Find the Maximum n for Consecutive Integers Summing to 55 Mencari Rentang Terpanjang

Find the Maximum n for Consecutive Integers Summing to 55 terdengar seperti teka-teki klasik yang memanggil nalar matematika kita. Bayangkan saja, ada sederetan bilangan bulat yang berbaris rapi, saling berpegangan tangan, dan ketika mereka semua dijumlahkan, hasilnya harus pas 55. Tantangannya adalah mencari berapa banyak anggota terbanyak dalam barisan itu. Soal ini bukan cuma tentang angka, tapi tentang pola, batasan, dan sedikit keajaiban aljabar yang tersembunyi di balik urutan bilangan sederhana.

Pada dasarnya, kita sedang berhadapan dengan deret aritmatika dengan beda satu. Misalnya, 9+10+11+12+13 itu sama dengan 55, yang berarti ada 5 bilangan (n=5). Namun, apakah bisa lebih panjang lagi? Apakah mungkin ada barisan 10 bilangan berurutan yang jumlahnya 55? Di sinilah petualangan dimulai.

Kita akan menelusuri menggunakan rumus jumlah deret, mengotak-atik persamaan, dan memvisualisasikannya sebagai tumpukan bata atau anak tangga yang total tingginya harus tepat 55 unit. Proses ini mengungkap hubungan elegan antara penjumlahan berurutan dan faktor-faktor bilangan.

Menelusuri Jejak Bilangan Bulat Berurutan yang Menari Menuju 55

Bayangkan sebuah barisan bilangan bulat yang tersusun rapi, seperti anak tangga yang naik satu per satu. Tantangannya adalah menemukan potongan tangga yang panjangnya tepat, sehingga jika kita menjumlahkan tinggi setiap anak tangganya, totalnya persis 55. Konsep ini merupakan jantung dari deret aritmatika, di mana selisih antara dua suku yang berurutan selalu konstan, dalam hal ini satu. Keindahan masalah ini terletak pada perpaduan antara intuisi visual dan ketelitian aljabar, mengajak kita untuk melihat pola di balik barisan angka yang tampak sederhana.

Penjumlahan bilangan bulat berurutan, misalnya dari suatu bilangan awal a sebanyak n suku, dapat dimodelkan dengan rumus jumlah deret aritmatika. Deret ini memiliki karakteristik yang elegan: jumlahnya setara dengan rata-rata suku pertama dan suku terakhir, dikalikan dengan banyaknya suku. Jika kita memulai dari bilangan a dan menjumlahkan n bilangan berurutan, suku terakhirnya adalah a + n – 1. Rata-ratanya adalah ( a + ( a + n – 1)) / 2, yang disederhanakan menjadi a + (n-1)/2.

Mengalikan rata-rata ini dengan n memberikan kita rumus klasik yang menjadi kunci pembuka masalah.

Contoh Kecil dan Hubungannya dengan Target 55, Find the Maximum n for Consecutive Integers Summing to 55

Sebelum menuju 55, mari kita pahami pola dengan contoh yang lebih kecil. Tabel berikut menunjukkan beberapa konfigurasi penjumlahan berurutan dan bagaimana elemen-elemennya berhubungan.

Dari contoh-contoh ini, terlihat bahwa untuk mencapai suatu jumlah tertentu, terdapat trade-off antara banyaknya suku ( n) dan nilai awal ( a). n yang besar cenderung membutuhkan a yang kecil, dan sebaliknya. Pertanyaannya, untuk jumlah 55, kombinasi n dan a seperti apa yang mungkin, dan berapa nilai n terbesar yang valid?

Pendekatan Aljabar Langkah Demi Langkah

Untuk menjawabnya, kita bangun persamaan dasar dari rumus jumlah deret aritmatika. Proses aljabarnya mengarah pada sebuah bentuk yang sangat informatif untuk dianalisis.

Jumlah S = n/2

(suku_pertama + suku_terakhir). Dengan suku pertama = a dan suku terakhir = a + n – 1, maka

• = n/2
• (a + (a + n – 1))
• = n/2
• (2a + n – 1)

Kalikan kedua ruas dengan 2: 110 = n

(2a + n – 1)

Persamaan terakhir, 110 = n(2a + n – 1), adalah fondasi kita. Ia menyatakan bahwa n dan (2a + n – 1) adalah sepasang faktor dari 110 yang hasil kalinya 110, dengan syarat bahwa a adalah bilangan bulat positif.

