Diketahui Barisan Geometri U3 27 dan U5 243 Tentukan Rasio Suku Pertama Rumus Un

Diketahui barisan geometri dengan suku ke-3 = 27 dan suku ke-5 = 243. Tentukanlah: a. Rasionya b. Suku pertamanya c. Rumus suku ke-n – Diketahui barisan geometri dengan suku ke-3 = 27 dan suku ke-5 =
243. Tentukanlah: a. Rasionya b. Suku pertamanya c. Rumus suku ke-n.

Soal ini mungkin terlihat seperti teka-teki angka biasa, tapi sebenarnya ini adalah kunci untuk membuka pola pertumbuhan yang eksponensial, mirip seperti cara virus menyebar atau bunga majemuk mengembang di tabunganmu. Barisan geometri bukan sekadar deret angka di buku, ia adalah logika di balik ledakan konten viral di media sosial hingga desain fraktal yang memukau.

Nah, sebelum kita mengutak-atik angka 27 dan 243 itu, mari kita sepakati dulu dasarnya. Dalam barisan geometri, setiap suku didapat dari suku sebelumnya dengan dikali sebuah bilangan tetap yang disebut rasio. Ini berbeda dengan barisan aritmatika yang hanya menambah atau mengurangi. Di sini, kita punya dua petunjuk: suku ketiga dan kelima. Dengan dua info saja, kita bisa mengungkap seluruh rahasia barisan ini, mulai dari awal ceritanya (suku pertama), kecepatan perkembangannya (rasio), hingga rumus untuk meramal suku ke-seratus sekalipun.

Mengenal Barisan Geometri: Ketika Perkalian Menjadi Pola

Dalam matematika, kita sering menemukan pola bilangan yang tersusun rapi. Salah satu pola yang paling menarik dan punya kekuatan luar biasa adalah barisan geometri. Barisan geometri adalah sederet bilangan dimana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Dua aktor utama dalam barisan ini adalah suku pertama (biasa dilambangkan dengan ‘a’) dan rasio (dilambangkan dengan ‘r’).

Bayangkan kamu menabung dengan sistem bunga majemuk, dimana bunga tahun ini ditambahkan ke tabungan dan ikut menghasilkan bunga di tahun depan. Pertumbuhan tabunganmu itu membentuk barisan geometri. Atau, fenomena peluruhan radioaktif, dimana jumlah zat radioaktif berkurang setengahnya setiap periode waktu tertentu, juga mengikuti pola barisan geometri, meski rasionya kurang dari satu. Pola ini sangat berbeda dengan barisan aritmatika yang berselisih tetap melalui penjumlahan atau pengurangan.

Jika aritmatika itu seperti naik tangga dengan anak tangga yang sama tingginya, geometri adalah seperti melompat dengan jarak lompatan yang selalu dikalikan.

Definisi dan Komponen Utama Barisan Geometri

Secara formal, barisan U1, U2, U3, …, Un disebut barisan geometri jika untuk setiap bilangan asli n memenuhi hubungan Un/Un-1 = r, dengan r adalah konstanta. Suku pertama (a) adalah fondasi, titik awal dari mana seluruh barisan dimulai. Rasio (r) adalah mesin penggeraknya, faktor pengali yang menentukan arah dan kecepatan pertumbuhan. Jika |r| > 1, barisan akan meledak membesar (divergen).

Jika |r| < 1, barisan akan menyusut menuju nol (konvergen). Jika r negatif, barisan akan berselang-seling antara positif dan negatif.

Rumus dan Hubungan Antar Suku: Kunci Memecahkan Pola

Setelah memahami konsep dasarnya, kita perlu membekali diri dengan senjata utama: rumus. Dengan rumus, kita bisa mengetahui suku ke berapa pun tanpa harus menuliskan semua suku sebelumnya. Rumus suku ke-n dari barisan geometri dinyatakan sebagai Un = a
– r^(n-1). Dari rumus sederhana ini, kita bisa melihat hubungan yang sangat jelas: posisi suku (n) menentukan berapa kali rasio (r) dikalikan terhadap suku pertama (a).

