Faktorkanlah bentuk aljabar berikut! y^2 – 19y + 60. Kalimat itu mungkin membawa kita langsung ke memori kelas matematika, di mana deretan huruf dan angka terasa seperti teka-teki yang menantang untuk dipecahkan. Tapi jangan khawatir, memfaktorkan ekspresi aljabar seperti ini sebenarnya adalah sebuah seni logika yang sederhana dan sangat memuaskan ketika kita berhasil menemukan jawabannya. Mari kita buka bersama kunci dari persoalan yang satu ini.
Pada dasarnya, kita sedang berburu dua bilangan misterius. Dua bilangan yang ketika dikalikan menghasilkan 60, namun ketika dijumlahkan justru menghasilkan -19. Proses mencari pasangan angka yang tepat inilah jantung dari pemfaktoran trinomial kuadrat sederhana. Dengan pendekatan yang sistematis dan sedikit trik, y^2 – 19y + 60 akan segera terurai menjadi bentuk perkalian yang jauh lebih sederhana dan elegan.
Pengenalan dan Konsep Dasar Pemfaktoran Bentuk Kuadrat
Source: slidesharecdn.com
Memfaktorkan bentuk aljabar seperti y^2 – 19y + 60 pada dasarnya adalah sebuah misi untuk mengurai ekspresi yang kompleks menjadi perkalian dari ekspresi yang lebih sederhana. Bayangkan kamu punya sebuah kue coklat utuh (trinomial), lalu kamu memotongnya menjadi beberapa bagian kecil (faktor) yang jika digabungkan kembali akan membentuk kue yang sama persis. Proses ini bukan sekadar rutinitas matematika, tapi keterampilan dasar yang akan sangat berguna untuk menyelesaikan persamaan, menyederhanakan pecahan aljabar, dan memahami grafik fungsi kuadrat.
Bentuk umum dari persamaan kuadrat yang kita hadapi adalah ax² + bx + c. Dalam contoh spesifik kita, y^2 – 19y + 60, koefisien a adalah 1 (di depan y²), b adalah -19 (di depan y), dan c adalah 60 (konstanta). Ekspresi ini termasuk dalam kategori Trinomial Kuadrat, yaitu polinomial dengan tiga suku di mana pangkat tertingginya adalah dua. Karakteristik utamanya adalah pola yang jelas: suku kuadrat, suku linear, dan konstanta.
Tantangannya adalah menemukan dua bilangan yang memenuhi aturan tertentu terkait perkalian dan penjumlahan dari koefisien-koefisien ini.
Nah, kalau kamu lagi asyik memfaktorkan bentuk aljabar y² – 19y + 60 menjadi (y – 15)(y – 4), coba deh rasakan pola berpikir logis yang sama seperti saat kamu mencari Suku ke-I 0 dari barisan: 3 , 8, 15, 24, 35, adalah. Keterampilan menganalisis pola dan rumus itu saling terkait, lho! Jadi, setelah memahami pola barisan, kamu pasti lebih jago lagi untuk menyelesaikan pemfaktoran persamaan kuadrat seperti ini.
Bentuk Umum dan Karakteristik Trinomial
Trinomial dengan koefisien utama 1, seperti contoh kita, memiliki pola khusus yang memudahkan pemfaktoran. Fokusnya berpindah sepenuhnya pada konstanta (c) dan koefisien suku tengah (b). Dua bilangan yang kita cari harus memenuhi syarat: ketika dikalikan, hasilnya adalah konstanta c, dan ketika dijumlahkan, hasilnya adalah koefisien b. Dalam konteks y^2 – 19y + 60, kita berburu dua bilangan yang hasil kalinya +60 dan hasil jumlahnya -19.
Tanda negatif pada suku tengah memberikan petunjuk krusial tentang sifat kedua bilangan tersebut.
Metode dan Strategi Pemfaktoran
Ada beberapa pendekatan untuk memecahkan kode trinomial kuadrat, tetapi untuk kasus koefisien depan 1, metode “jumlah dan hasil kali” seringkali paling intuitif. Strateginya dimulai dengan mendaftar semua pasangan faktor dari bilangan konstantanya. Kemudian, dari daftar itu, kita seleksi dengan ketat pasangan mana yang jumlahnya sesuai dengan koefisien suku tengah. Proses ini seperti mencocokkan kunci dengan gembok, di mana kita menguji satu per satu hingga menemukan pasangan yang tepat.
