Hitung n/14C2 jika 8C4 = n (pencacahan kelas 11 SMA) terdengar seperti teka-teki angka yang bikin penasaran, ya? Soal kombinasi macam ini sering bikin deg-degan, tapi sebenarnya punya logika yang rapi dan elegan. Di balik notasi nCr yang terlihat menyeramkan itu, tersembunyi pola berhitung yang sangat powerful untuk memecahkan masalah pemilihan dan pengelompokan.
Topik ini mengajak kita menyelami dasar-dasar kombinatorik, dimulai dari memahami arti sebenarnya dari simbol 8C4, menghitung nilai ‘n’ yang misterius itu, lalu menggunakannya untuk menyelesaikan ekspresi pembagian dengan kombinasi lain, yaitu 14C2. Prosesnya seperti menyusun puzzle, di mana setiap langkah perhitungan faktorial akan membawa kita selangkah lebih dekat ke jawaban akhir yang memuaskan.
Pengantar Kombinatorik dan Notasi nCr
Sebelum kita menyelami soal yang spesifik, mari kita pahami dulu pondasinya. Kombinatorik, khususnya bagian pencacahan, adalah seni menghitung tanpa harus mendaftar satu per satu. Bayangkan kamu punya 8 buku bagus dan ingin memilih 4 untuk dibawa liburan. Berapa banyak cara memilihnya? Urutan bawa buku A, B, C, D sama saja dengan bawa D, C, B, A.
Inilah yang disebut kombinasi, di mana urutan tidak diperhitungkan.
Notasi matematis untuk kombinasi ini adalah nCr atau C(n, r) atau kadang ditulis (n choose r). Ia menjawab pertanyaan: “Dari n objek berbeda, berapa banyak cara memilih r objek?” Rumus dasarnya berasal dari permutasi yang dibagi dengan penyusunan ulang objek terpilih, sehingga dirumuskan sebagai:
nCr = n! / (r! – (n-r)!)
Simbol “!” adalah faktorial. Contoh, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Untuk mempermudah pemahaman, berikut contoh perhitungan nCr untuk nilai-nilai kecil.
| n | r | Notasi | Perhitungan & Hasil |
|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 5C2 | 5!/(2!3!) = (5×4)/(2×1) = 10 |
| 6 | 3 | 6C3 | 6!/(3!3!) = (6×5×4)/(3×2×1) = 20 |
| 4 | 4 | 4C4 | 4!/(4!0!) = 1 (hanya satu cara memilih semua) |
| 7 | 1 | 7C1 | 7!/(1!6!) = 7 (cara memilih 1 dari 7) |
Memahami dan Menyelesaikan Persamaan 8C4 = n: Hitung N/14C2 Jika 8C4 = N (pencacahan Kelas 11 SMA)
Source: slidesharecdn.com
Soal ini memberikan persamaan langsung: 8C4 = n. Tugas pertama kita adalah mengartikan dan menghitung nilai n tersebut. Dengan rumus kombinasi, kita substitusi n=8 dan r=4. Perhitungannya menjadi proses yang sistematis.
Langkah pertama adalah menuliskan rumus lengkapnya: 8C4 = 8! / (4!
– (8-4)!) = 8! / (4!
– 4!). Selanjutnya, kita bisa menghitung dengan mengekspansi faktorial secara cerdas tanpa harus menghitung seluruh angka besar. Kita tulis 8! sebagai 8×7×6×5×4×3×2×1, dan 4! sebagai 4×3×2×1. Karena ada 4! di penyebut, kita bisa coret bagian 4×3×2×1 yang sama.
8C4 = (8×7×6×5) / (4×3×2×1) = (1680) / (24) = 70
Nah, kalau kamu lagi ngitung nilai n dari persamaan kombinasi 8C4 = n, dan diminta hasil dari n/14C2, itu sebenernya latihan logika matematika yang asyik. Prinsip berpikir sistematisnya mirip kayak saat kamu menghitung massa benda dari berat 150 N pada g=9,8 m/s² , di mana kamu harus paham hubungan antar variabel. Setelah n ketemu, tinggal substitusi ke rumus kombinasi 14C2, dan voila, jawaban akhir pun mengalir dengan nalar yang terstruktur.
