Hitung suku ke‑8 barisan 6, 9, 12, 15 adalah pintu masuk yang sempurna untuk memahami ritme teratur dalam matematika. Kalau diperhatikan, angkanya naik dengan selisih yang konsisten, dan itu bukan kebetulan. Pola seperti ini sering kita temui dalam kehidupan, misalnya menabung rutin atau kenaikan harga barang tertentu setiap bulannya. Nah, dengan memahami polanya, kita bisa memprediksi angka-angka selanjutnya tanpa harus menuliskan satu per satu sampai suku yang jauh.
Barisan tersebut merupakan contoh klasik barisan aritmatika, di mana setiap suku diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap yang disebut beda pada suku sebelumnya. Untuk barisan ini, suku pertama adalah 6 dan bedanya adalah 3. Dengan rumus suku ke-n, yaitu Un = a + (n-1)b, perhitungan untuk menemukan suku kedelapan menjadi proses yang sistematis dan langsung. Mari kita telusuri langkah-langkahnya agar konsep ini menjadi jelas dan mudah diaplikasikan ke berbagai soal lainnya.
Pengertian dan Konsep Dasar Barisan Aritmatika: Hitung Suku Ke‑8 Barisan 6, 9, 12, 15
Dalam dunia matematika, barisan aritmatika adalah salah satu konsep yang paling sering ditemui dan memiliki penerapan yang luas. Bayangkan kamu sedang menaiki tangga; setiap anak tangga memiliki ketinggian yang sama. Jika kamu ukur ketinggian kaki dari lantai di setiap anak tangga, kamu akan mendapatkan sebuah barisan aritmatika. Inti dari barisan ini adalah pola penambahan atau pengurangan yang konsisten dari satu suku ke suku berikutnya.
Barisan aritmatika didefinisikan sebagai sebuah barisan bilangan dimana selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih yang tetap ini disebut dengan ‘beda’ dan biasanya dilambangkan dengan huruf b. Rumus utama untuk menemukan suku ke- n (U n) adalah alat yang sangat powerful. Rumusnya dituliskan sebagai berikut:
Un = a + (n – 1)b
Di sini, a melambangkan suku pertama (U 1), n adalah nomor urut suku yang ingin dicari, dan b adalah beda barisan. Dengan menguasai rumus ini, kamu bisa menemukan suku ke-100 bahkan tanpa harus menuliskan 99 suku sebelumnya.
Ciri-Ciri dan Identifikasi Barisan Aritmatika
Untuk memastikan suatu barisan adalah barisan aritmatika, kita cukup memeriksa konsistensi bedanya. Kurangkan suku kedua dengan suku pertama, suku ketiga dengan suku kedua, dan seterusnya. Jika hasilnya selalu sama, maka itulah bedanya. Berikut tabel yang membandingkan contoh barisan aritmatika dan yang bukan untuk memperjelas pemahaman.
| Contoh Barisan | Beda (b) | Jenis Barisan | Alasan |
|---|---|---|---|
| 5, 8, 11, 14, 17,… | 3 | Aritmatika | 8-5=3, 11-8=3, 14-11=3. Selisih selalu 3. |
| 20, 15, 10, 5, 0,… | -5 | Aritmatika | 15-20=-5, 10-15=-5. Selisih tetap -5 (berkurang 5). |
| 2, 4, 8, 16, 32,… | Tidak Tetap | Bukan Aritmatika | 4-2=2, tetapi 8-4=4. Selisihnya berubah (ini barisan geometri). |
| 1, 4, 9, 16, 25,… | Tidak Tetap | Bukan Aritmatika | 4-1=3, 9-4=5. Selisihnya berbeda-beda (ini barisan persegi). |
Identifikasi bisa dilakukan dengan cepat. Misal diberikan barisan 3, 7, 11,
15. Kita hitung: 7-3=4, 11-7=4, 15-11=4. Karena selisihnya konstan 4, maka ini adalah barisan aritmatika dengan a=3 dan b=4.
Analisis Langkah demi Langkah Soal ‘6, 9, 12, 15’
Mari kita fokus pada barisan yang diberikan: 6, 9, 12, 15. Barisan ini terlihat sederhana dan pola kenaikannya jelas. Tugas kita adalah menemukan suku kedelapan (U 8) dari barisan ini. Pendekatan sistematis akan memastikan kita tidak melakukan kesalahan perhitungan sekalipun dalam tekanan ujian.
Identifikasi Parameter dan Substitusi Rumus
Langkah pertama adalah menentukan nilai suku pertama ( a) dan beda ( b). Suku pertama adalah angka paling depan, jadi a =
6. Beda dihitung dari suku kedua dikurangi suku pertama: b = 9 – 6 = 3. Kita bisa verifikasi dengan 12 – 9 = 3 dan 15 – 12 = 3. Benar, bedanya konsisten 3.
Kita ingin mencari suku ke-8, jadi n = 8. Sekarang, semua komponen rumus sudah lengkap.
Proses perhitungannya dilakukan dengan substitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus U n = a + (n-1)b.
