KPK dan FPB 15, 24, 42 – KPK dan FPB 15, 24, dan 42 bukan sekadar deretan angka dan prosedur mekanis; ia adalah sebuah narasi tersembunyi tentang hubungan, pertemuan, dan perpisahan dalam dunia matematika. Seperti tiga karakter dalam sebuah lakon, masing-masing bilangan membawa identitas prima yang unik, menanti untuk dirajut dalam sebuah plot bernama faktorisasi, di mana konflik dan resolusi ditemukan dalam pencarian persekutuan terbesar dan kelipatan terkecil.
Analisis terhadap trio bilangan ini mengungkap lebih dari sekadar jawaban numerik. Ia membuka pintu pemahaman tentang bagaimana struktur dasar bilangan berinteraksi, sebuah fondasi yang kerap hadir dalam teka-teki penjadwalan hingga masalah pembagian yang adil. Melalui lensa 15, 24, dan 42, konsep KPK dan FPB yang abstrak menemukan wujudnya yang konkret dan elegan.
Pengertian Dasar KPK dan FPB
Sebelum kita menyelami perhitungan untuk bilangan 15, 24, dan 42, penting untuk memahami fondasi dari dua konsep matematika yang sangat berguna ini. KPK dan FPB adalah alat yang membantu kita menemukan pola dan struktur dalam bilangan, mirip seperti memahami prinsip dasar dalam suatu pemikiran sebelum menerapkannya.
KPK, atau Kelipatan Persekutuan Terkecil, adalah bilangan bulat positif terkecil yang merupakan kelipatan dari semua bilangan yang diberikan. Bayangkan kita mencari titik temu pertama di mana ritme beberapa pola berbaris bersama. Sementara itu, FPB, atau Faktor Persekutuan Terbesar, adalah bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis semua bilangan yang diberikan tanpa sisa. Konsep ini seperti mencari benang merah atau prinsip bersama terkuat yang menghubungkan beberapa entitas.
Perbandingan Konsep KPK dan FPB
Perbedaan utama terletak pada tujuannya. KPK digunakan untuk mencari momen “bersama” di mana beberapa kejadian berulang terjadi secara serentak, seperti penjadwalan. Sebaliknya, FPB digunakan untuk membagi atau mengelompokkan sesuatu ke dalam bagian-bagian yang sama besar tanpa sisa, seperti membagi permen atau membentuk kelompok dengan jumlah anggota maksimal yang sama.
| Konsep | Definisi | Simbol/Arti | Tujuan Pencarian |
|---|---|---|---|
| KPK | Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan atau lebih. | Bilangan terkecil yang habis dibagi semua bilangan tersebut. | Menyatukan siklus, mencari waktu bersama (penjadwalan). |
| FPB | Faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan atau lebih. | Bilangan terbesar yang membagi habis semua bilangan tersebut. | Membagi sama rata, mencari pengelompokan maksimal. |
Analisis Bilangan 15, 24, dan 42: KPK Dan FPB 15, 24, 42
Mari kita kenali lebih dekat ketiga bilangan yang akan kita jadikan contoh ini. Memahami komposisi mereka melalui faktor dan kelipatan akan memberikan pijakan yang kuat untuk perhitungan selanjutnya.
Faktorisasi dan Karakteristik Bilangan
Source: kompas.com
Setiap bilangan dapat diurai menjadi faktor-faktor primanya, yaitu bilangan prima yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan aslinya. Berikut adalah uraian untuk 15, 24, dan 42.
- 15: Faktorisasi primanya adalah 3 ×
5. Faktornya adalah 1, 3, 5,
15. Beberapa kelipatan pertamanya: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120. - 24: Faktorisasi primanya adalah 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ ×
3. Faktornya adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,
24. Beberapa kelipatan pertamanya: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192. - 42: Faktorisasi primanya adalah 2 × 3 ×
7. Faktornya adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21,
42. Beberapa kelipatan pertamanya: 42, 84, 126, 168, 210, 252, 294, 336.
Poin penting dari analisis faktorisasi ini adalah bahwa ketiga bilangan (15, 24, 42) memiliki faktor prima yang berbeda-beda: 15 dominan dengan 5, 24 dengan pangkat tiga dari 2, dan 42 memperkenalkan faktor prima 7. Kesamaan faktor prima yang dimiliki ketiganya hanyalah angka 3.
Menentukan FPB dari 15, 24, dan 42
Kita akan mencari pembagi bersama terbesar dari ketiga bilangan ini. Proses ini mirip dengan menemukan prinsip inti yang dapat diterapkan secara merata kepada semua pihak.
