Barisan Geometri: Hitung U5 dari U1+U2+U3=21 dan U1U2U3=216. Kedengarannya seperti teka-teki angka yang bikin penasaran, kan? Soal ini bukan sekadar hafalan rumus, tapi lebih seperti petualangan kecil untuk menguak misteri di balik deret angka yang punya pola perkalian tetap. Kita akan bermain dengan suku pertama dan rasio, menyusun persamaan, dan pada akhirnya menemukan si suku kelima yang jadi target. Siap-siap untuk melihat bagaimana tiga informasi sederhana bisa membuka jalan untuk menyelesaikan satu teka-teki matematika yang cukup memuaskan.
Inti dari soal ini adalah menerjemahkan kalimat biasa menjadi bahasa matematika yang presisi. Diketahui jumlah tiga suku pertama adalah 21 dan hasil kali ketiganya adalah 216. Dengan rumus umum barisan geometri Un = a
– r^(n-1), di mana ‘a’ adalah suku pertama dan ‘r’ adalah rasio, kita bisa mengubah data tersebut menjadi sistem persamaan yang melibatkan ‘a’ dan ‘r’. Tantangannya adalah menemukan pasangan nilai yang memenuhi kedua syarat sekaligus, lalu melangkah lebih jauh untuk menghitung U5.
Pengantar dan Definisi Barisan Geometri
Bayangkan kamu punya selembar kertas, lalu kamu lipat sekali menjadi dua lapis. Lipat sekali lagi, jadi empat lapis. Lipat lagi, delapan lapis. Pola penambahan lapisan kertas itu—dari 1, 2, 4, 8, dan seterusnya—adalah contoh nyata dari barisan geometri. Konsep matematika yang satu ini bukan cuma teori, tapi pola yang sering kita temui dalam pertumbuhan bakteri, bunga majemuk, atau bahkan penyebaran informasi viral.
Inti dari barisan geometri adalah perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Setiap suku setelah suku pertama didapatkan dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan konstan yang disebut rasio (r). Suku pertama biasanya dilambangkan dengan a atau U1. Rumus sakti untuk mencari suku ke-n (U n) adalah:
Un = a × r n-1
Untuk memvisualisasikan polanya, perhatikan contoh sederhana ini:
- Contoh barisan dengan a = 3 dan r = 2: 3, 6, 12, 24, 48, …
- Contoh barisan dengan a = 81 dan r = ⅓: 81, 27, 9, 3, 1, …
Pola pertama menggambarkan pertumbuhan eksponensial, sementara pola kedua menunjukkan penurunan atau peluruhan. Keduanya sama-sama geometris.
Memahami dan Menguraikan Soal
Soal kita kali ini memberikan dua petunjuk penting tentang tiga suku pertama sebuah barisan geometri: jumlah dan hasil kalinya. Kita tahu U 1 + U 2 + U 3 = 21 dan U 1 × U 2 × U 3 = 216. Langkah pertama adalah menerjemahkan informasi ini ke dalam bahasa matematika yang lebih universal menggunakan rumus umum.
Jika suku pertama adalah a dan rasio adalah r, maka:
- U 1 = a
- U 2 = a × r
- U 3 = a × r 2
Dengan substitusi, dua petunjuk dari soal berubah menjadi:
- a + ar + ar2 = 21
- a × ar × ar 2 = 216
Persamaan kedua, yaitu persamaan perkalian, menyimpan pola yang elegan. Perkalian ketiga suku tersebut sebenarnya adalah a dikali a dikali a, lalu r pangkat (0+1+2).
a × ar × ar2 = a 3 × r 3 = (a × r) 3 = 216
Dari sini, kita bisa langsung menarik akar pangkat tiga: a × r = ∛216 = Nilai a × r ini bukan lain adalah suku kedua (U 2)! Jadi, kita sudah mendapatkan petunjuk kunci: U2 = 6 .
Menyusun dan Menyelesaikan Sistem Persamaan
Dengan ditemukannya U 2 = 6, persoalan menjadi jauh lebih sederhana. Kita punya dua hubungan: ar = 6 dan a + ar + ar 2 = 21. Karena ar sudah diketahui 6, kita bisa nyatakan a sebagai 6/r. Mari kita substitusi ke persamaan penjumlahan.
