Jawaban deret geometri 1+3·log(x‑5)+3·log²(x‑5) konvergen jika kita berhasil menguak pola tersembunyi di balik notasi logaritma yang tampak rumit itu. Soal seperti ini sering bikin deg-degan, ya? Tapi percayalah, setelah kita bongkar bersama, konsepnya ternyata sangat elegan dan masuk akal. Kita akan ajak logika matematika bertemu dengan ketelitian aljabar untuk menemukan rentang nilai x yang membuat deret ini bersikap baik dan menuju suatu jumlah yang tetap.
Pada dasarnya, deret ini adalah deret geometri klasik yang menyamar. Suku pertamanya adalah 1, sedangkan rasionya adalah 3·log(x-5). Nah, kekonvergenan deret geometri punya satu hukum utama yang tak terbantahkan: nilai mutlak rasionya harus kurang dari satu. Dari sinilah petualangan kita dimulai. Kita harus menyelesaikan ketidaksetaraan |3·log(x-5)| < 1, dengan tetap ingat bahwa logaritma hanya terdefinisi untuk x-5 > 0. Perpaduan antara aturan domain dan syarat konvergensi inilah yang nantinya akan mempersempit kemungkinan nilai x menjadi sebuah interval solusi yang rapi.
Memahami Fondasi Deret Geometri dalam Wujud Logaritma
Deret geometri adalah salah satu konsep paling elegan dalam matematika, di mana suku-suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio (r). Pola dasarnya sering ditulis sebagai a + ar + ar² + ar³ + … dengan ‘a’ sebagai suku pertama. Kekuatan deret ini terletak pada kemampuannya untuk menyederhanakan penjumlahan yang tampaknya rumit menjadi formula yang rapi, khususnya ketika |r| < 1, yang membuat deret tersebut konvergen ke suatu jumlah tertentu. Keindahan ini tidak hilang meskipun suku-sukunya tampak kompleks, seperti ketika melibatkan fungsi logaritma. Logaritma, pada intinya, adalah eksponen. Oleh karena itu, pola seperti log²(x-5) sebenarnya mewakili [log(x-5)]², sebuah kuadrat dari nilai logaritma. Ini membuka pintu untuk melihat ekspresi seperti 1 + 3·log(x-5) + 3·log²(x-5) + ... bukan sebagai monster aljabar, melainkan sebagai deret geometri yang bersembunyi di balik notasi log.
Kunci untuk membongkar penyamaran ini adalah mengenali pola pangkat. Dalam deret geometri standar 1 + r + r² + r³ + …, suku pertama (a) adalah 1 dan setiap suku adalah r yang dipangkatkan. Pada contoh kita, suku pertamanya jelas 1. Suku kedua adalah 3·log(x-5). Jika ini mengikuti pola ar^(n-1), maka untuk n=2, kita punya a*r = 1
– r = 3·log(x-5).
Dari sini, langsung terlihat bahwa rasio r haruslah 3·log(x-5). Konfirmasi ada pada suku ketiga: 3·log²(x-5). Dengan r kita, suku ketiga seharusnya a*r² = 1
– [3·log(x-5)]² = 9·log²(x-5). Tapi di soal tertulis 3·log²(x-5). Di sinilah faktorisasi konstanta berperan.
Perhatikan bahwa suku ketiga 3·log²(x-5) dapat ditulis sebagai [3·log(x-5)]
– [log(x-5)]. Ini tidak persis r². Namun, jika kita tulis ulang deretnya dengan memfaktorkan 3 pada suku kedua dan seterusnya, pola menjadi lebih jelas: 1 + [3·log(x-5)] + [3·log(x-5)]*[log(x-5)] + …? Polanya belum sempurna. Pendekatan yang lebih langsung adalah menganggap deretnya sebagai 1 + [3·log(x-5)] + [3·log(x-5)]
– [log(x-5)]?
Ini rumit. Cara terbaik adalah melihat bahwa koefisien 3 pada suku ketiga adalah sebuah konstanta, dan log²(x-5) adalah [log(x-5)]². Jadi, rasio sebenarnya adalah log(x-5), dan ada koefisien 3 yang muncul di setiap suku kecuali suku pertama. Deretnya dapat dipandang sebagai: 1 + 3[log(x-5)] + 3[log(x-5)]² + 3[log(x-5)]³ + … = 1 + 3*(log(x-5) + [log(x-5)]² + [log(x-5)]³ + …).
