Barisan Geometri -10,5,-5/2: Suku ke-6 dan Jumlah 6 Suku Pertama menyimpan pola tersembunyi yang bergerak lincah antara positif dan negatif, seperti kode rahasia yang mengecil namun tak pernah benar-benar hilang. Ada sebuah ritme dalam setiap langkahnya, sebuah pengulangan yang ditentukan oleh sebuah angka kunci yang misterius.
Barisan ini dimulai dengan angka -10, lalu melompat ke 5, sebelum menyusut menjadi -5/
2. Setiap angka adalah hasil dari angka sebelumnya yang dikalikan dengan rasio yang sama. Misi kita adalah membongkar rahasia ini: menemukan suku keenam yang tersembunyi dan menjumlahkan enam potongan pertama dari teka-teki numerik ini untuk melihat total keseluruhannya.
Barisan Geometri: Mengurai Pola -10, 5, -5/2
Kita sering nemuin pola angka dalam hidup sehari-hari, kayak diskon berantai atau peluruhan bahan radioaktif. Nah, matematika punya alat keren buat ngerti pola kaya gitu, namanya barisan geometri. Intinya, ini adalah barisan bilangan di mana setiap suku setelah suku pertama didapat dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Ciri khasnya, kalau lo bagi suatu suku dengan suku sebelumnya, hasilnya selalu sama, yaitu si rasio tadi.
Sekarang, mari kita intip barisan yang diberikan: -10, 5, -5/
2. Dari sekilas aja, udah keliatan polanya unik karena angkanya berganti-ganti tanda. Untuk mengidentifikasi, kita tentukan dulu suku pertamanya, yang biasa dilambangkan dengan a. Suku pertama ( a) jelas adalah -10. Sekarang, untuk mencari rasio ( r), kita bagi suku kedua dengan suku pertama: 5 / (-10) = -1/
2.
Buat memastikan, kita cek lagi dengan suku ketiga dibagi suku kedua: (-5/2) / 5 = -5/2
– 1/5 = -1/2. Bener kan, rasionya konsisten -1/2.
Identifikasi Awal dan Pembuktian Rasio, Barisan Geometri -10,5,-5/2: Suku ke-6 dan Jumlah 6 Suku Pertama
Source: kompas.com
Sebagai bukti visual yang rapi bahwa barisan ini memang geometri dengan rasio yang tetap, berikut tabel yang mencatat tiga suku pertamanya beserta perhitungan rasionya.
| Suku ke- | Nilai | Operasi (Un / Un-1) | Hasil Rasio (r) |
|---|---|---|---|
| 1 (a) | -10 | – | – |
| 2 | 5 | 5 / (-10) | -1/2 |
| 3 | -5/2 | (-5/2) / 5 | -1/2 |
Dari tabel di atas, terbukti bahwa perbandingan antar suku yang berurutan selalu menghasilkan bilangan yang sama, yaitu -1/2. Dengan demikian, kita sudah memastikan bahwa ini adalah barisan geometri dengan a = -10 dan r = -1/2.
Mencari Suku Ke-6: Menerapkan Rumus Umum: Barisan Geometri -10,5,-5/2: Suku Ke-6 Dan Jumlah 6 Suku Pertama
Setelah tahu senjata kita, yaitu a = -10 dan r = -1/2, sekarang kita bisa berburu suku ke berapa pun. Rumus sakti untuk mencari suku ke-n (U n) dari barisan geometri adalah:
Un = a × r (n-1)
Rumus ini logis banget. Untuk sampai ke suku ke-n, kita mulai dari a, lalu kalikan dengan r sebanyak (n-1) kali. Mau cari suku ke-6? Gampang. Kita tinggal masukkan nilai-nilai yang udah kita kenal baik itu ke dalam rumus.
Langkah Perhitungan Suku Keenam
Perhitungan untuk mencari U 6 dilakukan langkah demi langkah untuk meminimalisir kesalahan. Pertama, kita tuliskan rumusnya dengan parameter yang sudah diketahui.
