M values giving negative roots for (m‑2)x² + 2mx + (m‑1)=0 – Nilai m yang Memberikan Akar Negatif untuk (m‑2)x² + 2mx + (m‑1)=0 bukan sekadar soal hitung-hitungan biasa, melainkan teka-teki aljabar yang menuntut pemahaman mendalam tentang karakter persamaan kuadrat. Persoalan ini mengajak kita untuk menyelami hubungan rumit antara parameter, diskriminan, serta sifat-sifat akar, sebuah eksplorasi yang menggabungkan logika ketat dengan intuisi matematika. Dalam dunia persamaan kuadrat, tanda akar-akar sering kali menjadi petunjuk penting tentang perilaku fungsi, dan menemukan nilai m yang tepat menjadi kunci untuk mengungkap rahasia tersebut.
Analisis dimulai dengan mengenali syarat mutlak agar sebuah persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang keduanya bernilai negatif. Kondisi ini tidak hanya bergantung pada diskriminan yang non-negatif, tetapi juga pada jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut. Untuk persamaan dengan parameter m seperti ini, langkah-langkah penyelesaiannya melibatkan penyusunan sistem pertidaksamaan yang harus dipenuhi oleh m, kemudian menyelesaikannya untuk menemukan rentang nilai yang valid.
Proses ini menguji kemampuan dalam memadukan konsep dasar aljabar dengan teknik penyelesaian pertidaksamaan.
Memahami Persamaan Kuadrat dan Akar Negatif: M Values Giving Negative Roots For (m‑2)x² + 2mx + (m‑1)=0
Sebelum menyelami kondisi parameter m, penting untuk membangun pemahaman mendasar tentang karakteristik akar-akar persamaan kuadrat, khususnya yang bernilai negatif. Persamaan kuadrat umumnya dinyatakan sebagai ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah koefisien real dengan a ≠ 0. Tanda dari akar-akar persamaan ini tidak ditentukan secara acak, melainkan oleh hubungan yang teratur antara ketiga koefisien tersebut.
Agar suatu persamaan kuadrat memiliki dua akar yang keduanya negatif, beberapa syarat harus dipenuhi secara simultan. Pertama, akar-akar tersebut harus real. Kerealannya ini dijamin oleh nilai diskriminan (D = b²
-4ac) yang harus lebih besar atau sama dengan nol. Selanjutnya, tanda akar dikendalikan oleh rumus jumlah akar (x₁ + x₂ = -b/a) dan hasil kali akar (x₁
– x₂ = c/a).
Untuk akar-akar negatif, jumlah dua bilangan negatif adalah negatif, dan hasil kalinya adalah positif. Oleh karena itu, syarat lengkapnya adalah: Diskriminan ≥ 0, jumlah akar (-b/a) < 0, dan hasil kali akar (c/a) > 0.
Syarat Akar Real dan Jenisnya
Diskriminan berperan sebagai penentu hakiki sifat akar. Jika D > 0, persamaan memiliki dua akar real yang berbeda. Jika D = 0, akar-akarnya real dan kembar (sama). Sedangkan D < 0 mengindikasikan akar-akar yang tidak real atau imajiner. Dalam konteks pencarian akar negatif, langkah pertama adalah memastikan D ≥ 0 agar akar-akar yang kita bicarakan eksis dalam bilangan real.
Identifikasi Koefisien pada Persamaan m
Pada persamaan yang diberikan, (m‑2)x² + 2mx + (m‑1)=0, kita dapat mengidentifikasi koefisiennya sebagai a = (m-2), b = 2m, dan c = (m-1). Perhatikan bahwa koefisien a mengandung parameter. Hal ini menimbulkan pertimbangan khusus karena jika (m-2) = 0 atau m = 2, persamaan berubah menjadi bentuk linear, bukan lagi kuadrat. Analisis kita untuk akar negatif harus mempertimbangkan kasus khusus ini secara terpisah.
Menurunkan Kondisi untuk Parameter m
Dengan kerangka syarat yang telah dibangun, langkah logis berikutnya adalah menerjemahkan syarat-syarat umum tersebut ke dalam bentuk pertidaksamaan yang melibatkan parameter m. Proses ini akan menghasilkan sebuah sistem pertidaksamaan yang solusinya merupakan himpunan semua nilai m yang diinginkan.
Penjabaran Diskriminan
Diskriminan dari persamaan (m‑2)x² + 2mx + (m‑1)=0 dihitung dengan rumus D = b²
-4ac.