Metode Faktorisasi Prima untuk FPB
Dengan metode ini, kita mengambil faktor prima yang sama dari ketiga bilangan, dan untuk faktor yang sama tersebut, kita pilih pangkat yang paling kecil.
- 15 = 3 × 5
- 24 = 2³ × 3
- 42 = 2 × 3 × 7
Faktor prima yang sama dari ketiganya hanyalah angka 3. Pangkatnya adalah 3¹ (dari semua bilangan). Jadi, FPB(15, 24, 42) = 3.
Metode Pembagian Berulang (Pohon Faktor) untuk FPB
Kita bisa membagi ketiga bilangan secara berulang dengan bilangan prima yang dapat membagi minimal dua dari mereka.
- Bagi 15, 24, 42 dengan bilangan prima yang bisa membagi minimal dua angka. Angka 2 bisa membagi 24 dan
42. Hasilnya
15 (tetap), 12, 21.
- Sekarang bagi 15, 12, Tidak ada bilangan prima selain 1 yang bisa membagi ketiganya. Bilangan 3 bisa membagi 12 dan
21. Hasilnya
15 (tetap), 4, 7.
- Kita berhenti karena 15, 4, dan 7 tidak memiliki faktor persekutuan selain
1. FPB adalah hasil kali pembagi
2 × 3 = 6? Mari kita periksa. Ternyata ada kesalahan. Kita harus memastikan pembagi membagi semua bilangan jika memungkinkan. Mari kita ulangi dengan benar.
Langkah yang Benar: Cari bilangan prima yang dapat membagi semua bilangan yang diberikan. Untuk 15, 24, 42, hanya angka 3 yang bisa membagi ketiganya.
- Bagi dengan 3: 15 ÷ 3 = 5; 24 ÷ 3 = 8; 42 ÷ 3 =
14. Hasil sementara: 5, 8, 14. - Periksa 5, 8, 14. Tidak ada bilangan prima selain 1 yang dapat membagi ketiga bilangan ini secara bersamaan. Proses berhenti.
- FPB adalah pembagi terakhir yang digunakan, yaitu 3.
Tabel Analisis Faktor untuk Mencari FPB
| Bilangan | Faktorisasi Prima | Faktor Persekutuan | Kesimpulan FPB |
|---|---|---|---|
| 15 | 3 × 5 | Angka 3 adalah satu-satunya faktor prima yang muncul di semua baris. | FPB = 3 |
| 24 | 2³ × 3 | ||
| 42 | 2 × 3 × 7 |
Contoh Penerapan FPB dalam Soal Cerita
Seorang guru memiliki 15 pensil, 24 buku tulis, dan 42 penghapus. Ia ingin membagikan alat tulis tersebut kepada beberapa siswa secara adil, di mana setiap siswa mendapatkan jenis dan jumlah alat tulis yang sama persis, tanpa ada yang tersisa. Berapa jumlah maksimal siswa yang dapat menerima pembagian seperti ini?
Penyelesaian: Untuk membagi semua barang tanpa sisa dan mendapatkan kelompok siswa terbanyak, kita mencari FPB dari (15, 24, 42), yaitu
3. Jadi, guru dapat membagikan kepada maksimal 3 siswa. Masing-masing siswa akan mendapat: 15 ÷ 3 = 5 pensil, 24 ÷ 3 = 8 buku tulis, dan 42 ÷ 3 = 14 penghapus.
Menentukan KPK dari 15, 24, dan 42
Sekarang kita mencari titik temu terkecil di mana kelipatan dari ketiga bilangan ini bertemu. Konsep ini sangat berguna untuk menyinkronkan berbagai peristiwa berulang.
Metode Faktorisasi Prima untuk KPK
Kita mengambil semua faktor prima yang ada dari ketiga bilangan. Untuk setiap faktor prima, kita pilih pangkat yang paling besar.
- 15 = 3 × 5
- 24 = 2³ × 3
- 42 = 2 × 3 × 7
Faktor prima yang terlibat: 2, 3, 5,
7. Ambil pangkat tertinggi untuk masing-masing:
-Faktor 2: pangkat tertinggi adalah 2³ (dari 24).
-Faktor 3: pangkat tertinggi adalah 3¹ (ada di semua).
-Faktor 5: pangkat tertinggi adalah 5¹ (dari 15).
-Faktor 7: pangkat tertinggi adalah 7¹ (dari 42).
