Hubungan nilai X Y Z dari X=2Y Y=3Z X+Y+3Z=120 dan Solusinya

Hubungan nilai X, Y, Z dari X=2Y, Y=3Z, X+Y+3Z=120 bukan sekadar susunan huruf dan angka yang acak, melainkan sebuah teka-teki logika yang elegan. Bayangkan kita memiliki tiga sahabat yang terikat oleh sebuah perjanjian rahasia: si X nilainya persis dua kali si Y, sementara si Y sendiri tiga kali lipat dari si Z. Lalu, ketiganya sepakat bahwa jika mereka berkumpul dengan aturan khusus—X plus Y plus tiga kali Z—hasilnya haruslah 120.

Nah, bagaimana caranya menemukan identitas asli masing-masing? Ini adalah petualangan kecil di dunia aljabar yang akan memandu kita melihat pola tersembunyi di balik angka-angka.

Persoalan ini adalah contoh sempurna dari sistem persamaan linear yang saling terkait. Dengan dua hubungan perkalian yang diberikan, yaitu X=2Y dan Y=3Z, kita sebenarnya telah memiliki kunci untuk menyatukan segala sesuatu dalam satu bahasa yang sama. Tantangannya adalah menggunakan kunci-kunci tersebut untuk membuka kode persamaan ketiga, X+Y+3Z=120, yang bertindak sebagai penjaga gerbang akhir. Proses penyelesaiannya mirip seperti meruntuhkan dominó, di mana menemukan nilai yang paling dasar akan secara otomatis mengungkap nilai-nilai lainnya, membawa kita pada satu solusi yang harmonis dan pasti.

Mengurai Pola Numerik Tersembunyi dalam Persamaan X=2Y, Y=3Z, dan X+Y+3Z=120

Source: gauthmath.com

Ketika kita dihadapkan pada tiga pernyataan matematika yang tampak sederhana, seringkali tersembunyi sebuah pola yang rapi dan saling mengunci. Sistem persamaan dengan X=2Y, Y=3Z, dan X+Y+3Z=120 adalah contoh sempurna untuk ini. Ketiganya bukanlah entitas yang berdiri sendiri, melainkan membentuk sebuah sirkuit tertutup di mana setiap variabel ditentukan oleh yang lain, menciptakan sebuah rantai ketergantungan yang elegan. Pola perkalian berantai yang terjadi—dimana Z dikalikan 3 menjadi Y, lalu Y dikalikan 2 menjadi X—menunjukkan sebuah hierarki numerik yang jelas.

Ini seperti sebuah piramida informasi di mana Z adalah fondasi, Y adalah tingkat tengah, dan X adalah puncaknya. Keindahannya terlihat ketika ketiga bagian ini dijumlahkan dengan formula spesifik, hasilnya adalah sebuah konstanta yang telah ditentukan: 120. Tugas kita adalah membongkar rantai ini untuk menemukan fondasi aslinya, yaitu nilai Z.

Sebelum menemukan solusi akhir, mari kita lihat bagaimana sistem ini bereaksi terhadap nilai Z yang berbeda. Tabel berikut menunjukkan skenario hipotetis yang menguji hubungan berantai ini dan bagaimana penjumlahannya bergerak mendekati atau menjauhi angka 120.

Dari tabel, terlihat jelas bahwa hanya ada satu nilai Z yang membuat totalnya tepat 120. Untuk menemukannya secara aljabar, kita lakukan substitusi bertahap. Langkah pertama adalah menyatukan segala sesuatu dalam bahasa yang sama, yaitu Z.

Kita tahu Y = 3Z. Karena X = 2Y, maka X = 2

(3Z) = 6Z.

Sekarang, masukkan ekspresi ini ke dalam persamaan total: X + Y + 3Z = 120 menjadi (6Z) + (3Z) + (3Z) = 120.

Gabungkan semua suku yang mengandung Z: 6Z + 3Z + 3Z = 12Z. Persamaannya sekarang adalah 12Z = 120.

