Koefisien a² pada (3a + 2b)⁶ itu seperti mencari harta karun tersembunyi di tengah lautan suku-suku aljabar yang berjejal. Sekilas, soal ini terlihat ribet dan bikin pusing, apalagi kalau bayangkan harus mengalikan binom itu sebanyak enam kali secara manual. Tapi tenang, ada jalan pintas yang elegan bernama teorema binomial. Dengan senjata rahasia ini, kita bisa langsung melompat ke suku yang kita mau tanpa perlu bersusah payah membuka semua kurung.
Ekspansi binomial pada dasarnya adalah pola sistematis. Saat kita mengembangkan (3a + 2b)⁶, yang muncul adalah kombinasi dari semua perkalian mungkin antara 3a dan 2b, dengan pangkat total selalu enam. Setiap suku memiliki bentuk khusus yang bisa diprediksi, dan tugas kita adalah menyelidiki suku di mana variabel ‘a’ muncul dengan pangkat dua. Proses menemukannya melibatkan permainan angka yang rapi antara kombinasi, koefisien asli dari a dan b, serta pangkatnya.
Pengantar dan Konsep Dasar Ekspansi Binomial
Sebelum kita menyelam ke dalam perhitungan spesifik mencari koefisien a², penting untuk memahami fondasi yang mendukungnya: Teorema Binomial. Teorema ini adalah alat yang elegan dan sangat kuat dalam aljabar untuk menguraikan ekspresi berbentuk (x + y) yang dipangkatkan bilangan bulat positif n. Bayangkan Anda harus menghitung (x + y)⁶ dengan mengalikan manual, pasti akan sangat panjang dan rentan salah. Teorema binomial hadir sebagai jalan pintas yang sistematis.
Bentuk umum ekspansi binomial diberikan oleh rumus: (x + y)ⁿ = Σ [C(n, r)
– x^(n-r)
– y^r], dimana penjumlahan dilakukan dari r=0 hingga r=n. Simbol C(n, r) atau sering dibaca “n pilih r” adalah koefisien binomial, yang nilainya sama dengan n! / (r!
– (n-r)!). Koefisien inilah yang menentukan bobot atau kontribusi setiap suku dalam penjumlahan. Setiap suku dalam ekspansi adalah perkalian antara tiga komponen: sebuah koefisien binomial (C(n, r)), variabel pertama (x) dipangkatkan (n-r), dan variabel kedua (y) dipangkatkan r.
Pangkat pada x dan y selalu berjumlah n, dan nilai r yang berubah-ubahlah yang mendistribusikan pangkat tersebut antara kedua variabel.
Teorema Binomial dan Peran Koefisien Kombinasi
Koefisien binomial C(n, r) bukanlah angka random. Ia merepresentasikan banyaknya cara memilih r objek dari total n objek, yang dalam konteks ekspansi, bisa dianggap sebagai banyaknya cara “memilih” posisi untuk faktor ‘y’ dalam perkalian (x+y) sebanyak n kali. Inilah mengapa koefisien-koefisien ini identik dengan angka-angka pada Segitiga Pascal. Hubungan antara pangkat variabel dan koefisiennya dalam sebuah suku spesifik sangatlah langsung: untuk suku ke-(r+1), koefisiennya adalah C(n, r), pangkat x adalah (n-r), dan pangkat y adalah r.
Memahami hubungan segitiga ini adalah kunci untuk mengekstrak suku tertentu tanpa perlu mengembangkan seluruh ekspansi.
Identifikasi Suku Mengandung a² dalam (3a + 2b)⁶
Sekarang kita terapkan konsep umum tadi pada kasus spesifik: (3a + 2b)⁶. Di sini, ‘x’ kita adalah 3a dan ‘y’ kita adalah 2b. Suku umum atau suku ke-(r+1) dalam ekspansi ini mengikuti pola yang telah dipelajari. Pola ini menjadi panduan kita untuk menyaring suku yang memenuhi kriteria tertentu, dalam hal ini suku yang mengandung faktor a².
Menentukan Nilai r untuk Pangkat a Sama dengan 2, Koefisien a² pada (3a + 2b)⁶
Source: slidesharecdn.com
Suku ke-(r+1) dari ekspansi (3a + 2b)⁶ adalah: T_(r+1) = C(6, r)
– (3a)^(6-r)
– (2b)^r. Perhatian kita tertuju pada faktor (3a)^(6-r). Kita ingin pangkat dari ‘a’ pada suku ini adalah
2. Oleh karena itu, kita atur eksponen (6 – r) =
2. Dengan menyelesaikan persamaan sederhana ini, kita mendapatkan nilai r =
4.
Ini adalah langkah krusial. Setelah r diketahui, koefisien binomial yang relevan dapat dihitung: C(6, 4). Nilai ini mewakili kombinasi 6 objek diambil 4, yang juga sama dengan C(6, 2) karena sifat simetri. Perhitungannya adalah 6! / (4!
– 2!) = (6*5)/(2*1) = 15.
