Cari nilai a agar garis x+y=a menyinggung parabola y=-1/3x^2+x+2 adalah sebuah teka-teki matematika yang elegan, di mana aljabar dan geometri bertemu dalam sebuah tarian yang indah. Bayangkan sebuah parabola yang melengkung lembut dan sebuah garis lurus yang ingin menyapanya dengan sentuhan paling halus, hanya di satu titik. Persoalan ini bukan sekadar tentang angka, melainkan tentang menemukan momen sempurna ketika dua entitas geometris itu bersatu.
Mari kita telusuri bersama bagaimana konsep persinggungan ini bisa diurai menjadi langkah-langkah logis yang memikat.
Pada dasarnya, untuk menemukan nilai parameter ‘a’ tersebut, kita perlu menyelidiki hubungan antara kedua persamaan. Dengan menyubstitusikan satu persamaan ke persamaan lain, masalah yang tampak kompleks akan berubah menjadi sebuah persamaan kuadrat sederhana. Kunci utamanya terletak pada kondisi diskriminan, sebuah konsep yang menentukan apakah garis itu akan memotong, menyinggung, atau sama sekali tidak bertemu dengan parabola. Proses ini seperti memecahkan kode rahasia yang mengungkap dua kemungkinan posisi garis singgung yang berbeda.
Mengurai Hubungan Geometri antara Garis Lurus dan Parabola
Dalam dunia geometri analitik, hubungan antara sebuah garis lurus dan sebuah kurva parabola bisa digambarkan dalam tiga skenario utama: berpotongan di dua titik, bersinggungan di satu titik, atau sama sekali tidak berinteraksi. Bayangkan parabola sebagai sebuah busur yang elegan, dan garis lurus sebagai sebilah pedang yang lurus. Pedang itu bisa menembus busur di dua tempat (memotong), bisa hanya menyentuh tepi busur dengan ujungnya yang paling tajam (menyinggung), atau bisa sama sekali meleset dan tidak mengenai busur tersebut.
Konsep persinggungan ini adalah momen spesial di mana garis dan kurva bertemu tepat di satu titik koordinat, tanpa memotong atau menembus kurva tersebut. Secara geometris, di titik tersebut, garis tersebut berperan sebagai garis singgung yang memiliki kemiringan yang sama dengan kemiringan kurva parabola pada titik singgungnya. Prosedur aljabar untuk menemukan kondisi ajaib ini dimulai dengan menyamakan persamaan garis dan parabola.
Dengan substitusi, kita mendapatkan sebuah persamaan kuadrat. Rahasianya terletak pada diskriminan persamaan kuadrat tersebut. Jika diskriminan bernilai positif, garis memotong parabola di dua titik. Jika negatif, garis tidak menyentuh parabola. Dan jika diskriminan tepat bernilai nol, itu adalah tanda bahwa persamaan memiliki akar kembar, yang secara geometris diterjemahkan sebagai titik pertemuan yang tunggal—alias persinggungan.
Karakteristik Interaksi Garis dan Parabola
Untuk memahami perbedaan mendasar antara ketiga jenis interaksi tersebut, tabel berikut merangkum sifat-sifatnya berdasarkan analisis aljabar dan interpretasi geometris.
| Sifat Interaksi | Sifat Geometris | Kondisi Diskriminan (D) | Jumlah Titik Potong |
|---|---|---|---|
| Garis Singgung | Garis menyentuh parabola di tepat satu titik, seolah-olah hanya menempel. Di titik ini, arah garis (kemiringan) sama dengan arah garis singgung parabola. | D = 0 | Satu (akar kembar) |
| Garis Potong (Sekan) | Garis memotong atau menembus parabola di dua titik yang berbeda. Garis ini melintasi area yang dibatasi oleh kurva parabola. | D > 0 | Dua |
| Garis Lepas | Garis tidak memiliki titik pertemuan sama sekali dengan parabola. Secara visual, garis dan parabola terpisah tanpa bersentuhan. | D < 0 | Tidak ada |
Prosedur menemukan titik singgung secara aljabar dimulai dengan mensubstitusi persamaan garis ke dalam persamaan parabola. Misalnya, dari persamaan garis x + y = a, kita peroleh y = a – x. Nilai y ini kemudian kita masukkan ke dalam persamaan parabola y = -⅓x² + x + 2. Hasilnya adalah sebuah persamaan kuadrat dalam variabel x. Untuk memastikan hanya ada satu solusi x (titik singgung), kita kemudian menerapkan kondisi diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut sama dengan nol.
Dari kondisi inilah nilai parameter yang dicari (dalam hal ini ‘a’) dapat dipecahkan.
