Himpunan Penyelesaian Inequality x - 5 ≤ 3x - 1 menjadi sorotan utama karena banyak siswa bingung saat mengerjakan soal aljabar dasar, terutama dalam memindahkan suku‑suku dan menyederhanakan koefisien. Dalam artikel ini, langkah demi langkah diuraikan mulai dari transformasi persamaan, penyederhanaan, isolasi variabel, hingga representasi himpunan solusi yang mudah dipahami.
Penjelasan dilengkapi dengan , blockquote, dan sketsa garis bilangan yang memperlihatkan secara visual batas inklusif serta daerah solusi. Tidak hanya teori, contoh kontekstual dunia nyata seperti perhitungan biaya produksi juga disajikan untuk memperkuat pemahaman pembaca.
Transformasi dan Penyederhanaan Ketidaksamaan
Source: studyx.ai
Ketidaksamaan x - 5 ≤ 3x - 1 sering muncul dalam soal aljabar dasar. Memahami cara memindahkan suku‑suku, mengelompokkan koefisien, dan menyederhanakan hasil merupakan langkah penting sebelum menyelesaikannya secara lengkap.
Transformasi Persamaan Dasar
Proses memindahkan suku‑suku pada kedua sisi bertujuan mengurangi kompleksitas sehingga variabel dapat dipisahkan. Pertama, semua suku yang mengandung x dipindahkan ke satu sisi, sedangkan konstan dipindahkan ke sisi lainnya. Selanjutnya tanda minus di setiap sisi dihilangkan dengan menambahkan nilai yang sama pada kedua sisi.
| Langkah | Operasi | Hasil Sementara | Catatan |
|---|---|---|---|
| 1 | Kurangkan x dari kedua sisi | -5 ≤ 2x - 1 | Memindahkan x ke kanan |
| 2 | Tambahkan 5 ke kedua sisi | 0 ≤ 2x + 4 | Menghilangkan konstanta negatif |
| 3 | Kurangkan 4 dari kedua sisi | -4 ≤ 2x | Menyiapkan koefisien x untuk dibagi |
Penyederhanaan Koefisien dan Konstanta
Setelah semua suku dipisahkan, langkah selanjutnya adalah menyederhanakan nilai numerik. Koefisien x (2) dipindahkan ke satu sisi, sementara konstan (-4) berada di sisi lain. Membagi kedua sisi dengan koefisien positif memastikan arah tanda ketidaksamaan tidak berubah.
x ≥ -2
Visualisasi pada garis bilangan memperlihatkan bahwa nilai x berada di sebelah kanan titik -2, termasuk titik itu karena tanda “≥”. Pada gambar, titik -2 ditandai dengan lingkaran berwarna hitam dan area kanan diarsir hijau.
Isolasi Variabel dan Representasi Himpunan
Setelah koefisien dan konstan sudah dalam bentuk sederhana, fokus beralih ke isolasi variabel. Karena koefisien positif, pembagian tidak memerlukan perubahan arah tanda. Hasil akhir dapat dituliskan dalam notasi himpunan.
Isolasi Variabel x
Prosedur membagi atau mengalikan kedua sisi dengan nilai positif menghasilkan x tersendiri. Pembagian dengan nilai negatif tidak diperlukan karena koefisien yang tersisa sudah positif (2).
| Langkah | Operasi | Hasil Sementara | Penjelasan Singkat |
|---|---|---|---|
| 1 | Bagikan kedua sisi dengan 2 | -2 ≤ x | Mengisolasi x pada sisi kanan |
| 2 | Balik urutan untuk menyesuaikan notasi “≥” | x ≥ -2 | Menjadikan bentuk standar solusi |
Contoh lain dengan koefisien berbeda: 2x - 3 ≤ 4x + 5 mengikuti prosedur serupa—pindahkan x, kurangkan konstan, kemudian bagi dengan 2 untuk memperoleh x ≥ -4.
Representasi Himpunan Penyelesaian, Himpunan Penyelesaian Inequality x - 5 ≤ 3x - 1
Solusi dalam bentuk himpunan memperjelas rentang nilai yang memenuhi ketidaksamaan. Notasi interval dan simbol inklusif menunjukkan bahwa batas –2 termasuk dalam solusi.
| Interval Solusi | Notasi Himpunan | Batas Inklusif | Keterangan |
|---|---|---|---|
| [-2, ∞) | x | x ≥ -2 | Ya (≥) | Termasuk titik -2 |
x ≥ -2
Tanda “≥” menandakan bahwa setiap nilai x yang sama dengan atau lebih besar dari -2 termasuk dalam himpunan penyelesaian. Pada sketsa garis bilangan, titik -2 digambarkan dengan titik tebal, sementara panah ke kanan menandakan daerah solusi.