Ilustrasi Naratif: Anak Tangga dan Tumpukan Bata

Bayangkan kita memiliki tumpukan bata yang membentuk anak tangga. Tangga paling bawah memiliki tinggi a unit, tangga di atasnya a+1, dan seterusnya hingga tangga ke- n dengan tinggi a+n-1. Jika kita mengambil semua bata tersebut dan menyusunnya ulang menjadi sebuah dinding persegi panjang yang rapat, tinggi dinding itu adalah rata-rata dari tinggi tangga pertama dan terakhir, sedangkan lebarnya adalah banyaknya tangga ( n).

Luas dinding persegi panjang ini haruslah 55 satuan persegi. Pencarian kita adalah menemukan konfigurasi lebar (n) dan tinggi rata-rata yang memenuhi luas 55, dengan syarat susunan anak tangga asli harus dimulai dari bilangan bulat penuh. Visualisasi ini membantu menerjemahkan masalah penjumlahan menjadi masalah geometris yang lebih mudah dibayangkan.

Mengurai Batasan Nilai n Melalui Pendekatan Segitiga dan Faktor

Nilai n dalam konteks ini tidak bisa bernilai sembarang, meskipun secara matematis persamaan memiliki banyak solusi faktor. Terdapat batasan praktis yang muncul dari konteks soal, yaitu bahwa kita sedang membicarakan penjumlahan bilangan bulat positif berurutan. Batasan ini memberikan dua kendala utama: pertama, suku pertama a harus merupakan bilangan bulat positif (minimal 1). Kedua, karena kita mencari n maksimum, maka secara logika jika kita mulai dari 1, penjumlahan terpanjang yang mungkin adalah 1+2+3+…

hingga jumlahnya mendekati atau sama dengan 55. Jika jumlahnya melebihi 55, maka n tersebut sudah pasti terlalu besar.

Batasan teoritis juga muncul dari analisis persamaan 110 = n(2a + n – 1). Karena a minimal 1, maka (2a + n – 1) minimal bernilai (2*1 + n – 1) = n + 1. Ini berarti 110 = n
– (sesuatu) di mana “sesuatu” itu setidaknya n+1. Hal ini memberikan pertidaksamaan 110 ≥ n(n+1), yang membantu kita memperkirakan batas atas untuk n.

Di sisi lain, n jelas harus lebih kecil dari 55, karena menjumlahkan 55 bilangan positif berurutan sekalipun dimulai dari 1 akan jauh melebihi angka 55.

Faktor-faktor dari 110 dan Kaitannya dengan n

Kunci solusi terletak pada memfaktorkan 110 dan mencocokkannya dengan pasangan faktor yang memenuhi persamaan. Setiap pasangan faktor (n, m) dimana n
– m = 110, akan memberikan sebuah calon solusi untuk a melalui rumus m = 2a + n – 1. Tabel berikut mengeksplorasi kemungkinan-kemungkinan tersebut.

Dari tabel, terlihat bahwa hanya pasangan faktor di mana n lebih kecil dari faktor pasangannya (m) yang menghasilkan nilai a positif. Saat n dan m berdekatan (10 dan 11), kita mendapatkan nilai a=1, yang merupakan penjumlahan dari 1 hingga 10.

Strategi Menentukan Batas Maksimum n

Untuk mencari n maksimum, pendekatan paling efektif adalah mempertimbangkan penjumlahan dimulai dari bilangan bulat positif terkecil, yaitu 1. Penjumlahan 1+2+3+…+n dikenal dengan rumus n(n+1)/2. Kita ingin n(n+1)/2 ≤ 55. Nilai n terbesar yang memenuhi ini akan menjadi batas atas absolut untuk n dalam konteks bilangan positif. Jika penjumlahan dari 1 hingga n sudah melebihi 55, maka mustahil ada barisan berurutan lain dengan panjang n yang jumlahnya justru lebih kecil, 55.

Prosedur Pengujian dari n Besar ke Kecil

Daripada mencoba semua faktor, kita bisa mensistematiskan pencarian dengan menguji n dari nilai terbesar yang mungkin menurun. Logikanya sederhana: kita ingin n sebesar mungkin, jadi kita mulai dari calon terkuat.