U6 = a × r (6-1)
U 6 = (-10) × (-1/2) 5
Kita hitung dulu bagian pangkatnya: (-1/2) 5. Karena pangkatnya ganjil, hasilnya akan negatif. Perhitungannya: (-1) 5 = -1, dan (2) 5 = 32. Jadi, (-1/2) 5 = -1/32. Sekarang kita kalikan dengan a.
U6 = (-10) × (-1/32)
U 6 = 10/32
Hasil 10/32 bisa disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 2, sehingga diperoleh nilai akhir yang lebih rapi.
U6 = 5/16
Jadi, suku ke-6 dari barisan geometri -10, 5, -5/2, … adalah 5/16.
Menghitung Jumlah Enam Suku Pertama
Nah, kalau tadi kita cuma lihat satu suku, sekarang kita kumpulin semua dari suku pertama sampai suku keenam dan kita jumlahin. Ini namanya jumlah n suku pertama, dilambangkan S n. Untuk barisan geometri, ada dua rumus yang umum, dan pemilihannya tergantung pada nilai mutlak rasio (|r|).
Rumus pertama, S n = a(1 – r n) / (1 – r), biasanya dipakai jika |r| < 1 (rasionya pecahan, sehingga suku-sukunya mengecil). Rumus kedua, Sn = a(r n
-1) / (r – 1), lebih cocok untuk |r| > 1. Karena rasio kita, r = -1/2, memiliki |r| = 1/2 yang jelas kurang dari 1, maka kita pakai rumus yang pertama. Kedua rumus sebenarnya setara, tapi rumus pertama lebih stabil secara komputasi untuk rasio pecahan.
Proses Penjumlahan S6
Mari kita hitung jumlah 6 suku pertama (S 6) dengan rumus yang sudah dipilih. Kita masukkan nilai a = -10, r = -1/2, dan n = 6.
S6 = (-10) × [1 – (-1/2) 6] / [1 – (-1/2)]
S 6 = (-10) × [1 – (1/64)] / [1 + (1/2)]
S 6 = (-10) × [(64/64 – 1/64)] / (3/2)
S 6 = (-10) × (63/64) / (3/2)
Membagi dengan (3/2) sama dengan mengalikan dengan kebalikannya, yaitu (2/3). Maka perhitungannya menjadi:
S6 = (-10) × (63/64) × (2/3)
S 6 = (-10) × (126 / 192)
S 6 = (-10) × (21 / 32)
S 6 = -210 / 32
Nilai -210/32 dapat disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 2, sehingga diperoleh hasil akhir.
S6 = -105/16
Dengan demikian, total penjumlahan dari suku pertama hingga suku keenam adalah -105/16 atau -6.5625.
Memvisualisasikan Pola dan Pertumbuhan Barisan
Barisan kita ini punya karakter visual yang menarik. Karena rasionya negatif (-1/2), tandanya selalu bergantian antara negatif dan positif. Selain itu, karena nilai mutlak rasionya adalah 1/2 (kurang dari 1), nilai absolut setiap suku akan mengecil setengah dari suku sebelumnya. Bayangkan seperti bola yang memantul dengan ketinggian yang terus berkurang, tapi ke arah atas dan bawah bergantian.
Berdasarkan perhitungan sebelumnya, kita bisa urutkan suku-sukunya dari pertama sampai keenam untuk melihat polanya secara langsung.
- Suku ke-1 (U 1): -10
- Suku ke-2 (U 2): 5 (didapat dari -10 × -1/2)
- Suku ke-3 (U 3): -5/2 (didapat dari 5 × -1/2)
- Suku ke-4 (U 4): 5/4 (didapat dari -5/2 × -1/2)
- Suku ke-5 (U 5): -5/8 (didapat dari 5/4 × -1/2)
- Suku ke-6 (U 6): 5/16 (didapat dari -5/8 × -1/2)
Pola ini sangat konsisten. Setiap suku adalah hasil perkalian suku sebelumnya dengan -1/
2. Inilah kekuatan barisan geometri: dengan hanya dua informasi (a dan r), kita bisa memetakan seluruh rangkaian bilangan hingga suku ke-n.
