Luas Daerah Antara y=x dan y=x²-4x+4 Dibatasi Sumbu x

Luas daerah antara y=x dan y=x²-4x+4 dibatasi sumbu x bukan sekadar angka, melainkan sebuah narasi geometris yang menarik untuk diungkap. Soal ini menghadirkan pertemuan antara garis lurus yang sederhana dan parabola yang anggun, menciptakan sebuah bidang tertutup yang luasnya dapat kita hitung dengan presisi menggunakan kalkulus integral. Mari kita telusuri perjalanan menemukan luas tersebut, mulai dari sketsa visual hingga perhitungan akhir yang memuaskan.

Pada intinya, kita akan menganalisis daerah yang diapit oleh garis linear y = x dan parabola y = x²
-4x + 4, dengan batas tambahan berupa sumbu x. Prosesnya melibatkan identifikasi titik potong ketiga elemen ini, penyusunan integral yang tepat, dan eksekusi perhitungan yang sistematis. Hasilnya bukan hanya sebuah nilai, tetapi juga pemahaman mendalam tentang bagaimana konsep matematika abstrak diterapkan untuk menyelesaikan masalah spasial yang konkret.

Memahami Permasalahan dan Fungsi

Permasalahan luas daerah antara kurva y = x dan y = x²
-4x + 4 yang dibatasi sumbu x memerlukan pemahaman visual yang kuat. Secara geometris, kita diminta untuk mencari area yang diapit oleh garis lurus dan sebuah parabola, dengan batas tambahan berupa sumbu horizontal (sumbu x). Daerah ini terbentuk di mana kedua kurva tersebut berada di atas sumbu x, dan area di antara keduanya ingin kita hitung.

Langkah pertama adalah mengidentifikasi titik-titik kritis. Titik potong antara garis dan parabola ditemukan dengan menyamakan kedua persamaan: x = x²
-4x + 4 . Sementara itu, titik potong masing-masing kurva dengan sumbu x ditemukan dengan mensubstitusi y = 0. Untuk garis y = x, titik potongnya adalah (0,0). Untuk parabola y = x²
-4x + 4 atau y = (x-2)², titik potongnya adalah (2,0).

Sketsa Grafik dan Anotasi Daerah

Bayangkan sebuah bidang kartesian. Garis y = x digambar sebagai garis lurus yang naik melalui titik asal (0,0) dengan kemiringan 45 derajat. Parabola y = (x-2)² berbentuk U yang terbuka ke atas, dengan titik puncak minimum di (2,0) yang menyentuh sumbu x. Kedua kurva ini berpotongan di dua titik. Daerah yang dimaksud adalah area yang terletak di antara kedua kurva tersebut, tetapi hanya bagian yang juga berada di atas sumbu x.

Visualnya, akan terlihat seperti sebuah area berbentuk lengkungan yang diapit oleh garis dan parabola, dimulai dari titik potong pertama mereka di kuadran I, menyempit, dan berakhir di titik potong kedua yang berada di sumbu x atau di atasnya. Daerah ini perlu diarsir untuk memperjelas batas-batas perhitungan luas.

Menentukan Batas-Batas Integral

Batas integrasi ditentukan oleh titik potong antara kedua kurva, karena di situlah fungsi “atas” dan “bawah” bertukar posisi atau daerah di antara mereka berawal dan berakhir. Perhitungan aljabar menjadi kunci untuk menemukan nilai-nilai x ini secara pasti.

Perhitungan Titik Potong dan Interval

Penyelesaian persamaan x = x²
-4x + 4 dilakukan sebagai berikut:

x²

4x + 4 – x = 0

x²

Perhitungan luas daerah antara kurva y=x dan parabola y=x²-4x+4 yang dibatasi sumbu x memerlukan ketelitian dalam menentukan batas integrasi. Proses analisis numerik semacam ini seringkali melibatkan transformasi logaritmik, sebagaimana terlihat dalam pembahasan mendalam mengenai Nilai Logaritma 35 , yang mengonversi skala perhitungan. Pemahaman konsep logaritma tersebut justru memperkaya presisi saat kita kembali menghitung area bidang datar yang kompleks dari kedua fungsi tersebut.

5x + 4 = 0

(x – 1)(x – 4) = 0
x = 1 atau x = 4

Dengan demikian, kedua kurva berpotongan di titik-titik dengan absis x = 1 dan x =
4. Untuk menentukan daerah yang mana yang dimaksud, kita perlu melihat posisi relatif kedua kurva pada interval antara 1 dan
4. Dengan menguji titik tengah, misal x=2, kita dapatkan garis: y=2 dan parabola: y=(2-2)²=
0. Ternyata garis berada di atas parabola (2 > 0) pada interval tersebut.