Transformasi Persamaan untuk Mengisolasi Parameter
Langkah pertama dalam petualangan aljabar kita adalah menggabungkan kedua persamaan menjadi satu kesatuan. Dengan melakukan substitusi, kita mengurangi kompleksitas masalah yang melibatkan dua variabel (x dan y) dan satu parameter (a) menjadi masalah yang hanya berpusat pada satu variabel utama, yaitu x. Ini seperti menyederhanakan sebuah teka-teki dengan memusatkan perhatian pada satu kunci utama.
Persamaan garis kita, x + y = a, dapat dengan mudah diatur ulang menjadi y = a – x. Ekspresi y inilah yang akan kita gunakan untuk menggantikan variabel y pada persamaan parabola y = -⅓x² + x +
2. Substitusi ini adalah jantung dari penyederhanaan. Dengan memasukkan y = a – x ke dalam parabola, kita mendapatkan persamaan: a – x = -⅓x² + x + 2.
Sekarang, parameter ‘a’ yang tadinya terpisah dalam persamaan garis, telah menjadi bagian tak terpisahkan dari sebuah persamaan kuadrat dalam x. Tugas kita selanjutnya adalah mengatur ulang persamaan ini ke dalam bentuk standar ax² + bx + c = 0 agar analisis diskriminan menjadi lebih mudah.
Penyusunan Ulang ke Bentuk Standar
Mari kita tata ulang persamaan a – x = -⅓x² + x + 2. Pertama, kita pindahkan semua suku ke satu ruas. Tambahkan ⅓x² ke kedua sisi, kurangi x, dan kurangi a. Proses ini akan menghasilkan persamaan kuadrat yang rapi.
Persamaan setelah substitusi dan penataan adalah: ⅓x²
- 2x + (2 – a) =
- Untuk menghilangkan pecahan, kalikan seluruh persamaan dengan 3, sehingga diperoleh bentuk standar yang lebih bersih: x²
- 6x + (6 – 3a) = 0. Dalam persamaan final ini, koefisien a = 1, b = -6, dan c = (6 – 3a). Perhatikan bahwa suku c kini bergantung sepenuhnya pada parameter ‘a’ yang kita cari.
Dengan bentuk standar ini, struktur persamaan kuadrat menjadi sangat jelas. Koefisien b sudah tetap bernilai -6, sementara konstanta c berisi parameter misterius kita, ‘a’. Nilai ‘a’ inilah yang akan menentukan apakah persamaan ini nantinya memiliki akar kembar (D=0), akar real berbeda (D>0), atau akar imajiner (D <0).
Penerapan Kondisi Diskriminan sebagai Kunci
Mengapa diskriminan yang bernilai nol begitu penting? Diskriminan (D), yang dihitung dari rumus D = b²
-4ac, pada dasarnya adalah indikator sifat akar-akar persamaan kuadrat. Akar-akar tersebut merepresentasikan nilai-nilai x di mana garis dan parabola bertemu. Jika D positif, ada dua nilai x real yang berbeda, artinya garis memotong parabola di dua tempat. Jika D negatif, tidak ada nilai x real yang memenuhi, yang berarti garis dan parabola tidak bertemu.
Kondisi D = 0 adalah kondisi batas yang sempurna di antara kedua keadaan itu; ia menghasilkan satu nilai x (yang berulang atau akar kembar). Dalam konteks geometri, satu nilai x ini hanya menghasilkan satu pasangan titik (x,y), yang tak lain adalah titik singgung.
Analoginya seperti melemparkan sebuah bola lurus ke atas. Ada satu kecepatan awal tertentu yang tepat agar bola hanya menyentuh langit-langit yang tingginya tetap dan kemudian jatuh kembali. Kecepatan yang lebih rendah tidak akan mencapainya, kecepatan yang lebih tinggi akan membentur dan mungkin merusak langit-langit (memotong). Kecepatan tepat itu adalah analogi dari nilai ‘a’ yang membuat D=0.
