Tentukan Jari‑jari dan Pusat Lingkaran dari Persamaan x²+y²−4x−6y+9=0

Tentukan jari‑jari dan pusat lingkaran dari persamaan x²+y²−4x−6y+9=0 bukan sekadar soal matematika biasa, melainkan sebuah petualangan detektif aljabar. Bayangkan kita sedang membongkar kode rahasia yang menyembunyikan bentuk geometris sempurna di balik tumpukan angka dan variabel. Persamaan yang terlihat acak itu sebenarnya menyimpan cerita tentang sebuah lingkaran, tentang titik pusatnya yang mengungsi dari titik nol, dan tentang jarak konstan yang dijaganya dari setiap titik di pinggirannya.

Mari kita ajak naluri penasaran untuk mengurai misteri ini, langkah demi langkah, hingga peta koordinatnya terungkap dengan jelas.

Pada dasarnya, setiap lingkaran memiliki bahasa universalnya sendiri, yaitu bentuk baku (x-a)² + (y-b)² = r², di mana (a,b) adalah jantungnya dan r adalah jangkauannya. Tantangannya adalah menerjemahkan persamaan umum x²+y²−4x−6y+9=0 yang berantakan ke dalam bahasa yang elegan tersebut. Proses ini membutuhkan teknik andalan bernama “melengkapi kuadrat sempurna”, sebuah metode aljabar yang cerdik untuk mengatur ulang suku-suku agar bentuk tersembunyi itu muncul ke permukaan.

Dengan memahami logika di balik setiap suku, kita bisa mengubah yang abstrak menjadi visual, dan angka-angka itu pun akan mulai bercerita.

Menguak Jejak Geometris Lingkaran dalam Puing-Puing Persamaan Kuadrat

Sebelum kita terjun ke dalam manipulasi aljabar, ada sebuah kejelian yang perlu diasah: kemampuan melihat pola. Persamaan kuadrat dua variabel seperti yang kita hadapi sering kali tampak sebagai tumpukan suku acak. Namun, di balik susunan tersebut, bisa tersimpan bentuk geometris yang elegan, seperti lingkaran. Kuncinya adalah mengenali cetak biru dari bentuk baku lingkaran, (x-a)² + (y-b)² = r², yang tersamar dalam bentuk umum x² + y² + Ax + By + C = 0.

Jejak pertama yang paling mencolok adalah adanya suku x² dan y² dengan koefisien yang sama (dalam kasus ini, 1). Ini adalah petunjuk kuat bahwa kita mungkin sedang berhadapan dengan lingkaran, bukan elips atau hiperbola. Selanjutnya, suku-suku linear seperti -4x dan -6y adalah petunjuk bahwa pusat lingkaran ini tidak berada di titik (0,0), melainkan akan bergeser. Konstanta bebas (di sini +9) akan berperan dalam menentukan panjang jari-jari setelah melalui proses tertentu.

Analisis Karakteristik Suku-Suku Persamaan, Tentukan jari‑jari dan pusat lingkaran dari persamaan x²+y²−4x−6y+9=0

Untuk memahami peran setiap suku, mari kita bandingkan secara langsung dengan ekspektasi bentuk baku lingkaran. Tabel berikut memetakan perbandingan tersebut.

Alur Logis Identifikasi Lingkaran

Sebelum memutuskan untuk menyelesaikan kuadrat, ada urutan pemeriksaan logis yang dapat dilakukan untuk mencurigai suatu persamaan mewakili lingkaran.

• Pastikan persamaan tersebut adalah polinomial dua variabel (x dan y) dengan pangkat tertinggi dua.
• Periksa koefisien suku x² dan y². Jika keduanya sama dan bukan nol, itu adalah indikator pertama yang sangat kuat untuk lingkaran atau elips. Jika sama dengan 1, seperti pada kasus kita, proses akan lebih sederhana.
• Pastikan tidak ada suku xy (suku perkalian). Kehadiran suku xy biasanya menunjukkan rotasi sumbu dan mengarah pada elips atau hiperbola yang miring.
• Dengan tiga kondisi di atas terpenuhi, dapat disimpulkan dengan keyakinan tinggi bahwa persamaan tersebut merepresentasikan sebuah lingkaran (atau kasus degenerasinya seperti titik atau himpunan kosong).

