Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik (1, 0), (3,0), dan (0, 3)! Kalau lihat soal kayak gini, jangan langsung bingung dulu. Ini sebenarnya teka-teki matematika yang asyik, lho. Kita dikasih petunjuk berupa titik-titik spesial di grafik, dan tugas kita adalah menyusun kembali rumus fungsi kuadratnya yang hilang. Seperti menyambung titik-titik dalam sebuah misteri numerik, di mana jawabannya akan membentuk sebuah parabola yang elegan.
Nah, dari tiga titik tadi, ada pola menarik: dua titik berada di sumbu-X, yang berarti mereka adalah akar-akar atau titik potong grafik. Satu titik lagi ada di sumbu-Y, yang bakal jadi kunci untuk mengunci bentuk akhir persamaannya. Dengan pendekatan yang tepat, soal ini bisa diselesaikan dengan dua cara keren: pakai sistem persamaan linear atau pakai bentuk faktor yang lebih cepat.
Mari kita telusuri bersama langkah-langkah jitunya.
Konsep Dasar Fungsi Kuadrat dan Titik Potong Sumbu
Fungsi kuadrat adalah salah satu bangunan dasar dalam aljabar yang grafiknya membentuk kurva lengkung indah bernama parabola. Memahami bagaimana titik-titik pada bidang kartesius berhubungan dengan persamaannya adalah kunci untuk membongkar dan menyusun ulang polanya. Bayangkan kita punya tiga petunjuk koordinat, tugas kita adalah menemukan rumus yang menghubungkan ketiganya.Bentuk umum fungsi kuadrat selalu ditulis sebagai f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah bilangan konstanta yang menjadi rahasia bentuk parabola.
Koefisien a adalah sutradara utama: ia menentukan ke mana parabola terbuka (ke atas jika a > 0, ke bawah jika a < 0) dan seberapa "gemuk" atau "kurus" lengkungannya. Konstanta c adalah sang penentu titik potong sumbu-Y, memberikan kita titik awal kurva saat x = 0. Sementara b, bekerja sama dengan a, memengaruhi posisi sumbu simetri dan titik puncak parabola. Informasi titik potong dengan sumbu-X (di mana y=0) dan sumbu-Y (di mana x=0) adalah petunjuk berharga. Titik potong sumbu-X sering disebut akar, memberitahu kita nilai x saat kurva memotong atau menyinggung garis horizontal y=0. Titik potong sumbu-Y langsung memberikan nilai konstanta c jika kita masukkan x=0 ke dalam bentuk umum. Karakteristik grafik secara keseluruhan sangat dipengaruhi oleh nilai a dan diskriminan (D = b² -4ac).
| Nilai Koefisien a | Nilai Diskriminan (D) | Karakteristik Akar | Bentuk Grafik (Parabola) |
|---|---|---|---|
| a > 0 (Positif) | D > 0 | Akar real dan berbeda | Terbuka ke atas, memotong sumbu-X di dua titik. |
| a > 0 (Positif) | D = 0 | Akar real dan sama/kembar | Terbuka ke atas, menyinggung sumbu-X di satu titik (titik puncak di sumbu-X). |
| a > 0 (Positif) | D < 0 | Akar imajiner/tidak real | Terbuka ke atas, tidak memotong maupun menyinggung sumbu-X (seluruhnya di atas sumbu-X). |
| a < 0 (Negatif) | D > 0 | Akar real dan berbeda | Terbuka ke bawah, memotong sumbu-X di dua titik. |
| a < 0 (Negatif) | D = 0 | Akar real dan sama/kembar | Terbuka ke bawah, menyinggung sumbu-X di satu titik (titik puncak di sumbu-X). |
| a < 0 (Negatif) | D < 0 | Akar imajiner/tidak real | Terbuka ke bawah, tidak memotong maupun menyinggung sumbu-X (seluruhnya di bawah sumbu-X). |
Metode Menyusun Persamaan dari Tiga Titik yang Diketahui
Ketika kita diberikan tiga titik yang berbeda, misalnya (1,0), (3,0), dan (0,3), kita bisa menemukan persamaan fungsi kuadrat yang unik melalui ketiganya.
Logikanya sederhana: setiap titik (x, y) adalah solusi yang memenuhi persamaan y = ax² + bx + c. Dengan tiga titik, kita akan mendapatkan tiga persamaan linear yang membentuk sistem untuk diselesaikan guna menemukan nilai a, b, dan c.Prosedurnya dimulai dengan mensubstitusikan setiap titik ke dalam bentuk umum. Dari titik (1,0) kita peroleh persamaan pertama, dari (3,0) persamaan kedua, dan dari (0,3) persamaan ketiga.
Sistem tiga persamaan linear tiga variabel ini kemudian dapat dipecahkan dengan metode eliminasi atau substitusi secara bertahap.