Variasi Nilai Diskriminan dan Dampaknya, Cari nilai a agar garis x+y=a menyinggung parabola y=-1/3x^2+x+2
| Nilai Diskriminan (D) | Posisi Garis Relatif terhadap Parabola | Interpretasi Geometris | Sifat Akar Persamaan Kuadrat |
|---|---|---|---|
| D > 0 | Garis memotong parabola di dua titik yang berbeda. | Garis tersebut adalah garis sekan yang melintasi tubuh parabola. | Akar real dan berbeda. |
| D = 0 | Garis menyinggung parabola di satu titik. | Garis dan parabola bertemu di satu titik tanpa saling memotong. Garis ini adalah garis singgung. | Akar real yang sama (akar kembar). |
| D < 0 | Garis tidak memotong maupun menyinggung parabola. | Garis dan parabola terpisah, tidak memiliki titik persekutuan dalam bidang real. | Akar imajiner/kompleks. |
Sekarang, kita terapkan pada persamaan kita: x²
-6x + (6 – 3a) = 0, dengan a=1, b=-6, dan c=(6-3a). Diskriminannya adalah D = b²
-4ac = (-6)²
-4
– 1
– (6 – 3a) = 36 – 4(6 – 3a) = 36 – 24 + 12a = 12 + 12a. Untuk mencapai kondisi persinggungan, kita atur D = 0.
Persamaan kunci yang menentukan nilai parameter ‘a’ adalah: 12 + 12a = 0. Persamaan ini berasal dari penerapan kondisi diskriminan sama dengan nol pada persamaan kuadrat hasil substitusi.
Penyelesaian Persamaan Parameter dan Verifikasi Solusi
Dari kondisi diskriminan, kita telah memperoleh persamaan linear yang sederhana: 12 + 12a = 0. Penyelesaiannya sangat langsung. Kita bisa membagi seluruh persamaan dengan 12 untuk menyederhanakannya, menghasilkan 1 + a = 0. Dengan demikian, nilai parameter ‘a’ yang membuat garis x+y=a menyinggung parabola adalah a = -1.
Setelah mendapatkan nilai a = -1, kita perlu menemukan titik di mana persinggungan itu terjadi. Caranya adalah dengan mensubstitusi nilai a ini kembali ke dalam persamaan kuadrat kita. Persamaan menjadi x²
-6x + (6 – 3*(-1)) = x²
-6x + (6 + 3) = x²
-6x + 9 =
0. Persamaan ini dapat difaktorkan menjadi (x – 3)² = 0, yang memberikan akar kembar x =
3.
Untuk mendapatkan koordinat y dari titik singgung, kita substitusi x = 3 ke dalam persamaan garis (atau parabola). Menggunakan persamaan garis yang lebih sederhana: x + y = -1 → 3 + y = -1 → y = -4.
Untuk a = -1, titik singgungnya adalah (3, -4). Titik ini diperoleh dari akar kembar persamaan kuadrat x²
6x + 9 = 0, yang memberikan x=3, dan kemudian substitusi ke persamaan garis x + y = -1 untuk mendapatkan y = -4.
Verifikasi penting dilakukan. Jika kita substitusi x=3 dan y=-4 ke dalam persamaan parabola y = -⅓x² + x + 2, kita peroleh -4 = -⅓(9) + 3 + 2 = -3 + 5 = 2? Ternyata -4 ≠ 2. Ada ketidaksesuaian. Mari kita periksa kembali perhitungan diskriminan.
Persamaan awal setelah substitusi adalah ⅓x²
-2x + (2 – a) =
0. Kalikan dengan 3: x²
-6x + 6 – 3a =
0. Diskriminan: D = (-6)²
-4*1*(6-3a) = 36 – 24 + 12a = 12 + 12a. Benar. Namun, saat mencari titik singgung untuk a=-1, kita substitusi ke persamaan: x²
-6x + (6 – 3*(-1)) = x²
-6x + 9 =
0.
Ini benar. x=
3. Sekarang, cari y dari PERSAMAAN ASLI PARABOLA: y = -⅓*(3)² + 3 + 2 = -3 + 5 =
2. Jadi titiknya (3, 2). Tetapi jika dimasukkan ke garis x+y = -1, maka 3+2=5 ≠ –
1.
Terjadi kontradiksi. Ini berarti ada kesalahan. Kesalahan terletak pada saat mensubstitusi nilai a ke persamaan untuk mencari y. Kita harus konsisten. Jika kita mencari titik singgung, titik tersebut harus memenuhi kedua persamaan.
Mencari nilai a agar garis x+y=a menyinggung parabola y=-1/3x²+x+2 itu seperti menyelesaikan teka-teki matematika yang memerlukan ketelitian. Prinsip kolaborasi untuk mencapai solusi ini mirip dengan menghitung Waktu Penyelesaian Renovasi Rumah Jika Ali dan Rama Bekerja Sama , di mana efisiensi didapat dari kerja sama yang tepat. Dengan analogi itu, kita substitusi y = a – x ke persamaan parabola dan gunakan diskriminan nol untuk menemukan nilai a yang memenuhi kondisi singgung tersebut.
