek bola salju’ dari barisan geometri dalam mengakumulasi kekayaan dalam jangka panjang.
Penutupan Akhir
Jadi, begitulah ceritanya. Dari barisan sederhana 5, 15, 45, 135, kita berhasil mengungkap rasio 3, menghitung suku ke-7 yaitu 3645, dan merajut rumus Un = 5 × 3^(n-1) sebagai kunci pembuka semua misteri suku selanjutnya. Konsep ini nggak cuma angka mati di kertas, tapi adalah dasar dari banyak fenomena pertumbuhan eksponensial di sekitar kita. Sekarang, coba deh lihat sekeliling, pasti kamu bisa menemukan pola serupa.
Hai, kita bahas barisan geometri ini ya: 5, 15, 45, 135. Rasio atau pembandingnya jelas 3, karena setiap suku dikali 3. Nah, kalau udah paham konsep perbandingan dan perkalian beruntun kayak gini, kamu pasti bisa ngitung suku ke-7 (yaitu 5 × 3^6) dan rumus suku ke-n dengan mudah. Soal hitungan kayak gini seringkali berkaitan dengan operasi campuran, misalnya nih, coba kamu cek penjelasan detail tentang Nilai dari 3,015 + 1 7/8 + 35% adalah untuk melatih ketelitianmu.
Kembali ke barisan geometri, setelah dapat rasionya, menentukan suku berikutnya dan rumus umumnya jadi jauh lebih simpel, lho!
Selamat bereksplorasi dengan angka-angka, dan ingat, memahami polanya adalah kunci menguasai banyak hal.
FAQ dan Solusi: Diketahui Barisan Geometri: 5,15,45,135, . Tentukan: A. Pembanding Dari Barisan Tersebut B. Suku Ke-7 Dari Barisan Tersebut C. Suku Ke-n Dari Barisan
Apa bedanya barisan geometri dengan barisan aritmatika?
Barisan geometri memiliki selisih antar suku yang berupa rasio (perkalian/pembagian tetap), sedangkan barisan aritmatika memiliki selisih yang berupa beda (penjumlahan/pengurangan tetap).
Bagaimana jika rasionya negatif atau pecahan?
Prinsipnya sama. Rasio negatif akan membuat suku-suku barisan berganti tanda (contoh: 2, -4, 8, -16). Rasio pecahan akan membuat barisan mengecil (contoh: 32, 16, 8, 4).
Apakah suku pertama (a) selalu harus bilangan bulat?
Tidak. Suku pertama bisa berupa bilangan apa saja (bulat, pecahan, desimal). Yang penting pola perkalian dengan rasio yang tetap terjaga.
Bagaimana cara mengecek apakah suatu barisan benar-benar geometri?
Bagilah suatu suku dengan suku sebelumnya. Jika hasil bagi (rasio) itu selalu sama untuk beberapa suku berurutan yang kamu uji, maka itu adalah barisan geometri.