Bagian di dalam kurung adalah deret geometri murni dengan a’ = log(x-5) dan r’ = log(x-5). Namun, untuk analisis kekonvergenan sederhana, kita dapat fokus pada bentuk suku-suku setelah suku pertama. Suku ke-n (untuk n>=2) berbentuk 3·[log(x-5)]^(n-1). Ini adalah bentuk deret geometri dengan suku pertama (untuk tujuan rasio) a = 3·log(x-5) dan rasio r = log(x-5). Atau, lebih sederhana, kita bisa melihat pola relatif: setiap suku (setelah suku pertama) diperoleh dari suku sebelumnya dengan dikalikan log(x-5).
Jadi, rasio deret geometri ini adalah r = log(x-5). Koefisien 3 adalah bagian dari suku pertama yang “khusus”.
Perbandingan Deret Geometri Biasa dan Varian Logaritmik
Memahami perbedaan mendasar antara deret geometri biasa dan varian yang melibatkan logaritma membantu dalam identifikasi pola. Tabel berikut merangkum karakteristik kunci keduanya.
| Karakteristik | Deret Geometri Biasa (Contoh: 1 + a + a² + …) | Deret Geometri Varian Log (Contoh: 1 + log b + log² b + …) |
|---|---|---|
| Suku Pertama (U₁) | Bilangan riil apa pun (misal, 1, a, k). | Dapat berupa konstanta, fungsi log (log b), atau kombinasi (3·log b). |
| Rasio (r) | Bilangan riil tetap (a). Mudah diidentifikasi sebagai pengali antar suku. | Biasanya berupa fungsi logaritma (log b). Identifikasi memerlukan pengenalan bahwa logⁿ⁺¹ b = log b
|
| Bentuk Suku ke-n | Uₙ = a · rⁿ⁻¹, dengan a dan r bilangan. | Uₙ sering kali berupa konstanta dikali [log(b)]ⁿ⁻¹. Rasio adalah log(b). |
| Variabel | Variabel (jika ada) adalah basis dari pangkat (misal, a dalam aⁿ). | Variabel berada di dalam argumen fungsi logaritma (b dalam log b). |
Sebagai contoh numerik, misalkan kita memiliki suku log²(x-5). Langkah kunci adalah menulisnya dengan benar sebagai [log(x-5)]². Jika x = 105, maka (x-5)=100, sehingga log(100) = 2 (asumsi basis 10). Maka log²(x-5) menjadi (2)² =
4. Dengan demikian, suku tersebut berubah menjadi bilangan biasa.
Prosedur sistematis untuk mengenali pola deret geometri terselubung adalah: pertama, tulis ulang semua suku dengan notasi eksplisit untuk pangkat logaritma (misal, log²(b) menjadi [log(b)]²). Kedua, abaikan sementara koefisien konstanta di depan setiap suku (seperti angka 3 dalam contoh kita). Ketiga, amati hubungan antara suku berurutan: apakah suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu ekspresi yang sama? Ekspresi itulah rasio (r).
Keempat, kembalikan koefisien konstanta tadi untuk memastikan pola konsisten pada semua suku.
Deret geometri 1+3·log(x‑5)+3·log²(x‑5) akan konvergen jika rasio mutlaknya kurang dari 1, yakni saat |3·log(x‑5)| < 1. Ini mengingatkan kita bahwa logika analitis seperti ini juga dibutuhkan dalam memahami dinamika sosial, seperti yang dipelajari dalam Mata Pelajaran IPS SMA serta Wajib Semua Jurusan. Pemahaman konsep dasar dari kedua bidang ini, baik hitungan maupun sosial, sama-sama krusial untuk membentuk analisis yang komprehensif sebelum akhirnya kita kembali menyelesaikan syarat konvergensi deret tersebut.
Menentukan Syarat Mutlak Kekonvergenan Melalui Rasio Logaritmik
Jantung dari deret geometri tak hingga terletak pada perilaku rasionya. Syarat mutlak agar deret geometri a + ar + ar² + … konvergen ke suatu jumlah berhingga adalah ketika nilai mutlak rasio (r) kurang dari satu, ditulis |r| < 1. Jika |r| ≥ 1, deret akan divergen, artinya jumlahnya akan menuju tak hingga atau berosilasi tanpa menuju suatu nilai tetap. Prinsip ini bersifat universal, terlepas dari bagaimana r itu terlihat—apakah ia bilangan sederhana seperti 0.5, variabel aljabar seperti 'k', atau fungsi yang lebih kompleks seperti 3·log(x-5). Logika di baliknya intuitif: jika kita terus-menerus mengalikan dengan bilangan yang besarnya kurang dari satu, maka suku-suku berikutnya akan semakin kecil mendekati nol, sehingga penjumlahan total dapat diharapkan stabil. Sebaliknya, pengalian dengan bilangan yang besarnya satu atau lebih akan membuat suku-suku membesar atau tidak mengecil cukup cepat.