Dari penyederhanaan final itu, nilai Z dengan mudah kita temukan. Setelah Z diketahui, proses menemukan Y dan X menjadi sangat langsung dan memancar keluar dari nilai dasar tersebut.

• Langkah 1: Menemukan Fondasi (Z). Dari 12Z = 120, kita bagi kedua sisi dengan 12, sehingga Z = 10. Ini adalah kunci dari seluruh sistem.
• Langkah 2: Membangun Tingkat Menengah (Y). Hubungan Y = 3Z memandu kita. Substitusi Z=10 menghasilkan Y = 3
  – 10 =
  30. Aritmatikanya sederhana, tetapi maknanya penting: nilai Y sepenuhnya tiga kali lipat dari fondasi yang baru saja kita tetapkan.
• Langkah 3: Mencapai Puncak (X). Dengan Y=30, kita gunakan hubungan terakhir: X = 2Y = 2
  – 30 = 60. Nilai X adalah puncak dari piramida, dua kali dari tingkat di bawahnya.

Bayangkan hubungan ini sebagai tiga lingkaran yang saling bersinggungan. Lingkaran Z adalah yang terkecil, lingkaran Y tiga kali lebih besar secara diameter, dan lingkaran X enam kali lebih besar dari Z. Ketiga lingkaran ini tidak tumpang tindih sepenuhnya, tetapi bertemu di titik singgung yang merepresentasikan persamaan penghubung mereka. Persamaan ketiga, X+Y+3Z=120, bertindak seperti sebuah tali yang melingkari keliling total dari ketiga lingkaran yang bersinggungan ini.

Panjang tali itu tetap, yaitu 120. Satu-satunya cara agar tali itu pas melingkari mereka adalah jika ukuran masing-masing lingkaran proporsional persis seperti yang ditemukan. Jika satu lingkaran diubah, tali akan menjadi terlalu longgar atau terlalu ketat, kecuali kita menyesuaikan ukuran kedua lingkaran lainnya sesuai hubungan berantai yang tetap.

Penerapan Relasi Segitiga dalam Menyelesaikan Masalah Kuantitatif: Hubungan Nilai X, Y, Z Dari X=2Y, Y=3Z, X+Y+3Z=120

Konsep di balik sistem persamaan ini dapat dipandang sebagai sebuah relasi segitiga atau piramida ketergantungan. Di sini, Z bukan sekadar variabel; ia adalah fondasi yang menentukan setiap bata di atasnya. Pikirkan sebuah bangunan di mana lantai dua (Y) selalu tiga kali lebih luas dari fondasi (Z), dan lantai tiga (X) selalu dua kali lebih luas dari lantai dua. Begitu ukuran fondasi ditetapkan, seluruh dimensi bangunan sudah pasti.

Pendekatan ini mentransformasi masalah aljabar menjadi masalah arsitektur numerik, di mana kita merancang dari bawah ke atas.

Prinsip ini bersifat universal. Bayangkan jika konstanta dalam hubungan berubah, misalnya jika X=3Y, sementara Y=3Z tetap. Bagaimana pengaruhnya terhadap total? Tabel berikut memproyeksikan skenario berbeda dengan total yang sama, 120.

Dari eksplorasi ini, kita bisa merancang sebuah prosedur universal yang dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah serupa dengan tiga variabel dan dua relasi perkalian.

• Identifikasi Variabel Fondasi. Cari variabel yang menjadi pengali bagi variabel lain (dalam kasus ini, Z). Ini adalah variabel dengan koefisien 1 dalam rantai hubungan.
• Ekspresikan Semua Variabel dalam Fondasi. Gunakan relasi yang diberikan untuk menuliskan setiap variabel lain (X dan Y) sepenuhnya dalam bentuk variabel fondasi (Z).
• Substitusi ke dalam Persamaan Total. Ganti X, Y, dan variabel lainnya dalam persamaan jumlah (atau persamaan ketiga apa pun) dengan ekspresi yang hanya mengandung variabel fondasi.
• Selesaikan untuk Variabel Fondasi. Gabungkan suku-suku sejenis dan selesaikan persamaan linear sederhana yang dihasilkan untuk menemukan nilai numerik fondasi.
• Pancarkan ke Variabel Lain. Gunakan kembali relasi awal untuk menghitung nilai variabel lainnya secara berurutan.