Langkah 1: Cari n terbesar sehingga n(n+1)/2 ≤ 55. Untuk n=10, jumlahnya 55. Untuk n=11, jumlahnya 66 (terlalu besar). Jadi, n maksimum potensial adalah

10. Langkah 2

Periksa apakah n=10 merupakan solusi valid dengan menggunakan persamaan 110 = n(2a+n-1). Substitusi n=10: 110 = 10*(2a+9) → 11 = 2a+9 → 2a=2 → a=1. Valid.Langkah 3: Jika n=10 valid, itulah jawabannya. Jika tidak valid (a bukan bilangan bulat positif), kita uji n=9, n=8, dan seterusnya hingga menemukan yang valid. Dalam kasus ini, n=10 langsung memberikan solusi sempurna.

Visualisasi Geometris dari Masalah Penjumlahan Konsekutif Sebagai Luas: Find The Maximum N For Consecutive Integers Summing To 55

Ada cara lain yang sangat memukau untuk memahami masalah ini, yaitu melalui lensa geometri. Bayangkan setiap bilangan bulat positif direpresentasikan oleh sekumpulan kotak satuan yang disusun secara vertikal. Bilangan 5 diwakili oleh tumpukan 5 kotak, bilangan 6 oleh tumpukan 6 kotak, dan seterusnya. Menjumlahkan bilangan berurutan, seperti 5+6+7+8, setara dengan menyusun tumpukan-tumpukan tersebut berdampingan, membentuk sebuah bentuk yang mirip tangga.

Keajaiban terjadi ketika kita memotong dan menyusun ulang bentuk tangga ini menjadi sebuah persegi panjang yang rapat.

Proses penyusunan ulang ini secara aljabar setara dengan mengambil segitiga siku-siku dari kotak-kotak, memotongnya, dan memutarnya untuk melengkapi sebuah persegi panjang. Luas total dari persegi panjang baru ini adalah jumlah dari bilangan-bilangan tadi, yang dalam kasus kita adalah 55. Dengan demikian, masalah “menemukan barisan bilangan berurutan yang berjumlah 55” berubah menjadi “menemukan dimensi persegi panjang dengan luas 55 yang dapat dibentuk dari penyusunan ulang sebuah tangga berundak”.

Syaratnya, salah satu sisi persegi panjang (yang mewakili banyaknya suku, n) harus bilangan bulat, dan sisi lainnya (yang mewakili rata-rata suku) harus setengah dari bilangan ganjil, agar suku pertama berupa bilangan bulat.

Konfigurasi Persegi Panjang untuk Luas 55

Karena luasnya 55, maka pasangan panjang dan lebar yang mungkin (dalam konteks bilangan bulat) terbatas. Namun, tidak semua pasangan merepresentasikan penjumlahan bilangan berurutan. Hanya pasangan di mana salah satu dimensinya (n) dan dimensi lainnya (yang merupakan rata-rata suku) memenuhi hubungan khusus yang menghasilkan bilangan awal a yang bulat. Tabel berikut mengilustrasikannya.

Poin kritisnya adalah: representasi sebagai persegi panjang memperlihatkan bahwa n dan rata-rata suku adalah faktor dari 55. Namun, agar suku pertama bulat, jumlah n dan rata-rata suku harus berupa bilangan ganjil. Dalam kasus 10 x 5.5, 10 + 5.5 = 15.5 bukan bilangan bulat, tetapi ini kasus khusus karena n genap menghasilkan rata-rata berupa bilangan setengah.

Pola Bilangan Ganjil dan Keunikan Solusi

Hubungan dengan bilangan ganjil sangat dalam. Perhatikan bahwa persamaan 110 = n(2a + n – 1). Jika n adalah bilangan ganjil, maka (2a + n – 1) adalah bilangan genap, dan sebaliknya. Faktor 110 yang kita gunakan selalu melibatkan satu bilangan genap dan satu bilangan ganjil (karena 110 genap). Solusi untuk a akan bulat hanya jika selisih antara faktor genap dan faktor ganjil tersebut adalah 1.

Inilah mengapa pasangan (10,11) sangat istimewa—faktor genap (10) dan faktor ganjil (11) berselisih 1, menghasilkan a=1. Untuk 55, solusi dengan n=10 ini unik dalam arti sebagai penjumlahan berurutan terpanjang yang dimulai dari bilangan positif.

