Himpunan penyelesaian dari x^2 – x – 30 = 0 adalah kunci untuk membuka misteri aljabar yang sering bikin kita mengernyit dahi. Sebenarnya, persamaan ini bukan monster menyeramkan, tapi lebih seperti teka-teki angka yang asyik untuk dipecahkan. Kalau kita sudah tahu caranya, semua jadi terlihat sederhana dan elegan.
Persamaan kuadrat seperti ini punya bentuk umum ax² + bx + c = 0, dan tugas kita adalah mencari nilai-nilai x yang memenuhi persamaannya, yang disebut himpunan penyelesaian. Ini adalah skill dasar yang bakal sering kamu temui, mulai dari pelajaran sekolah sampai aplikasi di dunia nyata. Mari kita bedah sama-sama bagaimana menemukan jawabannya dengan dua cara yang populer: pemfaktoran dan rumus ABC.
Pengantar dan Definisi Persamaan Kuadrat
Sebelum kita menyelami lebih dalam soal mencari jawaban dari x²
-x – 30 = 0, mari kita sepakati dulu bahasanya. Dalam dunia aljabar, persamaan kuadrat adalah jenis persamaan yang punya pangkat tertinggi dua untuk variabelnya. Bentuk umumnya selalu bisa ditulis sebagai ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah bilangan konstanta, dan a tidak boleh sama dengan nol.
Komponen ‘a’ ini disebut koefisien kuadrat, ‘b’ koefisien linear, dan ‘c’ konstanta.
Nah, ‘himpunan penyelesaian’ itu istilah keren untuk kumpulan semua nilai x yang bisa membuat persamaan tersebut bernilai benar. Bayangkan persamaan itu seperti sebuah teka-teki kunci, dan himpunan penyelesaian adalah kunci-kunci yang pas untuk membukanya. Mencari himpunan penyelesaian persamaan kuadrat adalah skill dasar yang wajib dikuasai. Ini bukan cuma soal menyelesaikan PR matematika, tapi fondasi untuk memahami grafik parabola, optimasi dalam bisnis, hingga analisis dalam ilmu fisika dan teknik.
Kalau sudah paham ini, banyak pintu konsep matematika yang lebih kompleks akan terbuka.
Metode Pemfaktoran untuk Mencari Solusi: Himpunan Penyelesaian Dari X^2 – X – 30 = 0 Adalah
Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien sederhana seperti x²
-x – 30 = 0, metode pemfaktoran sering jadi jurus andalan. Logikanya, kita mencari dua bilangan yang memenuhi dua syarat sekaligus: hasil kalinya sama dengan a*c (dalam kasus ini 1
– (-30) = -30) dan hasil jumlahnya sama dengan b (yaitu -1).
Proses menemukan dua bilangan ajaib ini bisa dibantu dengan tabel kecil. Kita eksplorasi pasangan bilangan yang hasil kalinya -30.
| Bilangan 1 | Bilangan 2 | Hasil Kali | Hasil Jumlah |
|---|---|---|---|
| 1 | -30 | -30 | -29 |
| -1 | 30 | -30 | 29 |
| 2 | -15 | -30 | -13 |
| -2 | 15 | -30 | 13 |
| 3 | -10 | -30 | -7 |
| -3 | 10 | -30 | 7 |
| 5 | -6 | -30 | -1 |
Nah, ketemu! Pasangan 5 dan -6 memenuhi syarat: 5
– (-6) = -30 dan 5 + (-6) = -1. Dengan demikian, persamaan x²
-x – 30 = 0 bisa kita faktorkan menjadi (x + 5)(x – 6) = 0. Ingat, urutan tanda perlu diperhatikan agar sesuai dengan bilangan yang kita temukan.
Untuk persamaan serupa, misalnya x² + 5x + 6 = 0, prinsipnya sama. Cari dua bilangan yang hasil kalinya 6 dan jumlahnya 5, yaitu 2 dan 3. Maka pemfaktorannya menjadi (x+2)(x+3)=0. Kunci dari metode ini adalah latihan untuk mengenali pola pasangan bilangan dengan cepat.
