Menentukan Pusat Lingkaran dengan Jari‑Jari 5 dan Menyentuh Sumbu X

Menentukan Pusat Lingkaran dengan Jari‑Jari 5 dan Menyentuh Sumbu X menjadi sorotan utama dalam dunia geometri, karena satu set persamaan sederhana dapat membuka pemahaman tentang posisi tepat sebuah objek pada bidang koordinat. Liputan6 menghadirkan rangkaian langkah praktis, mulai dari menelaah bentuk umum persamaan lingkaran hingga cara memverifikasi bahwa lingkaran tersebut memang bersentuhan dengan sumbu X tanpa mengorbankan akurasi.

Menentukan pusat lingkaran dengan jari‑jari 5 yang menyentuh sumbu X memang memerlukan koordinat tepat, namun konsep ini serupa dengan cara kita mengamati energi pada benda sekitar. Lihat contoh nyata dalam artikel 20 Benda di Sekitarmu: Fungsi dan Perubahan Energi yang menjelaskan perubahan energi tiap objek. Dengan memahami kedua hal, penentuan titik pusat lingkaran menjadi lebih intuitif dan akurat.

Dengan memanfaatkan konsep jarak titik‑pusat ke sumbu, pembaca akan dipandu mengidentifikasi nilai k yang harus sama dengan ±5, serta menyesuaikan koordinat h sesuai kebutuhan. Penjelasan dilengkapi , contoh kode Python, dan ilustrasi visual yang memudahkan penerapan konsep ini dalam desain teknik maupun proyek matematika sekolah.

Memahami Persamaan Lingkaran Dasar

Persamaan lingkaran adalah fondasi bagi hampir semua masalah geometri yang melibatkan jarak tetap dari satu titik ke semua titik lain. Memahami bentuk umum serta arti tiap koefisien memudahkan kita mengidentifikasi pusat dan jari‑jari secara langsung.

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Dalam koordinat kartesius, persamaan standar lingkaran ditulis sebagai (x‑h)² + (y‑k)² = r². Di sini h dan k menentukan koordinat pusat (h, k), sedangkan r adalah jari‑jari. Koefisien‑koefisien lain yang muncul setelah mengembangkan persamaan (seperti x² + y² + Dx + Ey + F = 0) sebenarnya hanyalah bentuk aljabar yang menyiratkan nilai h, k, dan r yang sama.

Contoh Persamaan dengan Berbagai Jari‑Jari

Perbedaan Antara Pusat (h, k) dan Jari‑Jari r

Pusat (h, k) menentukan lokasi lingkaran pada bidang koordinat, sedangkan jari‑jari r menentukan seberapa besar lingkaran tersebut. Pada notasi standar, h dan k muncul di dalam tanda kurung bersama variabel x dan y, sementara r muncul sebagai nilai kuadrat di sisi kanan persamaan.

Langkah pertama menuliskan persamaan lingkaran: (x‑h)² + (y‑k)² = r².

Kondisi Lingkaran Menyentuh Sumbu X

Sebuah lingkaran “menyentuh” sumbu X bila jarak antara pusatnya dan sumbu X sama dengan jari‑jari. Kondisi ini menghasilkan satu titik singgung tepat pada sumbu X, tanpa menembus ke sisi lain.

Persyaratan Matematis untuk Singgung pada Sumbu X

Jarak vertikal antara titik pusat (h, k) dan sumbu X adalah nilai mutlak |k|. Agar lingkaran bersinggungan, harus terpenuhi |k| = r. Dengan r = 5, nilai k yang memenuhi adalah k = 5 atau k = –5.

Nilai k yang Memenuhi Syarat untuk r = 5

Alasan Mengapa k Harus Sama dengan ±r

Jika |k| < r, lingkaran akan memotong sumbu X di dua titik. Jika |k| > r, lingkaran berada sepenuhnya di satu sisi sumbu X tanpa menyentuhnya. Hanya ketika |k| = r satu titik tepat berada pada sumbu, menghasilkan kondisi singgung.

Rumus jarak antara titik pusat (h, k) dan sumbu X: d = |k|.