Proses Menyusun dan Membongkar Bentuk

Source: kastatic.org

Mari kita gambarkan proses untuk solusi n=10, a=
1. Bayangkan 10 tumpukan bata: tumpukan pertama tinggi 1, kedua tinggi 2, … hingga kesepuluh tinggi 10. Susunan sampingannya membentuk sebuah tangga miring. Sekarang, bayangkan memotong bagian tangga yang menjorok ke kanan (berbentuk segitiga siku-siku kecil dengan tinggi 9 dan alas 9) dan memindahkannya ke bagian atas untuk melengkapi sebuah persegi panjang.

Setelah disusun ulang, kita mendapatkan sebuah balok padat dengan lebar 10 bata (nilai n) dan tinggi 5.5 bata (rata-rata suku). Balok ini memiliki luas 10
– 5.5 = 55. Visualisasi dinamis ini menunjukkan dengan tepat bagaimana barisan diskrit bilangan bulat berubah menjadi sebuah bentuk kontinu (persegi panjang) yang luasnya mudah kita hitung, dan kemudian bagaimana kita bisa membalik prosesnya untuk menemukan barisan asal dari dimensi persegi panjang yang diketahui.

Eksplorasi Jalan Buntu dan Nilai n yang Tampak Menjanjikan Namun Salah

Dalam proses pencarian, beberapa nilai n mungkin terlihat sebagai kandidat kuat, terutama yang mendekati batas atas teoritis. Namun, analisis lebih lanjut menunjukkan bahwa nilai-nilai tersebut adalah jalan buntu. Misalnya, karena jumlah minimal dari n bilangan bulat positif berurutan adalah 1+2+…+n = n(n+1)/2, maka setiap n yang memenuhi n(n+1)/2 > 55 secara otomatis gagal. Bahkan jika kita mengizinkan suku pertama nol atau negatif, persyaratan bahwa semua suku dalam barisan berurutan harus positif (dalam interpretasi soal umum) membuat banyak nilai n besar menjadi tidak mungkin.

Nilai n seperti 11, 12, atau bahkan 20 sekalipun, sekilas mungkin tampak menarik karena mendekati 55, tetapi logika sederhana menghancurkan harapan itu. Untuk n yang besar, suku pertamanya akan dipaksa menjadi nol atau negatif agar jumlahnya hanya 55, yang relatif kecil. Sebagai contoh, untuk n=20, rata-rata sukunya harus 55/20 = 2.75. Suku pertama akan menjadi 2.75 – (20-1)/2 = 2.75 – 9.5 = -6.75.

Ini jelas bukan bilangan bulat positif, dan bahkan jika kita terima bilangan negatif, -6.75 bukan bilangan bulat.

Contoh Nilai n yang Salah dan Alasannya

• n = 11: Jumlah minimal 11 bilangan bulat positif berurutan adalah 1 hingga 11, yang berjumlah 66. Untuk mencapai total 55, kita harus mulai dari bilangan yang lebih kecil dari 1, yaitu 0. Barisan 0 hingga 10 berjumlah 55, tetapi 0 seringkali tidak dianggap sebagai bilangan bulat positif dalam banyak konteks soal.
• n = 15: Jumlah minimalnya (1 hingga 15) adalah 120, sudah jauh melebihi 55. Untuk menurunkan total menjadi 55, suku pertama harus negatif besar, dan hasil perhitungan a akan berupa pecahan, sehingga mustahil.
• n = 8: Ini bukan jalan buntu mutlak, karena bisa jadi solusi untuk a tertentu. Namun, jika kita mencari n maksimum, n=8 kalah dengan n=
  10. Uji cepat: 110 = 8*(2a+7) → 110/8 = 13.75 = 2a+7 → 2a=6.75 → a=3.375 (bukan bilangan bulat). Jadi, n=8 tidak memberikan solusi bilangan bulat.

Demonstrasi Perhitungan Kesalahan Umum

Kesalahan umum terjadi ketika seseorang lupa bahwa a harus bulat, dan hanya menyelesaikan persamaan untuk n tanpa memverifikasi syarat ini. Misalnya, seseorang mungkin mencoba n=9 karena terlihat sebagai faktor dari 110? Mari kita lihat.

Dengan n=9, masukkan ke persamaan: 110 = 9 – (2a + 8).Maka, 2a + 8 = 110 / 9 ≈ 12.222…Sehingga, 2a = 12.222… – 8 = 4.222…a = 2.111…Nilai a bukan bilangan bulat. Oleh karena itu, meskipun n=9 secara numerik memenuhi perkalian, ia gagal menghasilkan suku pertama bilangan bulat. Ini menunjukkan pentingnya verifikasi akhir terhadap sifat bilangan a.

