Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum -2 untuk x = 3. Jika nilai fungsinya 16 untuk x = 0, fungsi kuadrat tersebut adalah teka-teki aljabar yang klasik, tapi jangan khawatir, kita bakal urai bareng-bareng. Bayangkan ini seperti misi mencari harta karun di peta matematika; kita sudah punya dua petunjuk kunci, titik terendah dan sebuah titik yang dilalui, dan tugas kita adalah menggambar peta lengkapnya, yaitu rumus fungsi itu sendiri.
Soal seperti ini sebenarnya adalah pintu gerbang untuk memahami bagaimana grafik parabola bekerja, bergerak, dan menari di bidang koordinat.
Nah, sebelum terjun ke hitung-hitungan, mari kita sepakati dulu bahasanya. Fungsi kuadrat itu punya bentuk umum f(x) = ax² + bx + c, di mana si ‘a’ itu menentukan senyum atau cemberutnya parabola. Informasi soal sudah sangat jelas: titik minimumnya ada di (3, -2), yang berarti itu adalah puncak atau vertex-nya, dan satu titik lain yang dilalui adalah (0, 16).
Dengan dua data sakti ini, kita bisa membongkar rahasia semua koefisiennya dan menemukan fungsi yang dimaksud. Seru, kan?
Memahami Masalah dan Konsep Dasar Fungsi Kuadrat
Sebelum kita terjun ke dalam penyelesaian soal, mari kita sepakati dulu bahasanya. Fungsi kuadrat itu ibarat resep untuk membuat parabola, sebuah kurva yang indah dan simetris. Bentuk umumnya selalu bisa ditulis sebagai f(x) = ax² + bx + c. Di sini, a, b, dan c adalah konstanta yang menjadi rahasia bentuk parabola kita. Koefisien a adalah sang sutradara utama: ia menentukan apakah parabola terbuka ke atas (senyum) jika a > 0, atau ke bawah (cemberut) jika a < 0. Sementara b dan c lebih banyak berpengaruh pada posisi kurvanya di bidang koordinat.
Soal kita memberikan dua petunjuk berharga: pertama, fungsi ini punya nilai minimum -2 untuk x = 3. Ini bukan sekadar titik biasa, melainkan titik puncak atau vertex dari parabola. Petunjuk kedua, nilai fungsinya 16 saat x = 0. Artinya, kurva ini melewati titik (0, 16). Dengan dua informasi ini, kita punya cukup modal untuk merekonstruksi seluruh “resep” fungsi kuadratnya.
Bayangkan ini seperti kita tahu puncak sebuah bukit dan satu titik di lerengnya; kita bisa gambarkan dengan pasti bentuk bukit tersebut.
Karakteristik Fungsi Kuadrat Berdasarkan Nilai a, Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum -2 untuk x = 3. Jika nilai fungsinya 16 untuk x = 0, fungsi kuadrat tersebut adalah
Peran koefisien a sangat krusial dalam menentukan sifat akhir grafik. Untuk memudahkan pemahaman, perbedaan mendasar antara fungsi dengan nilai minimum dan maksimum dapat dilihat pada tabel berikut.
| Fitur | Fungsi dengan Nilai Minimum (a > 0) | Fungsi dengan Nilai Maksimum (a < 0) |
|---|---|---|
| Arah Bukaan | Terbuka ke atas | Terbuka ke bawah |
| Titik Puncak | Merupakan titik terendah (minimum) | Merupakan titik tertinggi (maksimum) |
| Bentuk Grafik | Seperti huruf “U” atau mangkuk | Seperti huruf “U” terbalik atau payung |
| Nilai Ekstrem | Nilai minimum ada di yp | Nilai maksimum ada di yp |
Menentukan Bentuk Fungsi dari Titik Minimum: Suatu Fungsi Kuadrat Mempunyai Nilai Minimum -2 Untuk X = 3. Jika Nilai Fungsinya 16 Untuk X = 0, Fungsi Kuadrat Tersebut Adalah
Source: amazonaws.com
Karena kita sudah tahu titik minimumnya, akan sangat efisien jika kita menggunakan bentuk khusus fungsi kuadrat yang disebut bentuk vertex. Bentuk ini secara eksplisit menunjukkan koordinat titik puncaknya. Rumusnya adalah:
f(x) = a(x – xp)² + y p
Dimana (x p, y p) adalah koordinat titik puncak (minimum/maksimum).