Prinsip utama konvergensi deret geometri adalah bahwa konvergensi ditentukan semata-mata oleh batasan nilai rasio (|r| < 1), bukan oleh bentuk atau kerumitan ekspresi dari rasio tersebut. Apakah r berupa logaritma, trigonometri, atau fungsi lainnya, aturan dasarnya tetap sama.
Menerapkan prinsip ini pada deret kita, langkah pertama yang tidak boleh dilupakan adalah memastikan domain dimana fungsi logaritma itu sendiri terdefinisi. Karena log(x-5) hanya ada untuk argumen yang positif, kita harus memenuhi syarat dasar: (x – 5) > 0, atau x >
5. Ini adalah batasan awal yang mutlak. Selanjutnya, kita identifikasi rasio deret. Dari pola 1 + 3·log(x-5) + 3·log²(x-5) + …, kita amati bahwa faktor pengali antar suku (khususnya dari suku kedua ke ketiga) adalah log(x-5).
Jadi, r = log(x-5). Maka, syarat konvergennya menjadi |log(x-5)| < 1. Namun, perlu diperhatikan adanya koefisien 3 pada suku-suku setelah suku pertama. Analisis yang lebih hati-hati menunjukkan bahwa jika kita menulis deret sebagai 1 + 3[log(x-5) + log²(x-5) + ...], maka bagian dalam kurung adalah deret geometri dengan rasio log(x-5). Syarat konvergen untuk bagian itu adalah |log(x-5)| < 1. Karena dikalikan 3 dan ditambah 1, syaratnya tetap sama. Jadi, fokus kita adalah pada ketidaksetaraan |log(x-5)| < 1. Sifat nilai mutlak mengizinkan kita untuk mengurai ketidaksetaraan ini menjadi bentuk majemuk yang lebih mudah diolah: -1 < log(x-5) < 1. Inilah kondisi yang harus dipenuhi oleh x agar deret tersebut konvergen.
Mengurai Ketidaksetaraan Logaritmik Menjadi Interval Solusi Praktis
Setelah mendapatkan bentuk -1 < log(x-5) < 1, kita masuk ke tahap penyelesaian aljabar. Di sini, asumsi bahwa log adalah logaritma biasa (basis 10) sangat penting. Jika basisnya berbeda, misalnya log natural (ln), langkah-langkahnya serupa tetapi bilangan pembatasnya akan berbeda. Fungsi logaritma dengan basis > 1, seperti log₁₀ atau ln, adalah fungsi yang monoton naik. Artinya, jika a < b, maka log(a) < log(b). Sifat ini memungkinkan kita untuk "membalik" ketidaksetaraan logaritmik dengan menerapkan fungsi inversnya, yaitu fungsi eksponen (dengan basis yang sama), ke semua bagian ketidaksetaraan. Untuk basis 10, inversnya adalah 10^(...).
Kita terapkan pada setiap sisi:
-Bagian kiri: -1 < log(x-5) setara dengan 10⁻¹ < x-5, atau 0.1 < x-5.
-Bagian kanan: log(x-5) < 1 setara dengan x-5 < 10¹, atau x-5 <
10. Gabungkan kedua hasil ini, kita peroleh: 0.1 < x-5 <
10. Selanjutnya, dengan menambahkan 5 ke semua bagian, solusi untuk x adalah: 5.1 < x < 15. Namun, ingat bahwa kita memiliki syarat domain awal dari logaritma, yaitu x > 5. Solusi kita (5.1 < x < 15) sudah memenuhi syarat x > 5 secara otomatis (karena 5.1 > 5). Jadi, interval akhir untuk kekonvergenan deret adalah semua bilangan real x yang terletak di antara 5.1 dan 15, tidak termasuk kedua batasnya.