Deskripsi Visual Pergeseran Pusat oleh Suku Linear

Bayangkan sebuah lingkaran sempurna yang awalnya berpusat di titik asal (0,0), dengan persamaan sederhana x² + y² = r². Suku linear -4x dalam persamaan kita seperti sebuah gaya yang menarik pusat lingkaran tersebut sepanjang sumbu-X. Angka 4 menunjukkan besarnya tarikan, dan tanda negatif menentukan arahnya. Karena koefisiennya adalah -4 (yang setara dengan -2a), maka a harus bernilai positif 2.

Artinya, pusat bergeser 2 satuan ke arah sumbu-X positif. Demikian pula, -6y menarik pusat lingkaran sepanjang sumbu-Y. Karena koefisiennya -6 (setara -2b), maka b bernilai 3, menggeser pusat sejauh 3 satuan ke arah sumbu-Y positif. Interaksi kedua suku ini secara bersamaan memindahkan pusat lingkaran dari (0,0) ke suatu titik baru di kuadran pertama, yaitu (2, 3), sebelum kita sekalipun menghitung jari-jarinya.

Metode Melengkapi Kuadrat Sempurna sebagai Penterjemah Bahasa Aljabar ke Visual

Jika analisis suku adalah upaya membaca petunjuk, maka melengkapi kuadrat sempurna adalah tindakan menerjemahkan petunjuk itu menjadi peta yang jelas. Teknik ini mengubah bentuk umum yang kacau menjadi bentuk baku (x-a)² + (y-b)² = r² yang langsung memperlihatkan pusat (a,b) dan jari-jari r. Filosofi di balik memindahkan konstanta ke ruas kanan adalah prinsip isolasi dan keseimbangan. Kita mengumpulkan semua suku yang mengandung variabel di satu sisi untuk “dibentuk ulang”, sementara konstanta dipindah sebagai penyeimbang.

Dengan memindahkan +9, kita memberi ruang bagi proses pembentukan kuadrat sempurna di ruas kiri tanpa gangguan. Tujuan akhirnya adalah menciptakan dua ekspresi kuadrat sempurna yang, ketika dijumlahkan, hasilnya harus sama dengan sebuah bilangan positif (r²) di ruas kanan, yang sekaligus mengungkap luas geometris lingkaran tersebut.

Prosedur Lengkap Melengkapi Kuadrat

Mari kita terapkan langkah demi langkah pada persamaan x² + y²
-4x - 6y + 9 = 0 . Pertama, kita kelompokkan suku-suku sejenis dan pindahkan konstanta.

(x²

• 4x) + (y²
• 6y) = -9

Langkah kritis berikutnya adalah melengkapi kuadrat untuk setiap kelompok. Untuk kelompok x, koefisien x adalah –
4. Kita ambil setengahnya (-2), lalu kuadratkan (4). Bilangan 4 ini kita tambahkan ke dalam kurung. Agar persamaan tetap setimbang, kita juga harus menambahkan 4 ke ruas kanan.

Proses serupa untuk kelompok y: setengah dari -6 adalah -3, kuadratnya 9. Kita tambahkan 9 di dalam kurung dan juga di ruas kanan.

Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan x²+y²−4x−6y+9=0, kita ubah ke bentuk baku (x-2)²+(y-3)²=4. Hasilnya, pusatnya di (2,3) dengan jari-jari 2. Layaknya lingkaran yang memiliki titik pusat yang jelas, hak kita untuk menyuarakan pendapat juga memiliki pusat yang kokoh, yaitu pada Landasan Hukum Kebebasan Berpendapat di Indonesia. Dengan fondasi yang kuat seperti UUD 1945, kita bisa bebas berekspresi namun tetap dalam koridor, mirip seperti titik-titik pada lingkaran yang mengelilingi pusat dengan jarak yang konsisten.

Nah, dalam matematika pun, konsistensi rumus ini membantu kita menemukan solusi dengan tepat.

(x²

• 4x + 4) + (y²
• 6y + 9) = -9 + 4 + 9

Sekarang, setiap kelompok telah menjadi kuadrat sempurna: (x - 2)² dan (y - 3)². Ruas kanan menjadi 4. Dengan demikian, terjemahan aljabar ke visual telah selesai.

(x – 2)² + (y – 3)² = 4

Contoh Kesalahan Umum dan Koreksi

Kesalahan yang sering terjadi adalah lupa menambahkan bilangan pelengkap ke kedua ruas, atau salah dalam menghitung kuadrat dari setengah koefisien. Misalnya, pada kelompok (x²
-4x) .