Dengan demikian, nilai n dari persamaan 8C4 = n adalah 70. Ini berarti terdapat 70 cara berbeda untuk memilih 4 item dari sebuah kumpulan yang berisi 8 item unik. Nilai ini nantinya akan kita gunakan untuk menghitung ekspresi selanjutnya.
Menghitung Ekspresi n/14C2 Setelah Nilai n Diketahui
Sekarang kita lanjut ke inti soal: hitung n/14C2, dengan n=70. Artinya, kita perlu menghitung nilai 14C2 terlebih dahulu, lalu membagi 70 dengan hasilnya. Konsepnya seperti membandingkan hasil dua eksperimen kombinatorik yang berbeda skala.
Perhitungan 14C2 relatif lebih sederhana. Menggunakan rumus yang sama: 14C2 = 14! / (2!
– 12!) = (14 × 13) / (2 × 1) = 182 / 2 = 91. Jadi, ada 91 cara memilih 2 item dari 14 item. Sekarang, ekspresi akhirnya adalah n/14C2 = 70 / 91.
Pecahan 70/91 dapat disederhanakan. Faktor persekutuan terbesar dari 70 dan 91 adalah 7. Bagi pembilang dan penyebut dengan 7, maka kita peroleh hasil akhir 10/13. Jadi, nilai dari n/14C2 adalah 10/13. Ilustrasinya, hasil kombinasi 8C4 (70) bernilai sekitar 77% dari hasil kombinasi 14C2 (91), dan perbandingan rasio yang tepat setelah disederhanakan adalah 10 banding 13.
Penerapan dalam Soal Cerita dan Variasi Latihan
Konsep operasi pada hasil kombinasi seperti ini sering muncul dalam soal yang lebih kompleks. Misalnya, soal yang melibatkan probabilitas dengan kondisi tertentu atau perbandingan peluang dua kejadian. Memahami langkah-langkah universal sangat membantu.
Berikut adalah langkah-langkah sistematis yang dapat diterapkan pada berbagai masalah kombinatorik bertingkat:
- Identifikasi jenis masalah: apakah ini permutasi (urutan penting) atau kombinasi (urutan tidak penting)?
- Tuliskan notasi matematis (nCr atau nPr) yang sesuai berdasarkan informasi soal.
- Hitung nilai dari setiap ekspresi kombinasi/permutasi secara terpisah dengan rumus faktorial.
- Lakukan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) yang diminta soal pada hasil-hasil yang telah didapat.
- Sederhanakan hasil akhir ke bentuk paling ringkas, baik dalam bentuk bilangan bulat, pecahan, atau notasi faktorial.
Untuk melatih pemahaman, coba kerjakan variasi soal berikut: Pertama, jika diketahui 10C3 = m, hitunglah nilai dari m / 5C2. Kedua, dalam sebuah panitia yang terdiri dari 7 laki-laki dan 5 perempuan, akan dipilih 3 orang sebagai pengurus. Jika syaratnya paling sedikit 2 perempuan, berapa banyak cara membentuk pengurus? Soal kedua ini memerlukan penjumlahan dari beberapa kasus kombinasi.
Visualisasi dan Penjelasan Mendalam Konsep
Mengapa 8C4 (70) dan 14C2 (91) memiliki nilai yang berbeda padahal sekilas sama-sama operasi kombinasi? Perbedaannya terletak pada fungsi faktorial yang sangat sensitif terhadap nilai n dan r. Kombinasi 8C4 berarti kita mengalikan empat bilangan turun dari 8 (8×7×6×5) dan membaginya dengan 4!. Sementara 14C2 hanya mengalikan dua bilangan turun dari 14 (14×13) dan membaginya dengan 2!.
Meski angka 14 lebih besar dari 8, karena r=2 sangat kecil, pembaginya juga kecil (hanya 2), sehingga hasilnya tetap besar. Pola umumnya, nilai nCr terbesar untuk n yang tetap biasanya berada di sekitar r = n/2. Itulah mengapa 8C4 (r=4, setengah dari 8) adalah nilai kombinasi terbesar untuk n=8.