Misalnya, untuk mencari suku ke-5, kita mengalikan suku pertama dengan rasio yang dipangkatkan (5-1) atau 4 kali. Hubungan ini memungkinkan kita bekerja mundur. Jika diketahui dua suku, seperti U3 dan U5, kita bisa menemukan rasio dengan memanfaatkan sifat eksponen. Karena U5 = a
– r^4 dan U3 = a
– r^2, maka U5 / U3 = (a
– r^4) / (a
– r^2) = r^2.

Jadi, rasio adalah akar dari hasil bagi dua suku yang jaraknya diketahui.

Tabel Hubungan Posisi Suku dan Rumus

Untuk memvisualisasikan hubungan antara posisi suku (n), suku pertama (a), rasio (r), dan rumus Un, tabel berikut memberikan gambaran yang jelas. Perhatikan bagaimana pangkat dari rasio selalu satu kurang dari indeks suku.

Menentukan Rasio dari Dua Suku yang Diketahui

Langkah krusial dalam menyelesaikan soal adalah menemukan rasio dengan benar. Dari hubungan U5 / U3 = r^2, kita dapat menyimpulkan bahwa r adalah akar dari (U5 / U3). Namun, perlu kehati-hatian karena akar kuadrat memiliki dua kemungkinan: positif dan negatif. Konteks soal atau suku-suku lain biasanya menentukan mana yang dipilih. Dalam kasus soal kita, U3=27 dan U5=243, hasil baginya adalah 9, dan akar kuadrat dari 9 adalah 3 atau -3.

Kita perlu analisis lebih lanjut untuk memastikannya.

Membongkar Soal: Dari Data Menuju Rumus: Diketahui Barisan Geometri Dengan Suku Ke-3 = 27 Dan Suku Ke-5 = 243. Tentukanlah: A. Rasionya B. Suku Pertamanya C. Rumus Suku Ke-n

Source: amazonaws.com

Sekarang, mari kita terapkan ilmu yang sudah dipelajari untuk membedah soal: Diketahui suku ke-3 = 27 dan suku ke-5 = 243. Tujuan kita adalah menemukan rasionya, suku pertamanya, dan akhirnya merumuskan suku ke-n. Proses ini seperti menyusun puzzle; kita mulai dari bagian yang paling memungkinkan untuk disambungkan, yaitu hubungan antara U3 dan U5 untuk menemukan rasio.

Prosedur Mencari Rasio (r)

Kita mulai dengan menuliskan apa yang diketahui berdasarkan rumus umum:
U3 = a
– r^2 = 27
U5 = a
– r^4 = 243
Dengan membagi persamaan U5 dengan U3, variabel ‘a’ yang belum diketahui akan tereliminasi.
(a
– r^4) / (a
– r^2) = 243 / 27
r^2 = 9
Dari sini, kita peroleh r = ±√9 = 3 atau -3.

Karena semua suku yang disebutkan (27 dan 243) bernilai positif, dan pola dari 27 ke 243 adalah perkalian, rasio yang konsisten adalah r = 3. Rasio negatif akan menghasilkan suku-suku yang berselang-seling tanda.

Langkah Menemukan Suku Pertama (a)

Setelah rasio dikunci pada nilai 3, kita bisa memilih salah satu data yang diketahui, misalnya U3, untuk mencari suku pertama ‘a’. Substitusikan nilai r ke dalam persamaan U3.
a
– (3)^2 = 27
a
– 9 = 27
a = 27 / 9
Jadi, suku pertama dari barisan ini adalah a =
3. Kita bisa verifikasi dengan data kedua: a
– r^4 = 3
– (3)^4 = 3
– 81 = 243.

Cocok.

Perumusan Suku ke-n yang Spesifik

Dengan dua komponen kunci, a = 3 dan r = 3, kita tinggal memasukkan mereka ke dalam rumus umum. Rumus suku ke-n untuk barisan geometri pada soal ini adalah:

Un = 3
– 3^(n-1)

Rumus ini bisa disederhanakan dengan menggunakan sifat eksponen: 3
– 3^(n-1) = 3^1
– 3^(n-1) = 3^(1 + n – 1) = 3^n.
Jadi, rumus akhir yang lebih rapi adalah Un = 3^n. Coba tes untuk n=3: 3^3=27 (benar). Untuk n=5: 3^5=243 (benar). Rumus ini menunjukkan betapa elegannya barisan ini; setiap sukunya adalah pangkat dari 3.

