Nilai p pada persamaan kuadrat x²+4px+4=0 dengan x₁x₂² + x₁²x₂ = 32 – Wah, kali ini kita bakal bahas soal matematika yang seru nih, tentang Nilai p pada persamaan kuadrat x²+4px+4=0 dengan x₁x₂² + x₁²x₂ = 32. Jangan takut dulu, sobat, kita kupas bareng-bareng pakai logika yang mudah dicerna.
Intinya, kita punya sebuah persamaan kuadrat yang masih ada variabel p-nya. Tugas kita adalah mencari angka berapa saja sih p ini supaya hubungan antara akar-akarnya, yaitu x₁ dan x₂, bisa memenuhi syarat bahwa x₁x₂² + x₁²x₂ hasilnya sama dengan 32. Yuk, kita telusuri langkah-langkah jitunya.
Konsep Dasar Persamaan Kuadrat dan Hubungan Akar-akarnya
Persamaan kuadrat merupakan fondasi dalam aljabar yang memiliki bentuk umum ax² + bx + c = 0, dengan a, b, dan c adalah koefisien bilangan real dan a ≠ 0. Keindahan dari persamaan ini terletak pada hubungan antara akar-akarnya, yang ditemukan oleh François Viète. Untuk persamaan ax² + bx + c = 0 dengan akar-akar x₁ dan x₂, jumlah dan hasil kali akar-akarnya dapat dinyatakan secara elegan tanpa harus mencari nilai akarnya terlebih dahulu.
Pada persamaan yang kita bahas, x² + 4px + 4 = 0, kita dapat mengidentifikasi nilai-nilai koefisiennya. Koefisien a, yang menyertai x², adalah
1. Koefisien b, yang menyertai x, adalah 4p. Sementara itu, konstanta c adalah
4. Berdasarkan rumus Viète, hubungan akar-akarnya adalah:
x₁ + x₂ = -b/a = -4p/1 = -4p
x₁x₂ = c/a = 4/1 = 4
Ekspresi dalam soal, yaitu x₁x₂² + x₁²x₂, terlihat kompleks namun sebenarnya dapat disederhanakan dengan teknik pemfaktoran. Dengan memfaktorkan faktor persekutuan x₁x₂, kita mendapatkan x₁x₂(x₁ + x₂). Ini menunjukkan bagaimana ekspresi tersebut terhubung langsung dengan jumlah dan hasil kali akar yang telah kita ketahui rumusnya.
| Koefisien Persamaan | Nilai | Rumus Jumlah Akar (x₁ + x₂) | Rumus Hasil Kali Akar (x₁ – x₂) |
|---|---|---|---|
| a | 1 | -b/a = -(4p)/1 | c/a = 4/1 |
| b | 4p | ||
| c | 4 | -4p | 4 |
Manipulasi Aljabar untuk Menyederhanakan Persamaan
Langkah kunci dalam menyelesaikan masalah ini adalah memanipulasi persamaan yang diberikan, x₁x₂² + x₁²x₂ = 32, menjadi bentuk yang memanfaatkan informasi yang sudah kita miliki, yaitu jumlah dan hasil kali akar. Proses ini melibatkan pengenalan pola dan penerapan sifat distributif secara terbalik, yang sering disebut sebagai pemfaktoran.
Mari kita perhatikan ekspresi di sisi kiri persamaan. Terdapat dua suku, dan kedua suku tersebut memiliki x₁ dan x₂ sebagai faktor. Jika kita amati, x₁ dan x₂ muncul pada setiap suku. Faktor persekutuan terbesar dari x₁x₂² dan x₁²x₂ adalah x₁x₂. Dengan mengeluarkan faktor persekutuan ini, kita mengubah bentuk penjumlahan menjadi bentuk perkalian yang jauh lebih sederhana dan bermakna.
Prosedur Manipulasi Aljabar:
- Identifikasi ekspresi yang diberikan: x₁x₂² + x₁²x₂ = 32.
- Perhatikan bahwa kedua suku memiliki faktor bersama x₁ dan x₂.
- Faktorkan faktor persekutuan x₁x₂ dari kedua suku: x₁x₂(x₂ + x₁).
- Dengan sifat komutatif, tulis (x₂ + x₁) sebagai (x₁ + x₂). Hasilnya adalah x₁x₂(x₁ + x₂) = 32.
- Ekspresi sekarang telah disederhanakan menjadi perkalian antara hasil kali akar (x₁x₂) dan jumlah akar (x₁ + x₂).
Substitusi dan Pembentukan Persamaan dalam Variabel p
Source: gauthmath.com
Setelah berhasil menyederhanakan persamaan, langkah selanjutnya adalah memasukkan nilai-nilai yang kita peroleh dari rumus Viète. Kita telah mengubah persamaan kondisi menjadi x₁x₂(x₁ + x₂) = 32. Sekarang, kita akan mengganti x₁x₂ dan x₁ + x₂ dengan ekspresi yang mengandung variabel p.