D = (2m)²
4*(m-2)*(m-1)
D = 4m²
- 4(m²
- 3m + 2)
D = 4m²
4m² + 12m – 8
D = 12m – 8
Syarat agar akar-akar real adalah D ≥ 0, yang berarti 12m – 8 ≥ 0. Pertidaksamaan ini disederhanakan menjadi m ≥ ⅔.
Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar
Berdasarkan hubungan koefisien dengan akar, kita peroleh dua syarat krusial untuk tanda akar negatif. Pertama, hasil kali akar harus positif: c/a >
0. Kedua, jumlah akar harus negatif: -b/a <
0. Dengan mensubstitusi nilai a, b, dan c, kita dapatkan:
- Hasil Kali Akar: (m-1)/(m-2) > 0
- Jumlah Akar: -(2m)/(m-2) < 0
Ketiga pertidaksamaan inilah—D ≥ 0, hasil kali > 0, dan jumlah < 0—yang akan membentuk sistem untuk diselesaikan.
Menganalisis Sistem Pertidaksamaan untuk m
Penyelesaian sistem pertidaksamaan memerlukan ketelitian karena melibatkan pertidaksamaan rasional. Setiap syarat memberikan batasan yang berbeda pada nilai m, dan nilai m yang valid harus memenuhi semua batasan tersebut secara bersamaan.
Tabel Pengaruh Syarat terhadap m
| Syarat | Pertidaksamaan | Penyelesaian | Interpretasi |
|---|---|---|---|
| Diskriminan (Akar Real) | m ≥ ⅔ | [⅔, ∞) | Akar-akar tidak imajiner. |
| Hasil Kali Akar (Positif) | (m-1)/(m-2) > 0 | m < 1 atau m > 2 | Akar-akar sama-sama positif atau sama-sama negatif. |
| Jumlah Akar (Negatif) | -(2m)/(m-2) < 0 | 0 < m < 2 | Akar-akar berjumlah negatif. |
Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan
Nilai m yang sah harus berada di irisan dari ketiga himpunan penyelesaian di atas. Mari kita cari irisan dari [⅔, ∞), (‑∞, 1) ∪ (2, ∞), dan (0, 2).
- Iriskan [⅔, ∞) dengan (0, 2). Hasilnya adalah [⅔, 2).
- Sekarang, iriskan hasil sementara [⅔, 2) dengan kondisi hasil kali akar (m < 1 atau m > 2). Interval [⅔, 2) yang beririsan dengan (m < 1) menghasilkan [⅔, 1). Sementara itu, irisan dengan (m > 2) adalah himpunan kosong karena [⅔, 2) tidak memuat angka >2.
- Dengan demikian, solusi sementara dari sistem adalah m ∈ [⅔, 1).
Menyajikan Solusi dan Interval Nilai m
Setelah melalui proses analisis yang sistematis, kita sampai pada himpunan nilai m yang memenuhi semua syarat untuk menghasilkan akar-akar negatif. Namun, kita tidak boleh melupakan pemeriksaan terhadap koefisien utama persamaan kuadrat.
Himpunan solusi dari sistem pertidaksamaan adalah m ∈ [⅔, 1).
Kasus Khusus Koefisien x², M values giving negative roots for (m‑2)x² + 2mx + (m‑1)=0
Perhatikan bahwa dalam solusi sementara [⅔, 1), nilai a = (m-2) selalu negatif karena m kurang dari
2. Ini berarti parabola terbuka ke bawah. Yang lebih kritis adalah memeriksa apakah m = 2 termasuk. Jika m = 2, maka a = 0, dan persamaan berdegenerasi menjadi bentuk linear: 2mx + (m-1) = 4x + 1 = 0, yang hanya memiliki satu akar, x = -¼.
Meskipun akar ini negatif, persamaannya bukan lagi persamaan kuadrat sehingga tidak memenuhi syarat awal untuk memiliki dua akar (baik berbeda atau kembar). Oleh karena itu, m = 2 harus dikeluarkan, tetapi karena ia sudah tidak berada dalam interval [⅔, 1), pengecualian ini tidak mengubah solusi akhir.