Rumus Kuadrat (Rumus ABC) sebagai Alternatif
Bagaimana jika persamaan kuadratnya sulit difaktorkan secara langsung? Tenang, ada senjata pamungkas yang selalu berhasil: Rumus Kuadrat atau sering disebut Rumus ABC. Rumus ini adalah jalan pasti untuk menemukan akar-akar persamaan ax² + bx + c = 0, apapun bentuknya.
x = [-b ± √(b²
4ac)] / (2a)
Simbol ‘±’ artinya kita akan melakukan perhitungan dua kali: sekali dengan tanda plus, sekali dengan tanda minus. Itulah mengapa persamaan kuadrat maksimal punya dua solusi. Sekarang, kita terapkan rumus ajaib ini ke persamaan kita: x²
-x – 30 = 0. Di sini, nilai koefisiennya adalah a = 1, b = -1, dan c = -30.
Langkah 1: Hitung diskriminan (D) = b²
- 4ac = (-1)²
- 4*(1)*(-30) = 1 + 120 = 121.
Langkah 2: Masukkan ke rumus: x = [ -(-1) ± √121 ] / (2*1) = [1 ± 11] / 2.
Langkah 3: Hitung kedua kemungkinan:
x₁ = (1 + 11) / 2 = 12 / 2 = 6.
x₂ = (1 – 11) / 2 = -10 / 2 = -5.
Dan voila! Hasilnya sama dengan metode pemfaktoran. Rumus ABC ini seperti GPS yang selalu bisa mengantar kita ke tujuan, meski jalannya (persamaannya) terlihat berliku.
Interpretasi dan Verifikasi Solusi
Kita telah mendapatkan dua nilai: x = 6 dan x = -5. Dalam bahasa himpunan, penyelesaiannya ditulis sebagai HP = -5, 6. Dua angka ini bukan sekadar angka biasa; mereka adalah akar-akar dari persamaan yang membuat nilai persamaan tersebut nol. Cara paling sederhana untuk memverifikasinya adalah dengan melakukan substitusi balik.
Coba kita uji untuk x = 6: (6)²
-(6)
-30 = 36 – 6 – 30 =
0. Hasilnya benar nol. Untuk x = -5: (-5)²
-(-5)
-30 = 25 + 5 – 30 = 0. Hasilnya juga nol. Verifikasi ini penting untuk memastikan tidak ada kesalahan hitung di tengah jalan.
Nah, kalau himpunan penyelesaian dari x² – x – 30 = 0 itu adalah -5, 6, kita sudah beres dengan akar-akarnya. Tapi dunia matematika nggak cuma itu, kan? Kadang kita harus jago juga ngitung penjumlahan pecahan campuran yang bikin pusing, kayak soal Tentukan hasil penjumlahannya! 5 7/9 + 6 3/4. Setelah beres dengan hitungan itu, baru deh kita bisa balik lagi dengan pikiran fresh buat ngecek dan ngerjain persamaan kuadrat kayak x² – x – 30 = 0 tadi dengan lebih percaya diri.
Secara visual, persamaan y = x²
-x – 30 merepresentasikan sebuah parabola yang terbuka ke atas. Akar-akar persamaan, yaitu x = -5 dan x = 6, sebenarnya adalah titik-titik di mana parabola ini memotong sumbu-x (karena nilai y-nya nol). Bayangkan sebuah kurva halus berbentuk U yang menyentuh atau memotong garis horizontal (sumbu-x) tepat di atas angka -5 dan 6 pada bidang koordinat.
Itulah makna geometris dari solusi yang kita temukan.
Nah, soal persamaan kuadrat kayak x² – x – 30 = 0 itu hasilnya -5, 6, kan? Kalo udah paham konsep dasar kayak gini, kamu pasti bisa lebih mudah menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang lebih kompleks, kayak soal yang satu ini: Tentukan himpunan penyelesaian dari: 2x + 3y = 12 2x – y = 4. Jadi, setelah lancar ngitung yang linear, pemahamanmu tentang himpunan penyelesaian untuk persamaan kuadrat tadi bakal makin mantap dan terstruktur banget.