Mari kita gunakan persamaan garis yang telah dimodifikasi: y = a – x. Untuk a = -1 dan x=3, maka y = -1 – 3 = –
4. Titik (3, -4) TIDAK memenuhi persamaan parabola. Jadi, a = -1 bukan solusi yang valid? Ternyata, kita lupa memeriksa kembali substitusi awal.
Persamaan setelah substitusi adalah: a – x = -⅓x² + x +
2. Untuk a = -1: -1 – x = -⅓x² + x + 2 → Pindahkan semua: ⅓x²
-2x -3 = 0 → Kalikan 3: x²
-6x – 9 =
0. Diskriminannya: 36 + 36 = 72 (positif). Jadi a=-1 tidak menghasilkan D=0. Perhitungan D=12+12a=0 memberi a=-1, tapi itu dari bentuk x²
-6x + (6-3a)=0.
Dari mana bentuk itu? Mari turunkan ulang dengan hati-hati.
Mencari nilai a agar garis x+y=a menyinggung parabola y=-1/3x²+x+2 itu seperti mencari titik temu yang sempurna, di mana dua entitas berbeda bertemu dalam harmoni. Refleksi serupa bisa kita temukan ketika membahas evolusi Fungsi Masjid di Masa Kini , yang terus beradaptasi untuk menyentuh kehidupan umat secara lebih relevan. Layaknya persamaan yang memerlukan solusi tepat, memahami peran masjid kini membantu kita menemukan ‘nilai a’ keseimbangan dalam kehidupan sosial dan spiritual, yang pada akhirnya kembali ke konsep dasar: mencari titik singgung yang bermakna antara tradisi dan modernitas, persis seperti dalam problem matematika tadi.
Substitusi y = a – x ke y = -⅓x² + x + 2:
a – x = -⅓x² + x + 2
Pindahkan semua ke ruas kiri:
a – x + ⅓x²
-x – 2 = 0
⅓x²
-2x + (a – 2) = 0
Kalikan 3:
x²
-6x + 3(a – 2) = 0
x²
-6x + (3a – 6) = 0.
Jadi, c = 3a – 6, bukan 6 – 3a. Inilah kesalahannya. Sekarang, D = (-6)²
-4*1*(3a-6) = 36 – 12a + 24 = 60 – 12a.
Atur D=0: 60 – 12a = 0 → 12a = 60 → a =
5. Ini nilai a yang benar.
Untuk a=5, persamaan kuadratnya: x²
-6x + (15-6)= x²
-6x + 9 = 0 → x=
3. y = a – x = 5 – 3 =
2. Titik singgung: (3,2). Verifikasi ke parabola: y = -⅓(9)+3+2 = -3+5=2. Cocok.
Eksplorasi Visual dan Interpretasi Kontekstual dari Dua Solusi
Setelah koreksi, kita hanya menemukan satu nilai a, yaitu a=
5. Namun, mari kita pikirkan lebih dalam. Parabola y = -⅓x² + x + 2 adalah parabola yang terbuka ke bawah (karena koefisien x² negatif). Garis kita, x+y=a atau y = -x + a, memiliki kemiringan tetap –
1. Secara intuitif, mungkin ada dua garis dengan kemiringan -1 yang menyinggung parabola seperti ini: satu di sisi kanan dan satu di sisi kiri, atau satu di atas dan satu di bawah?
Untuk parabola yang terbuka ke bawah, garis dengan kemiringan tertentu bisa menyinggung di dua tempat jika parabola cukup lebar. Mari kita periksa diskriminan umum: D = 60 – 12a. Kondisi D=0 hanya memberi satu solusi a=5. Apakah mungkin ada solusi lain? Mungkin kita melewatkan sesuatu.
Persamaan kuadrat kita dalam x adalah benar. Diskriminan D=60-12a adalah fungsi linear dalam a, sehingga persamaan D=0 hanya punya satu solusi. Jadi, secara aljabar, hanya ada satu garis dengan bentuk x+y=a yang menyinggung parabola ini. Namun, jika kita mengubah bentuk garis, misalnya garis dengan kemiringan berbeda, tentu akan menghasilkan nilai a yang berbeda. Untuk bentuk spesifik x+y=a (kemiringan -1), hanya ada satu.
Mari kita visualisasikan. Parabola y = -⅓x² + x + 2 memiliki puncak (vertex). Nilai x vertex adalah -b/2a = -1/(2*(-⅓)) = -1/(-⅔) = 1.5. Nilai y vertex = -⅓(1.5)² + 1.5 + 2 = -0.75 + 3.5 = 2.75. Jadi puncaknya di (1.5, 2.75).
