Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut dengan varibel pada bilangan bulat! 7( 4 – a) > 30 – 6a. Soal ini mungkin terlihat seperti teka-teki aljabar biasa, tapi di balik huruf dan angka itu ada cerita tentang mencari semua kemungkinan bilangan bulat yang membuat pernyataan itu benar. Ini bukan sekadar hitung-hitungan, ini adalah petualangan kecil dalam logika matematika, di mana kita akan menyelidiki setiap langkah dengan cermat untuk mengungkap kumpulan angka yang dimaksud.
Pertidaksamaan dengan batasan bilangan bulat seringkali muncul dalam situasi nyata, seperti menghitung jumlah item maksimal yang bisa dibeli dengan budget tertentu atau menentukan batas peserta dalam suatu acara. Memahami cara menyelesaikannya, dari mendistribusikan angka, mengelompokkan variabel, hingga akhirnya mengisolasi si variabel ‘a’, adalah keterampilan dasar yang sangat berguna. Mari kita kupas bersama-sama setiap langkahnya hingga menemukan himpunan solusi yang tepat.
Mengurai Pertidaksamaan Linear: Dari Rumus ke Bilangan Bulat: Tentukan Himpunan Penyelesaian Dari Pertidaksamaan Berikut Dengan Varibel Pada Bilangan Bulat! 7( 4 – A) > 30 – 6a
Kita sering berhadapan dengan pertidaksamaan dalam matematika, tapi kali ini kita akan menyelam lebih dalam. Fokus kita adalah pertidaksamaan linear satu variabel, khususnya saat solusinya dibatasi hanya pada bilangan bulat. Apa bedanya dengan penyelesaian biasa? Kalau di bilangan real, solusi untuk sesuatu seperti x > 3 adalah semua bilangan di kanan 3 di garis bilangan, termasuk 3.1, π, atau
100.
Tapi dalam konteks bilangan bulat, kita hanya ambil angka-angka utuh yang memenuhi: 4, 5, 6, dan seterusnya. Dunianya menjadi diskrit, seperti titik-titik yang terpisah, bukan sebuah garis yang kontinu.
Contoh sederhananya, misal kita punya pertidaksamaan 2n + 1 ≤ 7 dengan n bilangan bulat. Setelah diselesaikan, kita dapat n ≤
3. Maka, himpunan penyelesaiannya bukan semua bilangan real kurang dari sama dengan 3, melainkan hanya …, 1, 2, 3 jika bulat negatif juga diizinkan, atau 0, 1, 2, 3 jika hanya non-negatif. Nuansa inilah yang akan kita terapkan pada soal yang lebih menantang: 7(4 – a) > 30 – 6a.
Pertidaksamaan Linear Satu Variabel dalam Lingkup Bilangan Bulat
Pertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan (>, <, ≥, ≤) dan pangkat tertinggi variabelnya satu. Ketika kita membatasi penyelesaiannya pada himpunan bilangan bulat, proses aljabar awalnya sama: kita mencari rentang nilai variabel. Bedanya, setelah mendapatkan rentang tersebut (misalnya a < 5), kita tidak berhenti di situ. Langkah krusial berikutnya adalah memilih hanya bilangan-bilangan bulat yang jatuh dalam rentang itu. Ini mengubah solusi dari suatu interval menjadi sebuah himpunan beranggotakan angka-angka spesifik.
Perbedaan mendasar antara penyelesaian di bilangan real dan bulat terletak pada sifat “kepadatan”. Pada bilangan real, antara dua bilangan berapapun selalu ada bilangan lain. Solusinya membentuk suatu interval yang tak terputus. Sebaliknya, pada bilangan bulat, angkanya terpisah-pisah. Representasi grafisnya pun berbeda: untuk real kita beri arsiran pada garis, sedangkan untuk bulat kita beri noktah atau titik-titik saja pada garis bilangan.