Perhitungan Koefisien Akhir untuk a²
Menemukan r=4 dan C(6,4)=15 bukanlah akhir perjalanan. Itu baru bagian dari koefisien, yang sering disebut koefisien binomial. Koefisien akhir dari suku a²b⁴ (karena jika pangkat a=2, maka otomatis pangkat b=4, sebab total pangkat adalah 6) harus memperhitungkan seluruh faktor numerik pada variabel, yaitu koefisien 3 dari (3a) dan koefisien 2 dari (2b). Koefisien suku lengkapnya adalah hasil kali dari koefisien binomial dengan semua faktor numerik yang dipangkatkan sesuai.
Rincian Langkah Perhitungan Numerik
Untuk memvisualisasikan proses perhitungan menjadi lebih jelas, mari kita uraikan dalam sebuah tabel. Tabel berikut merinci setiap komponen yang berkontribusi pada koefisien akhir suku a²b⁴ dalam ekspansi (3a + 2b)⁶.
Mencari koefisien a² pada ekspansi (3a + 2b)⁶ itu ibarat menyusun strategi kolaborasi yang tepat. Dalam matematika, kita memilih suku yang tepat dari teorema binomial, mirip dengan memilih bentuk Kerja Sama Berdasarkan Perjanjian: Pilihan Spontan, Langsung, Kontrak, Tradisional dalam dunia nyata. Setelah memahami prinsip pemilihan itu, perhitungan menjadi lebih terarah. Hasil akhirnya, koefisien a² tersebut adalah 2160, sebuah angka yang solid seperti kerja sama yang dibangun atas dasar perjanjian yang jelas.
| Nilai r | Suku ke-(r+1) | Perhitungan Koefisien Parsial | Hasil Numerik |
|---|---|---|---|
| 4 | T₅ = C(6,4)
|
C(6,4) = 15; (3)² = 9; (2)⁴ = 16 | 15
|
Dari tabel di atas, terlihat bahwa koefisien binomial C(6,4)=15 kemudian dikalikan dengan 3² (yaitu 9) dan dengan 2⁴ (yaitu 16). Perkalian 15
– 9 menghasilkan 135, dan 135
– 16 akhirnya menghasilkan nilai koefisien final sebesar 2160. Jadi, suku lengkap yang kita cari adalah 2160
– a²
– b⁴.
Verifikasi dan Metode Alternatif
Sebagai praktik yang baik dalam matematika, penting untuk memverifikasi hasil dengan metode atau sudut pandang lain. Meskipun menghitung seluruh ekspansi (3a + 2b)⁶ secara manual sangat tidak efisien, kita bisa menulis beberapa suku pertama dan terakhir untuk memeriksa konsistensi pola pangkat dan koefisien binomialnya.
Pemeriksaan dengan Segitiga Pascal dan Pernyataan Penting
Baris ke-6 (karena pangkatnya 6, baris pertama adalah untuk pangkat 0) pada Segitiga Pascal adalah: 1, 6, 15, 20, 15, 6,
1. Ini sesuai dengan koefisien binomial untuk n=6: C(6,0), C(6,1), …, C(6,6). Kita telah menggunakan C(6,4)=15, yang memang muncul dalam baris tersebut. Verifikasi ini mengonfirmasi bahwa bagian kombinasi dari perhitungan kita sudah benar.
Kekuatan utama Teorema Binomial terletak pada kemampuannya untuk mengisolasi dan menghitung satu suku spesifik dari ekspansi berpangkat tinggi, tanpa harus melalui proses aljabar yang panjang dan bertele-tele. Ini adalah contoh sempurna bagaimana matematika memberikan alat yang efisien untuk menyelesaikan masalah yang tampaknya kompleks.
Penerapan dalam Bentuk Soal dan Variasi: Koefisien A² Pada (3a + 2b)⁶
Konsep mencari koefisien suku tertentu ini sangat lazim ditemui dalam berbagai konteks. Untuk mengasah pemahaman, mari kita lihat dua contoh soal dengan variasi berbeda. Soal pertama relatif langsung, sementara soal kedua melibatkan bentuk yang sedikit lebih tersamar.
Contoh Soal 1: Tentukan koefisien dari suku yang mengandung x³ dalam ekspansi (2x – 5)⁷.
Contoh Soal 2: Dalam ekspansi (x² + 3/x)⁸, carilah suku yang tidak mengandung variabel x (suku konstanta).
Mencari koefisien a² pada ekspansi (3a + 2b)⁶ itu seru, karena melibatkan pola kombinatorik yang ketat. Logika sistematis serupa juga kita butuhkan untuk hal praktis, misalnya saat ingin Cara menghitung volume drum besi berkapasitas 209 liter yang memerlukan presisi. Nah, kembali ke binomial, setelah dihitung, koefisien untuk suku a²b⁴ tersebut ternyata adalah 2160, sebuah angka yang diperoleh melalui perhitungan yang tak kalah teliti.
Prosedur Sistematis Menyelesaikan Soal
Mari kita fokus pada penyelesaian Contoh Soal 1 sebagai ilustrasi langkah demi langkah. Pendekatan ini bersifat umum dan dapat diterapkan pada berbagai masalah serupa.