Kesalahan: (x²4x + 4) + … = -9Hasilnya akan: (x-2)² + … = -9 – 4? (Menjadi kacau)

Kesalahan di atas hanya menambahkan 4 di ruas kiri tanpa menyeimbangkan ruas kanan, sehingga merusak kesetaraan. Koreksinya adalah selalu ingat prinsip keseimbangan: apa yang dilakukan di satu sisi persamaan, harus juga dilakukan di sisi lain.

Koreksi: (x²4x + 4) + … = -9 + 4

Tahapan Manipulasi Persamaan

Prinsip Keseimbangan dalam Persamaan

Menjaga keseimbangan persamaan selama proses melengkapi kuadrat adalah hal yang mutlak. Prinsip ini mirip dengan Hukum Kekekalan Massa dalam kimia atau prinsip keseimbangan gaya dalam fisika. Dalam reaksi kimia, massa zat sebelum dan sesudah reaksi harus sama; kamu tidak bisa menciptakan atom dari ketiadaan atau menghilangkannya. Analoginya, dalam persamaan, nilai di ruas kiri dan kanan tanda sama dengan harus selalu tetap setara.

Ketika kita menambahkan bilangan 4 ke dalam kurung di ruas kiri, sebenarnya kita telah mengubah nilai total ruas kiri. Satu-satunya cara untuk mempertahankan kesetaraan adalah dengan melakukan perubahan yang sama persis pada ruas kanan, yaitu juga menambahkan 4. Jika ini dilanggar, “realitas” yang diwakili oleh persamaan awal akan berubah, dan kita tidak lagi membicarakan lingkaran yang sama. Proses ini adalah fondasi dari manipulasi aljabar yang valid, memastikan bahwa transformasi yang kita lakukan hanyalah perubahan bentuk penyajian, bukan perubahan hakikat objek geometrisnya.

Penyingkapan Pusat dan Jari-Jari dari Bentuk Kanonik yang Tersandi

Setelah melalui proses penerjemahan, kita sampai pada bentuk yang elegan dan penuh makna: (x - 2)² + (y - 3)² = 4. Setiap angka di sini bukan lagi sekadar bilangan, melainkan koordinat geometris yang hidup. Bentuk (x - a)² + (y - b)² = r² adalah sebuah sandi yang mudah dipecahkan. Angka yang berada dalam kurung bersama x dan y, yaitu a dan b, langsung memberi tahu kita koordinat pusat lingkaran.

Namun, perlu diperhatikan: tanda di dalam kurung adalah kebalikan dari koordinat pusat. Karena kita memiliki (x - 2), maka a = 2. Jika bentuknya (x + 5), itu sama dengan (x - (-5)), sehingga a = -5. Di ruas kanan, bilangan r² adalah kuadrat dari panjang jari-jari. Dengan mengambil akar kuadrat dari bilangan positif tersebut, kita mendapatkan ukuran fisik jari-jari lingkaran.

Perhitungan Final dan Analisis Konstanta

Dari bentuk kanonik (x - 2)² + (y - 3)² = 4, penyingkapan menjadi sangat langsung. Pusat lingkaran berada di titik (a, b) = (2, 3). Sementara itu, r² = 4. Untuk mendapatkan jari-jari r, kita hitung akar kuadrat dari 4.

r = √4 = 2

Perhatikan bahwa kita hanya mengambil nilai positif karena jari-jari adalah besaran panjang. Konstanta +9 pada persamaan awal telah berubah peran secara dramatis. Setelah dipindahkan ke ruas kanan menjadi -9, lalu ditambah dengan bilangan pelengkap kuadrat (4 dan 9), ia berubah menjadi +4. Nilai positif inilah yang menjadi penentu eksistensi lingkaran riil. Jika hasil di ruas kanan adalah nol, lingkaran merosot menjadi sebuah titik (jari-jari 0).

Jika hasilnya negatif, persamaan tersebut merepresentasikan himpunan kosong (tidak ada titik real yang memenuhi).

Pemeriksaan Validasi Hasil

Setelah mendapatkan nilai pusat (2,3) dan jari-jari 2, beberapa pemeriksaan cepat dapat dilakukan untuk memvalidasi kebenaran hasil.

Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan x²+y²−4x−6y+9=0 itu seperti menemukan inti dari sebuah sistem. Proses ini melibatkan pengelompokan dan pendistribusian suku-suku, mirip dengan konsep Pengertian Distribusi dan Distributor dalam dunia bisnis yang mengatur alur barang ke titik pusat pasar. Setelah kita “distribusikan” dengan benar melalui melengkapi kuadrat, kita temukan pusat lingkaran di (2,3) dan jari-jarinya sepanjang 2 satuan.

