Diketahui 2log5 = a, 5log7 = b; tentukan log35 40. Soal ini seperti sebuah teka-teki aljabar yang menantang, di mana beberapa potongan informasi diberikan sebagai kunci untuk membuka peti harta karun bernilai logaritma. Di balik tampilannya yang hanya berupa huruf dan angka, tersembunyi sebuah perjalanan penalaran yang elegan, mengajak kita untuk merangkai sifat-sifat logaritma menjadi jembatan menuju solusi.
Permasalahan ini menguji pemahaman mendasar tentang hubungan antar basis logaritma dan keterampilan manipulasi aljabar. Dengan memanfaatkan variabel a dan b yang diberikan, tujuan akhirnya adalah mengekspresikan nilai log 40 dengan basis 35 ke dalam bentuk yang hanya terdiri dari a dan b, mengungkap keindahan matematika di mana ekspresi yang kompleks dapat diurai menjadi komponen-komponen yang lebih sederhana.
Pengantar dan Pemahaman Dasar Soal Logaritma
Soal ini memberikan kita dua informasi logaritma dengan basis yang berbeda-beda, dinyatakan dalam variabel a dan b. Notasi seperti 2log 5 dibaca “logaritma 5 dengan basis 2”, yang secara matematis menjawab pertanyaan: “2 pangkat berapa hasilnya 5?”. Nilai dari logaritma ini diberikan sebagai variabel a. Demikian pula, 5log 7 = b. Tujuan kita adalah mengekspresikan nilai dari log 35 40, yang dapat ditulis sebagai log 3540, ke dalam bentuk yang hanya melibatkan a dan b.
Perhatikan bahwa soal akhir, log 35 40, menggunakan basis 35 dan numerus 40. Sementara itu, informasi yang diberikan melibatkan basis 2 dan 5, serta numerus 5 dan 7. Kunci penyelesaiannya terletak pada kemampuan kita untuk mengubah basis logaritma tersebut dan memecah numerus 35 dan 40 menjadi faktor-faktor prima yang berkaitan dengan angka 2, 5, dan 7. Dengan demikian, kita dapat menjembatani informasi yang tersedia dengan pertanyaan yang diajukan.
Arti Notasi dan Identifikasi Basis
Mari kita tuliskan kembali informasi dari soal dengan lebih eksplisit untuk memudahkan analisis. Dua persamaan dasar yang kita miliki adalah:
a = 2log 5
b = 5log 7
Sedangkan tujuan kita adalah mencari nilai dari:
log3540 = 35log 40
Untuk menyatukan bahasa, kita akan sering menggunakan sifat perubahan basis ke basis 10 (log biasa) karena lebih universal. Hubungan penting yang perlu diingat adalah: plog q = (log q) / (log p). Dengan demikian, variabel a dan b dapat kita tulis ulang sebagai:
- a = (log 5) / (log 2)
- b = (log 7) / (log 5)
Dari sini terlihat rantai hubungan yang jelas: log 5 dihubungkan dengan log 2 via a, dan log 7 dihubungkan dengan log 5 via b.
Penerapan Sifat-Sifat Logaritma yang Relevan
Langkah pertama adalah mengubah bentuk log 3540 menjadi ekspresi yang menggunakan basis 10, sehingga kita bisa memanipulasi menggunakan sifat-sifat logaritma standar. Menggunakan rumus perubahan basis, kita peroleh:
log3540 = (log 40) / (log 35)
Sekarang, tugas kita adalah menyederhanakan pembilang (log 40) dan penyebut (log 35). Di sinilah sifat-sifat penjumlahan, pengurangan, dan pemfaktoran logaritma berperan. Kita dapat memecah numerus berdasarkan faktorisasi primanya.
- log 40 = log (8 × 5) = log (2 3 × 5) = 3 log 2 + log 5
- log 35 = log (5 × 7) = log 5 + log 7
Dengan substitusi, bentuk log 3540 kini menjadi:
log3540 = (3 log 2 + log 5) / (log 5 + log 7)
Ekspresi ini sudah lebih dekat karena hanya mengandung log 2, log 5, dan log 7. Selanjutnya, kita perlu menyatakan ketiga logaritma ini dalam bentuk variabel a dan b yang diberikan.
