Mencari nilai x sehingga deret geometri tak hingga p < 2 dan solusinya

Mencari nilai x sehingga deret geometri tak hingga p < 2 – Mencari nilai x sehingga deret geometri tak hingga p  < 2 terdengar seperti teka-teki aljabar yang ketat, tapi sebenarnya ini adalah petualangan logika yang seru. Bayangkan kamu punya remote control ajaib yang bisa mengatur perilaku sebuah deret tak terbatas, apakah ia akan menuju suatu jumlah tertentu atau justru meledak tak terkendali. Nah, parameter p inilah remote-nya, dan kondisi p < 2 adalah kode rahasia agar deretnya 'jinak' dan konvergen. Topik ini mengajak kita menyelami hubungan intim antara sebuah variabel, sebuah parameter, dan nasib sebuah deret yang terus-menerus.

Pada dasarnya, kita sedang bermain dengan batasan. Deret geometri tak hingga hanya akan konvergen, alias memiliki jumlah total yang finite, jika nilai mutlak rasionya kurang dari satu. Tugas kita adalah mentranslasikan batasan eksternal p  < 2 menjadi bahasa yang dimengerti oleh si rasio ini, yang sering kali dinyatakan dalam variabel x. Prosesnya mirip seperti memecahkan kode: kita terjemahkan, kita manipulasi aljabar, dan akhirnya kita dapatkan rentang nilai x yang diperbolehkan. Namun, hati-hati, ada jebakan logika dan kasus khusus yang menanti di setiap sudut persamaan.

Mengurai Makna Batasan p < 2 dalam Konteks Rasio Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga punya daya tarik tersendiri karena meski jumlah sukunya tak terbatas, ia bisa mencapai suatu jumlah akhir yang tertentu. Kunci dari keajaiban ini terletak pada rasio atau perbandingan antar suku, yang biasa kita sebut r. Syarat mutlak agar deret ini konvergen, alias jumlahnya mendekati suatu bilangan tetap, adalah nilai mutlak rasio harus kurang dari satu, atau |r| < 1. Jika rasio bernilai 1 atau lebih besar secara mutlak, penambahan suku-suku berikutnya akan terus membesar atau berosilasi tanpa henti, sehingga jumlah totalnya tak terhingga atau tidak stabil.

Dalam konteks soal kita, parameter p bukanlah rasio itu sendiri, melainkan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dari variabel x. Hubungannya dengan rasio r sangatlah krusial. Biasanya, soal akan mendefinisikan r sebagai fungsi dari x, misalnya r = (x – 1)/2, dan kemudian mendefinisikan p sebagai fungsi lain dari x, misalnya p = x + 1. Kondisi p < 2 kemudian menjadi pintu masuk untuk menemukan nilai-nilai x yang diizinkan. Mengapa? Karena batasan p < 2 ini, setelah melalui serangkaian manipulasi aljabar, pada akhirnya akan mentranslasikan menjadi batasan untuk r, yaitu |r| < 1. Dengan kata lain, p < 2 adalah kondisi yang setara atau mengakibatkan terpenuhinya syarat konvergensi deret. Memahami bahwa p adalah sebuah 'proxy' atau perantara untuk mengontrol besaran r adalah langkah pertama yang vital.

Perbandingan Skenario Nilai p terhadap Konvergensi

Untuk memberikan gambaran yang lebih nyata, mari kita lihat bagaimana variasi nilai p mempengaruhi kemungkinan nilai r dan status deret. Asumsikan kita memiliki hubungan sederhana dimana r = p – 1. Tabel berikut membandingkan beberapa skenario.

Dari tabel terlihat jelas bahwa selama p < 2, maka r < 1. Namun, perlu diingat bahwa syarat konvergensi adalah |r| < 1, bukan sekadar r < 1. Jika hubungannya adalah r = 1 - p, maka p=1.5 justru menghasilkan r = -0.5 yang juga memenuhi |r| < 1. Inilah mengapa bentuk hubungan antara p dan r harus diperhatikan dengan saksama.

Contoh Numerik Pengaruh p pada Rentang r

Misalkan suatu deret geometri tak hingga memiliki rasio yang didefinisikan sebagai r = (x)/4, dan parameter p didefinisikan sebagai p = x. Kondisi yang diberikan adalah p < 2, yang berarti x < 2. Kita ingin mencari rentang x agar deret konvergen. Syarat konvergensi deret adalah |r| < 1.

