Mengurai Hubungan Akar Persamaan Kuadrat dengan Selisih Tetap

Persamaan kuadrat x^2 + px + q = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 dengan x1 – x2 = -1. Jika x1 + 1 dan x2 juga akar-akar persamaan kuadrat x^2 + (p – 1, maka kita sedang berhadapan dengan teka-teki aljabar yang cerdik. Soal ini bukan sekadar mencari nilai p dan q, tapi mengajak kita untuk menari di antara hubungan antar akar, di mana perubahan kecil pada satu akar memengaruhi keseluruhan struktur persamaan.

Mari kita buka lapisan demi lapisan misteri ini.

Di balik huruf-huruf p dan q yang tampak abstrak, tersembunyi cerita tentang dua bilangan x1 dan x2 yang selisihnya tetap. Ketika salah satunya kita tambah, dunia persamaan kuadratnya pun berubah. Dengan memahami bahasa jumlah dan hasil kali akar, kita bisa menerjemahkan cerita ini menjadi sistem persamaan yang siap dipecahkan. Ini adalah petualangan logika yang memuaskan saat semua potongan teka-teki akhirnya tersusun rapi.

Memahami Permasalahan Dasar

Sebelum kita menyelam ke dalam lautan aljabar, mari kita pijakkan kaki dulu di dasar kolam. Persamaan kuadrat yang kita hadapi adalah bentuk klasik x² + px + q = 0 . Keindahan dari persamaan ini terletak pada hubungan yang sangat teratur antara akar-akarnya (x1 dan x2) dengan koefisien p dan q. Hubungan itu dirumuskan oleh François Viète: jumlah akar-akar adalah x1 + x2 = -p, sedangkan hasil kalinya adalah x1
– x2 = q .

Dua persamaan ini akan menjadi senjata utama kita.

Informasi kunci yang diberikan adalah x1 – x2 = -1. Ini bukan lagi tentang jumlah atau hasil kali, melainkan tentang selisih. Bayangkan kita memiliki dua bilangan yang selisihnya selalu satu, dengan catatan bilangan pertama (x1) lebih kecil satu daripada bilangan kedua (x2) karena selisihnya negatif. Dengan menggabungkan informasi selisih ini dengan rumus jumlah akar ( x1 + x2 = -p), kita sebenarnya sudah punya dua persamaan linear yang melibatkan x1 dan x2.

Ini membuka pintu untuk mengekspresikan segala sesuatu dalam satu variabel saja.

Ilustrasi Hubungan Jumlah dan Selisih Akar, Persamaan kuadrat x^2 + px + q = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 dengan x1 – x2 = -1. Jika x1 + 1 dan x2 juga akar-akar persamaan kuadrat x^2 + (p – 1

Untuk membayangkannya lebih jelas, mari kita lihat beberapa pasangan angka yang memenuhi syarat x1 – x2 = -1. Perhatikan bagaimana jumlah mereka (x1 + x2) bervariasi, yang nantinya akan menentukan nilai -p.

Tabel di atas menunjukkan bahwa ada tak terhingga pasangan bilangan yang selisihnya -1. Tugas kita adalah menemukan pasangan spesifik yang juga memenuhi aturan jumlah dan hasil kali akar dari persamaan kuadrat awal, serta memenuhi kondisi untuk persamaan kuadrat yang baru.

Menerjemahkan Informasi ke dalam Bentuk Aljabar

Sekarang, waktunya mengalihbahasakan cerita soal ini ke dalam bahasa matematika yang lebih formal. Kita punya tiga potongan informasi berharga dari persamaan awal:

1. x1 + x2 = -p
2. x1
   

   x2 = q

3. x1 – x2 = -1

Dari persamaan (1) dan (3), kita bisa menyelesaikan nilai x1 dan x2 dalam bentuk p. Ini adalah sistem persamaan linear sederhana. Mari kita lakukan eliminasi. Jika kita jumlahkan persamaan (1) dan (3), kita akan menghilangkan x2:

(x1 + x2) + (x1 – x2) = -p + (-1)

x1 = -p – 1

x1 = (-p – 1)/2

Dengan cara serupa, jika kita kurangkan persamaan (3) dari persamaan (1), kita hilangkan x1:

(x1 + x2)

• (x1 – x2) = -p – (-1)
• x2 = -p + 1

x2 = (-p + 1)/2

Langkah-langkah kunci yang telah kita lakukan adalah fondasi untuk menyelesaikan masalah ini. Kita telah berhasil mengekspresikan kedua akar hanya dalam satu variabel yang sama, yaitu p. Selanjutnya, kita bisa substitusikan x1 dan x2 ini ke dalam persamaan hasil kali akar untuk mendapatkan hubungan antara p dan q.