Pengujian Nilai pada Berbagai Interval
Untuk memverifikasi teori, kita dapat menguji beberapa nilai x dari berbagai interval dan mensubstitusikannya ke dalam rasio, r = log(x-5). Hasilnya akan menunjukkan apakah |r| < 1 terpenuhi.
| Nilai Uji (x) | Interval Asal | (x-5) | r = log(x-5) | Apakah |r| < 1? |
|---|---|---|---|---|
| 4 | x < 5 (Di luar domain) | -1 | Tidak terdefinisi | Tidak (domain gagal) |
| 5.05 | 5 < x < 5.1 (Bawah interval solusi) | 0.05 | log(0.05) ≈ -1.301 | Tidak (| -1.301 | > 1) |
| 7 | 5.1 < x < 15 (Dalam solusi) | 2 | log(2) ≈ 0.301 | Ya |
| 10 | 5.1 < x < 15 (Dalam solusi) | 5 | log(5) ≈ 0.699 | Ya |
| 15 | Batas atas solusi (x=15) | 10 | log(10) = 1 | Tidak (|r| = 1, divergen) |
| 20 | x > 15 (Di luar solusi) | 15 | log(15) ≈ 1.176 | Tidak (|1.176| > 1) |
Prosedur langkah demi langkah untuk solusi akhir dapat dirangkum sebagai berikut: Pertama, tentukan domain fungsi logaritma: x – 5 > 0 → x >
5. Kedua, identifikasi rasio (r) deret geometri dari pola suku-sukunya. Dalam kasus ini, r = log(x-5). Ketiga, terapkan syarat kekonvergenan deret geometri: |r| < 1 → |log(x-5)| <
1. Keempat, uraikan nilai mutlak menjadi ketidaksetaraan majemuk: -1 < log(x-5) <
1. Kelima, selesaikan ketidaksetaraan logaritmik dengan menggunakan sifat fungsi monoton naik. Untuk log basis 10: 10⁻¹ < x-5 < 10¹ → 0.1 < x-5 <
10. Keenam, isolasi variabel x: 0.1 + 5 < x < 10 + 5 → 5.1 < x < 15. Ketujuh, tentukan irisan dengan domain awal (x > 5). Irisan antara (5.1, 15) dan (5, ∞) adalah (5.1, 15). Inilah interval kekonvergenan.
Visualisasi Numerik dan Interpretasi Hasil Interval Kekonvergenan
Interval 5.1 < x < 15 memiliki interpretasi grafis yang jelas. Bayangkan sumbu horizontal sebagai nilai x. Garis vertikal di x=5 adalah batas domain logaritma. Di antara x=5.1 dan x=15, kurva fungsi r = log(x-5) akan berada di dalam pita horizontal yang dibatasi oleh y = -1 dan y = 1. Pada x yang mendekati 5.1 dari kanan, nilai (x-5) mendekati 0.1, sehingga log(0.1) = -1. Pada x yang mendekati 15 dari kiri, nilai (x-5) mendekati 10, sehingga log(10) = 1. Di tengah interval, misalnya di x=10 dimana (x-5)=5, nilai r = log(5) ≈ 0.699, yang jauh di dalam rentang (-1, 1). Visual ini memperkuat bahwa selama x berada dalam "terowongan" ini, rasio deret memenuhi syarat emas |r| < 1, menjamin penjumlahan tak hingga suku-suku akan menuju suatu nilai berhingga.
Mari kita lihat contoh perhitungan numerik untuk tiga nilai x. Pertama, ambil x = 5.5 (mendekati batas bawah). Rasio r = log(0.5) ≈ -0.
301. Suku-suku deret: U₁=1, U₂=3*log(0.5)≈ -0.903, U₃=3*[log(0.5)]²≈ 3*(0.0906)≈0.272, U₄≈ 3*(-0.0273)≈ -0.
0819. Terlihat nilai mutlak suku mengecil, konvergen. Kedua, ambil x = 10 (tengah interval). r = log(5) ≈ 0.
699.
Suku-suku: U₁=1, U₂≈ 2.097, U₃≈ 3*(0.699)²≈ 1.466, U₄≈ 1.
