KPK dan FPB n dan 45 berturut‑turut 90 dan 5, nilai n bukan sekadar teka-teki angka, melainkan pintu masuk untuk memahami hubungan mendasar dalam teori bilangan. Soal ini menguji pemahaman konseptual tentang bagaimana Kelipatan Persekutuan Terkecil dan Faktor Persekutuan Terbesar saling terkait, sebuah pengetahuan yang menjadi fondasi untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika yang lebih kompleks.
Melalui analisis terhadap hubungan antara bilangan n, bilangan 45, serta KPK dan FPB yang diketahui, kita dapat mengungkap nilai misterius n. Proses ini melibatkan pemahaman mendalam tentang faktorisasi prima, diagram Venn faktor, dan penerapan rumus hubungan KPK, FPB, serta hasil kali dua bilangan, yang akan mengasah kemampuan berpikir logis dan analitis.
Pengertian Dasar KPK dan FPB
Sebelum kita membahas lebih dalam tentang cara menemukan nilai n dari sebuah soal, penting untuk benar-benar memahami dua konsep dasar dalam teori bilangan: Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB). Keduanya adalah alat yang sangat berguna, tidak hanya di kelas matematika, tetapi juga dalam memecahkan masalah sehari-hari seperti menyamakan jadwal atau membagi barang secara adil. Mari kita lihat lebih dekat.
KPK dari dua bilangan adalah bilangan kelipatan terkecil yang sama-sama habis dibagi oleh kedua bilangan tersebut. Bayangkan kamu dan temanmu berlari mengelilingi lapangan. Kamu butuh 6 menit untuk satu putaran, sementara temanmu butuh 8 menit. KPK dari 6 dan 8 adalah 24, yang berarti kalian akan bertemu lagi di titik start setelah 24 menit. Di sisi lain, FPB adalah bilangan terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan tersebut.
Jika kamu punya 12 apel dan 18 jeruk, FPB dari 12 dan 18 adalah 6. Artinya, kamu bisa membaginya ke dalam 6 kantong plastik dengan isi yang sama, yaitu 2 apel dan 3 jeruk per kantong.
Perbandingan Konsep KPK dan FPB
Untuk memudahkan pemahaman, tabel berikut merangkum perbedaan mendasar antara KPK dan FPB dari segi definisi, simbol, cara mencari, dan contoh sederhana.
| Konsep | Definisi | Simbol | Cara Mencari (Umum) | Contoh (Bilangan 12 & 18) |
|---|---|---|---|---|
| KPK | Kelipatan terkecil yang sama dari dua bilangan atau lebih. | KPK(a, b) | Kalikan semua faktor prima, dengan pangkat tertinggi. | Faktorisasi: 12 = 2²×3, 18 = 2×3². KPK = 2² × 3² = 36. |
| FPB | Faktor terbesar yang sama dari dua bilangan atau lebih. | FPB(a, b) | Kalikan faktor prima yang sama, dengan pangkat terendah. | Faktorisasi: 12 = 2²×3, 18 = 2×3². FPB = 2 × 3 = 6. |
Hubungan KPK dan FPB dalam Diagram Venn
Hubungan antara faktor-faktor dua bilangan dengan KPK dan FPB mereka dapat divisualisasikan dengan diagram Venn. Misalkan kita punya bilangan A = 12 (faktor: 1, 2, 3, 4, 6, 12) dan B = 18 (faktor: 1, 2, 3, 6, 9, 18). Irisan dari kedua himpunan faktor berisi faktor-faktor persekutuannya, yaitu 1, 2, 3, 6. Angka terbesar di irisan ini adalah 6, yang merupakan FPB.
Sementara itu, untuk mendapatkan KPK, kita perlu menggabungkan semua faktor prima dari kedua bilangan. Dalam diagram, ini seperti menggabungkan semua daerah lingkaran. Faktor prima dari 12 (2² dan 3) dan dari 18 (2 dan 3²) digabungkan menjadi 2² dan 3², yang hasil perkaliannya 36, yaitu KPK.
Metode Mencari KPK dan FPB
Ada beberapa metode yang bisa digunakan untuk menentukan KPK dan FPB. Pemilihan metode seringkali bergantung pada besar bilangan yang dihadapi dan preferensi pribadi. Dua metode yang paling umum adalah faktorisasi prima menggunakan pohon faktor dan metode pembagian berulang.
Langkah Mencari KPK dengan Pohon Faktor
Pohon faktor adalah cara sistematis untuk memecah suatu bilangan menjadi faktor-faktor primanya. Untuk mencari KPK dua bilangan, misalnya 24 dan 36, kita buat pohon faktor untuk masing-masing bilangan hingga semua cabang berujung pada bilangan prima. Faktorisasi prima dari 24 adalah 2 × 2 × 2 × 3, atau 2³ × 3. Faktorisasi prima dari 36 adalah 2 × 2 × 3 × 3, atau 2² × 3².