Langkah 1: Substitusi r. |(x)/4| < 1. Langkah 2: Kalikan kedua sisi dengan 4. |x| < 4. Langkah 3: Gabungkan dengan kondisi dari p, yaitu x < 2. Kita mencari irisan dari x < 2 dan |x| < 4 (yang setara dengan -4 < x < 4). Irisan dari x < 2 dan -4 < x < 4 adalah -4 < x < 2. Jadi, untuk nilai x dalam interval (-4, 2), kedua kondisi terpenuhi: p=x<2 dan |r|=|x/4|<1. Perhatikan bahwa perubahan batas p dari <2 menjadi, misalnya, <3 akan memperluas irisan menjadi -4 < x < 3.

Analogi Visual dalam Kehidupan Nyata

Bayangkan kamu memiliki sebuah ember besar dan sebuah gayung. Aturannya, kamu hanya boleh menuangkan air sebanyak pecahan tertentu dari sisa kapasitas ember yang belum terisi. Jika pecahan ini adalah 1/2 (r=0.5), maka pertama kamu isi setengah ember, lalu setengah dari sisa (1/4), lalu lagi setengah dari sisa (1/8), dan seterusnya. Ember akan semakin penuh tetapi tidak akan pernah meluap tepat ke bibir; ia mendekati kapasitas penuh.

Mencari nilai x agar deret geometri tak hingga konvergen dengan p  < 2 itu seperti menyelesaikan teka-teki logis. Analoginya, dalam perencanaan infrastruktur, kita perlu ketelitian serupa saat menghitung panjang jalan yang perlu diperbaiki, seperti yang diuraikan dalam artikel tentang Panjang Jalan ke Desa: 12 km 270 m, Rusak 94,5 hm. Prinsip ketelitian dan batasan itu penting, sama halnya dalam menentukan interval x agar rasio deret geometri memenuhi syarat konvergensi yang diinginkan.

Itulah konvergensi. Sekarang, jika aturannya kamu harus menuangkan air sebanyak 1.1 kali dari sisa kapasitas (r=1.1), maka kamu justru akan menuangkan lebih banyak dari yang tersisa, menyebabkan ember pasti meluap tak terkendali. Itulah divergensi. Batasan p < 2 dalam analogi ini seperti pengatur maksimal pecahan air yang boleh dituang; selama aturan itu menghasilkan pecahan efektif kurang dari 1, ember akan bisa menampungnya.

Strategi Aljabar untuk Mengekstrak Nilai x dari Relasi p dan Rasio

Setelah memahami bahwa kondisi p < 2 pada dasarnya adalah alat untuk menjinakkan rasio r, langkah selanjutnya adalah menerjemahkan bahasa kondisi tersebut menjadi pertidaksamaan yang solusinya adalah himpunan nilai x. Proses ini memerlukan ketelitian aljabar, terutama ketika ekspresi p(x) melibatkan bentuk pecahan, kuadrat, atau akar. Tujuannya tunggal: mengisolasi variabel x di satu sisi pertidaksamaan.

Prosedurnya dimulai dengan menuliskan secara eksplisit bentuk fungsi p(x). Misalnya, p(x) = (x² + 3) / (x + 1). Kondisi p(x) < 2 kemudian menjadi (x² + 3) / (x + 1) < 2. Tantangannya, kita tidak bisa begitu saja mengalikan silang karena tanda penyebut (x+1) bisa positif atau negatif, yang mempengaruhi arah pertidaksamaan. Pendekatan yang aman adalah memindahkan semua suku ke satu ruas sehingga pertidaksamaan dibandingkan dengan nol, lalu menyatukan dalam satu pecahan untuk analisis tanda.

Langkah-Langkah Manipulasi Aljabar Sistematis

Berikut adalah rangkaian langkah umum yang dapat diikuti untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional seperti contoh di atas.

• Pindahkan semua suku ke satu ruas: (x² + 3)/(x + 1)
  -2 < 0.
• Samakan penyebut: [ (x² + 3)
  -2(x + 1) ] / (x + 1) < 0.
• Sederhanakan pembilang: (x² + 3 – 2x – 2) / (x + 1) < 0 → (x² -2x + 1) / (x + 1) < 0.
• Faktorkan pembilang jika memungkinkan: (x – 1)² / (x + 1) < 0.
• Tentukan titik kritis dimana pembilang atau penyebut nol: x = 1 (pembilang nol) dan x = -1 (penyebut nol, titik singular).
• Uji tanda pada interval yang dibatasi titik kritis: (-∞, -1), (-1, 1), dan (1, ∞). Karena (x-1)² selalu positif kecuali di x=1, maka tanda pecahan ditentukan sepenuhnya oleh tanda penyebut (x+1).
• Pecahan akan negatif ( <0) jika penyebut negatif, yaitu ketika x+1 < 0 atau x < -1. Namun, x tidak boleh sama dengan -1 karena penyebut nol. Jadi, solusi pertidaksamaan p(x) < 2 adalah x < -1.

