Menentukan Jari‑Jari Lingkaran 5:7, Jarak Pusat 30 cm, Singgung 18 cm terdengar seperti teka-teki geometri klasik yang bikin penasaran. Soal seperti ini sering muncul dan sebenarnya punya pola penyelesaian yang elegan, asal kita tahu triknya. Dengan data perbandingan dan panjang garis yang diberikan, kita bisa menguak ukuran asli dari kedua lingkaran yang saling bersinggungan itu.
Konsep dasarnya melibatkan hubungan antara jarak kedua pusat lingkaran, panjang jari-jarinya, dan garis singgung persekutuan. Hubungan ini diringkas dalam sebuah rumus yang berasal dari teorema Pythagoras. Untuk menyelesaikannya, kita perlu terlebih dahulu mengidentifikasi jenis garis singgungnya, apakah persekutuan dalam atau luar, karena rumus yang digunakan akan berbeda.
Konsep Dasar Dua Lingkaran Bersinggungan
Dalam geometri, dua lingkaran dikatakan bersinggungan ketika mereka berbagi satu titik persekutuan yang sama persis. Titik ini disebut titik singgung. Posisi relatif mereka bisa saling bersinggungan di dalam, di mana satu lingkaran berada di dalam lingkaran lainnya dan mereka bersentuhan di satu titik, atau bersinggungan di luar, di mana kedua lingkaran saling bersentuhan dari arah luar. Namun, dalam konteks garis singgung persekutuan, kita membahas dua lingkaran yang terpisah, dihubungkan oleh sebuah garis lurus yang menyinggung kedua lingkaran tersebut.
Garis ini bisa berada di antara kedua lingkaran (garis singgung persekutuan dalam) atau di sisi luar kedua lingkaran (garis singgung persekutuan luar).
Hubungan fundamental antara jarak pusat kedua lingkaran (d), jari-jarinya (R dan r, dengan R ≥ r), dan panjang garis singgung persekutuan (s) dijelaskan oleh teorema Pythagoras yang diaplikasikan pada segitiga siku-siku yang terbentuk. Rumusnya berbeda untuk jenis garis singgung yang berbeda.
Rumus Garis Singgung Persekutuan Dalam: s² = d²
(R + r)²
Rumus Garis Singgung Persekutuan Luar: s² = d²
(R – r)²
Memahami perbedaan mendasar antara kedua jenis garis singgung ini sangat krusial untuk menyelesaikan soal. Tabel berikut merangkum perbandingannya.
| Aspek | Garis Singgung Persekutuan Dalam | Garis Singgung Persekutuan Luar |
|---|---|---|
| Posisi Garis | Berada di antara kedua lingkaran, memisahkan kedua lingkaran. | Berada di sisi yang sama (luar) kedua lingkaran, tidak memisahkan pusat lingkaran. |
| Segitiga Pembentuk | Titik sudut siku-siku berada pada perpotongan garis singgung dengan garis yang menghubungkan kedua pusat. Sisi miring adalah jarak pusat (d). | Sisi miring adalah panjang garis singgung (s). Salah satu sisi penyiku adalah selisih jari-jari. |
| Hubungan Jari-jari | Dalam rumus, jari-jari kedua lingkaran dijumlahkan (R + r). | Dalam rumus, jari-jari kedua lingkaran dikurangkan (R – r). |
| Visual Kunci | Jika garis singgung ditarik, ia akan “memotong” ruang antara kedua pusat lingkaran. | Kedua lingkaran berada pada sisi yang sama dari garis singgung tersebut. |
Analisis Data dan Identifikasi Masalah
Soal memberikan tiga informasi kunci: perbandingan jari-jari 5:7, jarak pusat 30 cm, dan panjang garis singgung 18 cm. Data ini tidak lengkap jika kita tidak bisa mengidentifikasi jenis garis singgungnya. Inilah tantangan pertama yang harus dipecahkan. Kita perlu menganalisis mana rumus yang sesuai berdasarkan logika geometris dan hasil perhitungan sementara.
