Menentukan invers fungsi f(x)=2x^2-2x+1 mengajarkan kita tentang refleksi dan batasan. Dalam kehidupan, seringkali kita ingin menelusuri kembali sebab dari sebuah akibat, menemukan akar dari sebuah hasil. Namun, tidak semua proses bisa dibalik dengan mudah begitu saja. Sama seperti fungsi kuadrat ini, yang secara alami menghasilkan satu nilai y dari dua nilai x yang berbeda, membuat kita harus membuat keputusan: membatasi domain, memilih bagian mana dari diri atau situasi yang akan kita fokuskan agar proses ‘pembalikan’ menjadi mungkin dan bermakna.
Topik ini membahas perjalanan mengubah fungsi kuadrat menjadi fungsi yang memiliki pasangan terbalik yang unik. Dimulai dari memahami mengapa fungsi aslinya tidak bisa langsung dibalik, lalu menerapkan pembatasan domain untuk menjadikannya satu-satu, hingga melalui proses aljabar untuk menemukan rumus inversnya. Setiap langkahnya penuh dengan pertimbangan, seperti menentukan area mana dari grafik parabola yang akan kita ambil, yang pada akhirnya mendefinisikan karakter dari invers yang kita dapatkan.
Konsep Dasar Fungsi dan Invers
Sebelum kita terjun ke dalam perhitungan aljabar yang rumit, mari kita pahami dulu pondasinya. Dalam matematika, fungsi adalah sebuah mesin yang mengubah setiap input menjadi tepat satu output. Bayangkan sebuah mesin penjual otomatis: kamu memilih kode tertentu (input), dan mesin itu akan memberikan minuman yang spesifik (output). Hubungan ini harus jelas dan tidak ambigu.
Nah, invers fungsi adalah tentang membalikkan proses itu. Jika fungsi f mengubah x menjadi y, maka inversnya, yang ditulis f⁻¹, bertugas mengembalikan y menjadi x. Namun, tidak semua mesin bisa dibalik dengan sempurna. Syarat utamanya adalah fungsi tersebut harus satu-satu (injektif), artinya setiap output yang berbeda pasti berasal dari input yang berbeda. Jika dua input berbeda menghasilkan output yang sama, maka ketika dibalik, mesin akan bingung menentukan input asal mana yang harus dipilih.
Perbandingan Fungsi Linear dan Kuadrat
Fungsi linear, seperti f(x) = 2x + 1, secara alami adalah fungsi satu-satu karena grafiknya garis lurus yang selalu naik atau selalu turun. Setiap nilai y hanya berpasangan dengan satu nilai x. Sebaliknya, fungsi kuadrat seperti yang kita bahas, f(x)=2x²-2x+1, membentuk grafik parabola. Parabola memiliki sifat simetris, yang menyebabkan banyak nilai x yang berbeda (misalnya di kiri dan kanan titik puncak) dapat menghasilkan nilai y yang sama.
Inilah yang membuatnya bukan fungsi satu-satu jika domainnya semua bilangan real.
Untuk mengatasinya, kita perlu membatasi domain (wilayah input) agar parabola hanya diambil separuhnya, entah yang sebelah kiri atau kanan titik puncak. Dengan restriksi ini, fungsi kuadrat menjadi satu-satu dan inversnya dapat didefinisikan. Perubahan domain ini secara langsung memengaruhi kodomain dan range dari fungsi serta inversnya.
| Komponen | Fungsi Awal f(x) (Domain: Semua Real) | Fungsi f(x) Setelah Restriksi (Domain: x ≥ 0.5) |
|---|---|---|
| Domain | x | x ∈ ℝ | x | x ∈ ℝ, x ≥ 0.5 |
| Kodomain | ℝ (bilangan real) | ℝ |
| Range | y | y ∈ ℝ, y ≥ 0.5 | y | y ∈ ℝ, y ≥ 0.5 |
Analisis Awal Fungsi Kuadrat f(x)=2x²-2x+1
Mari kita kenali lebih dekat karakter dari fungsi kita. Fungsi f(x)=2x²-2x+1 adalah sebuah parabola. Koefisien di depan x² adalah 2, yang bernilai positif, sehingga parabola ini terbuka ke atas. Diskriminannya, D = b²
-4ac = (-2)²
-4*2*1 = 4 – 8 = -4, bernilai negatif. Ini berarti parabola tidak memotong sumbu x dan seluruh grafiknya berada di atas sumbu x.