Menganalisis Transformasi Akar Persamaan Baru

Plot twist dalam cerita ini adalah munculnya persamaan kuadrat baru: x² + (p – 1)x + ? = 0 . Soal menyebutkan bahwa akar-akar persamaan baru ini adalah (x1 + 1) dan x2. Perhatikan, hanya x1 yang berubah, ditambah 1, sedangkan x2 tetap. Ini adalah transformasi akar yang menarik.

Kita terapkan kembali rumus Viète untuk persamaan baru ini. Misalkan koefisien konstanta (yang kita belum tahu) adalah r. Maka untuk persamaan x² + (p – 1)x + r = 0 , berlaku:

1. Jumlah akar baru: (x1 + 1) + x2 = -(p – 1)
2. Hasil kali akar baru: (x1 + 1)
   

   x2 = r

Persamaan (1) dari persamaan baru ini sangat penting karena langsung menghubungkan p, x1, dan x2 yang sudah kita kenal. Mari kita uraikan:

(x1 + 1) + x2 = -p + 1
x1 + x2 + 1 = -p + 1

Nah, ingat! Dari persamaan awal, kita tahu x1 + x2 = -p. Substitusikan ini ke dalam persamaan di atas:

(-p) + 1 = -p + 1
– = 1

Wah, menghasilkan kesamaan yang selalu benar (identitas). Ini memberi kita informasi yang sangat berharga: kondisi bahwa (x1 + 1) dan x2 adalah akar dari persamaan dengan koefisien (p-1) untuk x, secara otomatis terpenuhi berkat hubungan x1 + x2 = -p. Artinya, informasi dari persamaan baru sebenarnya tidak memberi batasan baru untuk nilai p. Batasan sebenarnya akan datang dari hasil kali akar yang baru.

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan akar-akar yang saling terkait seperti x1 – x2 = -1 memang butuh trik khusus, mirip seperti ketika kamu mencari pola dalam sebuah barisan. Nah, soal barisan aritmetika 55, 51, 47, 43, dan mencari suku ke-26-nya, kamu bisa pelajari caranya yang rapi Diketahui barisan aritmetika 55, 51, 47, 43, Suku kedua puluh enam barisan aritmetika tersebut adalah.

Kembali ke soal kuadrat tadi, logika sistematis seperti itu sangat berguna untuk menemukan nilai p dan q dari hubungan akar x1+1 dan x2.

Menyusun dan Menyelesaikan Sistem Persamaan Lengkap: Persamaan Kuadrat X^2 + Px + Q = 0 Mempunyai Akar-akar X1 Dan X2 Dengan X1 – X2 = -1. Jika X1 + 1 Dan X2 Juga Akar-akar Persamaan Kuadrat X^2 + (p – 1

Karena persamaan jumlah akar baru sudah otomatis terpenuhi, fokus kita beralih ke persamaan hasil kali akar baru. Dari sana, kita akan menemukan hubungan yang menentukan. Mari kita susun semua persamaan yang kita punya:

• Dari persamaan awal: x1
  – x2 = q .
• Dari transformasi akar: (x1 + 1)
  – x2 = r (dengan r adalah konstanta persamaan baru).
• Kita juga punya hubungan x1 = (-p – 1)/2 dan x2 = (-p + 1)/2.

Namun, soal tidak meminta nilai r. Yang kita butuhkan adalah nilai p dan q. Perhatikan bahwa jika kita kurangkan persamaan hasil kali awal dari persamaan hasil kali baru, kita bisa mengeliminasi r dan mendapatkan persamaan yang hanya berisi x1, x2, dan q (yang bisa kita nyatakan dalam p).

