Hitung suku pertama deret geometri tak hingga, jumlah 7, suku genap 3 – Hitung suku pertama deret geometri tak hingga, jumlah 7, suku genap 3. Sebuah teka-teki angka yang terselubung dalam pola yang elegan, di mana setiap suku bercerita tentang pengulangan dan pembelahan. Deret geometri tak hingga adalah lukisan tentang ketakterbatasan yang justru berujung pada sebuah bilangan yang pasti, sebuah paradoks matematika yang memikat.
Di balik angka-angka yang diberikan, tersembunyi dua persamaan yang saling bertaut. Jumlah total seluruh suku yang tak berujung adalah 7, sementara jumlah hanya dari suku-suku bernomor genap adalah
3. Dari dua petunjuk ini, kita akan menyusuri logika untuk mengungkap sang pembuka rangkaian: suku pertama, fondasi dari seluruh bangunan deret yang semakin mengecil dan konvergen menuju sebuah titik akhir.
Konsep Dasar Deret Geometri Tak Hingga: Hitung Suku Pertama Deret Geometri Tak Hingga, Jumlah 7, Suku genap 3
Bayangkan kita punya urutan bilangan yang setiap suku berikutnya didapat dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap, itulah deret geometri. Nah, ketika deret ini diteruskan tanpa batas, kita menyebutnya deret geometri tak hingga. Namun, tidak semua deret tak hingga bisa kita jumlahkan menjadi suatu nilai yang terbatas. Deret itu hanya akan konvergen, alias menuju suatu jumlah tertentu, jika rasio pengalinya (biasa dilambangkan dengan ‘r’) memenuhi syarat mutlak: nilai absolutnya harus kurang dari satu, atau |r| < 1. Jika |r| ≥ 1, deretnya akan divergen, artinya jumlahnya tak terhingga atau tidak menuju satu nilai pasti.
Keindahan dari deret geometri tak hingga yang konvergen adalah kita bisa menghitung jumlah total semua sukunya, meski jumlah sukunya tak terbatas, dengan rumus yang elegan. Rumusnya adalah S∞ = a / (1 – r), di mana ‘a’ adalah suku pertama dan ‘r’ adalah rasio yang memenuhi |r| < 1. Rumus ini adalah kunci utama untuk menyelesaikan banyak permasalahan, termasuk yang akan kita bahas.
Karakteristik Deret Konvergen dan Divergen
Untuk memahami perbedaannya dengan lebih jelas, mari kita lihat tabel perbandingan karakteristik kedua jenis deret ini. Perbedaan mendasar terletak pada nilai rasio dan perilaku jumlah sukunya.
| Deret Geometri Konvergen | Deret Geometri Divergen |
|---|---|
| Memiliki rasio |r| < 1. | Memiliki rasio |r| ≥ 1. |
| Jumlah seluruh suku tak hingga menuju nilai terbatas (S∞ = a/(1-r)). | Jumlah seluruh suku tak hingga tidak terbatas atau tidak punya limit. |
| Suku-sukunya semakin kecil dan mendekati nol. | Suku-sukunya membesar atau tetap (jika r=1). |
| Contoh: 8 + 4 + 2 + 1 + … (r = 1/2). | Contoh: 2 + 4 + 8 + 16 + … (r = 2). |
Sebagai ilustrasi sederhana, mari kita hitung deret geometri tak hingga dengan suku pertama 12 dan rasio 1/3.
Diketahui: a = 12, r = 1/3 (|r| < 1, konvergen).
S∞ = a / (1 – r) = 12 / (1 – 1/3) = 12 / (2/3) = 12
– (3/2) = 18.
Jadi, jumlah tak hingga deret 12 + 4 + 4/3 + … adalah 18.
Memahami Suku-Suku Genap dalam Deret Geometri
Source: slidesharecdn.com
Sekarang, mari kita fokus pada suku-suku genap. Dalam konteks deret geometri, suku genap merujuk pada suku-suku yang menempati posisi urutan genap: suku ke-2, ke-4, ke-6, dan seterusnya. Menariknya, jika kita mengambil hanya suku-suku genap ini dan menyusunnya sebagai deret baru, deret baru ini juga merupakan deret geometri! Rasio dari deret baru ini memiliki hubungan yang sangat spesifik dengan rasio deret asli.