Sumbu Simetri dan Titik Puncak
Sumbu simetri parabola adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Untuk fungsi kuadrat bentuk umum ax²+bx+c, sumbu simetrinya terletak di x = -b/(2a). Pada fungsi kita, a=2 dan b=-2, sehingga sumbu simetrinya berada di x = -(-2)/(2*2) = 2/4 = 0.5. Titik puncak (vertex) parabola terletak tepat pada sumbu simetri ini. Nilai y-nya adalah f(0.5) = 2*(0.5)²
-2*(0.5) + 1 = 0.5 – 1 + 1 = 0.5.
Jadi, titik puncaknya adalah (0.5, 0.5).
Alasan Fungsi Kuadrat Bukan Satu-satu
Mari kita ambil contoh konkret. Misalkan kita pilih dua input yang simetris terhadap sumbu x=0.5, misalnya x=0 dan x=
1. Keduanya memiliki jarak yang sama dari 0.
5. Hitung nilai fungsinya: f(0) = 2*0 – 0 + 1 =
1.
f(1) = 2*1 – 2*1 + 1 =
1. Terlihat bahwa dua input berbeda (0 dan 1) menghasilkan output yang sama (1). Jika kita mencoba membalikkan, invers akan dihadapkan pada pertanyaan: “Output 1 ini berasal dari input 0 atau 1?”. Karena tidak bisa menjawab dengan tegas, invers sebagai fungsi tidak terdefinisi untuk domain semua bilangan real.
Visualisasi Pembatasan Domain
Source: superprof.com
Bayangkan grafik parabola yang berbentuk seperti huruf U yang landai. Titik terendahnya ada di (0.5, 0.5). Garis vertikal x=0.5 membagi U menjadi dua bagian yang identik. Sekarang, kita tutup atau abaikan salah satu bagiannya. Jika kita batasi domain menjadi x ≥ 0.5, kita hanya mengambil bagian kanan dari parabola, yang merupakan kurva yang terus naik.
Setiap kenaikan nilai x menghasilkan kenaikan nilai y yang unik. Begitu pula jika kita batasi ke x ≤ 0.5, kita mengambil bagian kiri yang terus turun. Kedua kondisi ini telah memenuhi syarat fungsi satu-satu.
Prosedur Menentukan Invers Fungsi Kuadrat
Mencari invers fungsi kuadrat mengikuti logika yang sistematis. Proses ini seperti menyelesaikan sebuah puzzle aljabar dengan langkah-langkah yang jelas. Kuncinya adalah mengisolasi variabel x dan kemudian menukar peran antara x dan y, yang secara geometris merepresentasikan pencerminan terhadap garis y=x.
Langkah-langkah Sistematis
Berikut adalah kerangka umum yang dapat diterapkan pada fungsi kuadrat dengan domain terbatas:
- Tulis dalam bentuk y = f(x): Ganti notasi f(x) dengan variabel y.
- Selesaikan persamaan untuk x: Perlakukan persamaan sebagai persamaan kuadrat dalam variabel x. Atur ulang menjadi bentuk ax² + bx + (c – y) = 0, lalu gunakan rumus kuadrat untuk menyatakan x dalam y.
- Pertukaran variabel x dan y: Setelah x dinyatakan dalam y, tukarlah posisi kedua variabel ini. Ekspresi baru dalam y ini adalah rumus untuk f⁻¹(x).
- Tentukan domain dari f⁻¹(x): Domain dari fungsi invers adalah range dari fungsi asal. Ini sangat penting dan bergantung pada pembatasan domain yang kita pilih di awal.
Pertimbangan dalam Penyelesaian Persamaan
Saat menggunakan rumus kuadrat, kita akan mendapatkan ekspresi yang melibatkan akar kuadrat. Beberapa hal kritis yang perlu diperhatikan adalah:
- Tanda ± (plus-minus) di depan akar kuadrat. Pilihan tanda ini ditentukan oleh pembatasan domain fungsi asal. Jika domainnya x ≥ h (sumbu simetri), kita ambil tanda +. Jika domainnya x ≤ h, kita ambil tanda -.
- Penyederhanaan ekspresi di bawah akar dan di luarnya. Seringkali kita perlu memanipulasi aljabar untuk mendapatkan bentuk yang paling sederhana.
- Memastikan bahwa domain invers yang dihasilkan sesuai dengan range fungsi asal setelah restriksi.