Mencari nilai n maksimum untuk deret bilangan bulat berurutan yang jumlahnya 55 itu seperti memecahkan teka-teki numerik yang rapi. Logika sistematis semacam ini ternyata juga sangat dibutuhkan dalam merancang Tindakan yang Diperlukan di Industri dan Pertanian , di mana kita perlu menyusun strategi berkelanjutan secara bertahap. Nah, kembali ke soal tadi, penyelesaiannya melibatkan rumus deret aritmatika yang akhirnya mengungkap jawaban pasti untuk teka-teki angka tersebut.

Skenario dengan Bilangan Nol atau Negatif

Jika kita memperluas domain menjadi bilangan bulat non-positif, jawaban untuk “n maksimum” bisa berubah. Dengan mengizinkan suku pertama nol, kita mendapatkan solusi tambahan untuk n=11, yaitu barisan 0, 1, 2, …, 10 yang berjumlah 55. Jika kita mengizinkan suku pertama negatif, maka n bisa lebih besar lagi. Misalnya, mulai dari -4, barisannya adalah -4, -3, -2, …, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Jumlah dari -4 hingga 10 adalah 55, dan banyaknya suku (n) adalah 15. Dalam ekspansi teoretis ini, n bisa menjadi jauh lebih besar dengan memilih suku awal negatif yang cukup besar untuk menyeimbangkan penjumlahan ke angka 55 yang positif. Namun, konteks soal yang umum dan intuitif biasanya membatasi pada bilangan bulat positif, yang mengunci solusi maksimum pada n=10.

Penerapan Pola Deret dalam Konteks Permainan Teka-Teki dan Penalaran

Masalah seperti “Find the Maximum n” bukan hanya latihan aljabar kering; ia adalah inti dari banyak teka-teki logika dan permainan matematika yang menarik. Bayangkan sebuah game di mana pemain diberikan sebuah angka target (misalnya 55) dan satu set kartu bernomor berurutan. Tantangannya adalah mengambil sebanyak mungkin kartu berurutan dari tumpukan sehingga jumlah angka di kartu-kartu itu tepat sama dengan target.

Pemain harus menggunakan penalaran cepat: mengambil terlalu banyak kartu akan membuat jumlahnya meledak, mengambil terlalu sedikit mungkin tidak memenangkan poin maksimal. Masalah ini melatih estimasi, pemahaman pola bilangan segitiga, dan pengujian hipotesis secara sistematis.

Dalam kompetisi atau pembelajaran, masalah ini dapat disajikan sebagai tantangan berpikir kritis yang menghubungkan aritmatika, teori bilangan sederhana, dan strategi. Pendekatan yang digunakan—mulai dari eksplorasi, membuat dugaan berdasarkan batasan, menguji dengan rumus, dan memverifikasi—adalah cerminan dari metode ilmiah dalam skala kecil. Kemampuan untuk menerapkan kerangka kerja ini pada target berbeda, seperti 100, 500, atau 1024, mengasah keterampilan pemecahan masalah yang adaptif.

Langkah-langkah Penalaran dalam Memecahkan Masalah

Berikut adalah pemetaan langkah-langkah penalaran yang umum dilakukan, dari awal membaca soal hingga menemukan dan memverifikasi solusi.

Prosedur Workflow untuk Target Penjumlahan Lain

Berikut adalah alur kerja singkat yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah serupa dengan target sum S yang lain.

• Tentukan Target (S): Ganti angka 55 dengan S apa pun yang ingin diselidiki.
• Hitung Batas Atas n: Cari bilangan bulat n terbesar sehingga n(n+1)/2 ≤ S. Ini adalah titik awal pencarian.
• Bentuk Persamaan Kunci: Ubah menjadi 2S = n(2a + n – 1).
• Faktorkan dan Uji: Anggap n sebagai salah satu faktor dari 2S. Untuk setiap faktor n (dimulai dari yang terbesar hingga terkecil), hitung a = ( (2S / n)
  -n + 1 ) / 2.
• Verifikasi Syarat: Jika a yang dihitung adalah bilangan bulat positif (atau non-negatif, sesuai definisi soal), maka (n, a) adalah solusi. Solusi dengan n terbesar yang ditemukan adalah jawaban.
• Analisis Khusus: Perhatikan kasus di mana S sendiri adalah bilangan segitiga (seperti 55), karena solusi n terbesar seringkali adalah ketika a=1.