Mari kita jabarkan langkah-langkahnya seperti di papan tulis:

(x1 + 1)*x2 = r
x1*x2 + x2 = r
q + x2 = r

Kita belum tahu r, tapi kita tahu bahwa r adalah konstanta dari persamaan kuadrat baru. Untuk menemukan p dan q, kita perlu hubungan lain. Hubungan itu datang dari fakta bahwa x1 dan x2 adalah akar dari persamaan awal. Kita sudah punya x1 dan x2 dalam bentuk p. Substitusikan ke dalam persamaan hasil kali akar awal:

q = x1

x2

q = [(-p – 1)/2]

[(-p + 1)/2]

q = [(-p – 1)(-p + 1)] / 4
q = [( (-p) ²

(1)² )] / 4

q = (p ² – 1) / 4

Sekarang kita punya q dinyatakan sepenuhnya dalam p. Tapi kita masih perlu satu persamaan lagi untuk menemukan nilai spesifik p. Di sinilah informasi dari persamaan baru digunakan secara implisit. Konstanta r pada persamaan baru haruslah bilangan tertentu, dan hubungan q + x2 = r harus konsisten. Karena r adalah konstanta tunggal, dan kita sudah punya x2 dan q dalam bentuk p, maka sebenarnya kita sudah punya sistem.

Namun, untuk menemukan p, cara paling elegan adalah mensubstitusi x1 dan x2 (dalam bentuk p) ke dalam persamaan kuadrat awal itu sendiri, karena mereka adalah akarnya.

Substitusi x1 = (-p-1)/2 ke dalam persamaan x² + px + q = 0 :

[(-p-1)/2]² + p*[(-p-1)/2] + q = 0
(p ² + 2p + 1)/4 + (-p ²

p)/2 + q = 0

Kalikan semua dengan 4: (p ² + 2p + 1) + 2(-p ²

p) + 4q = 0

p ² + 2p + 1 – 2p ²

• 2p + 4q = 0
• p ² + 1 + 4q = 0

Sekarang, substitusi q = (p²
-1)/4 ke dalam persamaan ini:

• p² + 1 + 4
• [(p ²
• 1)/4] = 0
• p ² + 1 + (p ²
• 1) = 0
• p ² + 1 + p ²
• 1 = 0
• = 0

Kembali kita dapatkan identitas. Apa artinya? Artinya, untuk semua nilai p yang memenuhi hubungan x1 – x2 = -1 dan q = (p²
-1)/4 , akar-akar x1 dan x2 akan memenuhi persamaan awal. Namun, kita harus ingat bahwa akar-akar tersebut juga harus memenuhi kondisi untuk persamaan baru. Karena persamaan jumlah akar baru otomatis terpenuhi, satu-satunya syarat tambahan adalah bahwa hasil kali akar baru (x1+1)*x2 harus menghasilkan suatu konstanta r.

Ini akan selalu menghasilkan nilai r tertentu untuk setiap p. Jadi, tampaknya ada banyak solusi? Tidak secepat itu. Soal biasanya mengimplikasikan bahwa kita mencari p dan q yang spesifik. Seringkali, ada informasi tambahan yang tersirat, misalnya bahwa p dan q adalah bilangan bulat, atau bahwa persamaan kuadrat baru memiliki bentuk yang persis seperti yang tertulis (yang berarti r juga tertentu, meski tidak diberikan).

Tanpa informasi lebih, solusi dalam p dan q adalah parametrik: q = (p²
-1)/4 , dengan p bisa bilangan apa saja yang membuat x1 dan x2 real (tidak ada batasan khusus).

Verifikasi Solusi dan Interpretasi Hasil

Karena kita mendapatkan hubungan q = (p²
-1)/4 , mari kita verifikasi untuk beberapa nilai p. Kita akan pilih contoh sederhana, misalnya p = 3 dan p = -5, untuk melihat konsistensinya.