Selain itu, karena daerah juga dibatasi sumbu x, kita harus memastikan bagian dari parabola yang berada di bawah sumbu x tidak ikut dihitung. Parabola y = (x-2)² selalu non-negatif (≥0), sehingga seluruh bagiannya dari x=1 hingga x=4 berada di atas sumbu x. Urutan logis penentuan interval adalah:

• Titik potong kurva ditemukan di x = 1 dan x = 4.
• Pada interval [1, 4], garis y = x selalu berada di atas parabola y = (x-2)².
• Kedua kurva bernilai non-negatif pada interval [1, 4], memenuhi syarat “dibatasi sumbu x”.
• Batas integrasi adalah dari x = 1 (batas bawah) hingga x = 4 (batas atas).

Menyusun dan Menghitung Integral Luas: Luas Daerah Antara Y=x Dan Y=x²-4x+4 Dibatasi Sumbu X

Prinsip dasar menghitung luas antara dua kurva adalah mengintegralkan selisih antara fungsi yang lebih atas (top) dan fungsi yang lebih bawah (bottom) pada interval yang telah ditentukan. Dalam kasus ini, pada interval [1, 4], fungsi garis ( y = x) berada di atas fungsi parabola ( y = x²
-4x + 4 ).

Proses Integrasi Langkah demi Langkah, Luas daerah antara y=x dan y=x²-4x+4 dibatasi sumbu x

Ekspresi integral untuk luas daerah (L) adalah:

L = ∫₁⁴ [ (fungsi atas)

(fungsi bawah) ] dx

Menghitung luas daerah antara kurva y=x dan y=x²-4x+4 yang dibatasi sumbu x memerlukan ketelitian analitis layaknya menentukan stoikiometri dalam reaksi kimia. Prinsip perhitungan yang presisi ini juga terlihat pada analisis Pembakaran Sempurna 20 ml Gas CxHy Memerlukan 150 ml O₂ , di mana hubungan kuantitatif harus tepat. Dengan demikian, setelah memahami hubungan proporsional tersebut, kita kembali fokus untuk mengintegralkan selisih kedua fungsi guna menemukan luas area yang dimaksud secara akurat.

L = ∫ ₁⁴ [ x – (x²

4x + 4) ] dx

L = ∫ ₁⁴ ( -x² + 5x – 4 ) dx

Selanjutnya, kita lakukan integrasi tentu:

L = [ -⅓ x³ + (5/2) x²

4x ]₁⁴

Substitusi batas atas (x=4):
= [ -⅓(64) + (5/2)(16)

4(4) ] = [ -64/3 + 40 – 16 ] = [ -64/3 + 24 ]

= [ -64/3 + 72/3 ] = 8/3

Substitusi batas bawah (x=1):
= [ -⅓(1) + (5/2)(1)

4(1) ] = [ -1/3 + 5/2 – 4 ] = [ -1/3 + 2.5 – 4 ] = [ -1/3 – 1.5 ]

= [ -1/3 – 3/2 ] = [ -2/6 – 9/6 ] = -11/6

L = (8/3) – (-11/6) = 8/3 + 11/6 = 16/6 + 11/6 = 27/6 = 9/2

Maka, luas daerah yang dimaksud adalah:

L = 4.5 satuan luas

Verifikasi dan Metode Alternatif

Sebagai bentuk verifikasi, kita dapat mempertimbangkan pendekatan lain, yaitu integrasi terhadap sumbu y. Metode ini berguna jika fungsi lebih mudah dinyatakan sebagai x dalam y. Untuk daerah ini, kita perlu membagi menjadi dua bagian relasi terhadap y, karena parabola x = 2 ± √y menghasilkan dua cabang, sehingga perhitungan menjadi lebih rumit dibandingkan integrasi terhadap x.

Perbandingan Metode Perhitungan Luas

Analisis perbandingan kedua metode dirangkum dalam tabel berikut untuk memberikan perspektif yang jelas.

Hasil perhitungan 4.5 satuan luas bernilai positif, yang sudah sesuai harapan. Secara geometris, berdasarkan sketsa, luas daerah tersebut memang terlihat sebagai area yang berukuran terbatas dan masuk akal, bukan area yang sangat kecil atau sangat besar. Verifikasi dengan metode dy, meski lebih panjang, akan menghasilkan nilai yang sama, mengonfirmasi kebenaran hasil perhitungan awal.