Ilustrasi Grafik Fungsi p(x)

Bayangkan sebuah grafik dengan sumbu horizontal x dan sumbu vertikal p. Kurva p(x) = (x-1)²/(x+1) memiliki asimtot vertikal di x = -1 (garis tegak yang tidak boleh disentuh kurva). Di sebelah kiri x = -1, kurva berada di daerah nilai p yang negatif dan semakin menurun saat x menuju -∞. Di sebelah kanan x = -1, kurva dimulai dari nilai p yang sangat besar positif, turun hingga menyentuh p=0 di x=1, lalu naik kembali.

Daerah dimana p < 2 tidak hanya mencakup seluruh bagian kurva di kiri x=-1 (yang sudah pasti <2), tetapi juga potongan kurva di kanan x=-1 yang berada di bawah garis horizontal p=2. Titik kritis p=2 terjadi saat kurva memotong garis tersebut. Analisis aljabar sebelumnya mengonfirmasi bahwa di daerah x > -1, kurva hanya di bawah p=2 pada interval tertentu. Visualisasi ini membantu memastikan solusi aljabar tidak melupakan bagian-bagian interval yang valid.

Kesalahan umum dalam manipulasi pertidaksamaan adalah mengalikan kedua sisi dengan suatu ekspresi yang mengandung variabel tanpa mempertimbangkan tandanya. Misalnya, dari (A/B) < C, langsung menulis A < C*B. Ini hanya diperbolehkan jika B sudah dipastikan positif. Jika B bisa negatif, arah pertidaksamaan harus dibalik, dan jika B bisa nol, kasusnya harus dipisah. Selalu bawa pertidaksamaan ke bentuk dibandingkan dengan nol dan lakukan analisis tanda interval untuk menghindari jebakan ini.

Eksplorasi Kasus Khusus dan Jebakan Logika dalam Menentukan Domain x

Mencari nilai x dari p(x) < 2 bukan sekadar menyelesaikan pertidaksamaan. Beberapa jebakan logika dan kasus khusus sering mengintai, yang jika terlewatkan akan menghasilkan himpunan solusi yang salah atau tidak lengkap. Dua hal utama yang harus selalu diperiksa adalah titik dimana p(x) tak terdefinisi dan titik dimana solusi pertidaksamaan memenuhi p<2 tetapi melanggar syarat dasar |r|<1 karena hubungan khusus antara x dan r.

Pertama, p(x) bisa tak terdefinisi jika melibatkan pembagian dengan nol atau akar kuadrat dari bilangan negatif (jika kita membatasi pada bilangan real). Nilai x yang menyebabkan hal ini harus dikeluarkan dari domain awal, sebelum pertidaksamaan diselesaikan. Kedua, dan ini lebih halus, kondisi p <2 mungkin hanya merupakan syarat perlu, bukan syarat cukup, untuk konvergensi. Syarat cukup dan perlu yang sebenarnya adalah |r(x)| < 1. Dalam beberapa soal, p(x) mungkin hanya bagian dari ekspresi r(x). Jadi, setelah mendapatkan calon x dari p<2, kita wajib mensubstitusikannya kembali ke rumus asli r(x) untuk memastikan |r| benar-benar kurang dari 1.

Pemetaan Kompleksitas Berdasarkan Bentuk Fungsi p(x)

Tingkat kesulitan dalam mencari interval x sangat bergantung pada bentuk fungsi p(x). Berikut adalah perbandingannya.