Menentukan pusat lingkaran beradius 5 yang menyentuh sumbu X memang sederhana: pilih titik (0,5) sebagai koordinatnya. Namun, dalam dunia ilmiah, teknik serupa diperlukan untuk memisahkan komponen, seperti yang dijelaskan dalam Metode Memisahkan Alkohol dan Garam dari Larutan Air , yang mengandalkan prinsip pemisahan fase. Kembali ke geometri, memastikan pusat tetap (0,5) menjamin lingkaran tepat menyentuh sumbu X.

Menentukan Koordinat Pusat dengan Jari‑Jari 5

Setelah mengetahui bahwa k = ±5, langkah selanjutnya adalah menentukan nilai h yang dapat berupa sembarang bilangan real, karena posisi horizontal tidak mempengaruhi kondisi singgung pada sumbu X.

Langkah‑Langkah Aljabar Menemukan (h, k)

1. Mulai dari persamaan standar (x‑h)² + (y‑k)² = 25.
2. Terapkan kondisi singgung: |k| = 5 → k = 5 atau k = –5.
3. Pilih nilai h yang diinginkan (misalnya 0, 2, –3, dll).
4. Susun persamaan lengkap dengan nilai h dan k yang dipilih.
5. Verifikasi dengan menghitung jarak titik pusat ke sumbu X; hasil harus 5.

Contoh Nilai h, k, Persamaan, dan Verifikasi

Pemeriksaan Nilai k dengan Perhitungan Sederhana, Menentukan Pusat Lingkaran dengan Jari‑Jari 5 dan Menyentuh Sumbu X

Jika k dipilih 5, hitung |k| = |5| = 5. Jika k dipilih –5, hitung |k| = |-5| = 5. Kedua hasil sama dengan r, sehingga terpenuhi.

Koordinat pusat yang valid untuk lingkaran bersinggungan sumbu X dengan r = 5 adalah (h, 5) atau (h, ‑5), dengan h bebas.

Visualisasi Grafik Lingkaran pada Sistem Koordinat: Menentukan Pusat Lingkaran Dengan Jari‑Jari 5 Dan Menyentuh Sumbu X

Visualisasi membantu memperjelas posisi titik‑titik penting seperti titik singgung, titik tertinggi, dan titik terendah pada lingkaran yang bersentuhan sumbu X.

Deskripsi Gambar Lingkaran

Bayangkan sebuah bidang kartesius. Lingkaran berpusat di (h, 5) (atau (h, ‑5)) dengan radius 5. Garis horizontal sumbu X menyentuh lingkaran tepat pada titik (h, 0). Titik paling atas berada di (h, 10) (atau (h, 0) bila pusat di bawah), sedangkan titik paling bawah berada di (h, 0) (atau (h, ‑10)).

Titik‑titik Penting pada Lingkaran

Prosedur Menggambar Lingkaran

• Gunakan kompas pada kertas grafik: letakkan ujungnya pada (h, k), atur lebar 5 satuan, dan putar.
• Jika memakai perangkat lunak: tentukan pusat dan radius, lalu gunakan fungsi lingkaran.
• Pastikan sumbu X ditandai; titik singgung akan berada tepat pada koordinat y = 0.

Contoh kode Python dengan Matplotlib untuk memplot lingkaran r = 5 berpusat di (h, 5):

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

h = 2          # contoh nilai h
k = 5
r = 5

theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)
x = h + r*np.cos(theta)
y = k + r*np.sin(theta)

plt.figure(figsize=(6,6))
plt.plot(x, y, label=f'$(x-h)^2+(y-k)^2= r^2$')
plt.axhline(0, color='gray', linewidth=0.8)   # sumbu X
plt.scatter([h], [0], color='red')           # titik singgung
plt.axis('equal')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

Penerapan dalam Masalah Geometri Praktis

Menentukan pusat lingkaran dengan jari‑jari tetap dan singgung sumbu X banyak dipakai dalam perencanaan lintasan, tata letak lahan, atau desain komponen mekanik.

Contoh Situasi Dunia Nyata

• Desain jalur balap mini yang harus melewati titik awal pada garis lurus (sumbu X) tanpa memotong jalur lain.
• Pengukuran area tanaman melingkar di kebun, di mana batas luar menyentuh jalan utama (sumbu X).
• Pembuatan pondasi silinder pada struktur bangunan di mana dasar pondasi bersentuhan dengan permukaan tanah datar.