• Substitusikan koordinat pusat (2,3) ke dalam persamaan awal: (2)² + (3)²
  -4*(2)
  -6*(3) + 9 = 4 + 9 – 8 – 18 + 9 = -4. Tunggu, hasilnya -4, bukan 0? Ini wajar karena pusat lingkaran tidak harus terletak pada lingkaran itu sendiri. Pemeriksaan yang benar adalah memastikan titik pusat memenuhi bentuk kanonik, yang jelas (2-2)²+(3-3)²=0.
• Periksa apakah jari-jari bernilai real dan positif (r > 0). Dalam kasus ini, r=2 memenuhi.
• Uji sebuah titik yang jelas berada pada lingkaran, misalnya titik (4,3) yang sejajar horizontal dengan pusat. Jaraknya dari pusat adalah 2, sehingga harus memenuhi persamaan: (4-2)²+(3-3)² = 4 → 4=4 (Benar).
• Pastikan tidak ada kesalahan aritmetika dalam proses melengkapi kuadrat dengan memeriksa penjumlahan di ruas kanan: -9 + 4 + 9 = 4.

Deskripsi Visualisasi pada Bidang Kartesius

Visualisasi dari hasil ini menjadi sangat jelas. Bidang Kartesius kita memiliki sumbu-X mendatar dan sumbu-Y vertikal. Pusat lingkaran berada di titik (2,3). Dari titik asal (0,0), bergeraklah 2 satuan ke kanan (arah sumbu-X positif), lalu 3 satuan ke atas (arah sumku-Y positif). Titik itulah pusatnya, terletak di kuadran pertama.

Dari titik pusat ini, jari-jari sepanjang 2 satuan memancar ke segala arah. Ke kiri hingga titik (0,3), ke kanan hingga (4,3), ke atas hingga (2,5), dan ke bawah hingga (2,1). Semua titik yang berjarak tepat 2 satuan dari titik (2,3) akan membentuk garis melingkar yang sempurna. Lingkaran ini tidak menyentuh sumbu koordinat manapun karena pusatnya berjarak 2 dari sumbu-Y (x=0) dan 3 dari sumbu-X (y=0), dengan jari-jari hanya 2.

Artinya, jarak terdekat lingkaran ke sumbu-Y adalah 0 (2 – 2) dan ke sumbu-X adalah 1 (3 – 2).

Kontekstualisasi Nilai Geometri dalam Permasalahan Ruang Dimensi Dua: Tentukan Jari‑jari Dan Pusat Lingkaran Dari Persamaan X²+y²−4x−6y+9=0

Mengetahui pusat dan jari-jari sebuah lingkaran bukanlah akhir perjalanan, melainkan awal dari aplikasi yang luas. Informasi ini adalah kunci untuk menyelesaikan berbagai masalah spasial. Misalnya, untuk menentukan jarak terdekat suatu titik P ke lingkaran, kita hitung jarak dari P ke pusat lingkaran, lalu kurangi dengan jari-jari. Jika hasilnya negatif, artinya titik berada di dalam lingkaran. Untuk menganalisis posisi relatif sebuah garis terhadap lingkaran, kita hitung jarak dari pusat lingkaran ke garis tersebut.

Jika jarak itu lebih besar dari jari-jari, garis tidak memotong lingkaran. Jika sama, garis menyinggung lingkaran. Jika lebih kecil, garis memotong di dua titik. Dalam desain, pengetahuan ini digunakan untuk mengecek clearance, menentukan area cakupan, atau merancang komponen mekanis yang melibatkan gerak melingkar.

Variasi Persamaan Lingkaran dan Perbandingan Analisis

Source: z-dn.net

Persamaan lingkaran memiliki banyak wajah. Mari kita bandingkan studi kasus kita dengan beberapa variasi lain untuk melihat perbedaan proses dan hasilnya.

Aplikasi dalam Desain dan Perencanaan

Dalam perencanaan sebuah roundabout (bundaran lalu lintas), persamaan lingkaran menjadi model matematis yang vital. Seorang insinyur sipil menentukan pusat bundaran di suatu koordinat (a,b) dan jari-jari r sesuai lebar jalan yang dibutuhkan. Persamaan (x-a)²+(y-b)²=r² kemudian digunakan untuk memetakan batas fisik proyek, menghitung luas lahan yang diperlukan, dan mensimulasikan jarak aman dengan bangunan di sekitarnya. Perubahan kecil pada koefisien dalam persamaan awal, misalnya dengan menggeser pusat (mengubah suku linear) atau memperlebar jalan (mengubah konstanta sehingga r membesar), akan langsung terlihat dampaknya pada layout digital sebelum pelaksanaan di lapangan, menghemat waktu dan biaya.