Langkah identifikasi dapat dilakukan dengan mencoba memisalkan jari-jari berdasarkan perbandingan, lalu mensubstitusikannya ke kedua rumus. Rumus yang menghasilkan nilai kuadrat positif (atau nilai real untuk s) yang konsisten dengan data, itulah jenis garis singgung yang benar. Berikut adalah struktur data yang kita miliki dan tujuan penyelesaiannya.
- Diketahui:
- Perbandingan jari-jari lingkaran: r1 : r2 = 5 : 7
- Jarak pusat kedua lingkaran (d) = 30 cm
- Panjang garis singgung persekutuan (s) = 18 cm
- Ditanyakan:
- Jenis garis singgung (dalam atau luar)?
- Nilai jari-jari masing-masing lingkaran (r1 dan r2) dalam satuan cm.
Prosedur Penyelesaian Langkah demi Langkah
Mari kita mulai penyelesaian dengan memisalkan nilai jari-jari berdasarkan perbandingan. Karena perbandingannya 5:7, kita dapat menyatakan jari-jari lingkaran pertama sebagai 5x dan lingkaran kedua sebagai 7x, dengan x adalah faktor pengali positif. Dengan demikian, R (jari-jari besar) = 7x dan r (jari-jari kecil) = 5x.
Selanjutnya, kita uji kedua kemungkinan rumus. Pertama, kita coba asumsikan garis singgung persekutuan dalam. Substitusi ke rumus s² = d²
-(R + r)².
- ² = 30²
- (7x + 5x)²
- = 900 – (12x)²
(12x)² = 900 – 324
x² = 576
x² = 576 / 144
x² = 4 → x = 2 (karena x positif)
Uji kedua, kita asumsikan garis singgung persekutuan luar. Substitusi ke rumus s² = d²
-(R – r)².
- ² = 30²
- (7x – 5x)²
- = 900 – (2x)²
(2x)² = 900 – 324
x² = 576
x² = 144 → x = 12
Kedua asumsi menghasilkan nilai x yang real dan positif. Mana yang benar? Kita harus memeriksa konsistensi dengan jarak pusat. Jika x = 12 (asumsi luar), maka R = 7*12 = 84 cm dan r = 5*12 = 60 cm. Jarak pusatnya hanya 30 cm.
Menyelesaikan soal menentukan jari‑jari lingkaran dengan perbandingan 5:7, jarak pusat 30 cm, dan panjang garis singgung persekutuan luar 18 cm memang memerlukan ketelitian. Kemampuan analisis numerik seperti ini juga sangat berguna untuk menyederhanakan bentuk pangkat dan akar, misalnya saat Menentukan Nilai (√27)^(1/3) dari Pilihan Jawaban. Dengan logika yang sama, kita kembali ke soal lingkaran tadi, di mana penerapan rumus Pythagoras dan aljabar akan mengungkap nilai jari‑jari yang dicari secara tepat.
Jelas tidak mungkin jarak pusat (30 cm) lebih kecil dari jumlah jari-jari (84+60=144 cm) untuk posisi lingkaran yang terpisah? Justru jika garis singgung dalam, dengan x=2, kita peroleh R=14 cm, r=10 cm. Jumlah jari-jari (24 cm) memang kurang dari jarak pusat (30 cm), yang merupakan syarat geometri untuk dua lingkaran terpisah dengan garis singgung dalam. Jadi, asumsi pertama (garis singgung dalam) yang benar.
Dengan demikian, perhitungan akhir jari-jari adalah:
Nilai faktor pengali, x = 2.
Jari-jari lingkaran pertama (r) = 5x = 52 = 10 cm.
Jari-jari lingkaran kedua (R) = 7x = 7 – 2 = 14 cm.