Memecah dan Mengubah Basis
Proses memecah log 40 dan log 35 menjadi bagian-bagian yang lebih kecil adalah inti dari penyederhanaan. Pendekatan ini memungkinkan kita untuk melihat komponen penyusun yang sama antara pembilang dan penyebut, serta menghubungkannya dengan informasi awal. Perhatikan bahwa log 2 muncul dari pemfaktoran 40, sementara log 7 muncul dari pemfaktoran 35. Log 5 muncul di kedua bagian, menjadi penghubung utama.
Menyusun Hubungan antara Variabel dan Nilai Logaritma
Dari definisi a dan b, kita dapat menyusun sebuah tabel yang memetakan hubungan penting antar variabel dan bentuk logaritmanya. Tabel ini membantu kita melihat semua relasi secara sekilas.
| Variabel | Bentuk Asal | Bentuk Ekuivalen | Ekspresi dalam log basis 10 |
|---|---|---|---|
| a | 2log 5 | (log 5)/(log 2) | log 5 = a · log 2 |
| b | 5log 7 | (log 7)/(log 5) | log 7 = b · log 5 |
| – | Hubungan log 2 | Dari a = (log 5)/(log 2) | log 2 = (log 5) / a |
Blockquote berikut merangkum strategi kunci untuk mengungkap nilai semua komponen:
Variabel a dan b membentuk sebuah rantai: log 2 → (dikalikan a) → log 5 → (dikalikan b) → log 7. Oleh karena itu, jika kita dapat menyatakan log 2 dalam bentuk log 5 (atau sebaliknya), kita bisa menyatukan seluruh ekspresi. Strategi yang efisien adalah memilih log 5 sebagai “pivot” atau variabel perantara utama.
Dari tabel, kita punya dua persamaan sangat berguna: log 5 = a · log 2 dan log 7 = b · log 5. Jika kita ingin mengeliminasi log 2, kita bisa nyatakan log 2 = (log 5)/a.
Proses Penyederhanaan dan Substitusi Aljabar
Sekarang kita siap melakukan substitusi bertahap ke dalam bentuk yang telah kita peroleh: (3 log 2 + log 5) / (log 5 + log 7). Tujuan kita adalah membuat semua suku hanya bergantung pada log 5, a, dan b.
Pertama, substitusi log 7 = b · log 5 ke dalam penyebut:
Penyebut: log 5 + log 7 = log 5 + b · log 5 = log 5 (1 + b)
Kedua, kita perlu menangani pembilang (3 log 2 + log 5). Karena log 2 = (log 5)/a, maka:
Pembilang: 3 log 2 + log 5 = 3 · (log 5 / a) + log 5 = log 5 · (3/a + 1) = log 5 · ((3 + a)/a)
Kini, kita gabungkan pembilang dan penyebut:
log3540 = [log 5 · ((3 + a)/a)] / [log 5 · (1 + b)]
Faktor log 5 yang sama pada pembilang dan penyebut dapat kita coret, asalkan log 5 ≠ 0 (yang benar, karena 5 ≠ 1). Hasil akhir penyederhanaan aljabar adalah:
log3540 = (3 + a) / (a · (1 + b))
Diagram Alur Transformasi, Diketahui 2log5 = a, 5log7 = b; tentukan log35 40
Proses dari soal awal hingga solusi akhir dapat divisualisasikan melalui diagram alur transformasi berikut: Dimulai dari informasi awal (a = 2log 5, b = 5log 7) dan tujuan (log 3540). Langkah pertama adalah perubahan basis tujuan ke basis 10, menjadi (log 40)/(log 35). Kemudian, masing-masing log 40 dan log 35 difaktorkan menjadi (3 log 2 + log 5) dan (log 5 + log 7).
Selanjutnya, dilakukan substitusi hubungan dari variabel a dan b: log 2 = (log 5)/a dan log 7 = b · log 5. Substitusi ini menghasilkan bentuk [log 5 · (3+a)/a] / [log 5 · (1+b)]. Tahap terakhir adalah penyederhanaan dengan mencoret faktor log 5 yang sama, menghasilkan ekspresi final (3+a)/(a(1+b)).