KPK didapat dengan mengalikan semua faktor prima yang muncul, dan untuk faktor yang sama, kita ambil pangkat yang tertinggi. Jadi, KPK(24, 36) = 2³ (dari 24) × 3² (dari 36) = 8 × 9 = 72.
Prosedur Menentukan FPB dengan Pembagian Berulang
Metode pembagian berulang, sering disebut algoritma Euclidean, sangat efisien untuk bilangan yang besar. Caranya adalah dengan membagi bilangan yang lebih besar dengan yang lebih kecil, lalu membagi pembagi sebelumnya dengan sisa hasil bagi, dan seterusnya hingga sisa pembagiannya nol. FPB-nya adalah pembagi terakhir yang menghasilkan sisa nol. Contoh, cari FPB(48, 18): 48 dibagi 18 sisa 12. Lalu, 18 dibagi 12 sisa 6.
Terakhir, 12 dibagi 6 sisa 0. Karena sisa sudah 0, maka FPB-nya adalah 6.
Kelebihan dan Kekurangan Metode Faktorisasi Prima
Setiap metode memiliki kelebihan dan kekurangannya sendiri. Memahami hal ini membantu kita memilih alat yang tepat untuk soal yang dihadapi.
- Kelebihan: Metode faktorisasi prima memberikan pemahaman visual yang jelas tentang komposisi bilangan. Dari hasil faktorisasi, kita bisa langsung membaca baik KPK maupun FPB sekaligus. Metode ini sangat cocok untuk bilangan yang relatif kecil dan mudah difaktorkan.
- Kekurangan: Untuk bilangan yang sangat besar, proses memfaktorkan menjadi prima bisa memakan waktu lama dan rentan kesalahan. Dalam kasus seperti itu, metode pembagian berulang (algoritma Euclidean) jauh lebih cepat dan efisien.
Tips Cepat: Untuk bilangan-bilangan kecil, ingatlah bahwa KPK dari dua bilangan yang saling prima (contoh: 4 dan 9) adalah hasil kalinya (36). Sementara FPB-nya pasti
1. Jika satu bilangan adalah kelipatan dari yang lain (contoh
6 dan 18), maka KPK-nya adalah bilangan yang lebih besar (18) dan FPB-nya adalah bilangan yang lebih kecil (6).
Analisis Soal: Menemukan Nilai n dari KPK dan FPB yang Diketahui: KPK Dan FPB N Dan 45 Berturut‑turut 90 Dan 5, Nilai N
Source: co.id
Soal yang memberikan informasi KPK dan FPB dari dua bilangan, di mana satu bilangan diketahui, adalah penerapan langsung dari hubungan fundamental antara ketiganya. Hubungan ini memungkinkan kita untuk “membongkar” bilangan yang belum diketahui.
Rumus hubungan yang sangat berguna adalah: KPK(a, b) × FPB(a, b) = a × b. Rumus ini selalu berlaku untuk dua bilangan bulat positif. Dengan mengetahui tiga dari empat nilai tersebut, kita dapat dengan mudah menemukan nilai yang keempat. Namun, perlu kehati-hatian karena rumus ini memberi kita hasil kali dari bilangan yang tidak diketahui, bukan bilangan itu sendiri secara langsung.
Penyelesaian Soal KPK(n, 45)=90 dan FPB(n, 45)=5
Mari kita terapkan pengetahuan kita untuk menyelesaikan soal yang telah disiapkan. Diketahui KPK(n, 45) = 90 dan FPB(n, 45) = 5. Kita diminta mencari nilai n. Berikut adalah langkah-langkah sistematisnya.
| Tahapan Pengerjaan | Penjelasan | Operasi Matematika | Hasil |
|---|---|---|---|
| Menggunakan Rumus Hubungan | Hubungkan KPK, FPB, dan hasil kali kedua bilangan. | KPK × FPB = n × 45 | 90 × 5 = n × 45 |
| Menyederhanakan Persamaan | Hitung sisi kiri persamaan. | 450 = n × 45 | 450 = 45n |
| Mencari Nilai n | Bagi kedua sisi dengan 45 untuk mengisolasi n. | n = 450 ÷ 45 | n = 10 |
| Verifikasi Awal | Periksa apakah FPB(10, 45) sesuai dengan soal. | Faktor 10: 1,2,5,
10. Faktor 45 1,3,5,9,15,45. |
FPB = 5 (Benar). KPK(10,45)=90 (Benar). |
Kesalahan Umum dalam Menafsirkan Hubungan
Beberapa kesalahan sering terjadi saat mengerjakan tipe soal seperti ini. Pertama, lupa bahwa rumus KPK×FPB = a×b adalah alat utama, bukan sekadar mencari faktor dari KPK saja. Kedua, setelah mendapatkan n=10, lupa untuk memverifikasi kembali dengan kondisi FPB. Bayangkan jika kita hanya memfaktorkan 90 (KPK) dan mencoba-coba kombinasi dengan 45, kita mungkin terjebak pada jawaban lain yang memiliki KPK sama tetapi FPB berbeda.