Langkah Sistematis Mencari Faktor
Langkah pertama adalah menuliskan semua kemungkinan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya sama dengan konstanta, yaitu 60. Setelah daftar lengkap, kita hitung jumlah dari setiap pasangan. Tujuannya adalah menemukan pasangan yang jumlahnya persis -19. Tabel berikut membandingkan berbagai pasangan faktor 60 dan jumlahnya.
| Faktor 1 | Faktor 2 | Hasil Kali | Hasil Jumlah |
|---|---|---|---|
| 1 | 60 | 60 | 61 |
| 2 | 30 | 60 | 32 |
| 3 | 20 | 60 | 23 |
| 4 | 15 | 60 | 19 |
| 5 | 12 | 60 | 17 |
| 6 | 10 | 60 | 16 |
Dari tabel, terlihat bahwa pasangan 4 dan 15 menghasilkan jumlah
19. Namun, koefisien suku tengah kita adalah -19, bukan +
19. Di sinilah analisis tanda menjadi penting. Karena konstanta (c) bernilai positif (+60) dan suku tengah (b) negatif (-19), kedua faktor tersebut harus sama-sama negatif. Pasangan -4 dan -15 akan memenuhi syarat: (-4) × (-15) = +60, dan (-4) + (-15) = -19.
Penyelesaian Langkah demi Langkah untuk y^2 – 19y + 60
Dengan dua bilangan ajaib -4 dan -15 yang telah ditemukan, proses pemfaktoran dapat diselesaikan dengan runtut. Kita akan mengubah bentuk trinomial menjadi perkalian dua binom yang elegan. Proses ini tidak melompat; setiap langkah memiliki logika dan tujuannya sendiri untuk memastikan tidak ada suku yang hilang atau berubah makna.
Proses Pemfaktoran Lengkap, Faktorkanlah bentuk aljabar berikut! y^2 – 19y + 60
- Identifikasi koefisien: a=1, b=-19, c=60.
- Cari dua bilangan yang hasil kalinya 60 dan jumlahnya -19. Setelah pemeriksaan, bilangan tersebut adalah -4 dan -15.
- Tulis ulang ekspresi awal dengan memecah suku tengah (-19y) menjadi dua suku berdasarkan bilangan yang ditemukan: y^2 – 4y – 15y + 60.
- Kelompokkan suku-suku menjadi dua pasangan: (y^2 – 4y) dan (-15y + 60).
- Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok: y(y – 4)
15(y – 4).
Perhatikan bahwa pada langkah ke-5, kita mendapatkan faktor yang sama, yaitu (y – 4), dari kedua kelompok. Ini adalah tanda bahwa proses kita benar. Jika faktor dalam kurung tidak sama, berarti ada kesalahan dalam pemilihan bilangan atau pengelompokkan.
Ilustrasi visual dari proses ini bisa dibayangkan seperti mengelompokkan buah. Misalkan y^2 adalah sekumpulan apel utuh, -19y adalah apel yang sudah diiris negatif, dan +60 adalah pisang. Kita kelompokkan apel utuh dengan sebagian apel iris (y^2 – 4y) dan sisanya apel iris dengan pisang (-15y + 60). Dari kelompok pertama, kita ambil apel (y) sebagai faktor bersama. Dari kelompok kedua, kita ambil -15 sebagai faktor bersama.
Hasilnya, kita menemukan bahwa setiap kelompok sekarang mengandung keranjang yang sama, yaitu (y – 4).
- Faktorkan keluar faktor bersama (y – 4): (y – 4)(y – 15).
Verifikasi dan Pemeriksaan Hasil
Hasil pemfaktoran, (y – 4)(y – 15), bukanlah titik akhir. Kita harus memastikan bahwa jika kedua faktor ini dikalikan kembali, kita akan kembali ke ekspresi awal y^2 – 19y + 60. Verifikasi ini adalah ritual wajib untuk menghindari kesalahan kecil yang bisa berakibat fatal di langkah selanjutnya. Metode distributif, sering diingat dengan akronim FOIL (First, Outer, Inner, Last), adalah alat yang sempurna untuk ini.
Prosedur Verifikasi dengan Metode Distributif
Kita akan mengalikan setiap suku dalam binom pertama dengan setiap suku dalam binom kedua. Tabel berikut merinci setiap langkah perkalian dan penjumlahan suku selama proses verifikasi.
| Langkah FOIL | Suku dari (y – 4) | Suku dari (y – 15) | Hasil Perkalian |
|---|---|---|---|
| First (Pertama) | y | y | y × y = y² |
| Outer (Luar) | y | -15 | y × (-15) = -15y |
| Inner (Dalam) | -4 | y | (-4) × y = -4y |
| Last (Terakhir) | -4 | -15 | (-4) × (-15) = +60 |
Setelah semua suku dikalikan, kita jumlahkan hasilnya: y² + (-15y) + (-4y) + 60 = y²
-19y + 60. Ekspresi ini identik dengan soal awal. Dengan demikian, verifikasi berhasil dan membuktikan bahwa pemfaktoran (y – 4)(y – 15) adalah 100% benar.
Nah, kalau kamu lagi berurusan sama soal “Faktorkanlah bentuk aljabar berikut! y^2 – 19y + 60”, intinya kita cari dua bilangan yang hasil kalinya 60 dan jumlahnya -19, yaitu (y – 15)(y – 4). Prinsip mencari akar-akar ini mirip banget dengan logika saat kita menentukan persamaan fungsi kuadrat dari titik tertentu, kayak di pembahasan Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum -2 untuk x = 3.