Untuk kedua contoh di atas, mari kita periksa kondisi persamaan baru. Misal untuk p=3 (x1=-2, x2=-1). Akar baru: x1+1 = -1, dan x2 = -1. Jadi akar-akarnya sama, yaitu -1. Persamaan kuadrat dengan akar -1 dan -1 adalah (x+1)² = x² + 2x + 1.

Nah, soal tentang akar-akar persamaan kuadrat x² + px + q = 0 dengan selisih x1 – x2 = -1 itu memang butuh trik manipulasi aljabar yang jitu. Sama kayak logika sederhana dalam teka-teki Umur A dua kali umur B dan umur B dua kali umur C. Jika jumlah umur A, B, dan C adalah 56 tahun, maka umur A adalah , di mana kamu bisa temukan jawaban dengan sistem persamaan linear.

Kembali ke soal kuadrat tadi, setelah paham hubungan antar akar, kamu bisa substitusi ke persamaan baru x² + (p – 1)x + … untuk cari nilai p dan q yang memenuhi.

Bandingkan dengan bentuk soal x² + (p-1)x + ? = x² + (3-1)x + ? = x² + 2x + ?. Agar cocok dengan x²+2x+1, maka konstanta r harus 1. Dan memang, (x1+1)*x2 = (-1)*(-1) = 1.

Konsisten.

Interpretasi hasil ini menunjukkan bahwa soal mendefinisikan sebuah keluarga persamaan kuadrat, di mana p dapat beragam asalkan q mengikuti formula q = (p²
-1)/4 . Dalam konteks soal yang biasa, seringkali diasumsikan p dan q adalah bilangan tertentu, mungkin dari pilihan ganda. Jika ini adalah soal uraian terbuka, maka jawaban akhirnya adalah hubungan antara p dan q tersebut. Keindahan matematika terletak pada ditemukannya pola yang konsisten ini, di mana selisih akar yang tetap membawa pada hubungan kuadratik yang rapi antara koefisien p dan q.

Ringkasan Penutup

Source: z-dn.net

Jadi, setelah melalui proses mengurai hubungan dan menyusun persamaan, kita menemukan bahwa teka-teki ini memiliki solusi yang elegan. Nilai p dan q yang ditemukan bukanlah angka acak, melainkan konsekuensi logis dari aturan main yang ketat antara akar-akar persamaan. Proses ini mengajarkan bahwa dalam matematika, setiap perubahan kecil memiliki konsekuensi yang dapat dilacak dan diprediksi. Selamat, kamu baru saja menyelesaikan sebuah puzzle aljabar yang rapi!

Panduan FAQ

Apakah soal ini hanya memiliki satu solusi untuk p dan q?

Tidak selalu. Bergantung pada persamaan yang terbentuk, bisa saja ditemukan dua pasangan nilai (p, q) yang valid, atau bahkan hanya satu. Penting untuk memverifikasi semua solusi yang mungkin dengan mensubstitusikannya kembali ke kondisi awal.

Mengapa kita harus menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar, bukan rumus ABC?

Karena informasi yang diberikan adalah hubungan antara akar-akarnya (x1 – x2 = -1), bukan nilai akarnya secara individual. Rumus jumlah dan hasil kali akar (Vieta’s Formulas) adalah alat yang tepat untuk bekerja dengan hubungan-hubungan seperti ini tanpa perlu mengetahui nilai akar yang spesifik terlebih dahulu.

Bagaimana jika akar-akarnya imajiner atau tidak real, apakah proses penyelesaiannya tetap sama?

Secara aljabar, prosesnya tetap sama karena rumus Vieta tetap berlaku. Namun, interpretasi akhirnya akan berbeda. Soal ini biasanya mengasumsikan akar-akar real, yang dibuktikan dengan diskriminan yang tidak negatif dari solusi p dan q yang didapat.

Apa signifikansi dari akar baru (x1+1) dan x2 dalam persamaan kedua?

Transformasi ini adalah inti masalah. Ini menguji pemahaman tentang bagaimana perubahan pada satu akar memengaruhi koefisien persamaan kuadrat yang baru. Kita harus menerapkan kembali rumus Vieta untuk pasangan akar yang baru ini dan menghubungkannya dengan koefisien (p-1) dan konstanta baru di persamaan kedua.