Verifikasi dengan Contoh Numerik
Teori tanpa verifikasi bagai kapal tanpa kompas. Mari kita uji solusi kita dengan memilih beberapa nilai m, baik yang berada di dalam interval solusi maupun di luarnya, untuk memastikan konsistensi antara prediksi analitis dan kenyataan perhitungan.
| Nilai m | Persamaan Kuadrat | Akar-akar (Nilai Approksimasi) | Kedua Akar Negatif? |
|---|---|---|---|
| m = 0.8 (Dalam interval) | (0.8-2)x² + 2*0.8x + (0.8-1) = -1.2x² + 1.6x – 0.2 = 0 | x ≈ 0.13 dan x ≈ 1.21 (Kedua akar positif? Ini anomali. Mari hitung ulang: D=1.12, x1= ( -1.6 + √1.12 ) / (2*-1.2) ≈ ( -1.6 + 1.058 ) / -2.4 ≈ -0.542/-2.4 ≈ 0.x2= ( -1.6 – 1.058 ) / -2.4 ≈ -2.658/-2.4 ≈ 1.
Menentukan nilai m yang menghasilkan akar negatif pada persamaan kuadrat (m‑2)x² + 2mx + (m‑1)=0 memerlukan analisis diskriminan dan syarat akar. Proses analitis ini mengingatkan pada kompleksitas status hukum suatu entitas, di mana Pengaruh Non‑keanggotaan PBB terhadap Status Subjek HI Negara menjadi kajian krusial dalam hukum internasional. Layaknya mencari batasan nilai m, penentuan status subjek hukum pun membutuhkan parameter yang jelas dan tegas agar tidak menimbulkan ambiguitas dalam penerapannya.
0. Penyelesaian m < 0 atau m > |
? |
| m = 3 ( >2 ) | (1)x² + 6x + 2 = 0 | x = -3 ± √7 ≈ -3 ± 2.645. Jadi x1 ≈ -0.355, x2 ≈ -5.645. | Ya, keduanya negatif. |
| m = 1.5 (Di luar, antara 1 dan 2) | (-0.5)x² + 3x + 0.5 = 0 | D=11, x1 ≈ -0.16, x2 ≈ 6.16 (satu negatif, satu positif). | Tidak. |
| m = 0.5 ( < ⅔ ) | (-1.5)x² + 1x – 0.5 = 0 | D = -2 (Akar imajiner). | Tidak real. |
Berdasarkan verifikasi dan koreksi, solusi sistem yang benar adalah m > 2. Interval m > 2 memenuhi syarat diskriminan (m≥⅔), hasil kali akar positif (karena m>2, maka m-1>0 dan m-2>0), dan jumlah akar negatif (karena untuk m>2, -(2m)/(m-2) bernilai negatif).
Visualisasi Grafik dan Interpretasi
Pemahaman aljabar menjadi lebih hidup ketika divisualisasikan secara geometris. Perilaku grafik fungsi kuadrat f(x) = (m‑2)x² + 2mx + (m‑1) untuk nilai m yang berbeda memberikan intuisi mendalam tentang posisi akar-akarnya.
Perilaku Grafik untuk m > 2
Untuk nilai m dalam solusi akhir (m > 2), koefisien a = (m-2) adalah positif. Ini berarti parabola terbuka ke atas. Karena jumlah akar negatif, titik puncak parabola berada di sebelah kiri sumbu-y. Lebih penting lagi, karena hasil kali akar positif dan a positif, maka c = (m-1) juga positif. Artinya, parabola memotong sumbu-y di titik positif (c > 0).
Dengan parabola yang terbuka ke atas, titik potong y positif, dan jumlah akar negatif (sumbu simetri di kiri nol), agar memiliki dua akar negatif, parabola harus memotong sumbu-x di dua titik yang keduanya bernilai x negatif. Ini terjadi jika nilai fungsinya pada x=0 (yaitu c) positif, dan diskriminannya positif. Grafik akan menyeberang dari atas sumbu-x, turun memotong sumbu-x dua kali di wilayah x negatif, lalu naik kembali.
Perbandingan dengan Nilai m di Luar Solusi
Sebagai perbandingan, untuk m = 1.5 (di mana 1 < m < 2), koefisien a negatif (parabola terbuka ke bawah). Hasil kali akar positif, tetapi jumlah akar positif. Grafik akan memotong sumbu-y di nilai positif, naik ke sebuah maksimum, lalu turun memotong sumbu-x dua kali—sekali di daerah x negatif dan sekali di daerah x positif—sesuai dengan hasil perhitungan yang menghasilkan satu akar negatif dan satu positif. Sementara itu, untuk m < ⅔, diskriminan negatif menyebabkan parabola tidak pernah memotong sumbu-x sama sekali; grafiknya seluruhnya berada di atas atau di bawah sumbu-x tergantung tanda a.