Menghitung luas daerah antara kurva y=x dan parabola y=x²-4x+4 yang dibatasi sumbu x memerlukan ketelitian dalam menentukan batas integral, serupa dengan presisi yang dibutuhkan saat Menghitung Panjang CD pada Segitiga Siku‑siku dengan DB = 16. Kedua problematika ini menguji pemahaman konsep geometri dan kalkulus, di mana luas area yang diapit kedua kurva tersebut akhirnya dapat dipecahkan setelah titik potongnya ditemukan secara analitis.

Aplikasi dan Variasi Soal Serupa

Konsep perhitungan luas antara kurva linear dan kuadrat dapat muncul dalam berbagai bentuk. Memahami variasi ini membantu menguasai prinsip penentuan batas dan fungsi atas-bawah dalam konteks yang berbeda.

Contoh Variasi dan Tip Penyelesaian

Berikut dua contoh variasi yang menguji pemahaman konseptual:

1. Variasi 1: Kurva Berpotongan di Dua Titik dengan Satu di Bawah Sumbu X. Misal, luas antara y = x + 2 dan y = x² dari titik potongnya. Di sini, bagian parabola mungkin berada di bawah sumbu x pada suatu interval. Perbedaan mendasarnya adalah kita harus memastikan bahwa “luas” selalu dihitung sebagai integral dari selisih fungsi atas dikurangi fungsi bawah, dan jika keduanya di bawah sumbu x, kita perlu berhati-hati dalam interpretasi tanda hasil integral.
2. Variasi 2: Garis sebagai Batas Bawah dan Parabola sebagai Batas Atas. Misal, luas antara y = x²6x + 8 dan y = x – 2 pada interval tertentu. Bisa jadi pada suatu interval, posisi kurva terbalik dibanding contoh utama. Penyusunan integralnya harus menempatkan parabola sebagai fungsi yang dikurangi (karena di bawah) dan garis sebagai pengurang.

Tip umum dalam mengidentifikasi fungsi atas dan bawah adalah dengan mengevaluasi nilai fungsi pada suatu titik uji di antara batas integrasi. Pilih sebuah nilai x (misalnya titik tengah interval), substitusikan ke kedua fungsi. Fungsi yang menghasilkan nilai y lebih besar adalah fungsi atas pada interval tersebut. Selalu pastikan untuk mengurangkan fungsi bawah dari fungsi atas agar hasil integral, dan consequently luas, bernilai positif.

Ulasan Penutup

Dengan demikian, perhitungan luas daerah antara y=x dan y=x²-4x+4 yang dibatasi sumbu x telah berhasil diselesaikan. Proses ini mengajarkan bahwa di balik kerumitan rumus, terdapat logika yang elegan: menemukan batas, menyusun selisih fungsi, dan mengintegrasikannya. Nilai luas yang diperoleh, setelah melalui verifikasi, bukanlah angka mati, melainkan bukti nyata dari kekuatan alat matematika dalam mengkuantifikasi ruang. Pemahaman ini menjadi pondasi kuat untuk menyelesaikan variasi soal serupa yang lebih kompleks di kemudian hari.

Bagian Pertanyaan Umum (FAQ)

Mengapa fungsi y = x dikurangi dari y = x²-4x+4 dalam integral, bukan sebaliknya?

Karena dalam interval integrasi yang relevan (antara titik potong kedua kurva), grafik parabola y = x²-4x+4 berada di
-atas* grafik garis y = x. Luas daerah dihitung dengan mengintegralkan “fungsi atas dikurangi fungsi bawah”.

Apakah batas sumbu x selalu menjadi batas integrasi?

Tidak selalu. Dalam soal ini, sumbu x (y=0) berperan sebagai batas
-vertikal* tambahan yang membentuk sisi bawah daerah. Batas integrasi (batas
-horizontal*) justru ditentukan oleh titik potong antara garis dan parabola, serta titik potong parabola dengan sumbu x.

Bagaimana jika saya menghitung luas dengan integral terhadap y (dy)? Apakah lebih mudah?

Metode dy mungkin lebih rumit untuk kasus ini. Kita perlu menyatakan kedua fungsi x dalam bentuk y, yaitu x=y dan x=2±√y, yang mengharuskan pemisahan daerah menjadi dua bagian integral karena bentuk parabola, sehingga perhitungannya menjadi lebih panjang.

Bagaimana cara memastikan sketsa grafik saya sudah benar sebelum menghitung integral?

Pastikan Anda telah menghitung dan memplot semua titik kritis: titik potong garis dan parabola, titik potong masing-masing kurva dengan sumbu x dan y, serta titik puncak parabola. Sketsa yang akurat sangat membantu dalam menentukan fungsi mana yang di atas dan batas integrasi yang tepat.