Ini adalah senjata pamungkas untuk soal-soal seperti ini. Kita tinggal masukkan data titik minimum (3, -2) ke dalam rumus tersebut. Ganti x p dengan 3 dan y p dengan –
2. Maka, kita dapatkan bentuk sementara fungsi kita:
f(x) = a(x – 3)²
-2 .
Perhatikan bahwa kita masih punya satu misteri: nilai si koefisien a. Bentuk vertex ini seperti cetakan parabola yang sudah kita tentukan puncaknya, tapi kita belum tahu seberapa “curam” atau “landai” lengkungannya. Nilai a-lah yang akan menjawabnya.
Mencari Nilai Koefisien ‘a’ Menggunakan Titik Lain
Nah, di sinilah petunjuk kedua berperan. Titik (0, 16) yang diberikan pasti memenuhi persamaan fungsi kita. Artinya, ketika kita substitusi x=0 ke dalam bentuk sementara tadi, hasilnya harus 16. Ini adalah persamaan sederhana yang hanya mengandung satu variabel yang tidak diketahui, yaitu a. Mari kita eksekusi.
Kita substitusi titik (0, 16) ke dalam f(x) = a(x – 3)²
-2.
Nah, kalau kamu udah berhasil nemuin fungsi kuadrat dari soal tadi, pasti makin pede kan mainin angka? Logika aljabar yang sama bisa dipakai buat ngitung luas lahan persegi panjang yang kelilingnya 180 m dengan selisih panjang-lebar 14 m, coba cek solusi lengkapnya di Keliling sebuah lahan yang berbentuk persegi panjang adalah 180 m. Jika selisih panjang dan lebarnya 14 m, luas lahan tersebut adalah.
Setelah itu, balik lagi deh ke fungsi kuadrat tadi, biar pemahamanmu makin solid dan nggak cuma bisa satu jenis soal doang.
| Langkah Substitusi | Proses Aljabar | Hasil Perhitungan |
|---|---|---|
| f(0) = a(0 – 3)² – 2 | 16 = a(-3)² – 2 | 16 = a(9) – 2 |
| Selanjutnya, kita selesaikan untuk mencari nilai a. | ||
| Pindahkan konstanta | 16 + 2 = 9a | 18 = 9a |
| Akhirnya, bagi kedua sisi | a = 18 / 9 | a = 2 |
Dan voila! Misteri terpecahkan. Koefisien a kita adalah
2. Karena nilainya positif, konfirmasi sudah sesuai: parabola kita memang terbuka ke atas dan memiliki nilai minimum, seperti yang dinyatakan soal.
Merumuskan Fungsi Kuadrat dalam Bentuk Lengkap
Sekarang kita punya semua bahan. Mari tulis fungsi kuadrat kita dalam dua bentuk yang elegan.
Pertama, dalam bentuk vertex, dengan memasukkan a=2: f(x) = 2(x – 3)²
-2 . Bentuk ini sangat powerful karena langsung menunjukkan puncak di (3, -2).
Kedua, kadang kita perlu bentuk standar atau umum. Untuk mendapatkannya, kita kembangkan saja bentuk vertex tadi:
- f(x) = 2(x – 3)²
-2 - f(x) = 2(x²
-6x + 9)
-2 - f(x) = 2x²
-12x + 18 – 2 - f(x) = 2x²
-12x + 16
Kedua bentuk ini, 2(x – 3)²
-2 dan 2x²
-12x + 16 , adalah representasi yang setara dari satu fungsi yang sama. Sama seperti menyebut “Matahari” dan “The Sun”, konteks dan kebutuhan lah yang menentukan mana yang lebih praktis digunakan.
Verifikasi dan Interpretasi Hasil
Sebagai orang yang teliti, kita harus menguji hasil kerja kita. Mari verifikasi dengan mensubstitusi titik dari soal kembali ke fungsi akhir kita, f(x) = 2x²
-12x + 16.