Analoginya mirip dengan sistem roda gigi. Anggap Z adalah roda gigi terkecil. Karena Y=3Z, itu berarti roda Y memiliki tiga kali lebih banyak gigi daripada Z; satu putaran penuh roda Z akan memutar roda Y sepertiga putaran. Selanjutnya, karena X=2Y, roda X memiliki dua kali gigi roda Y; satu putaran penuh Y akan memutar roda X setengah putaran. Jika kita menghitung total “kontribusi putaran” dari ketiga roda dalam satu siklus tertentu dan hasilnya 120, maka kita bisa bekerja mundur untuk menemukan berapa putaran awal dari roda Z.

Verifikasi solusi adalah langkah penting. Setelah mendapatkan X=60, Y=30, Z=10, kita masukkan kembali: apakah 60 sama dengan 2*30? Ya. Apakah 30 sama dengan 3*10? Ya.

Apakah 60+30+(3*10)=120? 60+30+30=120. Ya. Verifikasi silang ini memastikan tidak ada kesalahan aritmatika dan bahwa solusi kita benar-benar mematuhi semua aturan yang diberikan.

Eksplorasi Dampak Perubahan Satu Variabel Terhadap Keseluruhan Sistem

Sistem persamaan ini adalah demonstrasi sempurna dari prinsip domino matematika. Di dalamnya, perubahan sekecil apa pun pada nilai fondasi, Z, tidak hanya mengubah Z sendiri, tetapi beramplifikasi secara geometris melalui rantai perkalian yang tetap. Ini adalah sifat proporsional langsung yang mutlak. Jika Z bertambah 1, maka Y bertambah 3 (karena Y=3Z), dan X bertambah 6 (karena X=2Y=6Z). Jadi, kenaikan 1 unit pada Z menghasilkan kenaikan total sebesar 1 + 3 + 3 = 7 unit pada ruas kiri persamaan X+Y+3Z.

Namun, karena total harus tetap 120, sistem akan “menolak” perubahan ini dengan cara tidak menemukan titik keseimbangan. Hanya ada satu kombinasi nilai yang memenuhi.

Untuk melihat efek domino ini secara nyata, perhatikan tabel variasi nilai Z di bawah ini dan dampak berantainya.

Setiap penyimpangan dari Z=10 menyebabkan total meleset secara signifikan. Ini membawa kita pada konsep sentral:

“Titik Keseimbangan” dalam sistem ini adalah keadaan di mana total penjumlahan X+Y+3Z tepat bernilai 120, yang hanya tercapai ketika Z=10, Y=30, dan X=60. Pada titik ini, semua hubungan internal (X=2Y, Y=3Z) dan batasan eksternal (total=120) terpenuhi secara simultan. Sistem ini bersifat deterministik dan kaku; ia secara otomatis menolak semua kombinasi nilai lain karena akan melanggar setidaknya satu dari ketiga persamaan yang menjadi hukumnya.

Jenis hubungan di sini adalah proporsional langsung murni. Ini sangat berbeda dengan, misalnya, hubungan kuadratik (di mana Y sebanding dengan Z kuadrat) yang akan menghasilkan pertumbuhan yang jauh lebih eksplosif, atau hubungan terbalik (di mana XY=konstan) yang akan menciptakan dinamika trade-off. Di sini, semuanya linear dan dapat diprediksi. Visualisasikan sebuah diagram alur yang dimulai dari kotak besar bertuliskan “Input Total = 120”.