Penerapan dalam Variasi Soal Lain
Konsep yang udah kita pelajari ini sangat fleksibel dan bisa diterapkan ke berbagai angka awal dan rasio. Supaya makin paham, coba kita lihat contoh barisan geometri lain dan bandingkan dengan barisan utama kita. Misalnya, ambil barisan dengan suku pertama (a) = 4 dan rasio (r) = 3. Barisannya akan meledak cepat karena r > 1, sangat berbeda dengan barisan kita yang mengecil.
Berikut tabel perbandingan antara barisan contoh dan barisan yang telah kita analisis, lengkap dengan perhitungan U 6 dan S 6-nya.
| Deskripsi | Barisan Utama | Barisan Contoh (a=4, r=3) |
|---|---|---|
| Suku Pertama (a) | -10 | 4 |
| Rasio (r) | -1/2 | 3 |
| U6 | 5/16 = 0.3125 | 4 × 35 = 972 |
| S6 | -105/16 ≈ -6.5625 | 4 × (36-1)/(3-1) = 1456 |
Tips terakhir untuk memastikan perhitunganmu benar: pertama, selalu verifikasi nilai a dan r dengan memeriksa setidaknya dua pembagian suku berurutan. Kedua, saat menghitung S n, pastikan kamu memilih rumus yang sesuai dengan nilai |r|. Ketiga, untuk mengecek U n, kamu bisa hitung U n-1 lalu kalikan dengan r, hasilnya harus sama dengan U n yang kamu hitung pakai rumus. Dengan langkah-langkah pengecekan ini, kamu bisa lebih percaya diri dengan jawabanmu.
Terakhir
Dengan suku keenam yang ditemukan dan jumlahnya dihitung, pola barisan ini akhirnya terungkap. Nilainya berganti tanda dan menyusut separuhnya, mendekati nirwana namun tak pernah menyentuhnya. Perjalanan melalui enam suku pertama ini bukan sekadar perhitungan, melainkan pengamatan sebuah irama matematis yang elegan dan tak terhindarkan, di mana setiap angka adalah gema dari sebelumnya, berbisik tentang rasio -½ yang mengendalikan segalanya.
Pertanyaan Umum (FAQ)
Mengapa rumus jumlah suku yang digunakan S_n = a(1 – r^n)/(1 – r) dan bukan rumus lainnya?
Karena nilai rasio (r) barisan ini adalah -½, dimana |r| = ½ yang kurang dari 1. Untuk rasio dengan nilai mutlak di bawah satu, rumus S_n = a(1 – r^n)/(1 – r) lebih stabil dan praktis digunakan dalam perhitungan.
Apakah barisan ini akan pernah mencapai nilai nol?
Tidak. Meskipun nilai mutlak suku-suku akan semakin mendekati nol karena dikali ½ setiap kali, tanda yang berganti (negatif/positif) dan sifat perkalian dengan pecahan akan membuat nilainya semakin kecil tak terhingga, tetapi tidak pernah tepat sama dengan nol.
Bagaimana cara cepat membedakan barisan geometri dengan barisan aritmatika?
Periksa rasio antar suku berurutan. Jika hasil bagi (bukan selisih) antara satu suku dengan suku sebelumnya selalu konstan, itu adalah barisan geometri. Pada barisan ini, 5 ÷ (-10) sama dengan (-5/2) ÷ 5, yaitu -½.
Apa aplikasi nyata dari barisan geometri seperti contoh ini?
Barisan dengan pola penyusutan dan pergantian tanda dapat memodelkan fenomena seperti peluruhan amplitudo pada ayunan yang meredam, atau flukuasi nilai investasi yang menyusut dengan faktor tertentu setiap periode.