Visualisasi Grafik dan Aplikasi Kontekstual: Himpunan Penyelesaian Inequality X - 5 ≤ 3x - 1
Melihat ketidaksamaan dalam bentuk grafik membantu memverifikasi langkah aljabar. Selain itu, contoh dunia nyata menunjukkan bagaimana konsep ini dapat diterapkan dalam keputusan bisnis atau produksi.
Visualisasi Grafik Ketidaksamaan
Grafik dua‑dimensi menampilkan dua garis linear: y = x - 5 (kemiringan 1) dan y = 3x - 1 (kemiringan 3). Area yang memenuhi x - 5 ≤ 3x - 1 berada di sebelah kanan titik potong, karena pada titik tersebut nilai y pada kedua garis sama.
| Titik Potong | Koordinat | Kemiringan Garis | Keterangan |
|---|---|---|---|
| P | (-2, -7) | y = x - 5 → 1 | Garisan pertama |
| P | (-2, -7) | y = 3x - 1 → 3 | Garisan kedua |
Warna hijau mengarsir daerah di sebelah kanan titik P, menandakan nilai‑nilai x yang memuaskan ketidaksamaan. Daerah yang tidak memenuhi (kiri titik P) diarsir merah.
Aplikasi dalam Masalah Kontekstual
Misalkan sebuah perusahaan ingin memastikan biaya produksi per unit tidak melebihi batas tertentu. Jika biaya tetap sebesar 5 juta rupiah dan biaya variabel sebesar 3 juta per unit, total biaya C dapat dituliskan C = 5 + 3x. Persyaratan agar biaya tidak melebihi 1 juta lebih tinggi dari biaya dasar x - 5 dapat dirumuskan menjadi x - 5 ≤ 3x - 1. Menyelesaikan ketidaksamaan memberi batas minimal produksi x ≥ -2, yang dalam konteks nyata berarti perusahaan harus memproduksi setidaknya 0 unit (karena produksi negatif tidak mungkin).
| Variabel | Batasan | Rumus | Hasil Akhir |
|---|---|---|---|
| x (jumlah unit) | x ≥ 0 | x - 5 ≤ 3x - 1 | x ≥ 0 (setelah menyesuaikan dengan realitas) |
| C (total biaya) | C = 5 + 3x | Masukkan x = 0 | C = 5 juta rupiah |
Solusi menunjukkan bahwa perusahaan dapat memulai produksi tanpa melanggar batas biaya, yaitu x ≥ 0.
Implikasi praktisnya adalah keputusan produksi dapat diambil dengan aman asalkan tidak ada produksi negatif; ketidaksamaan aljabar hanya menegaskan bahwa tidak ada batas atas khusus dalam contoh ini.
Kesimpulan Akhir
Dengan mengikuti rangkaian prosedur yang terstruktur, pembaca kini dapat menyelesaikan ketidaksamaan x - 5 ≤ 3x - 1 secara cepat dan akurat, serta mengaplikasikannya dalam situasi praktis. Pengetahuan ini tidak hanya menambah nilai akademik, tetapi juga memberi kepercayaan diri dalam menghadapi tantangan matematika selanjutnya.
Pertanyaan dan Jawaban
Apa perbedaan antara tanda ≤ dan ≥ dalam himpunan penyelesaian?
≤ menunjukkan bahwa nilai pada sisi kiri dapat sama atau lebih kecil, sedangkan ≥ menandakan nilai dapat sama atau lebih besar; keduanya menentukan inklusifitas batas solusi.
Bagaimana cara memastikan pembagian tidak mengubah arah tanda ketidaksamaan?
Pembagian atau perkalian harus dilakukan dengan bilangan positif; bila menggunakan bilangan negatif, arah tanda ketidaksamaan harus dibalik.
Apakah solusi x ≥ 2 berlaku untuk semua nilai real?
Himpunan penyelesaian inequality x - 5 ≤ 3x - 1 menghasilkan nilai x ≥ 2, menandakan batas minimal. Nilai ini mengingatkan kita pada pentingnya perilaku baik; contoh konkret dapat dilihat dalam artikel 5 Contoh Akhlak Terpuji dan 5 Contoh Akhlak Tercela yang menyoroti etika positif dan negatif. Kembali ke matematika, batas x ≥ 2 tetap menjadi kunci pemahaman soal tersebut.
Ya, setiap bilangan real yang nilainya dua atau lebih besar memenuhi ketidaksamaan x - 5 ≤ 3x - 1.
Bagaimana cara memvisualisasikan solusi pada grafik?
Gambarlah kedua garis y = x‑5 dan y = 3x‑1, temukan titik potongnya, lalu warnai daerah di sebelah kanan titik potong (karena solusi x ≥ 2) dengan warna berbeda.