U8 = a + (8 – 1)
b
U 8 = 6 + (7)
3
U 8 = 6 + 21
U 8 = 27
Jadi, suku ke-8 dari barisan tersebut adalah 27. Perhitungan ini terlihat mudah, tetapi ada beberapa poin krusial yang perlu diperiksa kembali untuk memastikan keakuratan.
- Pastikan urutan suku (n) sudah benar. Meminta suku ke-8 berarti n=8, bukan n=7.
- Perhatikan tanda beda (b). Apakah barisan naik (b positif) atau turun (b negatif)? Di sini b=+3.
- Dalam operasi hitung, prioritaskan perkalian sebelum penjumlahan. Hitung (n-1)*b terlebih dahulu, baru ditambahkan ke a.
- Verifikasi cepat: suku ke-4 adalah 15. Dengan beda 3, suku ke-5=18, ke-6=21, ke-7=24, ke-8=27. Cocok dengan hasil rumus.
Variasi Soal dan Penerapan Rumus
Keindahan dari rumus barisan aritmatika terlihat ketika kita menghadapi soal dengan berbagai variasi. Soal tidak selalu memberi kita suku pertama dan beda secara langsung. Terkadang, informasi diberikan dalam bentuk suku ke-5 dan suku ke-10, dan kita diminta mencari suku ke-20. Kemampuan untuk mengadaptasi rumus adalah kuncinya.
Contoh Variasi Soal dan Penyelesaiannya, Hitung suku ke‑8 barisan 6, 9, 12, 15
Berikut tiga contoh variasi soal yang sering muncul, lengkap dengan parameter dasarnya.
| Deskripsi Soal | Nilai a | Nilai b | Rumus Un yang Dibentuk |
|---|---|---|---|
| Diketahui suku pertama 10 dan beda -2. Cari suku ke-12. | 10 | -2 | Un = 10 + (n-1)*(-2) |
| Diketahui suku ke-3 adalah 17 dan suku ke-7 adalah 33. Cari suku pertama dan suku ke-15. | 9 (setelah dihitung) | 4 | Un = 9 + (n-1)*4 |
| Sebuah barisan aritmatika memiliki U5 = 30 dan U9 = 46. Tentukan rumus suku ke-n. | 14 (setelah dihitung) | 4 | Un = 14 + (n-1)*4 |
Penyelesaian untuk soal tipe kedua membutuhkan sedikit aljabar. Jika U 3 = 17, maka a + 2b =
17. Jika U 7 = 33, maka a + 6b =
33. Dengan mengurangkan kedua persamaan, kita dapatkan 4b = 16, sehingga b =
4. Substitusi b=4 ke a+2b=17 menghasilkan a=
9.
Mencari suku ke-8 barisan 6, 9, 12, 15 itu mudah. Cari dulu bedanya, yaitu 3, lalu pakai rumus Un = a + (n-1)b. Jadi U8 = 6 + (73) = 27. Nah, dalam konteks lain, kita juga perlu tahu mana alat yang aman dari penyalahgunaan, seperti yang diulas dalam artikel Alat yang Sering Dibajak, Kecuali. Kembali ke hitungan, pola barisan aritmatika ini membantu kita berpikir logis dan terstruktur, ya, seperti halnya memahami tools yang tepat untuk digunakan.
Setelah a dan b diketahui, mencari U 15 menjadi mudah: U 15 = 9 + (14)*4 = 65.
Kesalahan umum yang sering terjadi antara lain salah dalam menentukan nilai n (misalnya, mengira suku ke-3 berarti n=3, padahal itu benar, tetapi lupa bahwa a+(3-1)b), salah tanda pada beda negatif, serta terburu-buru dalam operasi hitung. Cara menghindarinya adalah dengan menuliskan apa yang diketahui secara eksplisit: a=?, b=?, U n=?, lalu baru substitusi dengan hati-hati.
Visualisasi dan Penjelasan Pola
Memahami barisan aritmatika akan lebih mudah jika kita bisa membayangkan polanya secara visual. Mari kita kembangkan barisan 6, 9, 12, 15 hingga suku ke-8. Kita sudah tahu suku pertamanya adalah 6. Setiap langkah ke kanan, kita tambahkan 3.
Bayangkan sebuah garis bilangan atau tumpukan balok. Balok pertama setinggi 6 unit. Balok kedua ditumpuk di atasnya, menambah 3 unit menjadi
9. Balok ketiga menambah 3 unit lagi menjadi 12, dan seterusnya. Pola ini sangat teratur dan dapat diprediksi.
Hingga suku ke-8, urutannya adalah: 6 (suku-1), 9 (suku-2), 12 (suku-3), 15 (suku-4), 18 (suku-5), 21 (suku-6), 24 (suku-7), 27 (suku-8).
Pola dalam Kehidupan Sehari-hari
Pola penambahan konstan seperti ini banyak kita temui. Misalnya:
- Menabung Rutin: Jika kamu menabung Rp50.000 setiap minggu, total tabunganmu membentuk barisan aritmatika: 50.000, 100.000, 150.000, 200.000,…
- Tarif Taksi: Beberapa taksi online menerapkan tarif dasar ditambah tarif per kilometer. Biaya untuk setiap kilometer tambahan adalah beda (b) yang tetap.