Substitusi a = 6/r ke dalam a + ar + ar 2 = 21:
(6/r) + 6 + (6/r)*r 2 = 21
(6/r) + 6 + 6r = 21
Kalikan seluruh persamaan dengan r untuk menghilangkan pecahan:
6 + 6r + 6r 2 = 21r
6r 2 + 6r – 21r + 6 = 0
6r 2
-15r + 6 = 0
Persamaan kuadrat ini bisa disederhanakan dengan membagi 3:
2r 2
-5r + 2 = 0
Kini kita faktorkan:
(2r – 1)(r – 2) = 0
Soal barisan geometri yang kasih tahu U1+U2+U3=21 dan U1U2U3=216 itu seru banget buat diutak-atik, karena kita diajak berpola layaknya Sinanthropus pekinensis memanfaatkan kekayaan alam sekitarnya , yaitu memanfaatkan data yang ada untuk bertahan dan menemukan solusi. Nah, setelah nemu rasio dan suku pertama, perhitungan untuk U5 pun jadi lebih mudah dan memuaskan, kan?
Dari sini, kita peroleh dua solusi untuk rasio (r):
- 2r – 1 = 0 → r = ½
- r – 2 = 0 → r = 2
Untuk setiap nilai r, kita cari nilai a yang bersesuaian menggunakan hubungan a = 6/r.
| Rasio (r) | Perhitungan a = 6/r | Suku Pertama (a) | Barisan Awal (U1, U2, U3) |
|---|---|---|---|
| 2 | a = 6 / 2 | 3 | 3, 6, 12 |
| ½ | a = 6 / (½) = 6 × 2 | 12 | 12, 6, 3 |
Menarik, bukan? Kedua solusi ini seperti bayangan cermin. Satu barisan naik, satu barisan turun, tetapi keduanya memiliki suku kedua yang sama (6) dan memenuhi syarat jumlah dan hasil kali yang diberikan.
Menghitung Suku Kelima (U5) dari Setiap Solusi: Barisan Geometri: Hitung U5 Dari U1+U2+U3=21 Dan U1U2U3=216
Tujuan akhir kita adalah mencari U 5. Rumus U n = a × r n-1 akan kita gunakan untuk kedua pasangan (a, r) yang telah kita temukan. Perhitungannya cukup straightforward.
Untuk solusi pertama (a=3, r=2):
- Rumus: U 5 = a × r 4
- Substitusi: U 5 = 3 × 2 4
- Hitung: 2 4 = 16, maka 3 × 16 = 48
Nah, coba kita pecahkan soal barisan geometri ini: U1+U2+U3=21 dan U1U2U3=216. Dari sini, kita bisa temukan rasio dan suku pertama, lalu hitung U5. Proses mencari nilai diri yang sejati juga mirip, perlu ketelitian untuk menemukan fondasi yang kuat. Makanya, memahami 3 Pentingnya Harga Diri itu krusial, karena seperti rumus barisan, ia memberi pola pasti untuk berkembang lebih baik.
Setelah paham prinsipnya, kembali ke hitungan, U5 pun bisa ditemukan dengan lebih percaya diri.
Untuk solusi kedua (a=12, r=½):
- Rumus: U 5 = a × r 4
- Substitusi: U 5 = 12 × (½) 4
- Hitung: (½) 4 = 1/16, maka 12 × (1/16) = 12/16 = ¾ atau 0.75
Berikut tabel ringkasan dari semua solusi yang mungkin:
| Suku Pertama (a) | Rasio (r) | Barisan Geometri | Suku Kelima (U5) |
|---|---|---|---|
| 3 | 2 | 3, 6, 12, 24, 48, … | 48 |
| 12 | ½ | 12, 6, 3, 1.5, 0.75, … | 0.75 atau ¾ |
Jadi, dari data yang diberikan, suku kelima (U 5) bisa bernilai 48 atau ¾, tergantung pada barisan mana yang dimaksud.
Pembahasan dan Verifikasi Hasil
Source: slidesharecdn.com
Keberadaan dua jawaban ini bukanlah kesalahan, melainkan cerminan dari sifat simetris dalam persamaan yang kita pecahkan. Kedua barisan tersebut sah sebagai barisan geometri dan sama-sama memenuhi semua kondisi awal. Mari kita verifikasi sekilas.
Untuk barisan pertama (3, 6, 12):
- Jumlah: 3 + 6 + 12 = 21 (sesuai).
- Hasil Kali: 3 × 6 × 12 = 216 (sesuai).
Untuk barisan kedua (12, 6, 3):
- Jumlah: 12 + 6 + 3 = 21 (sesuai).
- Hasil Kali: 12 × 6 × 3 = 216 (sesuai).
Interpretasinya menarik. Barisan pertama dengan r = 2 menggambarkan pertumbuhan yang meledak. Dari suku pertama ke kelima, nilainya melonjak dari 3 menjadi 48. Barisan ini bisa merepresentasikan penyebaran berita bohong yang berantai, dimana setiap orang memberitahu dua orang lainnya.