Pemaparan Solusi Akhir dan Verifikasi: Diketahui 2log5 = a, 5log7 = b; Tentukan Log35 40
Setelah melalui serangkaian penerapan sifat logaritma dan manipulasi aljabar, kita memperoleh solusi akhir yang elegan:
log3540 = (3 + a) / (a(1 + b)), dengan a = 2log 5 dan b = 5log 7.
Untuk memverifikasi kebenaran bentuk ini, kita dapat membandingkannya dengan metode penyusunan alternatif, misalnya dengan menjadikan log 2 sebagai pivot. Tabel berikut membandingkan dua pendekatan:
| Metode | Pivot/Variabel Utama | Bentuk Sebelum Penyederhanaan | Hasil Setelah Penyederhanaan |
|---|---|---|---|
| 1 (Digunakan) | log 5 | [log5·(3+a)/a] / [log5·(1+b)] | (3+a)/(a(1+b)) |
| 2 (Alternatif) | log 2 | [3 log2 + a log2] / [a log2 + a b log2] | (3+a)/(a(1+b)) |
Kedua metode menghasilkan bentuk akhir yang identik, yang mengindikasikan konsistensi solusi. Sebagai pengecekan numerik, mari kita ambil nilai pendekatan. Misalkan kita anggap a ≈ 2.321928 dan b ≈ 1.209062 (nilai ini didapat dari kalkulator dengan log 5 / log 2 dan log 7 / log 5). Substitusi ke rumus kita: (3 + 2.321928) / (2.321928
– (1 + 1.209062)) ≈ 5.321928 / (2.321928
– 2.209062) ≈ 5.321928 / 5.129 ≈ 1.
0376. Sekarang, hitung langsung log 3540 dengan kalkulator: log 40 / log 35 ≈ 1.60206 / 1.544068 ≈ 1.0376. Nilainya cocok, yang mengonfirmasi kebenaran ekspresi aljabar yang kita temukan.
Terakhir
Setelah melalui proses dekomposisi, substitusi, dan penyederhanaan yang sistematis, akhirnya teka-teki logaritma itu terpecahkan. Hasil akhirnya, yang dinyatakan dalam a dan b, bukan sekadar jawaban, melainkan bukti nyata bahwa berbagai bagian dalam matematika saling terhubung. Perjalanan menyelesaikan soal ini mengajarkan bahwa dengan memahami fondasi sifat-sifat logaritma, bahkan persoalan yang tampak rumit dapat ditelusuri langkah demi langkah hingga mencapai kejelasan, sebuah pencapaian yang memuaskan sekaligus mengasah ketajaman berpikir logis.
FAQ dan Informasi Bermanfaat
Mengapa soal ini tidak langsung meminta nilai numerik, melainkan ekspresi dalam a dan b?
Soal ini dirancang untuk menguji kemampuan manipulasi aljabar dan penguasaan sifat logaritma, bukan sekadar perhitungan kalkulator. Menyatakan jawaban dalam variabel yang diberikan membuktikan pemahaman konseptual tentang hubungan antar logaritma.
Apakah log35 40 sama dengan log 40/35?
Tidak sama. Notasi log35 40 berarti logaritma dari 40 dengan basis 35. Sementara log 40/35 (tanpa basis tertulis) biasanya berarti logaritma biasa (basis 10) dari bilangan pecahan 40/35, yaitu log(40)
-log(35). Soal ini meminta yang pertama, yaitu ³⁵log 40.
Bagaimana jika variabel yang diberikan berbeda, misalnya ³log5 = a dan ⁵log2 = b?
Prinsip penyelesaiannya tetap sama: gunakan sifat perubahan basis dan dekomposisi numerus. Namun, ekspresi aljabar akhirnya akan berbeda karena hubungan antara log 2, log 5, dan log 7 yang diwakili oleh variabel a dan b akan berubah bentuk.
Apakah hasil akhirnya selalu berupa pecahan aljabar?
Dalam soal seperti ini, sangat mungkin hasil akhirnya berupa pecahan aljabar yang melibatkan a dan b, karena prosesnya melibatkan penyederhanaan ekspresi yang berasal dari pengurangan dan penjumlahan beberapa logaritma.