Verifikasi ganda terhadap kedua syarat (KPK dan FPB) adalah langkah krusial yang tidak boleh dilewatkan.
Penerapan dan Contoh Variasi Soal Serupa
Setelah memahami satu contoh, kita perlu mengasah kemampuan dengan melihat berbagai variasi soal. Pola soal ini bisa berubah, misalnya dengan bilangan yang lebih besar, atau dengan pertanyaan yang dibalik. Berikut beberapa variasi untuk melatih pemahaman.
Variasi Soal dan Pembahasan
- Variasi 1: Diketahui KPK(m, 28) = 140 dan FPB(m, 28) = 7. Tentukan nilai m.
Pembahasan: Gunakan rumus: 140 × 7 = m × 28 → 980 = 28m → m = 980 ÷ 28 =
35. Verifikasi: FPB(35,28)=7 dan KPK(35,28)=140. Benar. - Variasi 2: KPK(p, 16) = 48 dan FPB(p, 16) = 4. Tentukan nilai p.
Pembahasan: 48 × 4 = p × 16 → 192 = 16p → p =
12. Verifikasi: FPB(12,16)=4, KPK(12,16)=48. Benar. - Variasi 3: KPK(a, b) = 60, FPB(a, b) = 5, dan salah satu bilangan adalah 15. Tentukan bilangan yang lain.
Pembahasan: Misal a=
15. Maka 60 × 5 = 15 × b → 300 = 15b → b =
20. Verifikasi: FPB(15,20)=5, KPK(15,20)=60.Benar.
Ilustrasi Grafis Irisan Faktor
Bayangkan dua lingkaran yang saling beririsan. Lingkaran kiri berisi faktor-faktor prima dari bilangan pertama (misal: 45 = 3² × 5), lingkaran kanan berisi faktor-faktor prima dari bilangan kedua (n = 2 × 5). Irisan dari kedua lingkaran itu berisi faktor-faktor persekutuan, yaitu hanya angka
5. Gabungan dari kedua lingkaran itu berisi semua faktor yang diperlukan untuk membentuk KPK: 2 (dari n), 3² (dari 45), dan 5 (dari irisan).
Hasil kali gabungan ini adalah 2 × 3² × 5 = 90, yang sesuai dengan KPK yang diketahui.
Pola Khusus: Dalam soal seperti ini, bilangan n yang dicari seringkali merupakan hasil bagi dari (KPK × FPB) dengan bilangan yang diketahui. Pola ini konsisten. Selain itu, perhatikan bahwa n haruslah kelipatan dari FPB (karena FPB adalah faktor dari n). Dalam contoh kita, n=10 adalah kelipatan dari FPB=5.
Latihan dan Penguatan Pemahaman
Untuk menguasai konsep, latihan adalah kunci. Cobalah kerjakan soal-soal bertingkat berikut ini. Mulai dari yang langsung menerapkan rumus, hingga yang membutuhkan analisis lebih mendalam.
Soal Latihan Bertingkat
- Diketahui KPK(12, x) = 36 dan FPB(12, x) = 4. Tentukan nilai x.
- Jika KPK(18, n) = 90 dan FPB(18, n) = 6, berapakah nilai n?
- Dua buah lampu berkedip. Lampu A menyala setiap 8 detik, lampu B setiap 12 detik. Jika mereka menyala bersama pertama kali pada detik ke-24, benarkah pernyataan bahwa mereka akan menyala bersama lagi pada detik ke-72? Jelaskan dengan konsep KPK.
- Ibu memiliki 24 permen cokelat dan 30 permen stroberi. Ia ingin membungkusnya dalam beberapa paket dengan komposisi yang sama untuk dibagikan. Berapa jumlah paket terbanyak yang bisa dibuat? Berapa isi masing-masing paket?
- (Menantang) Diketahui KPK(a, b) = 210 dan FPB(a, b) = 5. Salah satu bilangan adalah 15. Tentukan semua kemungkinan pasangan bilangan (a, b) yang memenuhi.