Menyelesaikan 7(4 – a) > 30 – 6a Langkah Demi Langkah
Mari kita bedah pertidaksamaan ini dengan sabar. Tujuan akhirnya adalah mengisolasi variabel ‘a’ di satu sisi. Prosesnya mirip dengan menyelesaikan persamaan, tetapi dengan kewaspadaan ekstra saat kita mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif, karena itu akan membalikkan tanda pertidaksamaan. Berikut adalah rincian langkah-langkahnya dalam bentuk tabel untuk memudahkan pemahaman.
| Langkah | Proses Aljabar | Penjelasan | Catatan |
|---|---|---|---|
|
1. Distribusi |
7(4 – a) > 30 – 6a 28 – 7a > 30 – 6a |
Mengalikan 7 ke dalam kurung (4 – a) untuk menghilangkan tanda kurung. | Pastikan distribusi merata
7*4 dan 7*(-a). |
| 2. Pengelompokan Variabel ‘a’ | 28 – 7a + 6a > 30 – 6a + 6a 28 – a > 30 |
Menambahkan 6a ke kedua sisi untuk memindahkan suku ‘-6a’ dari kanan ke kiri. Suku variabel kini terkumpul di kiri. | Penambahan tidak mengubah tanda pertidaksamaan. |
| 3. Isolasi Suku Konstan | 28 – a – 28 > 30 – 28 -a > 2 |
Mengurangi 28 dari kedua sisi untuk memindahkan konstanta dari sisi kiri ke kanan. | Pengurangan juga tidak mengubah tanda pertidaksamaan. |
| 4. Isolasi Variabel ‘a’ | (-a > 2)(-1) a < -2 |
Mengalikan kedua sisi dengan -1 untuk membuat koefisien ‘a’ positif. Karena dikali bilangan negatif, tanda pertidaksamaan dibalik dari > menjadi <. | Ini titik kritis! Lupa membalik tanda adalah kesalahan paling umum. |
Poin tentang perubahan tanda ini fundamental. Dalam konteks soal kita, kita mengalikan dengan -1. Bayangkan jika kita punya -a > 2, artinya nilai negatif dari ‘a’ lebih besar dari 2.
Contoh, jika a = -3, maka -(-3)=3 yang memang > 2. Jadi, a haruslah kurang dari -2. Mengabaikan pembalikan tanda akan menghasilkan a > -2, yang jelas salah.
Interpretasi Hasil dan Penentuan Himpunan Bilangan Bulat
30 – 6a” title=”Pertidaksamaan Kuadrat dan Himpunan Penyelesaiannya – UtakAtikOtak.com” />
Source: cilacapklik.com
Dari proses aljabar, kita peroleh hasil akhir: a < - 2. Ini adalah solusi dalam bilangan real. Namun, soal meminta penyelesaian dengan variabel pada bilangan bulat. Maka, tugas kita sekarang adalah memilih semua bilangan bulat yang nilainya kurang dari - 2. Bayangkan garis bilangan: semua titik di sebelah kiri -2, tetapi hanya titik-titik bernilai bulat yang kita ambil.
Bilangan bulat yang memenuhi kondisi a < -2 adalah:
- Semua bilangan bulat negatif yang lebih kecil dari -2: -3, -4, -5, -6, dan seterusnya.
- Bilangan -2 sendiri tidak termasuk karena pertidaksamaannya tegas ( <), bukan ≤.
- Bilangan-bilangan ini berlanjut terus tanpa batas ke arah negatif.
Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya dapat dituliskan secara formal sebagai berikut:
HP = …, -6, -5, -4, -3
Tiga titik (…) di awal menunjukkan bahwa himpunan ini berlanjut tak hingga ke bilangan bulat negatif yang lebih rendah. Penulisan ini sudah tepat dan mencerminkan sifat solusi yang infinite (tak berhingga) ke arah negatif.
Memvisualisasikan Solusi: Garis Bilangan Real vs. Diskrit Bulat
Pemahaman konseptual menjadi lebih kuat dengan visualisasi. Untuk solusi a < -2 dalam bilangan real, kita menggambar sebuah garis bilangan. Kita beri lingkaran terbuka (karena tidak termasuk) pada angka -2, kemudian kita arsir seluruh daerah di sebelah kirinya hingga tak terhingga. Arsiran itu penuh dan kontinu, mencakup setiap fraksi dan desimal di antara bilangan-bilangan bulat.
Sekarang, untuk representasi bilangan bulat, gambarnya berbeda. Kita masih punya garis bilangan yang sama. Kita tetap beri lingkaran terbuka di –
2. Namun, alih-alih mengarsir, kita beri titik-titik tebal (noktah) hanya pada posisi bilangan bulat yang kurang dari -2: di -3, -4, -5, dan seterusnya ke kiri. Titik-titik ini terpisah, dengan jarak tetap satu satuan di antaranya.