Contoh Nilai x yang Memenuhi p<2 tetapi Deret Divergen

Misalkan suatu deret didefinisikan dengan suku pertama a = 1 dan rasio r = x –
2. Parameter p didefinisikan sebagai p = x. Kondisi yang diberikan adalah p < 2, sehingga x < 2. Jika kita berhenti di sini, kita mungkin menyimpulkan semua x < 2 adalah solusi. Namun, mari kita uji untuk x = - 3. Nilai p = -3 memang < 2. Substitusi ke r: r = (-3) -2 = -5. Nilai |r| = 5 yang jauh lebih besar dari 1. Jelas deret akan divergen. Di sini, syarat konvergensi |r|<1 diterjemahkan menjadi |x-2| < 1, yang menghasilkan 1 < x < 3. Irisan antara kondisi p<2 (x<2) dan |r|<1 (1

Verifikasi Solusi Melalui Uji Konvergensi dan Interpretasi Geometris

Setelah melalui proses aljabar yang mungkin rumit, kita mendapatkan satu atau beberapa interval nilai x sebagai calon solusi. Tahap verifikasi adalah benteng terakhir untuk memastikan tidak ada kesalahan. Verifikasi ini bersifat dua lapis: pertama, memastikan nilai x tersebut memang memenuhi pertidaksamaan p(x) < 2; kedua, dan yang paling penting, memastikan bahwa dengan nilai x tersebut, rasio deret r(x) memenuhi |r| < 1. Langkah kedua ini adalah inti dari seluruh masalah, karena konvergensi deretlah yang menjadi tujuan akhir.

Metode verifikasi yang robust adalah dengan mengambil sampel nilai x dari dalam interval solusi, titik batas interval (jika termasuk), dan nilai di luar interval. Substitusikan masing-masing ke dalam ekspresi p(x) dan r(x). Untuk nilai x di dalam interval solusi, harus diperoleh p(x) < 2 dan |r(x)| < 1. Untuk nilai x di luar, seharusnya salah satu atau kedua kondisi tersebut tidak terpenuhi. Pengujian titik batas perlu hati-hati: jika pertidaksamaan asalnya adalah "<" (kurang dari), maka titik batas yang membuat p(x)=2 tidak termasuk solusi. Namun, titik batas yang membuat |r(x)|=1 juga harus dikeluarkan karena deret tidak konvergen pada kondisi tersebut (deret akan divergen atau tidak terdefinisi jumlah tak hingganya).

Representasi Geometris Konvergensi dan Divergensi

Bayangkan sebuah garis bilangan yang merepresentasikan jumlah deret. Untuk deret konvergen, penambahan suku-suku baru akan membuat titik penjumlahan parsial melompat-lompat, namun lompatannya semakin kecil dan titik tersebut akan semakin mendekati dan akhirnya ‘terkunci’ di sekitar suatu bilangan tetap, misalnya angka 5. Semua lompatan berikutnya hanya bergerak dalam wilayah yang sangat sempit di sekitar angka 5. Secara visual, ini seperti titik yang bergerak makin lama makin pelan dan akhirnya hampir diam di satu tempat.

Sebaliknya, untuk deret divergen, titik penjumlahan parsial akan terus melompat jauh, mungkin ke kanan tak terbatas (jika r positif >1) atau bolak-balik secara ekstrem (jika r negatif dan |r|>1). Tidak ada titik ‘pemberhentian’ yang stabil.

Pertanyaan Pemandu untuk Verifikasi Solusi

• Apakah semua nilai x dalam himpunan solusi yang diajukan menyebabkan p(x) bernilai kurang dari 2?
• Apakah untuk nilai x tersebut, ekspresi r(x) terdefinisi dengan baik (tidak ada pembagian nol, akar negatif)?
• Apakah untuk nilai x tersebut, nilai mutlak dari r(x) benar-benar kurang dari 1?
• Apakah ada nilai x yang memenuhi p(x) <2 tetapi menyebabkan |r(x)| ≥ 1? Jika ada, nilai x tersebut harus dikeluarkan dari solusi akhir.
• Sudahkah titik-titik batas interval diperiksa keikutsertaannya berdasarkan jenis pertidaksamaan (≤ atau <)?

Contoh Perhitungan Lengkap dari Awal hingga Akhir

Source: slidesharecdn.com

Diberikan deret geometri tak hingga dengan suku pertama 4 dan rasio r = 2/(x-1). Parameter p didefinisikan sebagai p = x. Syarat: p < 2. Langkah 1: Tulis kondisi: x < 2. Langkah 2: Syarat konvergensi: |r| < 1 → |2/(x-1)| < 1. Langkah 3: Selesaikan |2/(x-1)| < 1. Ini setara dengan -1 < 2/(x-1) < 1. Selesaikan sebagai dua pertidaksamaan. Untuk 2/(x-1) < 1: Jika (x-1)>0 (x>1), maka 2 < x-1 → x > 3. Irisan x>1 dan x>3 adalah x>3. Jika (x-1)<0 (x<1), pertidaksamaan 2/(x-1) < 1 selalu benar karena ruas kiri negatif. Jadi, dari sini diperoleh x<1 atau x>
3. Untuk 2/(x-1) > -1: Jika (x-1)>0 (x>1), pertidaksamaan selalu benar karena ruas kiri positif. Jika (x-1) <0 (x<1), maka 2 > -1*(x-1) → 2 > -x+1 → x > –
1.