Dari kotak itu, muncul tiga cabang menuju tiga komponen: X, Y, dan 3Z. Kemudian, dari komponen X dan Y, kita tarik panah ke hubungan “X = 2Y”. Dari komponen Y dan Z, kita tarik panah ke hubungan “Y = 3Z”. Diagram ini menunjukkan bagaimana informasi total mengalir melalui dua hubungan hierarkis untuk akhirnya berkumpul pada satu titik: nilai tunggal Z.

Ini adalah peta mental dari dekomposisi sebuah konstanta menjadi bagian-bagian yang saling terikat aturan.

Transformasi Persamaan menjadi Sebuah Narasi Logis yang Koheren

Matematika menjadi hidup ketika kita membungkusnya dalam cerita. Bayangkan tiga saudara yang sedang membagi tugas membersihkan rumah dengan total upah 120 ribu rupiah. Kakak tertua (X) mendapat dua kali lipat upah adik tengah (Y). Adik tengah (Y) mendapat tiga kali lipat upah adik bungsu (Z). Selain upah per orang, ada juga dana tambahan untuk peralatan yang besarnya setara dengan tiga kali upah si bungsu (3Z).

Total semua pengeluaran—upah ketiganya ditambah dana peralatan—persis 120 ribu. Pertanyaannya, berapa upah masing-masing? Cerita ini adalah persis analogi dari sistem persamaan kita. Ia memberikan konteks dan tujuan, mengubah simbol X, Y, Z menjadi karakter dengan hubungan yang jelas.

Penyelesaian masalah ini dapat dibingkai sebagai petualangan logika dalam tiga tahap kunci.

• Tahap Pertama: Mencari Kunci Fondasi. Petualangan dimulai dengan menyadari bahwa segala sesuatu bergantung pada si bungsu, Z. Dengan menyatukan semua aturan, kita menemukan bahwa seluruh biaya sebenarnya setara dengan 12 kali upah Z. Karena totalnya 120, maka upah Z haruslah 10 ribu. Ini adalah kunci yang membuka semua pintu.

• Tahap Kedua: Membuka Gerbang Tingkat Menengah. Dengan kunci Z=10, kita bisa membuka gerbang menuju adik tengah, Y. Aturannya jelas: upah Y adalah tiga kali upah Z. Maka, Y = 3 x 10 = 30 ribu. Gerbang terbuka, jalan menuju puncak semakin jelas.

• Tahap Ketiga: Membuka Gerbang Utama. Akhirnya, dengan nilai Y di tangan, aturan terakhir diterapkan. Kakak tertua, X, mendapat dua kali upah Y. Jadi, X = 2 x 30 = 60 ribu. Semua gerbang terbuka, petualangan logika berhasil diselesaikan.

  Menyelesaikan sistem persamaan X=2Y, Y=3Z, dan X+Y+3Z=120 itu seru lho, seperti membaca tabel dengan teliti. Nah, bicara tabel, kamu pasti perlu tahu Nama bagian tabel mendatar dari kiri ke kanan untuk memahami struktur data. Kembali ke soal, setelah substitusi, kita temukan Z=10, Y=30, dan X=60. Ternyata, ketelitian membaca hubungan variabel sama pentingnya dengan memahami setiap elemen dalam sebuah tabel, ya!

Persamaan X+Y+3Z=120 bukan sekadar pernyataan jumlah biasa. Ia adalah sebuah “perjanjian” atau kontrak yang mengikat tiga entitas yang sudah memiliki hubungan internal yang tetap (X=2Y dan Y=3Z). Solusi tunggal yang kita temukan adalah satu-satunya cara agar perjanjian total 120 itu bisa dipatuhi tanpa melanggar hubungan internal yang sudah disepakati. Tabel berikut memetakan narasi kita ke dalam komponen matematika.

Bayangkan sebuah dialog fiktif. Si X berkata, “Aku harus dapat bagian terbesar karena aku paling berat bekerja!” Si Y menimpali, “Tapi hubunganku dengan Z sudah tetap, aku tiga kali lipatnya.” Si Z menambahkan, “Dan dana peralatannya dihitung berdasarkan upahku.” Mereka berdebat tentang kontribusi masing-masing terhadap angka
120. Setelah melalui diskusi, mereka menyadari bahwa perdebatan itu sia-sia karena hubungan hierarkis mereka sudah mengunci proporsi.