Parameter Masalah dan Nilai (h, k) yang Diperoleh

Adaptasi ke Skala Berbeda

Source: pikiran-rakyat.com

Jika radius berubah menjadi R, persamaan tetap (x‑h)² + (y‑k)² = R² dengan syarat |k| = R. Nilai h tetap bebas, sehingga model dapat diskalakan naik atau turun tanpa mengubah logika singgung.

Contoh aplikasi: Pada proyek jalan raya, pondasi tiang penyangga (radius 2 m) harus bersentuhan dengan permukaan jalan; pilih k = 2 m, tentukan h sesuai jarak antar tiang.

Verifikasi dan Pemeriksaan Kesalahan

Setelah menentukan (h, k), penting untuk memeriksa kembali apakah persamaan benar‑benar menghasilkan lingkaran yang bersentuhan sumbu X.

Menentukan pusat lingkaran dengan jari‑jari 5 yang menyentuh sumbu X ternyata mirip dengan menakar energi dalam kimia; misalnya Energi Ionisasi Unsur X: 735, 1445, 7730 kJ/mol – Ion Paling Stabil menunjukkan nilai stabilitas yang kritis. Begitu pula, koordinat pusat (0,5) memastikan lingkaran tepat menempel pada sumbu X.

Prosedur Pengecekan Nilai (h, k)

1. Substitusi (h, k) ke dalam persamaan standar (x‑h)² + (y‑k)² = 25.
2. Hitung jarak vertikal titik pusat ke sumbu X: d = |k|.
3. Bandingkan d dengan radius 5; harus sama.
4. Jika tidak sama, periksa tanda k atau nilai radius yang dipakai.

Hasil Substitusi dan Status

Kesalahan Umum dan Cara Memperbaikinya

• Menuliskan k dengan tanda yang salah (mis. menggunakan +5 padahal harus ‑5). Periksa kembali syarat |k| = r.
• Lupa mengkuadratkan radius sehingga persamaan menjadi (x‑h)² + (y‑k)² = r. Pastikan menuliskan r².
• Mengganti nilai h secara tidak sengaja saat menyalin persamaan. Selalu verifikasi nilai h di kedua sisi persamaan.

Langkah akhir verifikasi: pastikan |k| = r dan persamaan menghasilkan nilai 25 ketika (x, y) = (h, 0) – titik singgung.

Ringkasan Penutup

Kesimpulannya, menentukan pusat lingkaran berradius 5 yang bersentuhan dengan sumbu X tidak lagi menjadi teka‑teki abstrak; dengan prosedur aljabar yang terstruktur, verifikasi yang teliti, serta visualisasi yang jelas, siapa pun dapat menyelesaikannya dengan cepat. Pengetahuan ini tidak hanya memperkaya keterampilan matematika, tetapi juga membuka peluang aplikatif di bidang teknik, arsitektur, dan pemetaan.

FAQ dan Solusi

Apa yang dimaksud dengan “menyentuh sumbu X” pada sebuah lingkaran?

Menunjuk pada kondisi di mana titik terdekat pada lingkaran ke sumbu X berada tepat pada sumbu tersebut, sehingga jarak vertikal antara pusat lingkaran dan sumbu X sama dengan jari‑jari.

Bagaimana cara menentukan nilai k bila jari‑jari = 5?

Karena jarak vertikal pusat (k) ke sumbu X harus sama dengan r, maka k = 5 atau k = –5.

Apakah nilai h dapat bernilai negatif?

Ya, nilai h bebas dan dapat bernilai negatif, positif, atau nol; yang penting adalah nilai k memenuhi syarat di atas.

Bagaimana memeriksa apakah persamaan lingkaran sudah benar?

Substitusikan (h, k) ke dalam persamaan (x‑h)²+(y‑k)²=25, kemudian cek bahwa titik (h, k ± 5) berada pada sumbu X.

Apakah metode ini dapat diterapkan untuk jari‑jari selain 5?

Benar, prinsipnya tetap sama: k = ±r. Hanya nilai r yang berubah sesuai kebutuhan.