Nah, buat yang lagi berjuang cari persamaan fungsi kuadrat dari titik (1,0), (3,0), dan (0,3), semangat! Soal ini memang butuh trik manipulasi aljabar yang jitu, mirip kayak saat kamu harus ngutak-atik hubungan antar akar. Biar makin paham polanya, coba deh intip cara cerdas menghitung nilai Diketahui a dan b merupakan akar-akar persamaan kuadrat x^2 – 7x + 10 = 0.
Nilai a^2 + b^2 – ab =. Konsep dasarnya seru banget dan bisa kamu terapin balik untuk nemuin solusi akhir dari fungsi kuadrat tiga titik tadi, percaya deh!
Langkah Penyelesaian untuk Titik (1,0), (3,0), dan (0,3), Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik (1, 0), (3,0), dan (0, 3)!
Berikut adalah langkah sistematis menyelesaikan soal tersebut dari awal hingga akhir.
- Substitusikan titik (1,0) ke f(x) = ax² + bx + c: a(1)² + b(1) + c = 0 → a + b + c = 0. Ini adalah Persamaan (1).
- Substitusikan titik (3,0) ke f(x) = ax² + bx + c: a(3)² + b(3) + c = 0 → 9a + 3b + c = 0. Ini adalah Persamaan (2).
- Substitusikan titik (0,3) ke f(x) = ax² + bx + c: a(0)² + b(0) + c = 3 → c = 3. Ini adalah Persamaan (3).
- Substitusi nilai c = 3 dari Persamaan (3) ke dalam Persamaan (1) dan (2):
- Persamaan (1): a + b + 3 = 0 → a + b = -3.
- Persamaan (2): 9a + 3b + 3 = 0 → 9a + 3b = -3 → dibagi 3: 3a + b = -1.
- Eliminasi variabel b dari dua persamaan baru: (3a + b)
(a + b) = -1 – (-3) → 2a = 2 → a = 1.
- Substitusi a = 1 ke a + b = -3: 1 + b = -3 → b = -4.
- Dengan a = 1, b = -4, dan c = 3, persamaan fungsi kuadratnya adalah f(x) = x² – 4x + 3.
Pemanfaatan Bentuk Faktor dari Akar-Akar Fungsi Kuadrat
Ada jalan pintas yang lebih elegan ketika dua dari tiga titik yang diketahui merupakan titik potong sumbu-X, seperti (1,0) dan (3,0). Titik-titik ini secara langsung memberitahu kita akar-akar persamaan kuadratnya, yaitu x₁ = 1 dan x₂ = 3. Dalam dunia fungsi kuadrat, akar-akar ini berkaitan erat dengan bentuk faktor.Fungsi kuadrat dapat ditulis dalam bentuk faktor sebagai f(x) = a(x – x₁)(x – x₂), di mana x₁ dan x₂ adalah akar-akarnya, dan a adalah koefisien pengali yang menentukan “tegangan” grafik.
Bentuk ini sangat powerful karena kita hanya perlu mencari satu nilai lagi, yaitu a, dibandingkan tiga nilai sekaligus.
Efisiensi bentuk faktor terletak pada pemanfaatan langsung informasi akar. Daripada menyelesaikan sistem tiga persamaan, kita cukup mensubstitusi satu titik lain yang bukan akar (seperti (0,3)) ke dalam bentuk f(x) = a(x – 1)(x – 3) untuk mencari nilai a secara langsung. Ini memotong banyak langkah aljabar.
Untuk soal kita, substitusi titik (0,3) ke bentuk faktor: 3 = a(0 – 1)(0 – 3) → 3 = a(-1)(-3) → 3 = 3a → a = 1. Langsung ketemu. Maka persamaannya adalah f(x) = 1(x – 1)(x – 3) yang jika dikalikan menjadi f(x) = x²
4x + 3, hasil yang sama dengan metode sistem persamaan.
Verifikasi dan Interpretasi Grafis dari Solusi
Setelah mendapatkan persamaan f(x) = x²4x + 3, langkah penting adalah memverifikasi kebenarannya. Caranya dengan memasukkan kembali nilai x dari ketiga titik yang diberikan dan memastikan hasilnya sesuai dengan nilai y yang diketahui. Verifikasi ini memastikan tidak ada kesalahan hitung selama proses penyelesaian.Sketsa grafik dari persamaan ini menggambarkan sebuah parabola yang terbuka ke atas (karena a=1 > 0). Parabola ini memotong sumbu-X di titik x=1 dan x=3, sesuai data awal.