Visual ini dengan jelas menunjukkan bahwa solusi kita bersifat diskrit—hanya kumpulan titik tertentu, bukan sebuah kontinum.
Kesalahan Umum dan Variasi Soal Latihan, Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut dengan varibel pada bilangan bulat! 7( 4 – a) > 30 – 6a
Banyak yang sudah paham konsep, tapi sering terjebak pada detail teknis. Berikut adalah beberapa jebakan yang perlu diwaspadai saat menyelesaikan pertidaksamaan linear, khususnya saat berurusan dengan bilangan bulat.
| Jenis Kesalahan | Contoh Kesalahan | Analisis | Solusi Benar |
|---|---|---|---|
| Lupa Membalik Tanda Pertidaksamaan | Dari -a > 2 menjadi a > -2 | Mengalikan/dibagi bilangan negatif tanpa membalik tanda. Ini mengubah seluruh rentang solusi menjadi kebalikannya. | Selalu ingat: kalikan/bagi dengan negatif, balik tandanya. a < -2. |
| Kesalahan dalam Distribusi Tanda Negatif | 7(4 – a) menjadi 28 – 7a (benar), tapi sering tertulis 28 + 7a atau 28 – a. | Kurang teliti dalam perkalian bilangan dengan tanda, terutama ketika melibatkan variabel bertanda negatif di dalam kurung. | Lakukan distribusi perlahan: 7
|
| Kesalahan Menulis Himpunan Bilangan Bulat | Menulis HP = -3, -4, -5, … atau HP = a < -2, a ∈ bilangan bulat . | Urutan himpunan biasanya dari kecil ke besar. Notasi himpunan harus eksplisit berisi anggotanya atau pola yang jelas. Notasi kedua bukan bentuk baku himpunan. | Tulis dari yang lebih besar mendekati -2: …, -5, -4, -3 . Gunakan elipsis (…) di depan untuk menunjukkan kelanjutan. |
Untuk mengasah kemampuan, coba kerjakan dua variasi soal berikut yang juga meminta himpunan penyelesaian dalam bilangan bulat:
- Soal Tingkat Dasar: Tentukan himpunan penyelesaian dari 5x + 3 ≤ 2x – 9 untuk x bilangan bulat.
- Soal Tingkat Lanjut: Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 – (3p + 1) < 4(2 - p) + 5 untuk p bilangan bulat negatif. (Perhatikan! Ada batasan tambahan: hanya bilangan bulat negatif).
Aplikasi Pertidaksamaan Bilangan Bulat dalam Konteks Nyata
Matematika bukan hanya angka di kertas. Konsep pertidaksamaan dengan solusi bilangan bulat sering muncul dalam perencanaan yang melibatkan benda utuh. Misalnya, dalam masalah anggaran dan pembelian. Bayangkan kamu ingin membeli beberapa buku tulis (misalkan harganya Rp 15.000 per buku) dan masih harus menyisakan uang minimal Rp 20.000 untuk ongkos pulang. Kamu hanya membawa uang Rp 100.000.
Jika b menyatakan banyak buku yang dibeli, maka model pertidaksamaannya adalah: 15000b + 20000 ≤
100000. Kita selesaikan: 15000b ≤ 80000, sehingga b ≤ 5.33… Karena b adalah bilangan bulat (tidak mungkin beli sepertiga buku), maka solusi dalam bilangan real adalah b ≤ 5.33, tapi solusi dalam bilangan bulat adalah b = 0, 1, 2, 3, 4, atau 5. Namun, karena membeli 0 buku mungkin tidak masuk akal untuk konteks ini, pilihan yang realistis adalah 1, 2, 3, 4, 5.
Nah, kalau lagi serius-seriusnya beresin soal himpunan penyelesaian dari 7(4 – a) > 30 – 6a, jangan lupa istirahat sejenak buat ngasah skill hitungan lain, kayak ngerjain soal Hasil dari (5^2 x 2^(3/4) – 3^2 x 2^(3/4)/256(8)^1/4 adalah. Setelah otak lebih encer, pasti kamu bisa lebih jeli menyelesaikan pertidaksamaan awal tadi dan nemuin nilai a yang tepat dalam bilangan bulat.