Jadi, dari sini untuk x <1, syaratnya x > –
1. Gabungkan: dari kasus pertama (x <1 atau x>3) dan kasus kedua (x>1 atau (x<1 dan x>-1)), solusi untuk |r|<1 adalah x > 3 atau -1 < x < 1. Langkah 4: Iriskan dengan kondisi p<2 (x<2). Irisan dari (x>3 atau -11! Ada kesalahan. Ternyata, saat menyelesaikan |2/(x-1)| < 1, kita harus berhati-hati. Mari selesaikan dengan kuadrat: |2/(x-1)| < 1 → 4/(x-1)² < 1 → (x-1)² > 4 → |x-1| > 2 → x-1 > 2 atau x-1 < -2 → x > 3 atau x < - 1. Ini solusi yang benar untuk |r|<1? Cek: Jika x=0, |2/(-1)|=2 (tidak <1). Jika x=-2, |2/(-3)|=2/3 (<1). Benar, solusi |r|<1 adalah x < -1 atau x >
3. Langkah 6: Iriskan dengan x <2: Solusi akhir adalah x < - 1. Notasi interval: (-∞, -1).

Aplikasi Prinsip Deret Konvergen dalam Pemodelan Fenomena dengan Parameter x

Konsep deret geometri tak hingga konvergen bukan hanya permainan matematika; ia banyak dipakai untuk memodelkan fenomena di dunia nyata, seperti peluruhan radioaktif, penyusutan nilai aset (depresiasi), atau proses filtrasi berulang. Dalam model-model tersebut, parameter seperti x sering merepresentasikan besaran fisik seperti konstanta peluruhan, persentase penyusutan, atau efisiensi filter. Kondisi p <2 dalam konteks ini muncul sebagai syarat realistis agar model tersebut memiliki hasil yang terhingga dan masuk akal.

Sebagai contoh, bayangkan sebuah model penyaringan polusi udara. Sebuah filter mampu menyaring 80% polutan di setiap siklus. Namun, 20% sisanya lolos dan akan disaring lagi di siklus berikutnya dengan efisiensi yang sama. Total polutan yang tersaring setelah tak hingga siklus dapat dimodelkan sebagai deret geometri. Sekarang, misalkan efisiensi filter itu tidak tetap, tetapi bergantung pada konsentrasi awal polutan (x).

Kita mungkin punya hubungan efisiensi = 1/(x+1). Parameter p bisa didefinisikan sebagai sesuatu yang terkait dengan x. Syarat p <2 akan mentranslasikan menjadi batasan konsentrasi polutan awal agar proses penyaringan secara teoritis dapat mencapai target pembersihan tertentu. Jika konsentrasi terlalu tinggi (x besar sehingga p≥2), model meramalkan bahwa filter tidak akan pernah mampu mendekati pembersihan total, yang secara praktis berarti sistem filter tersebut tidak memadai untuk beban polusi sebesar itu.

Interpretasi Fisik Batasan Nilai x, Mencari nilai x sehingga deret geometri tak hingga p < 2

Dalam pemodelan, variabel x sering kali mewakili sesuatu yang secara fisik tidak mungkin negatif, seperti jarak, massa, konsentrasi, atau probabilitas. Oleh karena itu, himpunan solusi x dari p <2 harus dipotong lagi dengan syarat x ≥ 0 (atau batasan lain yang sesuai konteks). Misalnya, solusi matematis kita mungkin menghasilkan -3 < x < 2. Namun, jika x adalah panjang sisi suatu benda, maka solusi yang valid secara fisik adalah 0 ≤ x < 2. Nilai negatif, meski memenuhi pertidaksamaan, harus dibuang karena tidak memiliki makna dalam dunia nyata yang dimodelkan.

Perbandingan Output Model Berdasarkan Nilai x

Tinjau model peluruhan zat radioaktif dimana sisa massa setelah n siklus peluruhan adalah fungsi deret geometri dengan rasio r = k/x, dengan k konstanta. Parameter p = x. Asumsikan total massa yang akhirnya terurai adalah jumlah tak hingga deret tersebut. Tabel berikut menunjukkan perbedaan output.