Dari analisis sebelumnya, kita tahu bahwa untuk persamaan x² + 4px + 4 = 0, hasil kali akar x₁x₂ adalah 4 dan jumlah akar x₁ + x₂ adalah -4p. Substitusi ini adalah jantung dari penyelesaian masalah, karena akan mentransformasikan persamaan yang melibatkan akar-akar menjadi persamaan linear sederhana yang hanya terdiri dari variabel p.
| Langkah | Bentuk Umum | Substitusi dengan Koefisien Persamaan |
|---|---|---|
| Persamaan Hasil Manipulasi | x₁x₂(x₁ + x₂) = 32 | |
| Substitusi Nilai x₁x₂ | 4
|
|
| Substitusi Nilai x₁ + x₂ | 4
|
|
| Persamaan dalam p | -16p = 32 | |
Penyelesaian Persamaan untuk Menemukan Nilai p
Dengan substitusi yang telah dilakukan, kita mendapatkan persamaan -16p = 32. Persamaan ini adalah persamaan linear satu variabel yang sangat mudah untuk diselesaikan. Tujuan kita adalah mengisolasi variabel p pada satu sisi persamaan untuk menemukan nilai numeriknya.
Kita dapat menyelesaikan persamaan -16p = 32 dengan membagi kedua sisi persamaan dengan koefisien dari p, yaitu -16. Operasi ini akan menghasilkan nilai p yang memenuhi persamaan. Dalam konteks grafis, persamaan -16p – 32 = 0 merepresentasikan sebuah garis lurus yang memotong sumbu-p pada satu titik tertentu. Nilai p yang kita cari adalah tepat pada titik potong garis ini dengan sumbu horizontal tersebut.
Verifikasi Solusi yang Diperoleh
Setelah menemukan calon solusi, langkah yang tidak kalah pentingnya adalah memverifikasinya. Verifikasi memastikan bahwa nilai p yang kita dapatkan tidak hanya memenuhi persamaan yang telah disederhanakan, tetapi juga konsisten dengan persamaan kuadrat asli dan kondisi yang dinyatakan dalam soal. Terkadang, proses manipulasi aljabar dapat menghasilkan solusi yang secara teknis benar untuk persamaan perantara, tetapi tidak berlaku untuk masalah awal karena batasan tertentu, seperti diskriminan yang negatif.
Prosedur verifikasi berikut harus dilakukan untuk setiap nilai p yang diperoleh:
- Substitusi nilai p ke dalam persamaan kuadrat: Periksa apakah persamaan kuadrat yang dihasilkan memiliki akar-akar real. Ini dilakukan dengan menghitung nilai diskriminan (D = b²
-4ac). - Hitung jumlah dan hasil kali akar: Gunakan rumus Viète untuk memastikan nilai x₁ + x₂ dan x₁
– x₂ sesuai dengan perhitungan awal. - Uji kondisi soal: Hitung nilai dari x₁x₂² + x₁²x₂ menggunakan nilai akar-akar yang memenuhi persamaan, atau lebih mudahnya, gunakan bentuk yang telah disederhanakan x₁x₂(x₁ + x₂). Nilainya harus tepat 32.
Untuk nilai p = -2 yang kita dapatkan:
- Persamaan kuadrat menjadi x² + 4(-2)x + 4 = x²
-8x + 4 = 0. - Diskriminan D = (-8)²
-(4)(1)(4) = 64 – 16 = 48. Karena D > 0, akar-akarnya real dan berbeda. - Berdasarkan rumus Viète, x₁ + x₂ = 8 dan x₁
– x₂ = 4. - Nilai x₁x₂² + x₁²x₂ = x₁x₂(x₁ + x₂) = 4
– 8 = 32. Kondisi terpenuhi.
Penutup
Gimana, ternyata asyik kan? Dari semua proses itu, kita berhasil menemukan bahwa nilai p yang bener itu cuma angka 2 aja. Jadi, kesimpulannya, setelah kita hitung dan verifikasi, p = 2 adalah jawaban yang tepat buat memenuhi semua kondisi yang ada di soal. Selamat ya, kita beresin satu soal lagi!
Ringkasan FAQ: Nilai p pada persamaan kuadrat x²+4px+4=0 dengan x₁x₂² + x₁²x₂ = 32
Apakah nilai p yang ditemukan selalu menghasilkan akar real?
Ya, untuk p = 2, diskriminannya positif (D > 0) sehingga akar-akarnya adalah bilangan real.
Mengapa ekspresi x₁x₂² + x₁²x₂ bisa disederhanakan menjadi x₁x₂(x₁ + x₂)?
Karena kita bisa mengeluarkan faktor persekutuan x₁x₂ dari kedua suku tersebut (faktorisasi).
Bagaimana jika hasil kali akar (x₁
– x₂) bernilai nol?
Jika hasil kali akar nol, maka salah satu akarnya adalah nol. Namun, dalam persamaan ini, hasil kali akarnya adalah 4 (konstanta), sehingga tidak mungkin nol.