Panduan Penyelesaian Soal Kompleks
Mari kita bahas soal nomor 5 yang paling menantang. Kita punya KPK=210, FPB=5, dan salah satu bilangan (misal a)=
15. Kita cari b. Pertama, gunakan rumus dasar: 210 × 5 = 15 × b → 1050 = 15b → b =
70. Ini adalah satu solusi.
Namun, karena FPB=5, kita tahu a dan b sama-sama memiliki faktor
5. Faktorisasi: a=15=3×
5. KPK=210=2×3×5×
7. Agar KPK=210, bilangan b harus “menyumbang” faktor 2 dan 7 yang belum tercakup oleh a. Jadi, b minimal harus 2×5×7=
70.
Tapi, bisakah b memiliki faktor tambahan? Tidak, karena jika b memiliki faktor 3 lagi, maka FPB-nya akan menjadi 15, bukan
5. Jika b memiliki faktor selain 2,3,5,7, maka KPK-nya akan berubah menjadi lebih dari
210. Jadi, satu-satunya solusi adalah b=
70. Tabel bantuannya sebagai berikut:
| Bilangan a | Faktorisasi a | Faktor yang harus disumbang b untuk KPK=210 | Kandidat b (dengan FPB=5) | Pasangan (a,b) |
|---|---|---|---|---|
| 15 | 3 × 5 | 2 dan 7 | 2 × 5 × 7 = 70 | (15, 70) |
Penerapan dalam Konteks Dunia Nyata, KPK dan FPB n dan 45 berturut‑turut 90 dan 5, nilai n
Konsep KPK dan FPB hidup di sekitar kita. Penjadwalan adalah contoh klasik KPK: menentukan kapan dua bus dengan interval berbeda berangkat bersama, atau kapan tiga orang dengan cuti periodik yang berbeda akan libur bersamaan. FPB adalah inti dari efisiensi pembagian: memotong pita kain terpanjang dari beberapa gulungan yang berbeda panjangnya tanpa sisa, atau membentuk kelompok belajar terbesar dengan jumlah anggota sama dari dua kelas.
Memahami kedua konsep ini membantu kita membuat keputusan yang teratur dan adil.
Strategi Memeriksa Kebenaran Jawaban
Setelah menemukan nilai n, jangan langsung puas. Lakukan dua langkah verifikasi. Pertama, hitung ulang FPB dari n dan bilangan yang diketahui, pastikan sesuai dengan soal. Kedua, hitung ulang KPK-nya. Cara cepat memeriksa FPB adalah dengan algoritma Euclidean, sedangkan untuk KPK kita bisa gunakan rumus KPK = (n × bilangan lain) / FPB.
Jika kedua hasil verifikasi cocok, maka kita dapat yakin jawaban kita benar. Strategi ini mengeliminasi kesalahan hitung atau logika yang mungkin terjadi selama proses pengerjaan.
Ringkasan Penutup
Menemukan nilai n dari informasi KPK dan FPB yang diberikan mengajarkan lebih dari sekadar prosedur hitung. Latihan ini memperkuat pemahaman bahwa KPK dan FPB adalah dua sisi dari koin yang sama, yang dihubungkan oleh faktorisasi prima dari bilangan-bilangan yang terlibat. Penguasaan konsep ini tidak hanya berguna untuk menyelesaikan soal serupa, tetapi juga membekali kita dengan kerangka berpikir untuk memecahkan masalah dunia nyata yang melibatkan kelipatan, pembagian, dan penyederhanaan.
Tanya Jawab Umum
Apakah nilai n yang ditemukan selalu bilangan bulat positif?
Ya, dalam konteks soal KPK dan FPB seperti ini, nilai n yang dicari umumnya adalah bilangan bulat positif, karena KPK dan FPB didefinisikan untuk bilangan bulat positif.
Bagaimana jika soal memberikan KPK dan FPB yang tidak konsisten?
Jika tidak ada bilangan bulat n yang memenuhi hubungan KPK(n,45)=90 dan FPB(n,45)=5 secara bersamaan, berarti data soal tersebut tidak valid atau tidak konsisten secara matematis.
Apakah metode ini bisa digunakan jika bilangan selain 45 yang diketahui?
Tentu. Metode dasarnya universal: gunakan rumus hubungan n × 45 = KPK(n,45) × FPB(n,45) untuk menemukan hasil kali n, lalu analisis faktorisasi primanya dengan bantuan faktor dari bilangan yang diketahui (dalam hal ini 45) dan FPB yang diberikan.
Mengapa kita perlu menganalisis faktorisasi prima setelah menemukan hasil kali n × 45?
Analisis faktorisasi prima penting untuk memastikan bahwa KPK dan FPB yang dihasilkan dari n dan 45 benar-benar sesuai dengan yang diberikan dalam soal. Langkah ini memverifikasi bahwa faktor-faktor prima didistribusikan dengan benar antara n dan 45 untuk menghasilkan KPK 90 dan FPB 5.
