Tiga bilangan merupakan barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu 36 dan hasil kalinya 1.536. Tentukanlah: a. beda barisan tersebut, b. barisan a – Tiga bilangan merupakan barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu 36 dan hasil kalinya 1.
536. Tentukanlah: a. beda barisan tersebut, b.
barisan a. Kalimat itu bukan sekadar deretan angka dan huruf, tapi sebuah teka-teki matematika yang menantang logika. Soal seperti ini sering bikin deg-degan, ya? Tapi jangan khawatir, sebenarnya ada pola rapi di baliknya yang bisa kita bongkar bareng-bareng. Mari kita ajak otak berpikir dengan cara yang lebih asyik, karena matematika itu seharusnya seru, bukan menyeramkan.
Bayangkan tiga bilangan itu seperti tiga anak tangga yang jaraknya sama. Tantangannya adalah kita tahu total ketinggian ketiga tangga dan total volume balok yang bisa dibuat dari mereka. Sekarang, tugas kita adalah menemukan berapa jarak antar tangga (beda) dan urutan bilangan tepatnya. Dengan pendekatan yang tepat, soal yang terlihat rumit ini akan terurai menjadi langkah-langkah sederhana yang masuk akal. Yuk, kita selami prosesnya dan temukan keindahan pola dalam kekacauan angka.
Mengenal Barisan Aritmetika: Pola Bilangan yang Teratur
Dalam matematika, kita sering menemukan kumpulan bilangan yang tersusun menurut aturan tertentu. Salah satu pola yang paling elegan dan sering muncul adalah barisan aritmetika. Barisan aritmetika adalah sederet bilangan dimana selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih konstan ini disebut dengan “beda” dan biasanya dilambangkan dengan huruf b. Keteraturannya inilah yang membuat barisan ini mudah dipelajari dan diterapkan dalam berbagai perhitungan.
Rumus umum untuk mencari suku ke- n dari suatu barisan aritmetika adalah Un = a + (n-1)b , dimana a adalah suku pertama dan b adalah beda. Jika kita memiliki tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika, ada trik praktis untuk menyederhanakannya. Bilangan tengahnya pasti merupakan rata-rata dari bilangan pertama dan ketiga. Oleh karena itu, ketiga bilangan tersebut dapat kita misalkan sebagai (a – b), a, dan (a + b).
Konsep suku tengah ini akan menjadi kunci utama dalam menyelesaikan soal yang kita bahas.
Definisi dan Contoh Barisan Aritmetika
Untuk memvisualisasikan konsep barisan aritmetika, mari kita lihat contoh konkret. Misalkan kita memiliki barisan dengan suku pertama 5 dan beda 3. Suku-suku berikutnya akan bertambah 3 secara berurutan. Berikut adalah tabel yang menunjukkan pola tersebut, lengkap dengan nilai setiap suku dan penerapan rumusnya.
| Suku ke- | Nilai | Beda | Rumus Un = a + (n-1)b |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | – | 5 + (1-1)*3 = 5 |
| 2 | 8 | 3 | 5 + (2-1)*3 = 8 |
| 3 | 11 | 3 | 5 + (3-1)*3 = 11 |
| 4 | 14 | 3 | 5 + (4-1)*3 = 14 |
Dari tabel di atas, terlihat jelas bahwa nilai setiap suku dapat diprediksi secara tepat menggunakan rumus. Pola penambahan yang konsisten ini adalah jantung dari barisan aritmetika.
Menerjemahkan Soal Cerita ke dalam Model Matematika
Soal cerita matematika ibarat sebuah teka-teki. Kunci untuk memecahkannya adalah dengan hati-hati menerjemahkan setiap kalimat menjadi simbol dan persamaan matematika. Soal kita menyatakan ada tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika, jumlahnya 36, dan hasil kalinya 1.536. Tugas pertama adalah mengidentifikasi semua informasi yang diberikan dan memetakannya ke dalam variabel yang kita pahami.