Untuk x = 3: f(3) = 2*(3)²
-12*(3) + 16 = 18 – 36 + 16 = -2. (Cocok dengan titik minimum).
Untuk x = 0: f(0) = 2*(0)²
-12*(0) + 16 = 16. (Cocok dengan titik yang diberikan).
Dengan verifikasi sukses, kita bisa dengan percaya diri mendeskripsikan grafiknya. Parabola ini terbuka ke atas dengan titik puncak minimum di (3, -2). Ia memotong sumbu-y di titik (0, 16), yang cukup tinggi, menunjukkan kurva yang turun dari kiri, mencapai dasar di (3,-2), lalu naik lagi ke kanan. Karena nilai a=2 yang cukup besar (lebih dari 1), parabola ini bisa dikatakan agak “ramping” atau curam dibandingkan dengan parabola dasar y=x².
Jadi, fungsi kuadrat yang memenuhi semua syarat cerita itu adalah f(x) = 2x²
-12x + 16 . Dengan memahami langkah-langkahnya, kamu sebenarnya sudah menguasai satu pola penyelesaian yang bisa diterapkan ke berbagai variasi soal serupa.
Akhir Kata
Jadi, begitulah ceritanya. Dari dua petunjuk yang terlihat sederhana, kita berhasil merangkai sebuah fungsi utuh: f(x) = 2x²
-12x + 16. Verifikasi membuktikan dia setia pada data awal, memberikan nilai -2 saat x=3 dan 16 saat x=0. Grafiknya adalah parabola yang terbuka ke atas dengan titik paling rendah di (3, -2), memotong sumbu-y di ketinggian 16. Proses ini bukan cuma soal dapat jawaban, tapi juga tentang memahami logika di balik setiap langkah.
Sekarang, kalau ketemu soal serupa, kamu sudah punya template-nya. Selamat mencoba dan semoga matematika terasa semakin mengasyikkan!
Nah, kalau kamu lagi cari tahu cara cari fungsi kuadrat yang punya titik minimum (-2,3) dan melalui (0,16), itu seru banget, kayak teka-teki matematika yang asyik dipecahin. Gini loh, pola pikir analitis kayak gini juga penting buat baca data kompleks, misalnya Berdasarkan data BPS tahun 2010 (www.bps.go.id) jumlah penduduk pulau Jawa mencapai 130 juta jiwa (melalui proses pembulatan).
Sedangkan luas pulau yang butuh ketelitian ekstra. Jadi, balik lagi ke soal tadi, dengan informasi titik puncak dan satu titik lain, kita bisa tuntaskan pencarian fungsi kuadratnya dengan metode yang tepat.
Jawaban untuk Pertanyaan Umum
Apakah fungsi ini bisa ditemukan dengan cara lain selain bentuk vertex?
Bisa, misalnya dengan mensubstitusi langsung tiga titik (termasuk sifat simetris parabola) ke bentuk umum, tapi cara vertex lebih cepat dan efisien untuk soal yang memberi info titik puncak.
Mengapa koefisien ‘a’ hasilnya positif 2?
Karena soal menyebut “nilai minimum”, yang berarti parabola terbuka ke atas. Parabola terbuka ke atas selalu memiliki koefisien ‘a’ positif.
Bagaimana jika soalnya memberi titik maksimum, bukan minimum?
Langkahnya sama persis, hanya interpretasinya berbeda. Titik maksimum berarti ‘a’ negatif, dan bentuk vertex-nya tetap f(x) = a(x – xp)² + yp.
Apakah titik (0,16) ini spesial?
Ya, titik itu adalah titik potong grafik dengan sumbu-y (disebut juga intercept-y), karena nilai x-nya nol. Dalam bentuk umum f(x)=ax²+bx+c, titik ini langsung memberikan nilai c = 16.
Bisakah kita menggambar grafiknya hanya dengan dua titik itu?
Dengan titik minimum dan titik potong-y, kita sudah bisa sketsa kasar arah dan posisi parabola. Untuk keakuratan lebih, mungkin butuh satu titik tambahan yang mudah dihitung.