Misalkan deret asli memiliki suku pertama ‘a’ dan rasio ‘r’. Suku-suku genapnya adalah: suku ke-2 (ar), suku ke-4 (ar³), suku ke-6 (ar⁵), dan seterusnya. Deret baru ini bisa ditulis sebagai ar + ar³ + ar⁵ + … Ternyata, deret ini juga geometri dengan suku pertama baru = ar, dan rasio baru = r². Mengapa?
Karena untuk mendapatkan suku berikutnya dalam deret genap, kita selalu mengalikan dengan r² (contoh: ar³ didapat dari ar dikali r²).
Perbandingan Suku Deret Asli dan Deret Genap, Hitung suku pertama deret geometri tak hingga, jumlah 7, suku genap 3
Tabel berikut merangkum hubungan posisi dan rumus suku antara deret asli dan deret yang hanya berisi suku genap. Hubungan ini penting untuk membentuk persamaan nantinya.
| Posisi di Deret Asli (n) | Posisi di Deret Genap (k) | Rumus Suku |
|---|---|---|
| 1 (ganjil) | – | a |
| 2 (genap) | 1 | ar |
| 3 (ganjil) | – | ar² |
| 4 (genap) | 2 | ar³ |
| 5 (ganjil) | – | ar⁴ |
| 6 (genap) | 3 | ar⁵ |
Dengan pemahaman ini, kita bisa menghitung jumlah tak hingga dari suku-suku genap. Misal dari deret asli tadi (a=12, r=1/3), suku genapnya adalah 4 + (4/9) + … (karena ar=12*(1/3)=4 dan r²=(1/3)²=1/9).
Jumlah deret genap tak hingga: Sgenap = (suku pertama genap) / (1 – rasio baru) = (ar) / (1 – r²).
S genap = 4 / (1 – (1/9)) = 4 / (8/9) = 4 – (9/8) = 4.5.
Analisis Permasalahan: Jumlah Total dan Jumlah Suku Genap
Sekarang kita siap mengurai soal inti: sebuah deret geometri tak hingga memiliki jumlah total 7, sementara jumlah hanya suku-suku genapnya adalah 3. Dari informasi ini, kita bisa mengekstrak dua persamaan yang sangat berharga. Variabel yang kita cari adalah suku pertama (a) dan rasio (r). Syarat |r| < 1 juga harus selalu kita ingat karena deretnya konvergen.
Langkah-langkah sistematis untuk menafsirkan soal ini adalah sebagai berikut:
- Kondisi Pertama (Jumlah Total): Jumlah tak hingga seluruh suku adalah
7. Berdasarkan rumus dasar, kita peroleh persamaan: S∞ = a / (1 – r) = 7. - Kondisi Kedua (Jumlah Suku Genap): Jumlah tak hingga suku-suku genap adalah
3. Seperti yang telah kita pelajari, jumlah deret genap memiliki suku pertama ‘ar’ dan rasio ‘r²’. Maka persamaannya adalah: S genap = (ar) / (1 – r²) = 3. - Sistem Persamaan: Kita sekarang memiliki sistem dua persamaan dengan dua variabel (a dan r):
- a = 7(1 – r)
- ar / (1 – r²) = 3
Dua persamaan inilah yang akan kita selesaikan secara aljabar untuk menemukan nilai a dan r.
Penyelesaian Matematis untuk Mencari Suku Pertama (a)
Mari kita pecahkan sistem persamaan tersebut langkah demi langkah. Kita akan substitusi persamaan pertama ke dalam persamaan kedua untuk mengeliminasi variabel ‘a’.
| Langkah | Persamaan | Substitusi & Manipulasi | Hasil |
|---|---|---|---|
| 1 | a = 7(1 – r) | Substitusi ‘a’ ke dalam persamaan Sgenap. | [7(1 – r)]
|
| 2 | 7r(1 – r) / (1 – r²) = 3 | Faktorkan (1 – r²) menjadi (1 – r)(1 + r). | 7r(1 – r) / [(1 – r)(1 + r)] = 3 |
| 3 | Sederhanakan (1 – r) | Asumsi (1 – r) ≠ 0 (karena r ≠ 1), coret faktor yang sama. | 7r / (1 + r) = 3 |
| 4 | Mencari nilai r | Kalikan silang: 7r = 3(1 + r) → 7r = 3 + 3r → 4r = 3 | r = 3/4 = 0.75 |
| 5 | Mencari nilai a | Substitusi r = 3/4 ke persamaan a = 7(1 – r). | a = 7
|
Periksa konsistensi: Nilai r = 0.75 memenuhi syarat |r| < 1, sehingga deret memang konvergen. Jadi, suku pertama deret geometri tak hingga tersebut adalah a = 7/4 atau 1.75.