Strateginya dimulai dengan memanfaatkan konsep suku tengah. Dengan memisalkan tiga bilangan tersebut sebagai (a – b), a, dan (a + b), kita otomatis memenuhi syarat bahwa ketiganya adalah barisan aritmetika. Langkah selanjutnya adalah menyusun dua persamaan dari informasi jumlah dan hasil kali. Pendekatan sistematis ini memastikan kita tidak kehilangan informasi penting dari soal.
Pemetaan Informasi Soal ke dalam Variabel, Tiga bilangan merupakan barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu 36 dan hasil kalinya 1.536. Tentukanlah: a. beda barisan tersebut, b. barisan a
Tabel berikut merangkum proses penerjemahan dari bahasa soal ke dalam bahasa matematika, langkah demi langkah.
| Informasi dari Soal | Variabel & Model | Hubungan Matematika | Persamaan yang Terbentuk |
|---|---|---|---|
| Tiga bilangan barisan aritmetika | (a – b), a, (a + b) | Suku tengah adalah rata-rata | Model sudah mewakili barisan aritmetika |
| Jumlah ketiga bilangan = 36 | (a-b) + a + (a+b) | Penjumlahan semua suku | 3a = 36 |
| Hasil kali ketiga bilangan = 1.536 | (a-b)
|
Perkalian semua suku | a(a²
|
Dari tabel, kita mendapatkan dua persamaan inti: 3a = 36 dan a(a²
-b²) = 1.536 . Dua persamaan inilah yang akan kita olah untuk menemukan nilai a dan b.
Proses Penyelesaian Sistem Persamaan
Source: amazonaws.com
Dengan dua persamaan yang telah kita dapatkan, sekarang saatnya menyelesaikannya. Persamaan pertama sangat sederhana dan langsung memberi kita nilai suku tengah. Persamaan kedua, yang melibatkan hasil kali, membutuhkan sedikit manipulasi aljabar dan pemfaktoran. Proses ini seperti menyusun kembali kepingan puzzle hingga gambar utuhnya terlihat jelas.
Kita akan menyelesaikan untuk nilai a terlebih dahulu, kemudian mensubstitusikannya ke persamaan kedua untuk mencari nilai beda b. Perlu diingat bahwa dalam konteks barisan, beda bisa positif maupun negatif, yang akan menghasilkan barisan yang naik atau turun.
Langkah-langkah Aljabar Menuju Solusi
Mari kita uraikan proses penyelesaiannya secara runut.
Dari persamaan jumlah: 3a = 36, kita langsung peroleh a = 12. Nilai suku tengah kita sudah ditemukan, yaitu 12.
Selanjutnya, kita substitusi nilai a = 12 ke dalam persamaan hasil kali:
a(a²
-b²) = 1.536
12 (12²
-b²) = 1.536
12 (144 – b²) = 1.536
Kedua ruas persamaan dapat kita bagi dengan 12 untuk menyederhanakan:
144 – b² = 128
Kemudian, kita pindahkan variabel untuk mencari nilai b²:
-b² = 128 – 144
-b² = -16
b² = 16
Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan nilai untuk beda b, yaitu b = 4 atau b = -4. Kedua nilai ini sah secara matematis.
Memvalidasi Solusi dan Menentukan Beda Barisan
Setelah melalui proses perhitungan, kita mendapatkan dua kandidat solusi. Penting untuk memastikan bahwa kedua solusi ini memenuhi semua syarat dalam soal, terutama pernyataan bahwa hasil kali ketiga bilangan harus tepat 1.536. Verifikasi ini memastikan kita tidak melakukan kesalahan dan bahwa kedua jawaban tersebut valid.
Beda barisan, yang dilambangkan dengan b, secara langsung kita peroleh dari akar kuadrat di langkah sebelumnya. Nilai b ini menentukan arah dan jarak antar suku dalam barisan. Mari kita telaah setiap skenario yang mungkin.
Dua Skenario Solusi yang Valid
Berdasarkan perhitungan, berikut adalah analisis untuk setiap kemungkinan nilai beda:
- Skenario 1 (b = 4): Dengan suku tengah (a) = 12 dan beda positif 4, barisan akan naik. Tiga bilangannya adalah 12-4=8, 12, dan 12+4=16. Hasil kalinya adalah 8
– 12
– 16 = 1.536. Sesuai. - Skenario 2 (b = -4): Dengan suku tengah (a) = 12 dan beda negatif -4, barisan akan turun. Tiga bilangannya adalah 12-(-4)=16, 12, dan 12+(-4)=8. Hasil kalinya adalah 16
– 12
– 8 = 1.536. Juga sesuai.