Tabel ini menunjukkan bahwa kepatuhan pada p <2 saja tidak menjamin model baik; perlu dipastikan juga |r|<1. Di sisi lain, nilai x yang tidak memenuhi p<2 mungkin masih menghasilkan deret konvergen, tetapi berarti model tersebut digunakan di luar kondisi asumsi perancangannya.

Prosedur Penyesuaian Model jika p≥2

Jika dalam penerapan ditemukan nilai x yang diinginkan justru menyebabkan p≥2, beberapa langkah penyesuaian dapat dipertimbangkan. Pertama, tinjau ulang hubungan antara parameter p dan variabel x. Mungkin ada kesalahan kalibrasi atau pengukuran terhadap x. Kedua, modifikasi model dengan menambahkan batasan bahwa proses berhenti setelah sejumlah hingga siklus, sehingga deret tak hingga tidak lagi digunakan. Ketiga, desain ulang sistem yang dimodelkan (misalnya, menambah efisiensi filter atau menggunakan bahan peluruhan yang berbeda) untuk mengubah hubungan fungsional sehingga nilai x yang diinginkan jatuh ke dalam daerah p <2. Intinya, kondisi p<2 dalam konteks pemodelan berfungsi sebagai panduan desain atau rambu peringatan bahwa model akan kehilangan validitasnya jika dilampaui.

Pemungkas: Mencari Nilai X Sehingga Deret Geometri Tak Hingga P < 2

Jadi, setelah mengikuti seluruh jejak aljabar dan verifikasi, apa pelajaran utama dari mencari nilai x ini? Proses ini lebih dari sekadar memenuhi pertidaksamaan. Ini adalah latihan dalam berpikir bertingkat, di mana kita harus memastikan setiap langkah tidak hanya benar secara matematis tetapi juga bermakna dalam konteks deret. Nilai x yang kita temukan bukanlah angka sembarangan; ia adalah penjaga gerbang yang memastikan deret geometri kita berperilaku baik dan mencapai suatu tujuan akhir.

Menemukan himpunan solusinya ibarat mendapatkan peta harta karun—petanya harus tepat agar harta, yaitu jumlah deret yang konvergen itu, bisa kita raih.

Jawaban yang Berguna

Apakah nilai x yang memenuhi p < 2 selalu otomatis menjamin deretnya konvergen?

Tidak selalu. Kondisi p  < 2 adalah batasan yang diberikan pada parameter p. Namun, konvergensi deret bergantung pada rasio (r) yang harus memenuhi |r| < 1. Nilai x yang memenuhi p < 2 bisa saja menghasilkan nilai |r| ≥ 1, sehingga deret tetap divergen. Verifikasi akhir dengan mensubstitusi x ke dalam rumus r mutlak diperlukan.

Bagaimana jika dalam soal, p didefinisikan sebagai kuadrat dari rasio (p = r²)? Apa yang berubah?

Jika p = r², maka kondisi p < 2 menjadi r² < 2, yang berarti -√2 < r < √2. Ini rentang untuk r yang lebih luas dari syarat konvergensi |r| < 1. Jadi, kita harus mengambil irisan antara interval r dari kondisi p < 2 dan syarat konvergensi, yaitu -1 < r < 1. Pencarian nilai x akan didasarkan pada pembatasan ganda ini.

Bisakah himpunan nilai x yang memenuhi berbentuk gabungan beberapa interval yang terpisah, bukan satu interval yang panjang?

Sangat mungkin. Bentuk himpunan penyelesaian sangat bergantung pada fungsi p(x). Jika p(x) adalah fungsi rasional atau kuadrat yang grafiknya naik-turun, daerah di mana p(x) < 2 bisa terpotong-potong. Misalnya, jika penyebut suatu pecahan nol di titik tertentu, maka titik itu akan menciptakan lubang (hole) atau memecah interval solusi.

Apa konsekuensi praktis terburuk jika kita salah menentukan nilai x dan menggunakan nilai yang menyebabkan p ≥ 2 dalam sebuah model?

Dalam pemodelan, p ≥ 2 sering kali berarti model menjadi tidak realistis atau ‘meledak’. Misal, dalam model peluruhan, zat tidak akan pernah habis; dalam model cicilan, utang justru bertambah tak terhingga. Model kehilangan daya prediksinya dan hasil perhitungan menjadi tidak bermakna (infinity), yang bisa berakibat fatal dalam pengambilan keputusan.