Sebaliknya, barisan kedua dengan r = ½ menunjukkan penyusutan atau peluruhan yang stabil. Nilainya menyusut dari 12 menjadi hanya 0.75 di suku kelima. Pola seperti ini mirip dengan peluruhan radioaktif atau penyusutan nilai aset secara tetap. Kedua skenario ini valid, dan konteks soal tambahan biasanya yang menentukan mana jawaban yang paling tepat.
Aplikasi dan Latihan Serupa
Soal dengan pola seperti ini—memberikan hubungan jumlah dan hasil kali suku-suku barisan geometri—cukup umum. Kuncinya seringkali terletak pada menyederhanakan persamaan perkalian untuk menemukan suku tengah, seperti yang kita lakukan hingga menemukan U 2 = 6. Strategi ini adalah senjata ampuh.
Misalnya, coba hadapi variasi soal ini: Diketahui tiga suku berurutan suatu barisan geometri memiliki jumlah 14 dan hasil kali 64. Tentukan suku pertama dan rasio barisan tersebut.
Petunjuk Penyelesaian: Nyatakan tiga suku sebagai (a/r), a, dan (a×r). Dengan notasi ini, suku tengahnya adalah ‘a’. Maka, hasil kali ketiganya adalah a 3 = 64, yang langsung memberi nilai a = 4. Selanjutnya, substitusi ke persamaan penjumlahan (4/r) + 4 + 4r = 14 untuk mencari nilai r.
Tips utama dalam mengenali dan menyelesaikan soal model begini adalah:
- Identifikasi bahwa soal membahas suku-suku berurutan (biasanya 3 suku) dari barisan geometri.
- Pertimbangkan untuk menulis suku-suku dalam bentuk yang melibatkan suku tengah (a/r, a, ar) agar perkaliannya menjadi sederhana, yaitu a 3.
- Selalu ingat bahwa hasil dari perhitungan bisa memberikan lebih dari satu solusi (rasio >1 atau antara 0 dan 1), dan keduanya perlu diperiksa.
- Setelah menemukan a dan r, jangan lupa tujuan akhir soal, apakah mencari suku tertentu, jumlah suku, atau lainnya.
Dengan berlatih mengotak-atik pola ini, kamu akan makin lihai menangkap logika di balik deret angka yang tampaknya rumit.
Pemungkas
Jadi, dari teka-teki awal U1+U2+U3=21 dan U1U2U3=216, kita berhasil menemukan dua jawaban untuk U5, yaitu 96 dan 3/
2. Keduanya sah dan valid, hanya menggambarkan karakter barisan yang berbeda: satu naik dengan cepat, satunya turun perlahan. Proses ini mengajarkan bahwa dalam matematika, sering ada lebih dari satu jalan yang benar, dan verifikasi adalah kunci untuk memastikan kita tidak salah langkah.
Selanjutnya, coba terapkan logika yang sama pada variasi soal lain; siapa tahu kamu akan menemukan pola dan keindahan tersendiri dalam menyelesaikannya.
Panduan Tanya Jawab
Apakah soal seperti ini sering muncul dalam ujian?
Ya, soal yang menggabungkan hubungan penjumlahan dan perkalian suku barisan geometri cukup sering muncul, baik dalam ujian sekolah maupun tes masuk perguruan tinggi, karena menguji pemahaman konsep dan kemampuan aljabar.
Mengapa bisa ada dua jawaban untuk U5?
Karena sistem persamaan yang terbentuk dari data soal (berpangkat tiga) dapat menghasilkan lebih dari satu pasangan solusi (a, r) yang valid. Setiap pasangan akan membentuk barisan geometri yang berbeda, sehingga nilai U5-nya juga berbeda.
Bagaimana jika hasil kali U1U2U3-nya negatif, apakah cara penyelesaiannya sama?
Prinsipnya sama, yaitu menyusun persamaan a
– ar
– ar² = a³r³. Namun, jika hasilnya negatif, maka a atau r (atau keduanya) harus negatif, yang akan memengaruhi tanda dalam perhitungan dan kemungkinan solusi yang dihasilkan.
Apakah metode ini bisa dipakai untuk mencari suku lain, misalnya U7 atau U10?
Tentu bisa. Setelah nilai a dan r ditemukan, kita bisa menghitung suku ke-n apa pun menggunakan rumus Un = a
– r^(n-1). Mencari U5, U7, atau U10 hanya berbeda pada nilai ‘n’ yang disubstitusikan.