Ilustrasi Konseptual Posisi Kurva
Bayangkan sumbu-x sebagai garis horizon. Akar negatif berarti titik potong kurva dengan horizon berada di sebelah kiri titik nol. Syarat hasil kali akar positif memastikan kedua titik potong itu berada di sisi yang sama dari titik nol (keduanya negatif atau keduanya positif). Syarat jumlah akar negatif, yang terkait dengan posisi sumbu simetri, memaksa titik tengah antara kedua titik potong tersebut (yang pasti negatif jika keduanya negatif) berada di sebelah kiri nol.
Kombinasi dari ketiga syarat ini, bersama dengan kondisi a ≠ 0 dan D ≥ 0, secara geometris membentuk kurva yang pasti memotong horizon di dua tempat yang jauh di sebelah kiri titik nol.
Ringkasan Penutup
Source: askiitians.com
Dari analisis mendalam terhadap persamaan (m‑2)x² + 2mx + (m‑1)=0, dapat disimpulkan bahwa nilai parameter m yang menghasilkan akar-akar real negatif terletak pada interval setengah terbuka ⅔ < m ≤ 2. Solusi ini merupakan irisan dari tiga syarat utama: diskriminan non-negatif, hasil kali akar positif, dan jumlah akar negatif. Temuan ini mempertegas bahwa dalam matematika, jawaban sering kali bukanlah sebuah angka tunggal, melainkan sebuah rentang nilai yang memenuhi serangkaian kondisi logis. Pemahaman ini tidak hanya menyelesaikan satu persoalan, tetapi juga memberikan kerangka berpikir untuk menyelesaikan berbagai masalah serupa dengan parameter yang berbeda, membuktikan keanggunan dan konsistensi logika matematika.
Informasi Penting & FAQ
Apakah nilai m=2 termasuk dalam solusi?
Tidak. Jika m=2, koefisien x² menjadi nol (m-2=0), sehingga persamaan berubah menjadi persamaan linear 4x + 1 = 0 yang hanya memiliki satu akar (x = -¼). Syarat awal kita adalah persamaan kuadrat, sehingga m tidak boleh sama dengan 2.
Menentukan nilai m agar persamaan kuadrat (m‑2)x² + 2mx + (m‑1)=0 memiliki akar-akar negatif memerlukan analisis diskriminan dan sifat akar. Proses berpikir sistematis seperti ini juga krusial dalam bidang lain, misalnya saat kita perlu Setarakan Reaksi Ba(OH)2(aq) + (NH4)2SO4(aq) → BaSO4(s) + NH3(g) + H2O(l) yang menuntut kecermatan dalam menyeimbangkan massa dan muatan. Kembali ke persamaan kuadrat, syarat akar negatif meliputi D ≥ 0, jumlah akar < 0, dan hasil kali akar > 0, yang akan memberikan interval nilai m tertentu setelah dihitung.
Mengapa syarat hasil kali akar harus positif untuk akar negatif?
Hasil kali dua bilangan negatif adalah bilangan positif. Oleh karena itu, jika kedua akar bernilai negatif, maka hasil kalinya pasti positif. Syarat ini membantu memastikan tanda kedua akar sama-sama negatif (atau sama-sama positif jika jumlah akarnya positif).
Bagaimana jika hanya satu akar yang negatif?
Analisis akan berbeda. Untuk satu akar negatif dan satu akar positif, syaratnya adalah hasil kali akar (c/a) harus negatif. Soal ini khusus membahas kasus di mana kedua akarnya negatif.
Apakah solusi ini menjamin akar-akarnya real dan berbeda?
Nilai m yang menghasilkan akar negatif pada persamaan kuadrat (m‑2)x² + 2mx + (m‑1)=0 berkaitan erat dengan distribusi ‘kekuasaan’ dalam sistem akar. Analoginya mirip dengan konsep tata kelola, di mana Pengertian Sentralisasi, Desentralisasi, dan Dekonsentrasi menjelaskan bagaimana wewenang dialokasikan. Dalam matematika, parameter m mengatur ‘otoritas’ diskriminan dan jumlah akar, di mana syarat tertentu memusatkan hasil pada nilai-nilai negatif, layaknya keputusan yang terdesentralisasi namun tetap dalam satu kerangka sistem.
Ya. Syarat diskriminan D ≥ 0 menjamin akar-akarnya real. Dalam interval ⅔ < m ≤ 2, pada m=2 persamaan bukan kuadrat, dan pada m=⅔ diskriminannya nol (akar kembar). Jadi, untuk ⅔ < m < 2, akarnya real dan berbeda.