- Penyusunan Kursi: Dalam sebuah acara, baris pertama ada 10 kursi, baris kedua 13 kursi, baris ketiga 16 kursi. Ini adalah barisan aritmatika dengan beda 3.
Dengan mengaitkan konsep matematika dengan analogi sehari-hari, pemahaman menjadi lebih mendalam dan mudah diingat. Pola aritmatika pada dasarnya adalah tentang konsistensi dan prediktabilitas.
Latihan dan Pengembangan Kemampuan
Untuk benar-benar menguasai barisan aritmatika, latihan adalah kunci. Cobalah mengerjakan soal-soal dengan tingkat kesulitan yang beragam. Mulai dari yang langsung menerapkan rumus, hingga yang membutuhkan pemahaman konsep untuk membentuk persamaan terlebih dahulu.
Serangkaian Soal Latihan
Source: amazonaws.com
Berikut beberapa soal untuk melatih ketajamanmu.
- Mudah: Diketahui barisan aritmatika: 2, 5, 8, 11,… Tentukan suku ke-10.
- Sedang: Suku ke-4 suatu barisan aritmatika adalah 19 dan suku ke-9 adalah 39. Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut.
- Menantang: Tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. Jumlah ketiganya adalah 24 dan hasil kalinya adalah 384. Tentukan ketiga bilangan tersebut.
Tips untuk menyusun soal mandiri cukup sederhana. Tentukan nilai a dan b sesukamu. Hitung beberapa suku pertama. Kemudian, kamu bisa membuat soal dengan menyembunyikan nilai a atau b dan memberikan petunjuk berupa dua suku yang lain, seperti pada soal tingkat sedang di atas.
Memeriksa kebenaran jawaban bisa dilakukan dengan beberapa cara. Selalu verifikasi dengan mensubstitusi jawabanmu kembali ke kondisi soal. Untuk soal tingkat menantang, pastikan ketiga bilangan yang kamu temukan benar-benar membentuk barisan aritmatika (memiliki beda yang sama), jumlahnya 24, dan hasil kalinya 384. Pemeriksaan silang ini penting.
Pemahaman yang kuat tentang barisan aritmatika adalah fondasi untuk mempelajari deret aritmatika (penjumlahan dari suku-suku barisan), yang aplikasinya sangat luas dalam perhitungan keuangan, statistik, dan algoritma pemrograman. Konsep pola dan pertambahan konstan ini juga menjadi gerbang untuk memahami jenis barisan dan deret yang lebih kompleks di tingkat yang lebih tinggi.
Ulasan Penutup
Jadi, setelah mengikuti seluruh proses, ditemukan bahwa suku ke-8 dari barisan 6, 9, 12, 15 adalah 27. Perjalanan dari mengenali pola, mengidentifikasi suku awal dan beda, hingga mensubstitusikan nilai ke dalam rumus, menunjukkan betapa matematika seringkali tentang menemukan keteraturan dalam hal yang tampak acak. Pemahaman mendasar tentang barisan aritmatika ini bukan sekadar untuk menyelesaikan satu soal, melainkan fondasi untuk menjelajahi deret, logika pola yang lebih kompleks, serta penerapan dalam analisis data dan pertumbuhan yang linear di dunia nyata.
FAQ Terpadu
Apakah barisan 6, 9, 12, 15 bisa disebut barisan geometri?
Tidak. Barisan geometri memiliki rasio perkalian antar suku yang tetap. Pada barisan ini, 9/6 = 1.5, tetapi 12/9 ≈ 1.33, rasionya tidak konsisten. Ini adalah barisan aritmatika karena selisih antar sukunya tetap, yaitu 3.
Bagaimana jika yang ditanya adalah suku ke-100, apakah rumusnya tetap sama?
Ya, rumusnya tetap sama. Keunggulan rumus Un = a + (n-1)b adalah efisiensinya. Untuk mencari suku ke-100, kita cukup mengganti n dengan 100 tanpa perlu menghitung 99 suku sebelumnya, hasilnya adalah 6 + (99)*3 = 303.
Apakah angka pertama (6) selalu menjadi suku pertama (a) dalam setiap barisan?
Tidak selalu. “Suku pertama” (a) adalah istilah untuk posisi pertama dalam barisan yang kita analisis. Jika soal memberikan barisan dimulai dari angka 6 di posisi pertama, maka a=6. Namun, jika soal menyatakan “suku ketiga adalah 12” dan selisihnya 3, maka kita harus hitung mundur untuk mencari a.
Adakah cara cepat selain rumus untuk mencari suku ke-8 pada barisan sederhana ini?
Untuk barisan dengan beda kecil seperti ini, bisa dengan penjumlahan berurutan: suku ke-5=18, ke-6=21, ke-7=24, ke-8=27. Namun, cara ini tidak efisien untuk n yang besar. Rumus tetap merupakan cara yang paling ampuh dan cepat.
