Hitung nilai g(2) dari (f∘g)(x)=x²‑2x‑2 dan f(x)=x‑3 mungkin terdengar seperti teka-teki aljabar yang ruwet, tapi sebenarnya ini adalah petualangan logika yang cukup seru untuk diikuti. Bayangkan kita punya dua mesin, f dan g, yang bekerja berurutan. Kita tahu hasil akhirnya dan mesin pertama, lalu tugas kita adalah membongkar untuk menemukan apa yang dilakukan mesin kedua pada input tertentu. Konsep ini, yang disebut komposisi fungsi, adalah fondasi dalam matematika yang menghubungkan ide-ide sederhana menjadi relasi yang lebih kompleks dan powerful.
Pada intinya, soal ini menguji pemahaman mendasar tentang bagaimana fungsi saling mempengaruhi. Diberikan fungsi f yang sangat sederhana, yaitu f(x) = x – 3, dan hasil komposisinya dengan fungsi misterius g, yaitu (f∘g)(x) = x²
-2x – 2, kita ditantang untuk mengurai benang kusut ini. Prosesnya melibatkan manipulasi aljabar sistematis untuk mengisolasi g(x), kemudian melakukan substitusi nilai untuk menemukan jawaban spesifiknya.
Mari kita telusuri langkah-langkahnya tanpa rasa takut, karena setiap persamaan menyimpan ceritanya sendiri.
Memahami Masalah dan Notasi Fungsi
Sebelum kita terjun ke dalam perhitungan, penting untuk memiliki pemahaman yang solid tentang apa yang dimaksud dengan komposisi fungsi. Dalam dunia matematika, komposisi fungsi adalah proses menggabungkan dua fungsi atau lebih, di mana keluaran dari satu fungsi menjadi masukan untuk fungsi berikutnya. Notasi (f∘g)(x) dibaca sebagai “f bundaran g dari x”, yang artinya kita menerapkan fungsi g terlebih dahulu pada x, kemudian hasilnya kita masukkan ke dalam fungsi f.
Secara matematis, ini ditulis sebagai (f∘g)(x) = f(g(x)).
Langkah umum untuk menyelesaikan masalah seperti mencari g(2) dari informasi (f∘g)(x) dan f(x) biasanya melibatkan dua tahap besar: pertama, menentukan bentuk fungsi g(x) secara aljabar, dan kedua, melakukan substitusi nilai x=2 ke dalam fungsi g(x) yang telah ditemukan. Konsep ini menjadi lebih jelas jika kita melihat perbandingan peran masing-masing fungsi.
Perbandingan Peran Fungsi dalam Komposisi
Tabel berikut merangkum hubungan dan perbedaan antara fungsi individu dan komposisinya, yang dapat membantu memvisualisasikan alur transformasi nilai.
| Fungsi | Notasi | Peran dalam (f∘g)(x) |
Contoh Sederhana |
|---|---|---|---|
| Fungsi Dalam (Inner) | g(x) |
Diproses pertama. Inputnya adalah x, outputnya adalah g(x). |
Jika g(x)=x+1, maka g(2)=3. |
| Fungsi Luar (Outer) | f(x) |
Diproses kedua. Inputnya adalah g(x), outputnya adalah f(g(x)). |
Jika f(x)=x², maka f(g(2)) = f(3) = 9. |
| Fungsi Komposisi | (f∘g)(x) |
Hasil akhir dari rantai proses. Sama dengan f(g(x)). |
Dari contoh di atas, (f∘g)(2) = 9. |
Sebagai contoh ilustrasi lain, misalkan f(x) = 2x dan g(x) = x - 5. Maka, (f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x-5) = 2(x-5) = 2x - 10. Jika kita ingin mencari g(10), kita bisa langsung hitung 10-5=5. Konsep yang sama, dengan tingkat kerumitan berbeda, akan kita terapkan pada soal utama.
Menentukan Bentuk Fungsi g(x)
Sekarang kita fokus pada inti persoalan. Kita tahu bahwa (f∘g)(x) = x² dan
-2x - 2 f(x) = x - 3. Tujuan kita adalah mengungkap bentuk dari g(x) yang masih misterius. Kuncinya adalah memahami bahwa (f∘g)(x) berarti f(g(x)). Jadi, kita bisa mengganti f dengan aturannya.
Prosesnya dimulai dengan substitusi. Karena f(x) = x - 3, maka ketika inputnya adalah g(x), fungsi tersebut berubah menjadi f(g(x)) = g(x). Nah, persamaan ini kita samakan dengan komposisi yang diketahui.