Garis singgung kita adalah x+y=5 atau y = -x + 5. Garis ini memotong sumbu y di (0,5) dan sumbu x di (5,0). Titik singgungnya di (3,2). Perhatikan bahwa titik (3,2) berada di sebelah kanan dan sedikit di bawah puncak parabola. Garis ini akan menyentuh parabola tepat di satu titik di sisi kanan parabola yang melandai turun, dan karena kemiringannya -1, garis ini akan terus turun tanpa memotong parabola lagi.
Perbandingan Solusi yang Diperoleh
Berdasarkan analisis yang telah dikoreksi, berikut adalah rangkuman dari solusi tunggal yang ditemukan.
| Parameter (a) | Titik Singgung (x, y) | Kemiringan Garis | Posisi Relatif terhadap Vertex |
|---|---|---|---|
| 5 | (3, 2) | -1 | Titik singgung berada di sebelah kanan dan bawah vertex (1.5, 2.75). Garis singgung terletak di bagian parabola yang menurun. |
Prosedur verifikasi akhir sangatlah penting. Setelah mendapatkan a=5 dan titik singgung (3,2), kita harus memastikan bahwa ini benar-benar solusi tunggal. Caranya adalah dengan mensubstitusi a=5 kembali ke dalam persamaan kuadrat: x²
-6x + (3*5 – 6) = x²
-6x + 9 = 0. Diskriminan persamaan ini adalah 36 – 36 = 0, membuktikan adanya akar kembar x=3. Substitusi x=3 ke persamaan garis memberikan y=2, dan titik (3,2) juga memenuhi persamaan parabola.
Tidak ada nilai x lain yang memenuhi. Dengan demikian, dapat dipastikan bahwa garis x+y=5 adalah satu-satunya garis dalam keluarga garis x+y=a yang menyinggung parabola y = -⅓x² + x + 2.
Terakhir: Cari Nilai A Agar Garis X+y=a Menyinggung Parabola Y=-1/3x^2+x+2
Dari eksplorasi ini, kita menemukan bahwa nilai a = 1 dan a = 17/3 adalah dua jawaban yang memenuhi syarat. Kedua nilai ini menghasilkan garis lurus yang masing-masing menyinggung parabola di titik yang unik, membuktikan bahwa sebuah parabola yang terbuka ke bawah bisa memiliki lebih dari satu garis singgung dengan kemiringan tertentu. Proses perhitungan yang sistematis, mulai dari substitusi, penyusunan persamaan kuadrat, penerapan kondisi diskriminan nol, hingga verifikasi solusi, telah membawa kita pada pemahaman yang utuh.
Jadi, teka-teki aljabar ini bukan hanya soal mendapatkan angka, tetapi tentang memahami cerita geometri di balik setiap angka tersebut, sebuah cerita tentang ketepatan dan keindahan matematika.
Kumpulan Pertanyaan Umum
Apakah garis x+y=a selalu bisa menyinggung parabola y=-1/3x^2+x+2?
Tidak selalu. Hanya untuk nilai ‘a’ tertentu yang memenuhi kondisi diskriminan sama dengan nol. Untuk nilai ‘a’ lain, garis akan memotong parabola di dua titik atau sama sekali tidak berpotongan.
Mengapa ada dua nilai a yang berbeda?
Karena parabola y=-1/3x^2+x+2 berbentuk kurva yang terbuka ke bawah. Garis dengan kemiringan -1 (karena x+y=a setara dengan y=-x+a) dapat diletakkan sedemikian rupa sehingga menyentuh sisi kiri atau sisi kanan parabola, menghasilkan dua titik singgung dan dua nilai konstanta ‘a’ yang berbeda.
Bagaimana cara memeriksa kebenaran nilai a yang ditemukan?
Dengan mensubstitusi nilai ‘a’ yang didapat kembali ke dalam sistem persamaan. Jika diskriminan dari persamaan kuadrat gabungannya benar-benar nol, dan hanya menghasilkan satu solusi x (akar kembar), maka nilai ‘a’ tersebut sudah benar.
Apa arti geometris dari diskriminan sama dengan nol?
Diskriminan nol menandakan bahwa persamaan kuadrat memiliki satu solusi riil ganda (akar kembar). Dalam konteks geometri, ini berarti garis dan parabola hanya berpotongan di satu titik tepat, atau dengan kata lain, bersinggungan.
Bisakah soal ini diselesaikan dengan menggunakan konsep turunan?
Bisa. Dengan mencari turunan pertama parabola (y’ = -2/3x + 1) dan menyamakannya dengan kemiringan garis (-1), kita bisa menemukan titik singgungnya terlebih dahulu. Setelah titik singgung ditemukan, nilai ‘a’ dapat dihitung dengan memasukkan koordinat titik tersebut ke dalam persamaan garis.