Kalikan semua: KPK = 2³ × 3 × 5 × 7 = 8 × 3 × 5 × 7 = 840.
Metode Pembagian Berulang untuk KPK, KPK dan FPB 15, 24, 42
Kita membagi secara berurutan dengan bilangan prima yang dapat membagi minimal dua dari bilangan-bilangan tersebut, dan teruskan hingga semua hasil bagi menjadi 1.
- Tulis bilangan: 15, 24, Bagi dengan 2 (karena 24 dan 42 habis dibagi 2). Tulis hasil bagi di bawahnya, dan tulis 15 apa adanya. Hasil: 15, 12, 21.
- Bagi lagi dengan 2 (karena 12 habis dibagi 2). Hasil: 15, 6, 21.
- Bagi lagi dengan 2 (karena 6 habis dibagi 2). Hasil: 15, 3, 21.
- Bagi dengan 3 (karena 15, 3, 21 habis dibagi 3). Hasil: 5, 1, 7.
- Bagi dengan 5 (karena 5 habis dibagi 5). Hasil: 1, 1, 7.
- Bagi dengan 7 (karena 7 habis dibagi 7). Hasil: 1, 1, 1. Proses selesai.
KPK adalah hasil kali semua pembagi: 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 840.
Tabel Analisis Faktor untuk Mencari KPK
| Bilangan | Faktorisasi Prima | Faktor untuk KPK | Kesimpulan KPK |
|---|---|---|---|
| 15 | 3 × 5 | Ambil semua faktor: 2³, 3, 5, 7. | KPK = 2³ × 3 × 5 × 7 = 840 |
| 24 | 2³ × 3 | ||
| 42 | 2 × 3 × 7 |
Contoh Penerapan KPK dalam Soal Cerita
Tiga lampu taman menyala bersama untuk pertama kalinya pukul 18.00. Lampu A menyala setiap 15 detik, lampu B setiap 24 detik, dan lampu C setiap 42 detik. Kapan ketiga lampu akan menyala bersama lagi untuk pertama kalinya setelah pukul 18.00?
Penyelesaian: Kita mencari KPK dari (15, 24, 42) untuk menemukan siklus waktu bersama. KPK mereka adalah 840 detik. Ubah ke menit: 840 detik ÷ 60 = 14 menit. Jadi, ketiga lampu akan menyala bersama lagi 14 menit kemudian, yaitu pada pukul 18:14.
Penerapan dan Latihan Soal
Untuk mengasah pemahaman, mari kita coba beberapa soal latihan dengan tingkat kesulitan yang berbeda. Latihan ini akan membantu menginternalisasi konsep KPK dan FPB dalam berbagai konteks.
Soal Latihan Bertingkat
Berikut tiga soal yang dirancang untuk melatih penerapan konsep.
- Mudah: Tentukan FPB dan KPK dari bilangan 18 dan 30.
- Sedang: Ibu membeli 28 kue coklat, 56 kue keju, dan 70 kue stroberi. Kue-kue tersebut akan dimasukkan ke dalam kotak dengan jumlah setiap jenis kue per kotak sama banyak. Berapa jumlah kotak terbanyak yang bisa dibuat?
- Sulit: Tiga bus berangkat dari terminal bersama pada pukul 06.00. Bus A kembali setiap 45 menit, Bus B setiap 60 menit, dan Bus C setiap 90 menit. Pada pukul berapa mereka akan berangkat bersama lagi untuk kedua kalinya?
Penyelesaian Soal Latihan
Mari kita bahas penyelesaian untuk setiap soal secara rinci.
Soal 1 (Mudah):
FPB: Faktorisasi 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 ×
5. Faktor bersama: 2 dan
3. Ambil pangkat terkecil: 2¹ × 3¹ = 6. Jadi FPB(18,30) = 6.
KPK: Ambil semua faktor: 2, 3²,
5.
Kalikan: 2 × 3² × 5 = 2 × 9 × 5 = 90. Jadi KPK(18,30) = 90.
Soal 2 (Sedang):
Ini adalah masalah FPB. Kita cari FPB dari (28, 56, 70).
Faktorisasi: 28=2²×7; 56=2³×7; 70=2×5×7.
Faktor bersama: 2 dan
7. Pangkat terkecil: 2¹ × 7¹ = 14.
Jadi, jumlah kotak terbanyak adalah 14 kotak. Setiap kotak berisi: 28/14=2 coklat, 56/14=4 keju, 70/14=5 stroberi.
Soal 3 (Sulit):
Ini adalah masalah KPK. Pertama, cari KPK dari (45, 60, 90) dalam satuan menit.