- Tuliskan bentuk umum suku ke-(r+1): T_(r+1) = C(7, r)
– (2x)^(7-r)
– (-5)^r. - Identifikasi pangkat yang diinginkan pada variabel x. Kita ingin faktor x^(7-r) memberikan x³, sehingga (7 – r) = 3, yang menghasilkan r = 4.
- Substitusi r=4 ke dalam bentuk umum suku: T₅ = C(7, 4)
– (2x)³
– (-5)⁴. - Hitung setiap bagian secara terpisah: C(7,4) = 35; (2)³ = 8; (-5)⁴ = 625.
- Kalikan semua faktor numerik: 35
– 8
– 625 = 35
– 5000 = 175000. Jadi, koefisien dari x³ adalah 175000.
Ilustrasi Konseptual dan Penjelasan Visual
Bayangkan ekspansi (3a + 2b)⁶ sebagai sebuah barisan atau deretan suku yang tersusun rapi. Suku-suku ini berurut berdasarkan pangkat dari b yang meningkat dari 0 hingga 6, sementara pangkat a bergerak sebaliknya, menurun dari 6 hingga
0. Jika kita tuliskan pola pangkatnya, akan terlihat seperti ini: a⁶b⁰, a⁵b¹, a⁴b², a³b³, a²b⁴, a¹b⁵, a⁰b⁶. Suku dengan a² menempati posisi kelima dalam barisan ini, bersanding dengan b⁴.
Distribusi Pangkat dan Keunikan Suku a²b⁴
Distribusi pangkat antara a dan b di sepanjang ekspansi bersifat komplementer dan ketat. Total pangkat setiap suku selalu enam. Oleh karena itu, untuk setiap kemungkinan pembagian pangkat (seperti 2 untuk a dan 4 untuk b), hanya ada satu kombinasi spesifik dalam perkalian (3a+2b) yang direpresentasikan sebanyak n kali yang dapat menghasilkan pembagian tepat seperti itu. Satu kombinasi ini kemudian dikalikan dengan banyaknya cara penyusunan faktor-faktor tersebut, yang dihitung oleh koefisien binomial C(6,2) atau C(6,4).
Inilah alasan mendasar mengapa dalam ekspansi (3a + 2b)⁶ hanya terdapat tepat satu suku yang berbentuk (suatu bilangan)
– a²b⁴. Bilangan tersebut, setelah melalui perhitungan lengkap, adalah 2160.
Terakhir
Jadi, setelah melalui eksplorasi detail, koefisien untuk a² dalam (3a + 2b)⁶ akhirnya terungkap sebagai sebuah bilangan bulat yang cukup besar, yaitu 2880. Perjalanan menghitungnya bukan sekadar rutinitas matematis, tetapi lebih seperti membongkar logika terstruktur di balik ekspansi yang tampak acak. Hal ini membuktikan bahwa teorema binomial adalah alat yang sangat ampuh, mengubah pekerjaan yang hampir mustahil menjadi serangkaian langkah yang terukur dan pasti.
Pemahaman ini tidak hanya menyelesaikan satu soal, tetapi membuka kunci untuk menyelesaikan ratusan variasi soal serupa dengan percaya diri.
Pertanyaan dan Jawaban
Mengapa hanya ada satu suku yang mengandung a²b⁴ dalam ekspansi ini?
Karena dalam ekspansi (3a+2b)⁶, jumlah pangkat a dan b pada setiap suku harus selalu sama dengan 6 (derajat binomnya). Jika pangkat a adalah 2, maka otomatis pangkat b harus 4. Hanya ada satu kombinasi posisi di mana dua faktor (3a) dan empat faktor (2b) bisa dipilih dari enam faktor total, yang direpresentasikan oleh satu koefisien binomial C(6,2).
Apakah hasilnya akan sama jika binomnya ditulis (2b + 3a)⁶?
Ya, hasilnya akan persis sama. Penjumlahan bersifat komutatif, sehingga (3a + 2b)⁶ identik dengan (2b + 3a)⁶. Urutan suku dalam ekspansi lengkapnya mungkin berbeda, tetapi koefisien untuk suku yang mengandung a²b⁴ tetap 2880.
Bisakah soal ini diselesaikan tanpa menghafal rumus teorema binomial?
Bisa, dengan menggunakan Segitiga Pascal untuk mendapatkan koefisien binomialnya. Namun, Anda tetap perlu memahami pola umum untuk memasukkan koefisien 3 dan 2 yang dipangkatkan sesuai dengan variabelnya. Metode Segitiga Pascal menjadi kurang praktis untuk pangkat yang sangat besar.
Bagaimana jika yang ditanya koefisien untuk a²b³? Apakah mungkin?
Tidak mungkin. Dalam (3a+2b)⁶, jumlah pangkat a dan b di setiap suku harus persis 6. Jika pangkat b adalah 3, maka pangkat a harus 3 (bukan 2). Jadi, suku yang diminta adalah a³b³, bukan a²b³.