Verifikasi dan Aplikasi Hasil Perhitungan
Sebagai bukti, mari kita verifikasi dengan menghitung ulang menggunakan nilai a = 7/4 dan r = 3/4.
- Jumlah Total: S∞ = (7/4) / (1 – 3/4) = (7/4) / (1/4) = 7. ✔ Sesuai.
- Jumlah Suku Genap: Suku pertama genap = a*r = (7/4)*(3/4) = 21/16. Rasio genap = r² = 9/16. Maka S genap = (21/16) / (1 – 9/16) = (21/16) / (7/16) = 3. ✔ Sesuai.
Interpretasinya, deret geometri kita dimulai dari 1.75, lalu suku berikutnya didapat dengan mengalikan 0.
75. Polanya: 1.75 + 1.3125 + 0.984375 + … Suku-suku genap (1.3125, 0.73828125, …) sendiri membentuk deret tersendiri yang juga mengecil. Bayangkan dua garis bilangan yang saling melengkapi, satu berisi semua suku dan satu lagi hanya suku genap, keduanya semakin mengecil dan jumlah totalnya stabil pada 7 dan 3.
Untuk melatih pemahaman, coba selesaikan dua variasi soal berikut dengan logika yang serupa.
Contoh Latihan 1:
Jumlah deret geometri tak hingga adalah 10. Jumlah suku-suku dengan urutan ganjil (suku ke-1, ke-3, ke-5, …) adalah 6. Tentukan suku pertama dan rasio deret tersebut.
Contoh Latihan 2:
Dalam sebuah deret geometri tak hingga yang konvergen, jumlah suku-suku genapnya adalah 5, dan jumlah suku-suku ganjilnya adalah 15. Berapakah jumlah total seluruh suku deret tersebut?
Penutupan Akhir
Maka, suku pertama itu telah ditemukan, bernilai 4. Sebuah angka yang menjadi kunci pembuka bagi seluruh harmoni deret. Dari sini, rasio setengah akan membelah setiap langkah, menciptakan pola yang simetris antara suku ganjil dan genap, memenuhi syarat jumlah yang diberikan. Perjalanan ini mengingatkan kita bahwa dalam matematika, seringkali jawaban yang tunggal dan pasti justru bersembunyi di balik konsep ketakterhinggaan, menunggu untuk diurai dengan kesabaran dan langkah-langkah yang tepat.
FAQ dan Solusi
Apakah rasio deret (r) selalu positif dalam soal seperti ini?
Tidak selalu. Syarat konvergensi adalah |r| < 1, yang berarti r bisa bernilai negatif (contoh: -0.5). Namun, dalam konteks soal dengan jumlah suku genap yang juga positif, nilai r biasanya positif untuk mempertahankan tanda yang konsisten.
Bagaimana jika jumlah suku genap lebih besar dari jumlah total deret?
Itu mustahil terjadi untuk deret konvergen dengan suku pertama positif. Jumlah suku genap selalu merupakan bagian dari jumlah total, sehingga nilainya harus lebih kecil. Jika soal memberikan data seperti itu, berarti ada kesalahan atau syarat |r| < 1 tidak terpenuhi.
Apakah metode ini bisa dipakai untuk mencari suku pertama jika yang diketahui adalah jumlah suku ganjil?
Bisa. Prinsipnya sama. Jumlah suku ganjil tak hingga juga membentuk deret geometri baru dengan rasio r², tetapi suku pertamanya adalah a (suku pertama deret asli). Persamaannya akan menjadi S_ganjil = a / (1 – r²).
Mengapa kita membutuhkan dua informasi (jumlah total dan jumlah genap) untuk menyelesaikannya?
Karena ada dua variabel yang tidak diketahui, yaitu suku pertama (a) dan rasio (r). Setiap informasi memberikan satu persamaan. Dibutuhkan setidaknya dua persamaan independen untuk menyelesaikan sistem dan menemukan nilai a dan r yang unik.