Dua Pilihan Restriksi Domain
Pembatasan domain yang kita pilih di awal akan menghasilkan rumus invers yang berbeda karena pemilihan tanda ±. Berikut perbandingannya untuk fungsi f(x)=2x²-2x+1 dengan sumbu simetri di x=0.5.
| Domain Restriksi f(x) | Rumus Invers f⁻¹(x) | Domain f⁻¹(x) (Range f(x)) |
|---|---|---|
| x ≥ 0.5 (Cabang Kanan) | f⁻¹(x) = 0.5 + √((x – 0.5)/2) | x ≥ 0.5 |
| x ≤ 0.5 (Cabang Kiri) | f⁻¹(x) = 0.5 – √((x – 0.5)/2) | x ≥ 0.5 |
Penerapan pada f(x)=2x²-2x+1 dengan Domain Terbatas
Sekarang, mari kita praktikkan teori di atas. Kita akan memilih domain restriksi x ≥ 0.5, yaitu kita hanya menganggap fungsi asal untuk nilai x di sebelah kanan titik puncak. Tujuan kita adalah menemukan mesin balikan yang tepat untuk bagian parabola ini.
Proses Aljabar Mencari Invers
Kita mulai dengan menuliskan y = 2x²
-2x +
1. Kita atur ulang menjadi persamaan kuadrat dalam x: 2x²
-2x + (1 – y) =
0. Dengan rumus kuadrat, kita dapatkan:
x = [2 ± √(4 – 8(1-y))] / (4) = [2 ± √(4 – 8 + 8y)] / 4 = [2 ± √(8y – 4)] / 4 = [2 ± √(4(2y – 1))] / 4 = [2 ± 2√(2y – 1)] / 4 = 0.5 ± 0.5√(2y – 1).
Karena kita membatasi domain f(x) ke x ≥ 0.5, kita harus memilih tanda + agar nilai x selalu lebih besar atau sama dengan 0.
5. Jadi, x = 0.5 + 0.5√(2y – 1). Langkah terakhir adalah menukar variabel: y = 0.5 + 0.5√(2x – 1). Dengan demikian, rumus inversnya adalah:
f⁻¹(x) = 0.5 + 0.5√(2x – 1) atau f⁻¹(x) = 0.5 + √((x – 0.5)/2)
Verifikasi dengan Komposisi Fungsi
Cara terbaik untuk memastikan kebenaran invers adalah dengan menguji komposisi. Fungsi invers yang benar harus memenuhi f(f⁻¹(x)) = x dan f⁻¹(f(x)) = x untuk semua x dalam domain yang sesuai.
- Untuk f(f⁻¹(x)): Substitusi f⁻¹(x) ke dalam f. Akan melibatkan perhitungan kuadrat dari bentuk akar, yang akan menyederhanakan menjadi x.
- Untuk f⁻¹(f(x)) dengan x ≥ 0.5: Substitusi f(x) ke dalam f⁻¹. Ekspresi √(2f(x)-1) akan menjadi √((4x²-4x+2)-1) = √(4x²-4x+1) = √((2x-1)²) = |2x-1|. Karena x ≥ 0.5, maka (2x-1) ≥ 0, sehingga nilai mutlaknya adalah (2x-1). Selanjutnya, perhitungan akan menghasilkan x.
Kedua uji ini membuktikan bahwa rumus kita tepat.
Tips Penyederhanaan Ekspresi Akar
Saat bekerja dengan rumus kuadrat, sering kali ekspresi di bawah akar (diskriminan) dapat difaktorkan untuk disederhanakan. Perhatikan koefisiennya. Dalam contoh kita, √(8y-4) dapat difaktorkan menjadi √(4(2y-1)) = 2√(2y-1). Faktorisasi ini sangat membantu dalam menyederhanakan pecahan yang dihasilkan setelah keluar dari rumus kuadrat, sehingga menghasilkan bentuk akhir yang lebih rapi dan mudah diinterpretasi.
Interpretasi Grafik dan Aplikasi
Pemahaman tentang invers tidak lengkap tanpa melihatnya dari sudut pandang geometri. Hubungan antara fungsi dan inversnya divisualisasikan dengan sangat elegan melalui grafik. Ini memberikan intuisi yang kuat di balik simbol-simbol aljabar yang kita olah.
Hubungan Geometris dengan Garis y=x, Menentukan invers fungsi f(x)=2x^2-2x+1
Grafik fungsi f(x) dan grafik inversnya f⁻¹(x) adalah bayangan cermin satu sama lain terhadap garis y = x. Jika kita menggambar parabola f(x) untuk x ≥ 0.5 (hanya bagian kanannya), lalu mencerminkannya terhadap garis y=x, kita akan mendapatkan kurva dari f⁻¹(x). Kurva invers ini bukan lagi parabola yang terbuka ke atas atau ke bawah, melainkan setengah dari parabola yang terbuka ke kanan.
Titik puncak (0.5, 0.5) akan tetap berada di tempatnya karena terletak tepat pada garis y=x.