Aplikasi dan Contoh Soal Variasi
Source: amazonaws.com
Kemampuan menyelesaikan persamaan kuadrat berguna di berbagai situasi. Mulai dari menghitung dimensi lahan, memperkirakan keuntungan maksimum dalam bisnis, hingga menghitung waktu tempuh proyektil dalam fisika. Untuk mengasah kemampuan, coba praktikkan dengan contoh-contoh berikut.
Berikut tiga contoh soal dengan tingkat kesulitan berbeda, namun tetap menghasilkan solusi bilangan bulat.
- Contoh 1 (Mudah): x² + 7x + 12 =
0. Petunjuk: Metode pemfaktoran sangat efisien di sini. Cari dua bilangan yang hasil kalinya 12 dan jumlahnya 7. - Contoh 2 (Sedang): 2x²
-8x – 24 =
0. Petunjuk: Sederhanakan dulu dengan membagi semua suku dengan 2, lalu gunakan pemfaktoran. Atau, langsung gunakan Rumus ABC dengan a=2, b=-8, c=-24. - Contoh 3 (Memerlukan Ketelitian): x²
-10x + 25 =
0. Petunjuk: Persamaan ini adalah bentuk kuadrat sempurna. Pemfaktoran langsung atau rumus ABC sama-sama mudah, tapi perhatikan hasilnya yang unik.
Dalam konteks dunia nyata, misalnya kamu seorang pengusaha yang ingin mengetahui berapa unit barang yang harus dijual agar mencapai titik impas (break-even point). Model pendapatan dan biaya seringkali membentuk persamaan kuadrat. Atau, dalam mendesain taman berbentuk persegi panjang dengan luas tertentu dan keliling tertentu, persamaan kuadrat akan muncul untuk mencari panjang dan lebarnya. Intinya, pola pikir untuk mengurai masalah menjadi bentuk persamaan dan mencari solusinya adalah keterampilan yang sangat berharga.
Pemungkas
Jadi, himpunan penyelesaian dari x²
-x – 30 = 0 adalah -5, 6. Dua angka ini bukan sekadar jawaban di kertas, tapi representasi titik di mana grafik parabola menyentuh sumbu-x. Intinya, menguasai cara mencari solusi persamaan kuadrat itu seperti punya kunci master untuk membuka banyak pintu logika matematika. Coba terapkan ilmunya ke soal lain, dan lihat bagaimana pola-pola indah matematika mulai terbuka.
Selamat berhitung!
Informasi FAQ
Apa bedanya ‘himpunan penyelesaian’ dengan ‘akar persamaan’?
Kedua istilah ini sering dipertukarkan. ‘Akar persamaan’ merujuk pada masing-masing nilai x yang memenuhi, misalnya x = -5 dan x = 6. Sementara ‘himpunan penyelesaian’ adalah kumpulan dari semua akar tersebut, yang ditulis dalam bentuk himpunan, yaitu -5, 6.
Bagaimana jika persamaan kuadrat tidak bisa difaktorkan dengan bilangan bulat?
Tenang, itu hal yang wajar. Jika pemfaktoran langsung sulit, rumus ABC adalah senjata andalan yang selalu bisa digunakan, karena ia akan memberikan solusi berupa bilangan rasional, irasional, bahkan kompleks sekalipun.
Apakah himpunan penyelesaian persamaan kuadrat selalu ada dua anggota?
Tidak selalu. Ia bisa memiliki dua solusi berbeda (bilangan real), satu solusi kembar (diskriminan nol), atau bahkan tidak memiliki solusi bilangan real sama sekali (diskriminan negatif, akarnya imajiner).
Di kehidupan sehari-hari, untuk apa sih mencari akar persamaan kuadrat?
Banyak! Misalnya, dalam menghitung break-even point usaha, memperkirakan ketinggian lemparan bola, mendesain lengkungan jembatan, atau menganalisis keuntungan maksimum dari suatu proyek. Intinya, di mana ada hubungan kuadratik, di situ konsep ini berguna.