Jika nilai fungsinya 16 untuk x = 0, fungsi kuadrat tersebut adalah. Jadi, setelah paham konsep dasarnya, kembali ke soal pemfaktoran tadi, kamu pasti bisa menyelesaikannya dengan lebih percaya diri dan tepat.
Aplikasi dan Variasi Soal Serupa: Faktorkanlah Bentuk Aljabar Berikut! Y^2 – 19y + 60
Setelah menguasai pola dari y^2 – 19y + 60, kamu bisa melatihnya pada berbagai variasi soal. Perubahan pada tanda di suku tengah atau konstanta akan mengubah strategi pencarian bilangan secara dramatis. Memahami variasi ini membuatmu siap menghadapi hampir semua tipe trinomial dengan koefisien depan 1.
Contoh Soal Latihan dan Analisis Variasi
Berikut tiga contoh soal untuk mengasah kemampuan, dengan pola yang mirip namun berbeda konstanta dan tanda.
- Contoh 1: x²
-11x + 28. Cari dua bilangan yang hasil kalinya 28 dan jumlahnya -11. Jawabannya adalah -4 dan -7, sehingga faktornya (x – 4)(x – 7). - Contoh 2: m² + 8m + 12. Cari dua bilangan yang hasil kalinya 12 dan jumlahnya +8. Jawabannya +2 dan +6, sehingga faktornya (m + 2)(m + 6).
- Contoh 3: k²
-2k – 24. Cari dua bilangan yang hasil kalinya -24 dan jumlahnya -2. Jawabannya -6 dan +4, sehingga faktornya (k – 6)(k + 4).
Kesalahan umum yang sering terjadi adalah lupa mempertimbangkan tanda dari bilangan. Misalnya, pada contoh seperti x²
-5x – 14, orang mungkin hanya mencari faktor dari 14 yang jumlahnya 5 (yaitu 2 dan 7), tetapi lupa bahwa karena konstanta negatif (-14), satu faktor harus positif dan satu negatif. Kombinasi yang benar adalah -7 dan +2. Cara mengidentifikasinya adalah selalu periksa ulang dengan metode FOIL.
Jika hasilnya tidak cocok, kemungkinan besar kesalahan ada pada tanda plus atau minus di dalam faktor.
Perubahan tanda mengubah segalanya. Jika konstanta (c) positif dan suku tengah (b) positif, kedua faktor positif. Jika c positif tetapi b negatif, kedua faktor negatif. Jika c negatif, terlepas dari tanda b, satu faktor positif dan satu negatif, dengan selisih antara keduanya sama dengan nilai b. Pola-pola ini adalah peta harta karun untuk navigasi yang cepat dan akurat dalam dunia pemfaktoran.
Terakhir
Jadi, begitulah ceritanya. y^2 – 19y + 60 akhirnya berhasil kita uraikan menjadi (y – 4)(y – 15). Proses yang terlihat rumit ternyata hanya soal menemukan dua sahabat angka yang kompak; yang satu bertanggung jawab pada hasil kali, yang lain pada hasil jumlah. Pemfaktoran bukan sekadar menjawab soal, tapi melatih logika dan ketelitian kita dalam melihat pola. Coba terapkan langkah-langkah tadi pada soal lain, dan lihat bagaimana rasa ‘aha!’ itu akan datang berulang kali.
Pertanyaan yang Kerap Ditanyakan
Mengapa harus mencari dua bilangan yang hasil kalinya 60 dan jumlahnya -19?
Karena bentuk umum pemfaktoran trinomial dengan koefisien depan 1 adalah (y + p)(y + q) = y^2 + (p+q)y + (p×q). Jadi, dari y^2 – 19y + 60, kita butuh p dan q dimana p×q = 60 dan p+q = -19.
Bagaimana jika tidak ada pasangan bilangan bulat yang memenuhi syarat?
Jika tidak ditemukan pasangan bilangan bulat, berarti trinomial tersebut tidak dapat difaktorkan dengan bilangan bulat (prime). Solusinya mungkin menggunakan rumus kuadrat (ABC) untuk mencari akar-akarnya.
Apakah urutan penulisan faktor (y – 4)(y – 15) bisa dibalik menjadi (y – 15)(y – 4)?
Bisa sekali! Dalam perkalian, sifat komutatif berlaku. Jadi (y – 4)(y – 15) hasilnya sama persis dengan (y – 15)(y – 4).
Mengapa tanda negatif muncul di kedua faktor, menjadi (y – 4) dan (y – 15)?
Karena kita membutuhkan jumlah -19. Dua bilangan negatif, yaitu -4 dan -15, ketika dijumlahkan menjadi -19, tetapi ketika dikalikan justru menghasilkan positif 60, sesuai dengan konstanta di soal.