Ilustrasi Konseptual: Menyeimbangkan Piringan pada Tongkat

Bayangkan sebuah tongkat panjang (mistar) yang ditopang di tengahnya. Kita ingin menggantungkan piringan-piringan dengan berat berurutan 1 kg, 2 kg, 3 kg, dan seterusnya, pada sisi kanan tongkat, dengan jarak yang sama dari titik tumpu. Total momen gaya (berat x jarak) dari semua piringan di sisi kanan harus setara dengan momen gaya dari sebuah pemberat sebesar 55 kg yang digantung di satu titik tertentu di sisi kiri.

Mencari n terbesar yang mungkin analog dengan mencari berapa banyak piringan berurutan (dari yang ringan ke berat) yang dapat kita gunakan di sisi kanan agar total momennya setara dengan momen dari pemberat 55 kg di sisi kiri. Jika kita menggunakan terlalu banyak piringan, meski dimulai dari yang ringan, total momennya akan terlalu besar dan mengangkat sisi kiri. Pencarian kita adalah konfigurasi jumlah piringan (n) dan titik awal berat piringan (a) yang membuat sistem seimbang sempurna pada angka 55.

Analogi fisika ini memberikan dimensi intuitif baru tentang bagaimana bilangan berurutan “berkumpul” untuk mencapai suatu keseimbangan nilai tertentu.

Terakhir

Jadi, setelah melalui penelusuran aljabar, pemeriksaan faktor, dan visualisasi geometris, jawaban akhirnya terkuak. Nilai n maksimum untuk bilangan bulat berurutan yang menjumlah ke 55 adalah 10, dicapai oleh barisan 1 hingga 10 yang jumlahnya justru 55. Temuan ini menarik karena menunjukkan bahwa solusi terpanjang justru datang dari barisan yang dimulai dari angka paling dasar, yaitu 1. Masalah ini mengajarkan bahwa terkadang solusi yang paling elegan dan ekstrem seringkali bersembunyi di tempat yang paling sederhana.

Ia tidak hanya sekadar latihan hitung, tetapi juga latihan berpikir tentang batasan, pola, dan bagaimana struktur matematika yang rapi bisa menjawab pertanyaan yang tampaknya cuma main tebak-tebakan.

Pertanyaan dan Jawaban

Apakah angka 55 istimewa sehingga punya solusi ini?

Tidak terlalu istimewa secara khusus. Banyak bilangan bulat memiliki representasi sebagai jumlah bilangan berurutan. Keunikan 55 adalah sebagai bilangan segitiga (jumlah 1 sampai 10), yang otomatis memberikan satu solusi dengan n=10.

Bagaimana jika bilangannya tidak harus positif, boleh negatif?

Jika diperbolehkan bilangan negatif, maka nilai n maksimum secara teoritis bisa tak terhingga. Kita bisa membuat barisan seperti -100, -99, …, hingga bilangan positif yang panjang, di mana jumlah bagian negatif dan positifnya saling meniadakan hingga tersisa 55. Namun, konteks soal umumnya membatasi pada bilangan bulat positif.

Apakah metode ini bisa dipakai untuk angka selain 55, misal 100?

Sangat bisa. Rumus dan logika yang sama berlaku. Cari faktor-faktor dari 2S (dalam hal ini 200), lalu cari pasangan faktor yang menghasilkan n bilangan bulat positif. Workflow-nya tetap sistematis untuk target berapa pun.

Mengapa harus difaktorisasi 2S (110) dan bukan S (55) langsung?

Karena dari manipulasi rumus jumlah deret S = n/2
– (2a + n – 1), kita peroleh 2S = n
– (2a + n – 1). Analisis faktor dari 2S memudahkan kita mencocokkan nilai n dan (2a + n – 1) sebagai pasangan faktor yang perkaliannya 2S.

Apakah ada kemungkinan lebih dari satu jawaban untuk n yang sama panjangnya?

Untuk target jumlah (S) tertentu, nilai n yang maksimum biasanya unik. Namun, sebuah angka bisa memiliki beberapa representasi sebagai jumlah bilangan berurutan dengan n yang berbeda-beda. Misal, 55 bisa didapat dari n=5 (9,10,11,12,13) dan n=10 (1 sampai 10), tetapi nilai n terbesar hanya satu, yaitu 10.