Dampak Restriksi Domain pada Grafik Invers
Pembatasan domain pada f(x) secara langsung menentukan bagian mana dari grafik invers yang valid. Karena kita hanya mengambil cabang kanan f(x), maka range-nya adalah y ≥ 0.5. Saat dicerminkan, domain dari f⁻¹(x) menjadi x ≥ 0.5. Artinya, grafik f⁻¹(x) hanya akan muncul mulai dari x=0.5 ke kanan. Ini konsisten dengan rumus kita yang memerlukan 2x-1 ≥ 0 atau x ≥ 0.5 agar ekspresi akarnya terdefinisi.
Contoh Kontekstual Penerapan
Bayangkan sebuah situasi di mana hubungan antara dua variabel mengikuti pola kuadrat. Misalnya, dalam proyektil sederhana (mengabaikan gesekan), jarak horizontal (x) terhadap ketinggian (y) pada bagian tertentu lintasannya mungkin dimodelkan oleh fungsi kuadrat. Jika kita tahu model fungsi y = f(x) untuk jarak horizontal tertentu, maka invers fungsi f⁻¹(y) akan menjawab pertanyaan: “Pada jarak horizontal berapa proyektil mencapai ketinggian y tertentu?” Pemahaman ini berguna dalam perencanaan dan analisis lintasan.
Pasangan Titik Fungsi dan Invers
Berikut adalah beberapa titik yang terletak pada grafik f(x) untuk domain x ≥ 0.5 dan titik yang bersesuaian pada grafik inversnya. Perhatikan bagaimana koordinat x dan y bertukar tempat.
| Titik pada f(x) (x, f(x)) | Titik pada f⁻¹(x) (f⁻¹(y), y) |
|---|---|
| (0.5, 0.5) | (0.5, 0.5) |
| (1, 1) | (1, 1) |
| (1.5, 2.5) | (2.5, 1.5) |
| (2, 5) | (5, 2) |
Ulasan Penutup
Maka, menemukan invers dari f(x)=2x^2-2x+1 lebih dari sekadar manipulasi aljabar. Ia adalah metafora tentang memahami bahwa untuk setiap akibat, tidak selalu ada satu sebab yang langsung jelas—kita perlu menyepi, membatasi ruang pandang, dan berkomitmen pada satu jalur interpretasi. Hasil akhir, yaitu rumus invers yang elegan dengan bentuk akarnya, mengingatkan kita bahwa solusi seringkali tersembunyi di balik lapisan yang perlu diurai.
Pelajaran ini mengajarkan kejelasan, komitmen pada pilihan domain, dan kepercayaan bahwa proses pembalikan yang benar akan membawa kita kembali ke titik awal yang bermakna, sebagaimana cermin memantulkan bayangan dengan setia pada garis y=x.
Sudut Pertanyaan Umum (FAQ): Menentukan Invers Fungsi F(x)=2x^2-2x+1
Apakah fungsi f(x)=2x^2-2x+1 tanpa pembatasan domain memiliki invers?
Tidak. Karena fungsi kuadrat bukan fungsi satu-satu (satu nilai y bisa berasal dari dua nilai x yang berbeda), inversnya bukan merupakan fungsi. Yang ada adalah relasi invers.
Mengapa kita harus membatasi domain untuk mencari invers fungsi kuadrat?
Pembatasan domain membuat fungsi kuadrat menjadi fungsi satu-satu pada interval tersebut, sehingga memenuhi syarat untuk memiliki fungsi invers. Ini seperti memilih satu cabang dari parabola agar setiap input hanya punya satu output unik.
Bagaimana cara memilih domain restriksi yang tepat?
Pilihan umum adalah x ≥ atau x ≤ nilai sumbu simetri parabola. Untuk f(x)=2x^2-2x+1, sumbu simetrinya di x = 0.5. Kita bisa memilih domain x ≥ 0.5 (cabang kanan) atau x ≤ 0.5 (cabang kiri). Pilihan tergantung konteks atau aplikasi yang diinginkan.
Apakah rumus invers untuk domain x ≥ 0.5 dan x ≤ 0.5 berbeda?
Ya, rumus aljabar akhirnya akan berbeda terutama pada tanda di depan bentuk akar. Untuk domain x ≥ 0.5 (nilai fungsi monoton naik), inversnya biasanya menggunakan tanda positif (+). Untuk domain x ≤ 0.5 (monoton turun), digunakan tanda negatif (-).
Bagaimana cara memverifikasi bahwa rumus invers yang ditemukan sudah benar?
Dengan menguji komposisi fungsi: f(f⁻¹(x)) harus menghasilkan x, dan f⁻¹(f(x)) untuk x dalam domain terbatas juga harus menghasilkan x. Ini adalah uji kebenaran yang fundamental.