Faktorisasi: 45=3²×5; 60=2²×3×5; 90=2×3²×5.
KPK = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180 menit.
180 menit = 3 jam.
Mereka akan berangkat bersama lagi pertama kali 3 jam setelah 06.00, yaitu pukul 09.00. Pertanyaan meminta keberangkatan bersama untuk kedua kalinya. Jadi, setelah 09.00, mereka akan bersama lagi 180 menit (3 jam) kemudian, yaitu pada pukul 12.00.
Ilustrasi Penerapan KPK dalam Penjadwalan
Bayangkan sebuah pusat kebugaran yang menawarkan tiga kelas berbeda. Kelas Yoga diulang setiap 15 hari, kelas Zumba setiap 24 hari, dan kelas Pilates setiap 42 hari. Jika hari ini, Senin 1 Januari, ketiga kelas tersebut diadakan bersamaan untuk promosi besar, maka manajer perlu merencanakan promosi serupa berikutnya. Dengan menghitung KPK (15, 24, 42) = 840 hari, dia mengetahui bahwa event bersama berikutnya akan terjadi 840 hari kemudian.
Dalam konteks perencanaan jangka menengah, ini setara dengan sekitar 2 tahun 3 bulan, sehingga tim pemasaran dapat menyusun strategi jauh-jauh hari.
Ilustrasi Penerapan FPB dalam Pembagian Kelompok
Seorang koordinator relawan memiliki tiga kelompok sumber daya: 15 paket sembako, 24 set alat tulis, dan 42 buah selimut. Daerah yang akan ditolong terdiri dari beberapa posko bantuan. Untuk memastikan setiap posko mendapatkan bantuan yang komprehensif dan adil (mendapat semua jenis barang), koordinator harus mencari tahu berapa banyak posko yang bisa dilayani. FPB dari (15, 24, 42) = 3 memberi tahu bahwa maksimal ada 3 posko yang bisa mendapat paket lengkap.
Setiap posko akan menerima 5 paket sembako, 8 set alat tulis, dan 14 selimut. Dengan ini, tidak ada barang yang tersisa dan semua posko mendapat komposisi bantuan yang identik, mempermudah logistik dan memastikan keadilan.
Kesimpulan
Demikianlah, perjalanan menyelami KPK dan FPB dari 15, 24, dan 42 mencapai muaranya. Lebih dari sekadar angka 3 dan 840, eksplorasi ini meninggalkan kesan tentang simetri dan efisiensi yang inheren dalam logika matematika. Narasi ketiga bilangan ini mengajarkan bahwa di balik kerumitan, selalu ada pola yang tertib, sebuah harmoni yang menunggu untuk ditemukan, yang pada akhirnya mentransformasi masalah duniawi menjadi tarian angka yang teratur.
Tanya Jawab (Q&A)
Mengapa bilangan 15, 24, dan 42 sering dipakai sebagai contoh?
Ketiganya memiliki faktorisasi prima yang beragam (3×5, 2³x3, 2x3x7) sehingga ideal untuk mengajarkan proses pencarian KPK dan FPB yang melibatkan pangkat dan faktor berbeda, tanpa terlalu rumit.
Apakah hasil KPK selalu lebih besar dari ketiga bilangan aslinya?
Ya, KPK dari bilangan-bilangan positif selalu lebih besar atau sama dengan bilangan terbesar dalam himpunan. Untuk 15, 24, dan 42, KPK-nya (840) jauh lebih besar dari 42.
Bagaimana jika salah satu bilangan adalah faktor dari bilangan lainnya, apakah mempengaruhi FPB?
Ya, FPB akan sama dengan bilangan yang paling kecil tersebut. Namun, dalam kasus 15, 24, dan 42, tidak ada yang menjadi faktor sempurna bagi lainnya, sehingga FPB dicari dari faktor persekutuan.
Dalam kehidupan sehari-hari, mana yang lebih sering digunakan, KPK atau FPB?
Penggunaannya bergantung konteks. KPK sering untuk penjadwalan berulang (seperti jadwal les), sedangkan FPB untuk pembagian merata atau menyederhanakan rasio (seperti membagi kelereng ke dalam kelompok).
Apakah metode faktorisasi prima dan pembagian berulang selalu menghasilkan jawaban KPK dan FPB yang sama?
Ya, kedua metode tersebut adalah algoritma yang valid dan akan selalu menghasilkan nilai KPK dan FPB yang identik, hanya jalur penyelesaiannya yang berbeda.