Yuk, coba lagi langkah-langkahnya dengan kepala yang lebih fresh!
Di sini, langkah aljabar memberi kita batas atas, dan interpretasi bilangan bulat memberi kita pilihan konkret yang bisa diambil. Ini menunjukkan bagaimana matematika abstrak menjadi alat pengambil keputusan yang sangat praktis.
Nah, soal himpunan penyelesaian dari 7(4 – a) > 30 – 6a itu seru banget buat diutak-atik, karena logika matematika yang sama bisa kita temui di kehidupan nyata. Coba deh lihat kasus perancangan taman dengan keliling tertentu di Dibangun sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang (3x + 7) m dan lebar (2x + 5)m, Jika keliling nya tidak kurang dari 14 , prinsip pertidaksamaannya mirip! Jadi, setelah selesai dengan taman, yuk balik lagi ke soal awal dan temukan nilai bilangan bulat untuk variabel ‘a’ yang memenuhi ketimpangan itu.
Langkah Aljabar pada Contoh Kontekstual
Mari kita rinci penerapan langkah-langkah aljabar pada contoh pembelian buku tadi. Pertidaksamaan awal: 15000b + 20000 ≤
100000. Langkah pertama, kita isolasi suku dengan variabel ‘b’ dengan mengurangi 20000 dari kedua sisi: 15000b ≤
80000. Langkah kedua, kita isolasi ‘b’ dengan membagi kedua sisi dengan 15000 (bilangan positif, jadi tanda tidak dibalik): b ≤ 80.000 / 15.000 = 16/3 ≈ 5.33.
Hasil akhir dalam bilangan real adalah b ≤ 5.33. Karena ‘b’ menyatakan jumlah buku (bilangan bulat non-negatif), kita ambil semua bilangan bulat yang memenuhi b ≤ 5.33, yaitu b = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Dalam konteks masalah, kita bisa memberikan himpunan solusi 1, 2, 3, 4, 5 jika asumsinya harus membeli setidaknya satu buku. Proses ini identik dengan apa yang kita lakukan pada soal utama, hanya angkanya yang lebih bersahabat dan konteksnya terasa lebih hidup.
Kesimpulan
Jadi, setelah melalui proses aljabar yang teliti, kita berhasil menemukan bahwa himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan 7(4 – a) > 30 – 6a pada bilangan bulat adalah semua bilangan bulat yang kurang dari -2. Proses ini mengajarkan kita untuk tidak hanya terpaku pada manipulasi simbol, tetapi juga pada interpretasi hasil akhir sesuai konteks soal. Dengan menguasai pendekatan ini, berbagai soal serupa dengan variasi yang lebih kompleks pun bisa dihadapi dengan lebih percaya diri dan akurat.
FAQ Terpadu
Apakah tanda pertidaksamaan berubah dalam penyelesaian soal ini?
Tidak. Tanda pertidaksamaan hanya berubah jika kita mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif. Dalam soal ini, langkah terakhir membagi dengan bilangan positif (1), sehingga tanda tetap ” <".
Mengapa hasil akhirnya a < -2, bukan a > -2?
Hasil a < -2 didapatkan setelah melalui serangkaian langkah aljabar yang sistematis: mendistribusikan 7, mengelompokkan suku yang mengandung variabel 'a' di satu ruas, dan konstanta di ruas lain, lalu menyederhanakannya. Silakan cek kembali perhitungan langkah demi langkah untuk memastikannya.
Bagaimana jika soal meminta penyelesaian untuk bilangan cacah atau asli?
Langkah aljabar tetap sama hingga mendapatkan a < -2. Namun, interpretasinya berbeda. Untuk bilangan cacah (0,1,2,...) atau asli (1,2,3,...), tidak ada satupun angka yang memenuhi a < -2, sehingga himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.
Apakah angka -2 sendiri termasuk solusi?
Tidak. Karena pertidaksamaannya adalah “kurang dari” ( <), bukan "kurang dari atau sama dengan" (≤). Jadi, -2 tidak memenuhi syarat. Solusinya adalah bilangan bulat yang nilainya benar-benar lebih kecil dari -2, seperti -3, -4, -5, dan seterusnya.