-3
Langkah Aljabar Mengisolasi g(x)
Source: mathpresso.io
Berikut adalah runtutan langkah penyederhanaan aljabar untuk menemukan ekspresi g(x).
- Mulai dari definisi:
(f∘g)(x) = f(g(x)) = x².
-2x - 2 - Substitusi
fdengan aturannya:g(x).
-3 = x²
-2x - 2 - Untuk mengisolasi
g(x), tambahkan angka 3 ke kedua ruas persamaan. - Hasilnya adalah:
g(x) = x².
-2x - 2 + 3 - Sederhanakan konstanta:
g(x) = x².
-2x + 1
Bentuk akhir g(x) = x² ini sangat menarik. Perhatikan bahwa
-2x + 1 x² merupakan bentuk kuadrat sempurna, yang dapat difaktorkan menjadi
-2x + 1 (x - 1)². Namun, untuk perhitungan numerik g(2), kita bisa menggunakan bentuk yang mana saja. Bentuk eksplisit ini adalah kunci untuk menjawab pertanyaan utama.
Menghitung Nilai g(2) secara Langsung
Dengan fungsi g(x) yang telah berhasil kita identifikasi, langkah perhitungan g(2) menjadi relatif langsung. Prosedurnya adalah substitusi sederhana: setiap kemunculan variabel x dalam rumus g(x) kita ganti dengan angka 2, lalu kita evaluasi operasi matematikanya secara berurutan, mengikuti prioritas operasi (kuatkan dulu, lalu kali/bagi, terakhir tambah/kurang).
Bayangkan proses ini seperti memasukkan input 2 ke dalam sebuah mesin bernama g. Mesin ini memiliki instruksi: “kuadratkan input, lalu kurangi dengan dua kali input, terakhir tambahkan satu.” Kita akan menjalankan instruksi ini langkah demi langkah.
Proses Substitusi dan Perhitungan
Mari kita uraikan perhitungannya dengan teliti. Kita gunakan bentuk g(x) = x².
-2x + 1
g(2) = (2)²
2*(2) + 1
= 4 – 4 + 1
= 0 + 1
= 1
Potensi kesalahan umum dalam proses ini seringkali terletak pada ketelitian. Kesalahan tanda saat mengkuadratkan (misalnya, 2² = -4), lupa mengalikan koefisien (seperti menghitung -2*2 sebagai 2 bukan -4), atau kesalahan dalam penjumlahan akhir sederhana. Menulis setiap langkah perantara, seperti yang ditunjukkan di atas, adalah cara terbaik untuk meminimalkan kesalahan tersebut.
Verifikasi Hasil dengan Komposisi Balik
Dalam matematika, verifikasi adalah langkah penting untuk memastikan kebenaran solusi. Kita telah mendapatkan g(2) = 1. Untuk memverifikasi, kita bisa menggunakan informasi awal: jika g(2) benar, maka mensubstitusikannya ke dalam f harus menghasilkan nilai yang sama dengan menghitung (f∘g)(2) langsung dari rumus x².
-2x - 2
Verifikasi ini bekerja seperti pengecekan ulang. Kita jalankan komposisi dari belakang: hitung g(2), lalu masukkan hasilnya ke f, dan bandingkan dengan jalan pintas langsung ke rumus komposisi.
Tabel dan Interpretasi Verifikasi
Tabel berikut membandingkan kedua jalur perhitungan untuk x=2.
| Metode Perhitungan | Proses | Hasil |
|---|---|---|
Dari Rumus (f∘g)(x) |
(f∘g)(2) = (2)²
|
-2 |
Dari Substitusi g(2)=1 |
f(g(2)) = f(1) = 1 - 3 = -2 |
-2 |
Kedua metode menghasilkan nilai yang identik, yaitu –
2. Interpretasi dari hasil verifikasi ini sangat jelas: solusi g(2)=1 yang kita temukan adalah benar dan konsisten dengan definisi komposisi fungsi yang diberikan di awal. Ini memberikan kepastian bahwa tidak ada kesalahan aljabar dalam proses menentukan g(x) maupun dalam perhitungan numeriknya.
Aplikasi dan Variasi Soal Serupa: Hitung Nilai G(2) Dari (f∘g)(x)=x²‑2x‑2 Dan F(x)=x‑3
Konsep komposisi fungsi dan teknik mencari fungsi dalam seperti ini bukan sekadar latihan aljabar. Konsep ini mendasari banyak model di ilmu komputer (fungsi bersarang), ekonomi (pajak bertingkat), dan fisika (rantai transformasi besaran). Pemahaman ini melatih kita untuk membongkar suatu proses kompleks menjadi langkah-langkah yang lebih sederhana.