Nah, setelah kita selesaikan teka-teki matematika di mana X=2Y, Y=3Z, dan X+Y+3Z=120 sehingga ditemukan nilai Z=10, Y=30, dan X=60, ada analogi menarik untuk memahami logika ini. Mirip seperti saat kita menganalisis Contoh Kalimat Langsung pada Pilihan A‑D , di mana kita harus teliti mengidentifikasi elemen-elemen utamanya. Kemampuan analisis yang sama, dari mengurai hubungan antar variabel hingga memilih opsi yang tepat, sangat krusial untuk mendapatkan solusi yang akurat dan memuaskan dalam setiap persoalan, termasuk sistem persamaan linear ini.

Satu-satunya cara adalah menghitung dari yang terkecil, Z. Begitu nilai Z ditemukan, semua klaim dan kontribusi menjadi jelas dan “perselisihan” terselesaikan secara matematis dan adil. Narasi ini menunjukkan bahwa logika dan cerita dapat berjalan beriringan untuk memahami konsep yang abstrak.

Akhir Kata

Jadi, setelah melalui proses substitusi dan verifikasi, kita sampai pada kesimpulan yang memuaskan: nilai Z yang menjadi fondasi adalah 12, yang melahirkan Y=36 dan akhirnya memunculkan X=72. Ketiga nilai ini bukanlah kebetulan, tetapi satu-satunya kombinasi yang setia pada semua perjanjian awal. Sistem ini mengajarkan kita tentang proporsionalitas dan ketergantungan berjenjang, di mana perubahan kecil pada variabel paling dasar akan mengguncang seluruh struktur.

Menemukan solusinya seperti menyelesaikan puzzle; setiap potongan harus tepat pada tempatnya, dan ketika sudah lengkap, gambaran besarnya menjadi jelas dan indah secara matematis.

Kumpulan Pertanyaan Umum

Apakah mungkin sistem persamaan ini memiliki lebih dari satu solusi?

Tidak. Karena terdapat tiga persamaan untuk tiga variabel yang tidak diketahui, dan hubungannya linear serta independen, sistem ini memiliki solusi tunggal yang unik (X=72, Y=36, Z=12).

Bagaimana jika persamaan totalnya diubah, misalnya X+Y+3Z=240?

Prinsip penyelesaiannya tetap sama. Hubungan X=2Y dan Y=3Z akan membuat kita mensubstitusi, menghasilkan persamaan 2*(3Z) + (3Z) + 3Z = 240. Setelah dihitung, nilai Z dan yang lainnya akan berubah secara proporsional (dalam contoh ini, semua nilai akan menjadi dua kali lipat).

Mengapa dalam persamaan ketiga ditulis “+3Z” dan bukan “+Z” saja?

Penulisan “3Z” sudah langsung memperhitungkan hubungan Y=3Z. Jika ditulis X+Y+Z=120, maka soal akan memiliki hubungan yang berbeda dan solusi yang sama sekali lain. “3Z” di sini konsisten dengan koefisien yang muncul dari proses substitusi.

Apakah metode penyelesaian ini bisa diterapkan untuk hubungan perkalian yang lebih kompleks, misalnya X = Y/2?

Tentu bisa. Metode intinya adalah ekspresikan semua variabel dalam satu variabel fondasi (biasanya yang paling “kecil” atau dasar), lalu substitusikan ke persamaan total. Prinsip ini universal untuk sistem dengan hubungan linear langsung.

Adakah cara cepat mengecek kebenaran jawaban selain substitusi ke semua persamaan?

Cek yang paling meyakinkan adalah substitusi balik. Namun, cara cepatnya adalah memastikan rasio X:Y:Z sesuai dengan hubungan awal (6:3:1) dan jumlah X+Y+3Z benar-benar 120. Jika kedua syarat ini terpenuhi, solusi pasti benar.