Eksplorasi Lebih Dalam dan Penerapan

Menemukan rumus bukanlah akhir perjalanan. Justru, ini adalah awal untuk mengeksplorasi karakter barisan. Dengan r=3, barisan kita termasuk barisan geometri naik (divergen) yang sangat cepat pertumbuhannya. Coba bandingkan jika r=1/
2. Suku pertama yang sama (a=3) akan menghasilkan barisan: 3, 1.5, 0.75, …

yang justru menyusut menuju nol. Pemahaman ini vital dalam pemodelan fenomena dunia nyata, seperti inflasi, penyusutan aset, atau penyebaran informasi.

Pentingnya Identifikasi Suku yang Tepat

Satu kesalahan kecil dalam mengidentifikasi ‘n’ dapat menggiring pada jawaban yang seluruhnya salah. Sangat penting untuk memastikan bahwa nilai yang diberikan benar-benar sesuai dengan posisi sukunya.

Sebelum mulai menghitung, tuliskan terlebih dahulu hubungannya dalam bentuk rumus. Misal, “suku ke-3 = 27” harus segera ditranslasikan menjadi U3 = a
– r^2 = 27. Langkah sederhana ini meminimalisir kesalahan akibat salah menempatkan pangkat pada rasio.

Verifikasi Kebenaran Rumus Suku ke-n

Setelah mendapatkan rumus Un = 3^n, verifikasi adalah langkah wajib. Hitung ulang suku-suku yang diketahui menggunakan rumus baru tersebut. Untuk n=3, Un = 3^3 =
27. Untuk n=5, Un = 3^5 =
243. Hasilnya cocok dengan data soal.

Selanjutnya, coba hitung beberapa suku lain sebagai eksplorasi: U1 = 3^1 = 3 (sesuai dengan perhitungan a kita), U2 = 3^2 = 9, U4 = 3^4 =
81. Pola barisan menjadi jelas: 3, 9, 27, 81, 243, …

Melatih Kemampuan dengan Soal Variasi

Untuk menguasai konsep, latihan adalah kunci. Berikut dua soal dengan karakter berbeda yang menguji pemahamanmu tentang cara menentukan rasio, suku pertama, dan rumus suku ke-n. Coba selesaikan sebelum melihat petunjuk di bagian berikutnya.

Soal Latihan untuk Penguatan Konsep

1. Dalam suatu barisan geometri, diketahui suku ke-2 adalah 12 dan suku ke-4 adalah 108. Tentukanlah rasio, suku pertama, dan rumus suku ke-n dari barisan tersebut.
2. Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian dimana panjang potongan-potongan tersebut membentuk barisan geometri. Jika potongan terpendek 16 cm dan potongan terpanjang 256 cm, tentukan rasio pembagian dan panjang potongan ketiga.

Kesalahan Umum dalam Perhitungan Rasio dan Suku Pertama, Diketahui barisan geometri dengan suku ke-3 = 27 dan suku ke-5 = 243. Tentukanlah: a. Rasionya b. Suku pertamanya c. Rumus suku ke-n

Beberapa jebakan sering ditemui. Pertama, kesalahan menentukan pangkat ‘r’. Ingat, untuk suku ke-n, pangkat r adalah (n-1), bukan n. Kedua, lupa mempertimbangkan kemungkinan rasio negatif ketika mengambil akar. Ketiga, setelah menemukan rasio, langsung menggunakan nilai suku yang diketahui tanpa menyesuaikan pangkatnya untuk mencari ‘a’.