Perubahan pada bentuk fungsi f(x) akan langsung mempengaruhi langkah mencari g(x). Misalnya, jika f(x) berupa fungsi kuadrat atau pecahan, proses mengisolasi g(x) mungkin memerlukan operasi seperti pengakaran atau manipulasi aljabar yang lebih rumit. Prinsip dasarnya tetap sama: substitusi g(x) ke dalam f, lalu selesaikan persamaan untuk g(x).
Variasi Soal Latihan, Hitung nilai g(2) dari (f∘g)(x)=x²‑2x‑2 dan f(x)=x‑3
Berikut tiga variasi soal untuk mengasah pemahaman, dilengkapi petunjuk singkat.
- Variasi 1: Diketahui
(f∘g)(x) = 4x + 1danf(x) = 2x - 5. Tentukan nilaig(3).- Petunjuk: Tulis
f(g(x)) = 2*g(x), samakan dengan
-54x+1, carig(x), lalu hitungg(3).
- Petunjuk: Tulis
- Variasi 2: Diketahui
(g∘f)(x) = x² + 4danf(x) = x - 2. Tentukan bentukg(x).- Petunjuk: Perhatikan urutan!
(g∘f)(x) = g(f(x)). Jadig(x-2) = x²+4. Misalu = x-2, makax = u+2.Substitusi untuk mencari
g(u).
- Petunjuk: Perhatikan urutan!
- Variasi 3: Diketahui
f(x) = 1/xdan(f∘g)(x) = x + 2. Tentukang(x).- Petunjuk:
f(g(x)) = 1/(g(x)) = x+2. Selesaikan untukg(x)dengan membalik kedua ruas.
- Petunjuk:
Ringkasan Terakhir
Jadi, setelah melalui proses dekonstruksi aljabar yang ketat, nilai g(2) berhasil ditemukan. Perjalanan dari sebuah persamaan komposisi yang tampak abstrak menuju sebuah bilangan konkret ini bukan sekadar rutinitas hitung-menghitung. Ia melatih pola pikir analitis, ketelitian, dan kemampuan untuk memverifikasi setiap langkah. Hasil yang diperoleh bukanlah akhir, melainkan sebuah konfirmasi bahwa pemahaman kita tentang relasi antara f dan g sudah tepat.
Soal seperti ini adalah puzzle yang, sekali terpecahkan, memberikan kepuasan sekaligus alat yang bisa digunakan untuk membongkar masalah matematika yang lebih luas dan menantang.
Tanya Jawab Umum
Apa arti notasi (f∘g)(x) sebenarnya?
Notasi (f∘g)(x) dibaca “f bundaran g dari x” dan berarti fungsi f dikerjakan setelah fungsi g. Jadi, pertama kita hitung g(x), lalu hasilnya dimasukkan sebagai input ke dalam fungsi f, menjadi f(g(x)).
Apakah fungsi g(x) yang ditemukan selalu berbentuk polinomial seperti soal ini?
Tidak selalu. Bentuk g(x) sepenuhnya bergantung pada persamaan (f∘g)(x) dan f(x). Jika f(x) linear sederhana seperti soal, g(x) seringkali polinomial. Jika f(x) lebih kompleks (misal, kuadrat atau akar), bentuk g(x) bisa sangat berbeda.
Mengapa verifikasi dengan komposisi balik itu penting?
Verifikasi adalah cara untuk memastikan tidak ada kesalahan aljabar selama proses. Dengan mensubstitusi hasil g(2) ke dalam (f∘g)(x), kita memeriksa konsistensi. Jika kembali ke hasil yang sesuai rumus awal, solusi kita hampir pasti benar.
Bagaimana jika saat mengisolasi g(x) hasilnya ada dua kemungkinan (misal, ada tanda ±)?
Itu berarti mungkin ada lebih dari satu fungsi g yang memenuhi. Untuk menentukan g(2), kita perlu mengecek kedua kemungkinan tersebut. Namun, dalam konteks soal sekolah menengah, seringnya diambil bentuk yang paling sederhana atau dinyatakan semua solusi.
Apakah konsep komposisi fungsi ini punya aplikasi di luar matematika?
Sangat banyak. Konsep ini analog dengan proses berantai di dunia nyata, seperti alur produksi di pabrik, pemrosesan data dalam programming (function chaining), hingga model dalam ilmu ekonomi dan sains, di mana output satu proses menjadi input proses berikutnya.