Berikut tabel perbandingan karakteristik soal kombinasi murni dengan soal yang melibatkan operasi aljabar pada hasilnya.
| Aspek | Soal Kombinasi Langsung | Soal Operasi pada Hasil Kombinasi |
|---|---|---|
| Tujuan | Menghitung banyaknya cara/kemungkinan. | Mencari hubungan rasio, probabilitas, atau nilai ekspresi. |
| Kompleksitas | Satu langkah perhitungan utama. | Multi-langkah: hitung beberapa kombinasi, lalu operasikan. |
| Kesalahan Umum | Keliru membedakan permutasi dan kombinasi. | Lupa menyederhanakan hasil akhir atau salah urutan operasi. |
| Konteks Aplikasi | Soal cerita pemilihan anggota, pembentukan tim. | Soal peluang bersyarat, perbandingan efisiensi, analisis data. |
Ringkasan Akhir
Jadi, begitulah petualangan kecil kita dengan kombinasi. Dari sebuah persamaan sederhana 8C4 = n, kita berhasil menjelajahi konsep faktorial, membandingkan skala dua kombinasi yang berbeda, dan sampai pada sebuah nilai rasio yang elegan. Proses ini mengajarkan bahwa matematika, khususnya kombinatorik, bukan sekadar menghitung, melainkan tentang memahami hubungan dan struktur.
Oke, soal kombinatorik ini sebenarnya simpel. Diketahui 8C4 = n, maka n = 70. Jadi, n/14C2 = 70/91 = 10/13. Nah, proses berpikir sistematis seperti ini mirip dengan cara kita mengurai narasi kompleks dalam Buku Biografi Itu , di mana setiap fakta diseleksi dan disusun menjadi cerita yang koheren. Kembali ke hitungan, nilai akhir 10/13 ini menunjukkan betapa elegannya logika pencacahan dalam matematika diskrit.
Intinya, soal seperti ini adalah latihan yang sempurna untuk melatih ketelitian dan logika bertahap. Setelah ini, kamu pasti akan memandang soal-soal kombinasi dengan cara yang lebih tenang dan percaya diri. Ingat, rumus itu alat, tapi pemahaman konseptual adalah kunci untuk menguasai segala variasi soal yang mungkin muncul di ujian atau bahkan di kehidupan sehari-hari.
Pertanyaan Umum (FAQ)
Apa bedanya kombinasi (nCr) dengan permutasi (nPr)?
Kombinasi tidak memperhatikan urutan pemilihan, sedangkan permutasi memperhatikan urutan. Misalnya, memilih ketua dan wakil adalah permutasi, sedangkan memilih panitia inti adalah kombinasi.
Mengapa hasil 8C4 lebih kecil dari 14C2 padahal angkanya terlihat lebih besar?
Nilai kombinasi tidak hanya bergantung pada ‘n’, tetapi juga pada ‘r’. Memilih 4 dari 8 (8C4) memiliki lebih banyak kemungkinan daripada memilih 2 dari 14 (14C2) karena proporsi r terhadap n lebih besar, sehingga faktorial penyebutnya lebih dominan.
Bagaimana jika soal meminta menghitung 14C2 / n, apakah caranya sama?
Prinsipnya sama, yaitu hitung dulu nilai n dari 8C4 dan nilai 14C2 secara terpisah. Bedanya, setelah kedua nilai didapat, kamu melakukan operasi pembagian dengan posisi yang dibalik, yaitu (14C2) dibagi (n).
Apakah ada cara cepat menghitung kombinasi tanpa rumus faktorial panjang?
Untuk nilai r kecil (seperti 2 atau 3), ada rumus praktis. Contohnya, nC2 = n(n-1)/2 dan nC3 = n(n-1)(n-2)/6. Ini bisa menghemat waktu perhitungan.
Apakah hasil perhitungan n/14C2 ini bisa disederhanakan menjadi bentuk pecahan yang lebih kecil?
Ya, setelah mendapatkan hasil dalam bentuk pecahan, kita selalu dapat menyederhanakannya dengan membagi pembilang dan penyebut dengan FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) keduanya.