Bingung cari rasio dan suku pertama dari barisan geometri yang suku ke-3 = 27 dan suku ke-5 = 243? Tenang, prosesnya mirip kayak kamu lagi menyelesaikan soal cerita matematika sehari-hari, misalnya Diketahui harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp6.000,00, sedangkan harga 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,00. Jumlah uang yang. Nah, setelah kamu paham sistem persamaan linear dua variabel itu, balik lagi ke barisan geometri: cari dulu rasionya dengan membandingkan suku ke-5 dan ke-3, lalu temukan suku pertama (a), dan akhirnya rumus Un-nya pun akan ketemu dengan mudah!

Misal, jika menggunakan U2 = a
– r^1, pastikan kamu tidak salah menulis a
– r^2.

Menyusun Tabel Nilai Suku Berikutnya

Setelah rumus Un = 3^n ditemukan, menyusun tabel nilai menjadi mudah dan memperkuat intuisi tentang pertumbuhan eksponensial. Berikut tabel untuk 6 suku pertama:

Dari tabel, terlihat bagaimana dalam hanya 6 suku, nilai telah melonjak dari 3 menjadi
729. Ini adalah kekuatan barisan geometri dengan rasio lebih besar dari satu, sebuah konsep yang mendasari banyak fenomena ledakan, baik dalam keuangan, populasi, maupun teknologi.

Ringkasan Akhir

Jadi, begitulah ceritanya. Dari dua angka, 27 dan 243, kita berhasil mengurai sebuah pola lengkap: rasionya 3, suku pertamanya 3, dan rumus ajaibnya adalah Un = 3^n. Proses ini menunjukkan betapa matematika seringkali tentang menyambungkan titik-titik yang tersembunyi. Cobalah verifikasi dengan memasukkan n=3 dan n=5 ke rumus, pasti kembali ke angka awal. Sekarang, bayangkan kekuatan pola ini untuk memprediksi hal-hal lain.

Selanjutnya, coba terapkan logika yang sama pada soal latihanmu sendiri dan lihat pola apa yang akan kamu temukan.

Tanya Jawab Umum

Apakah rasio dalam barisan geometri selalu bilangan bulat positif seperti 3?

Tidak selalu. Rasio bisa berupa bilangan bulat positif, negatif, pecahan, atau bahkan desimal. Soal ini kebetulan menghasilkan rasio 3 yang bulat dan positif.

Nah, kalau kamu lagi belajar barisan geometri, misalnya soal di mana suku ke-3 = 27 dan suku ke-5 = 243, tugasmu cari rasio, suku pertama, dan rumus Un. Ini mirip konsep pola, kayak Diketahui Un adalah usia anak ke-n. (U1 – U2), (U2 – U3), (U3 – U4), (U4 – U5) adalah 2 tahun, 3 tahun, 4 tahun, dan 5 tahun.

Jika usia ibu dari anak- yang juga pakai notasi Un untuk urutan. Kembali ke soal geometri, dengan dua suku diketahui, kamu bisa turunin rumusnya dengan mudah, asal teliti menghitung selisih pangkatnya.

Bagaimana jika soalnya memberikan suku ke-5 dan suku ke-7, apakah cara menyelesaikannya sama?

Prinsipnya persis sama. Selama diketahui dua suku pada posisi berbeda, kita bisa mencari rasio dengan membandingkannya dan mencari selisih pangkatnya. Misal U5 dan U7, maka U7/U5 = r^(7-5) = r^2.

Mengapa saat mencari rasio kita harus mempertimbangkan akar positif dan negatif?

Karena jika rasio dipangkatkan bilangan genap (seperti r^2), hasilnya selalu positif. Jadi, dari persamaan r^2=9, nilai r bisa +3 atau -3. Konteks soal biasanya menentukan, tetapi secara umum kedua kemungkinan perlu dicek.

Apakah rumus suku ke-n yang kita dapat, Un = 3^n, bisa digunakan untuk mencari suku ke-nol (U0)?

Rumus Un = 3^n secara implisit dimulai dari n=1. Untuk mencari U0, kita perlu mendefinisikan ulang rumus atau mencari pola mundurnya. Dengan rumus ini, U0 akan menjadi 3^0 = 1, yang bukan lagi bagian dari barisan yang dimaksud jika suku pertamanya adalah 3.