025. Suku-suku positif dan mengecil, juga konvergen. Ketiga, ambil x = 20 (di luar interval). r = log(15) ≈ 1.
176. Suku-suku: U₁=1, U₂≈ 3.528, U₃≈ 3*(1.176)²≈ 4.148, U₄≈ 4.878. Suku-suku membesar, jelas divergen.
Hubungan kritis dalam analisis ini adalah irisan tiga set: domain fungsi logaritma (x > 5), himpunan x yang membuat |r| < 1 (5.1 < x < 15), dan daerah kekonvergenan akhir yang merupakan irisan keduanya (5.1 < x < 15). Mengabaikan domain akan menghasilkan solusi yang tidak terdefinisi, sementara mengabaikan syarat |r| akan membuat analisis konvergensi menjadi salah.
Skenario khusus muncul jika basis logaritma berbeda. Jika log adalah logaritma natural (ln), maka ketidaksetaraan -1 < ln(x-5) < 1 diselesaikan dengan meng eksponensialkan menggunakan e: e⁻¹ < x-5 < e¹ → 1/e < x-5 < e → (5 + 1/e) < x < (5 + e). Karena 1/e ≈ 0.3679 dan e ≈ 2.718, intervalnya menjadi sekitar 5.368 < x < 7.718, lebih sempit daripada kasus basis 10. Untuk basis 2 (log₂), inversnya adalah 2^(...), sehingga menjadi 2⁻¹ < x-5 < 2¹ → 0.5 < x-5 < 2 → 5.5 < x < 7. Intervalnya semakin sempit karena fungsi log₂ tumbuh lebih lambat. Prinsipnya tetap: selesaikan ketidaksetaraan dengan fungsi invers yang sesuai dengan basis logaritma.
Aplikasi Konsep pada Variasi Pola Deret Geometri-Logaritmik yang Kompleks
Pendekatan yang telah kita bangun bersifat modular dan dapat diterapkan pada berbagai variasi pola deret geometri-logaritmik. Misalnya, pertimbangkan deret seperti 2 + 4·log(2x+1) + 4·log²(2x+1) + … atau deret dengan tanda negatif, seperti 1 – 2·ln(3-x) + 2·ln²(3-x)
-… . Langkah-langkah dasarnya identik: identifikasi domain logaritma, ekstrak rasio deret (perhatikan tanda dan koefisien), terapkan syarat |r| < 1, dan selesaikan ketidaksetaraan yang dihasilkan. Kekuatan dari pemahaman fundamental ini adalah kemampuannya untuk mengurai kerumitan yang tampak menjadi langkah-langkah prosedural yang jelas.
Beberapa jebakan umum perlu diwaspadai. Pertama, mengabaikan domain logaritma adalah kesalahan fatal. Sebelum memikirkan konvergensi, pastikan argumen log positif. Kedua, kesalahan dalam memanipulasi nilai mutlak, terutama ketika rasio berupa ekspresi negatif atau dikalikan konstanta negatif. Misalnya, untuk rasio -3·log(x-5), syaratnya adalah |-3·log(x-5)| < 1, yang setara dengan 3|log(x-5)| < 1, bukan langsung -1 < -3·log(x-5) < 1 tanpa mengolah nilai mutlaknya. Ketiga, ketidaktelitian dalam mengidentifikasi rasio ketika suku pertama tidak sederhana atau ketika ada konstanta tambahan di setiap suku.
Syarat Kekonvergenan untuk Beberapa Variasi Rasio, Jawaban deret geometri 1+3·log(x‑5)+3·log²(x‑5) konvergen jika
Source: akamaized.net
Berikut adalah perbandingan syarat kekonvergenan untuk beberapa bentuk rasio logaritmik yang umum, dengan asumsi log basis 10 dan domain terpenuhi.
| Bentuk Rasio (r) | Syarat Kekonvergenan |r| < 1 | Bentuk Ketidaksetaraan Setelah Simplifikasi | Catatan Khusus |
|---|---|---|---|
| 3·log(x-5) | |3·log(x-5)| < 1 | |log(x-5)| < 1/3 → -1/3 < log(x-5) < 1/3 | Interval lebih sempit karena dikali 3. |
| -3·log(x-5) | |-3·log(x-5)| < 1 | Sama seperti di atas: |log(x-5)| < 1/3 | Tanda negatif tidak mempengaruhi nilai mutlak. |
| 3·log(5-x) | |3·log(5-x)| < 1 | |log(5-x)| < 1/3, dengan domain 5-x > 0 → x < 5 | Domain berubah menjadi x < 5, arah ketidaksetaraan bisa terbalik. |
| (1/3)·log(x-5) | |(1/3)·log(x-5)| < 1 | |log(x-5)| < 3 → -3 < log(x-5) < 3 | Interval lebih lebar karena dikali bilangan pecahan. |
Mari demonstrasikan prosedur lengkap untuk sebuah soal variasi: Tentukan x agar deret 2 – 4·log(2x) + 4·log²(2x)
-4·log³(2x) + … konvergen. Pertama, domain: 2x > 0 → x >
0. Kedua, identifikasi pola. Suku pertama a =
2.