Kedua skenario menghasilkan himpunan bilangan yang sama, yaitu 8, 12, 16, hanya urutan penulisannya yang berbeda tergantung sudut pandang barisan naik atau turun. Hasil kali 8 × 12 × 16 memang benar-benar 1.536.
Jadi, beda barisan tersebut bisa 4 (untuk barisan naik) atau -4 (untuk barisan turun).
Merumuskan Barisan Bilangan Hasil Perhitungan
Dari analisis solusi, kita dapat merumuskan secara lengkap kedua kemungkinan barisan aritmetika yang dimaksud oleh soal. Meskipun anggota bilangannya sama, penyajian sebagai barisan bisa berbeda berdasarkan nilai bedanya. Ini menunjukkan fleksibilitas dalam matematika di mana satu set bilangan bisa diinterpretasikan dalam dua pola yang berbeda.
Mari kita ilustrasikan pembentukan setiap barisan suku demi suku. Jika kita memulai dari suku pertama, penambahan atau pengurangan beda akan membawa kita ke suku-suku berikutnya. Perbandingan keduanya dalam tabel akan memberikan gambaran yang jelas.
Perbandingan Dua Kemungkinan Barisan
Berikut adalah tabel yang merangkum kedua barisan aritmetika valid berdasarkan solusi yang kita temukan.
Nah, soal barisan aritmetika dengan tiga bilangan yang jumlahnya 36 dan hasil kali 1.536 itu memang seru buat diutak-atik. Kita bisa cari beda dan suku-sukunya dengan sedikit trik aljabar. Sambil mikirin itu, kamu juga bisa eksplor pola lain, misalnya tentang Suku pertama barisan geometri sama dengan 36 dan rasionya sama dengan 1/3, maka nilai 4 merupakan suku ke.
Kembali ke soal awal, setelah ketemu bedanya, barisan aritmetika yang dimaksud pun akan langsung ketahuan. Yuk, kita selesaikan bareng-bareng!
| Nomor Barisan | Suku Pertama (a) | Beda (b) | Ketiga Suku (U1, U2, U3) |
|---|---|---|---|
| Barisan 1 (Naik) | 8 | 4 | 8, 12, 16 |
| Barisan 2 (Turun) | 16 | -4 | 16, 12, 8 |
Barisan pertama dimulai dari 8. Dengan beda 4, suku kedua menjadi 8+4=12, dan suku ketiga menjadi 12+4=16. Barisan kedua dimulai dari 16. Dengan beda -4, suku kedua menjadi 16+(-4)=12, dan suku ketiga menjadi 12+(-4)=8. Secara esensial, mereka adalah barisan yang sama yang dibaca dari depan atau dari belakang.
Penerapan dalam Menyelesaikan Soal Serupa
Setelah memahami konsep dan penyelesaian soal ini, kamu bisa menguji pemahaman dengan mencoba soal serupa. Polanya selalu sama: tiga bilangan, barisan aritmetika, diketahui jumlah dan hasil kali. Kuncinya adalah konsisten dengan model (a-b), a, (a+b) dan teliti dalam melakukan perhitungan aljabar, terutama pemfaktoran.
Tips cepat untuk memeriksa kebenaran solusi adalah setelah menemukan tiga bilangan, kalikan mereka dan pastikan hasilnya sesuai dengan soal. Selain itu, pastikan selisih antar bilangan memang konsisten. Mari kita coba praktikkan dengan contoh soal baru.
Contoh Soal Latihan dan Penyelesaiannya
Misalkan diberikan soal: Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlahnya 24 dan hasil kalinya 384. Tentukan ketiga bilangan tersebut.
Berikut langkah penyelesaiannya:
1. Misalkan tiga bilangan
(a-b), a, (a+b).
2. Dari jumlah
(a-b) + a + (a+b) = 24 → 3a = 24 → a = 8.