Eksplorasi Perubahan Koefisien dan Dampak Geometris

Mengubah koefisien dalam persamaan umum lingkaran seperti bermain dengan parameter pada sebuah simulasi. Perubahan pada suku linear (koefisien A dan B) secara langsung menggeser pusat lingkaran. Misalnya, pada persamaan kita, jika -4x berubah menjadi -10x, maka nilai a berubah dari 2 menjadi 5, menggeser pusat lebih jauh ke kanan. Perubahan pada konstanta C lebih halus namun krusial. Nilai C mempengaruhi hasil akhir di ruas kanan setelah melengkapi kuadrat.

Jika C terlalu besar positif, hasil ruas kanan bisa menjadi negatif, yang berarti tidak ada lingkaran real (himpunan kosong). Jika C memiliki nilai yang “pas” sehingga ruas kanan menjadi nol, lingkaran merosot menjadi sebuah titik. Interaksi antara konstanta dan bilangan pelengkap kuadrat inilah yang menentukan ukuran jari-jari. Dengan memahami hubungan ini, kita dapat merancang persamaan untuk menghasilkan lingkaran dengan sifat yang diinginkan, seperti lingkaran yang menyinggung sebuah sumbu tertentu (dengan membuat jarak pusat ke sumbu sama dengan jari-jari) atau lingkaran yang melalui titik-titik koordinat tertentu.

Penutup

Dengan demikian, perjalanan mengurai persamaan x²+y²−4x−6y+9=0 telah membawa kita pada penemuan yang elegan: sebuah lingkaran dengan pusat di titik (2, 3) dan jari-jari sepanjang 2 satuan. Proses ini lebih dari sekadar manipulasi aljabar; ia adalah bukti bagaimana struktur matematika yang rapi seringkali terselubung dalam bentuk yang tampak kompleks. Pengetahuan tentang pusat dan jari-jari ini membuka pintu untuk analisis lebih lanjut, mulai dari menentukan posisi relatif suatu titik, hingga aplikasi dalam bidang desain dan perencanaan yang membutuhkan presisi geometris.

Jadi, lain kali Anda menemui persamaan kuadrat dua variabel, cobalah curiga—bisa jadi di dalamnya sedang bersembunyi sebuah lingkaran yang menunggu untuk ditemukan.

FAQ Terkini

Apakah semua persamaan berbentuk x² + y² + Ax + By + C = 0 pasti menyatakan lingkaran?

Tidak selalu. Persamaan tersebut baru menyatakan lingkaran nyata jika setelah melalui proses melengkapi kuadrat sempurna, nilai r² yang dihasilkan adalah bilangan positif. Jika r² = 0, itu adalah lingkaran titik (degenerate). Jika r² negatif, himpunan titiknya adalah lingkaran imajiner (tidak ada di bidang real).

Mengapa konstanta (+9) dalam persamaan dipindahkan ke ruas kanan di awal proses?

Pemindahan konstanta ke ruas kanan bertujuan untuk mengisolasi suku-suku yang mengandung variabel x dan y. Ini memudahkan proses melengkapi kuadrat sempurna pada kelompok suku x dan suku y secara terpisah, tanpa terganggu oleh konstanta yang bisa memengaruhi keseimbangan persamaan.

Bagaimana jika koefisien dari x² dan y² bukan 1?

Jika koefisien x² dan y² sama tetapi bukan 1 (misalnya 2x²+2y²+…), langkah pertama adalah membagi seluruh persamaan dengan koefisien tersebut agar menjadi 1. Jika koefisiennya berbeda, maka persamaan tersebut mungkin bukan lingkaran, tetapi elips.

Apakah hasil pusat (2,3) dan jari-jari 2 ini bisa langsung divalidasi kebenarannya?

Bisa, dengan substitusi balik. Masukkan titik pusat (2,3) ke dalam persamaan awal: (2)²+(3)²-4(2)-6(3)+9 = 4+9-8-18+9 = -4. Karena hasilnya bukan nol, ini menunjukkan pusat memang tidak berada pada lingkaran. Validasi yang lebih baik adalah memastikan banyak titik pada lingkaran (misal (2,1), (4,3)) memenuhi persamaan awal.