Mulai suku kedua, pola geometri: -4·log(2x), +4·log²(2x), -4·log³(2x), … Tanda berganti dan ada faktor
4. Rasio dapat dilihat dari suku kedua ke ketiga: [4·log²(2x)] / [-4·log(2x)] = -log(2x). Jadi, r = -log(2x). Ketiga, syarat konvergensi: |r| < 1 → |-log(2x)| < 1 → |log(2x)| <
1. Keempat, uraikan: -1 < log(2x) <
1. Kelima, selesaikan dengan basis 10: 10⁻¹ < 2x < 10¹ → 0.1 < 2x < 10 → 0.05 < x <
5. Keenam, iris dengan domain (x > 0): Irisannya adalah 0.05 < x < 5. Jadi, deret konvergen untuk x dalam interval (0.05, 5).
Kesimpulan
Jadi, setelah melalui proses identifikasi pola, penerapan syarat mutlak |r| < 1, dan penyelesaian ketidaksetaraan logaritmik, kita sampai pada kesimpulan yang memikat. Deret geometri logaritmik ini bukanlah monster yang menakutkan, melainkan teka-teki yang elegan. Solusinya mengajarkan kita bahwa di balik bentuk yang kompleks, sering kali terdapat prinsip matematika dasar yang sangat kuat. Inti dari semua pembahasan ini adalah kesadaran bahwa domain fungsi dan syarat konvergensi harus berjalan beriringan; mengabaikan salah satunya akan membawa kita pada jawaban yang keliru.
Dengan demikian, pemahaman tentang interval kekonvergenan ini bukan sekadar untuk menjawab satu soal, tetapi memberikan kerangka berpikir untuk menyelesaikan berbagai variasi deret serupa. Pengetahuan ini menjadi pondasi untuk menjelajahi masalah matematika yang lebih luas, di mana logika dan ketelitian adalah kunci utamanya. Selamat telah mengikuti proses ini hingga tuntas, dan semoga insight yang didapat bisa diterapkan pada puzzle matematika lainnya.
Pertanyaan yang Sering Diajukan: Jawaban Deret Geometri 1+3·log(x‑5)+3·log²(x‑5) Konvergen Jika
Apa yang terjadi jika basis logaritmanya bukan 10?
Prosedurnya tetap sama, hanya angka pada interval akhir yang berubah. Misal basisnya adalah e (ln), maka ketidaksetaraannya menjadi -1/3 < ln(x-5) < 1/3. Penyelesaiannya dengan memangkatkan e di semua ruas, menghasilkan e^(-1/3) < x-5 < e^(1/3).
Bagaimana jika tanda di rasionya negatif, seperti -3·log(x-5)?
Syarat konvergen tetap |r| < 1, jadi yang diperiksa adalah nilai mutlaknya: |-3·log(x-5)| < 1. Ini setara dengan |3·log(x-5)| < 1, sehingga interval solusi untuk x akan persis sama dengan kasus rasio positif.
Apakah deret ini bisa konvergen untuk x yang menghasilkan rasio tepat sama dengan -1 atau 1?
Tidak. Syarat konvergen deret geometri tak hingga adalah |r| < 1. Jika r = 1, deret menjadi 1+1+1+... yang jelas divergen. Jika r = -1, deret menjadi 1-1+1-1+... yang juga divergen karena jumlah parsialnya berosilasi.
Mengapa harus difaktorkan dulu untuk mengenali pola deret geometri?
Karena bentuk standar deret geometri adalah a + ar + ar² + … . Dalam soal, suku kedua adalah 3·log(x-5). Dengan memfaktorkan 3 dari suku ini dan suku ketiga, kita bisa menulisnya sebagai 1 + (3·log(x-5))
– 1 + (3·log(x-5))
– log(x-5). Ini belum berbentuk pangkat.
Baru setelah kita menyadari log²(x-5) = [log(x-5)]², pola a (suku pertama=1) dan r (rasio=3·log(x-5)) menjadi jelas.