3. Dari hasil kali
(a-b)
- a
- (a+b) = 384 → a(a²
- b²) = 384.
4. Substitusi a=8
8(64 – b²) = 384.
5. Sederhanakan
64 – b² = 48 → b² = 16 → b = 4 atau b = -4.
6. Untuk b=4
Bilangannya 4, 8,
12. Hasil kali
4*8*12=384 (Benar).
7. Untuk b=-4
Nah, kalau lagi berhadapan dengan soal barisan aritmetika, misalnya tentang tiga bilangan yang jumlahnya 36 dan hasil kali 1.536, kamu perlu trik sistematis untuk cari beda dan suku-sukunya. Seperti halnya ketika mengerjakan deret panjang, misalnya Nilai dari (-2011) + (-2009) + (-2007) + .. + 2011 + 2013 + 2015 + 2017 adalah , kuncinya ada pada pola dan ketelitian.
Jadi, untuk soal tiga bilangan tadi, fokuslah pada hubungan antara jumlah dan hasil kali untuk menemukan jawaban yang tepat.
Bilangannya 12, 8,
4. Hasil kali
12*8*4=384 (Benar).
Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 4, 8, dan 12 (atau dalam urutan turun 12, 8, 4). Dengan berlatih, pola penyelesaian soal seperti ini akan semakin mudah dan cepat kamu kuasai.
Ringkasan Terakhir
Jadi, begitulah ceritanya. Dari satu soal yang tampak kompleks, kita berhasil menemukan dua jawaban yang sama-sama valid: barisan 4, 12, 20 dan barisan 20, 12, 4. Keduanya memenuhi semua syarat yang diberikan. Hal ini mengajarkan bahwa dalam matematika, terkadang jawabannya tidak selalu tunggal. Yang penting adalah proses bernalar, menyusun model, dan menyelesaikannya dengan teliti.
Selanjutnya, coba terapkan logika yang sama pada soal-soal lain. Siapa tahu, kamu akan menemukan bahwa teka-teki angka justru jadi bagian yang paling menyenangkan.
FAQ Terpadu: Tiga Bilangan Merupakan Barisan Aritmetika. Jumlah Ketiga Bilangan Itu 36 Dan Hasil Kalinya 1.536. Tentukanlah: A. Beda Barisan Tersebut, B. Barisan A
Mengapa tiga bilangan barisan aritmetika bisa dimisalkan sebagai (a-b), a, dan (a+b)?
Karena dalam barisan aritmetika tiga suku, suku tengah (a) selalu merupakan rata-rata dari suku sebelum dan sesudahnya. Memisalkannya dengan selisih ‘b’ (beda) menyederhanakan aljabar dengan menghilangkan variabel tambahan.
Apakah ada cara lain selain pemisalan (a-b), a, (a+b) untuk menyelesaikan soal ini?
Ada. Bisa dimisalkan tiga sukunya sebagai x, x+b, x+2b. Namun, ini akan menghasilkan sistem persamaan yang sedikit lebih panjang untuk diselesaikan karena melibatkan dua variabel secara eksplisit sejak awal.
Bagaimana jika hasil kali ketiga bilangan bukan 1.536 tapi angka lain, apakah langkahnya sama?
Ya, langkah dasarnya persis sama: misalkan tiga bilangan, buat persamaan dari jumlah dan hasil kali, lalu selesaikan sistem persamaannya. Hanya angka-angkanya yang akan berbeda.
Mengapa bisa muncul dua jawaban yang berbeda untuk beda barisan?
Karena ketika kita mengkuadratkan variabel selama penyelesaian persamaan (seperti dari a( a²
-b² ) = 1536), kita berpotensi mendapatkan dua nilai b yang memenuhi, yaitu positif dan negatif. Beda negatif hanya berarti barisannya menurun.
Bagaimana cara cepat memeriksa kebenaran jawaban akhir?
Jumlahkan ketiga bilangan, pastikan hasilnya 36. Kalikan ketiganya, pastikan hasilnya 1.536. Kemudian, kurangkan suku tengah dengan suku pertama dan suku ketiga dengan suku tengah, nilainya harus sama (sama dengan beda).