Titik potong sumbu-Y berada di (0,3). Titik puncak atau vertex parabola ini dapat dihitung. Sumbu simetrinya berada di x = (1+3)/2 = 2. Nilai f(2) = (2)²4(2) + 3 = -1, sehingga titik puncaknya adalah (2, -1). Grafik tersebut turun dari kiri, mencapai titik terendah di (2,-1), lalu naik kembali ke kanan.
| Titik (x, y) | Substitusi ke f(x)=x²-4x+3 | Hasil Perhitungan | Kesesuaian (Ya/Tidak) |
|---|---|---|---|
| (1, 0) | (1)²
|
1 – 4 + 3 = 0 | Ya |
| (3, 0) | (3)²
|
9 – 12 + 3 = 0 | Ya |
| (0, 3) | (0)²
|
0 – 0 + 3 = 3 | Ya |
Variasi Soal dan Aplikasi dalam Konteks Berbeda
Source: co.id
Dunia soal fungsi kuadrat tidak hanya terpaku pada titik potong sumbu. Variasi data yang diberikan bisa berubah, dan metode penyelesaiannya pun perlu menyesuaikan. Misalnya, jika yang diketahui adalah koordinat titik puncak (h, k) dan sebuah titik lain di parabola, bentuk yang paling efektif digunakan adalah bentuk vertex: f(x) = a(x – h)² + k.Bagaimana jika ketiga titik yang diberikan tidak satupun yang merupakan titik potong sumbu-X?
Dalam kasus seperti itu, metode pertama (sistem persamaan linear tiga variabel) menjadi satu-satunya jalan yang paling langsung dan pasti. Tidak ada bentuk khusus yang bisa mempersingkat, sehingga substitusi ketiga titik ke bentuk umum f(x)=ax²+bx+c adalah langkah baku.Aplikasi fungsi kuadrat sering muncul dalam soal cerita. Bayangkan sebuah lintasan bola yang dilempar. Tiga posisi bola yang tercatat pada waktu tertentu dapat memberikan tiga koordinat (waktu, ketinggian).
Misalnya, pada detik ke-0 bola berada di ketinggian 1.5 meter (titik (0, 1.5)), pada detik ke-2 mencapai puncak 5.1 meter (titik (2, 5.1)), dan pada detik ke-4 berada di ketinggian 1.5 meter lagi (titik (4, 1.5)). Dari tiga titik ini, kita bisa membentuk sistem persamaan atau menggunakan sifat simetris untuk menemukan fungsi ketinggian bola terhadap waktu, h(t) = at² + bt + c, yang memodelkan lintasan parabola tersebut.
Kesimpulan Akhir
Jadi, setelah mengikuti seluruh prosesnya, persamaan fungsi kuadrat yang kita cari adalah f(x) = x²
-4x +
3. Hasil ini bukan cuma angka mati, tapi punya cerita: sebuah parabola yang terbuka ke atas, memotong sumbu-X di x=1 dan x=3, serta menyentuh sumbu-Y di ketinggian 3. Yang paling penting dari belajar soal model begini bukan sekadar hafal rumus, tapi paham logika di baliknya.
Dengan begitu, variasi soal apa pun yang muncul, prinsip dasarnya tetap sama. Selamat, kamu baru saja menyelesaikan sebuah puzzle matematika dengan gemilang!
Sudut Pertanyaan Umum (FAQ): Tentukan Persamaan Fungsi Kuadrat Yang Melalui Titik (1, 0), (3,0), Dan (0, 3)!
Apakah hanya ada satu jawaban yang benar untuk soal ini?
Ya, untuk tiga titik yang diberikan, hanya ada satu fungsi kuadrat (parabola) yang melalui semua titik tersebut secara tepat.
Mengapa titik (0,3) sangat penting dalam penyelesaian?
Titik (0,3) memberikan nilai konstanta ‘c’ secara langsung (c=3) jika menggunakan bentuk umum, atau menjadi penentu nilai pengali ‘a’ jika menggunakan bentuk faktor.
Bisakah soal ini diselesaikan jika tidak ada titik potong sumbu-X yang diketahui?
Bisa, tetapi metode penyelesaiannya akan berbeda. Kita harus menggunakan bentuk umum f(x)=ax²+bx+c dan menyelesaikan sistem tiga persamaan linear untuk a, b, dan c dari ketiga titik yang diberikan.
Apa arti dari titik (1,0) dan (3,0) pada grafik fungsi nantinya?
Kedua titik tersebut adalah akar-akar fungsi atau titik potong grafik dengan sumbu-X. Artinya, ketika nilai x=1 atau x=3, nilai fungsi f(x) akan sama dengan nol.
Nah, kalau kamu lagi cari persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,0), (3,0), dan (0,3), itu mirip banget caranya dengan merencanakan perjalanan impian: butuh titik-titik acuan yang tepat. Contohnya, buat liburan ke Danau Toba, kamu bisa andalkan Agen perjalanan Sumatera Holidays menawarkan paket perjalanan ke Danau Toba; yaitu menginap di Inna Parapat Hotel, transportasi ke tiap tempat wisata, sebagai fondasi yang jelas.
Begitu juga dengan soal fungsi kuadrat tadi, setelah dapat acuannya, kamu tinggal substitusi titik-titik itu ke rumus umum f(x)=ax²+bx+c untuk nemuin persamaan pastinya, deh!
Bagaimana jika titik yang diberikan adalah titik puncak dan sebuah titik lain?
Kita bisa gunakan bentuk verteks f(x) = a(x – h)² + k, di mana (h,k) adalah titik puncak. Titik lain digunakan untuk mencari nilai ‘a’.