Visualisasi dan Interpretasi Geometri
Source: slidesharecdn.com
Bayangkan dua lingkaran yang terpisah. Lingkaran pertama di sebelah kiri dengan jari-jari 10 cm, dan lingkaran kedua di sebelah kanan dengan jari-jari 14 cm. Titik pusat mereka, sebut saja P dan Q, berjarak 30 cm. Sekarang, gambarlah sebuah garis lurus di antara kedua lingkaran yang secara bersamaan menyinggung sisi dalam lingkaran kiri dan sisi dalam lingkaran kanan. Garis ini tidak memotong area di dalam lingkaran manapun, ia berada di ruang antara keduanya.
Panjang ruas garis singgung ini, diukur dari titik singgung ke titik singgung, adalah 18 cm.
Jika kita tarik garis dari pusat P dan Q tegak lurus ke garis singgung, kita akan mendapatkan dua jari-jari yang tegak lurus. Kemudian, jika kita tarik garis dari Q sejajar dengan garis singgung hingga bertemu dengan perpanjangan jari-jari dari P, kita akan membentuk sebuah segitiga siku-siku. Sisi-sisi segitiga itu adalah: 1) Selisih jarak dari P ke titik potong (yang sama dengan R + r = 24 cm), 2) Panjang garis singgung (18 cm) sebagai sisi siku-siku lainnya, dan 3) Jarak pusat (30 cm) sebagai sisi miring.
Hasil perhitungan kita membuktikan bahwa 30² = 24² + 18² (900 = 576 + 324), yang sesuai dengan teorema Pythagoras. Interpretasi geometris ini menegaskan bahwa data numerik saling terkait secara konsisten dalam bangun ruang dua dimensi.
Variasi Soal dan Penerapan Konsep
Soal serupa sering kali dimodifikasi. Misalnya, diketahui jarak pusat dua lingkaran 25 cm, panjang garis singgung persekutuan luarnya 24 cm, dan selisih jari-jari 7 cm. Ditanya panjang jari-jari masing-masing. Strategi penyelesaiannya langsung menggunakan rumus luar s² = d²
-(R – r)², karena jenis garis singgung sudah disebutkan.
Strategi umum untuk mengidentifikasi jenis garis singgung ketika hanya diberikan d, s, dan perbandingan jari-jari adalah dengan melakukan uji kedua rumus seperti yang telah didemonstrasikan. Namun, ada petunjuk cepat: jika hasil perhitungan sementara menghasilkan nilai jumlah jari-jari (R+r) yang lebih besar dari jarak pusat (d), maka konfigurasi tersebut mustahil untuk garis singgung dalam. Dalam kasus kita, asumsi luar menghasilkan R=84 dan r=60, sehingga R+r=144 yang jauh lebih besar dari d=30.
Ini adalah sinyal kuat bahwa asumsi tersebut salah untuk konfigurasi garis singgung dalam, sebaliknya ia mungkin mengindikasikan konfigurasi lingkaran yang lain (saling berpotongan atau mengandung).
Bagaimana jika soal utama diubah menjadi garis singgung persekutuan luar? Maka dengan data d=30 dan s=18, serta perbandingan 5:7, penyelesaiannya akan mengikuti rumus luar dan menghasilkan x=12, seperti yang sempat dihitung. Namun, seperti yang telah dianalisis, hasil R=84 dan r=60 dengan d=30 adalah tidak mungkin untuk dua lingkaran terpisah dengan garis singgung luar, karena jarak pusat harus lebih besar dari jari-jari terbesar.
Ini justru menunjukkan bahwa dengan data jarak pusat yang tetap, panjang garis singgung 18 cm terlalu pendek untuk perbandingan 5:7 jika jenisnya adalah garis singgung luar.
Latihan dan Pembuktian Rumus: Menentukan Jari‑Jari Lingkaran 5:7, Jarak Pusat 30 cm, Singgung 18 cm
Untuk mengasah pemahaman, coba selesaikan dua soal latihan ini. Gunakan strategi sistematis: identifikasi data, tentukan jenis garis singgung, misalkan jari-jari, substitusi ke rumus, dan selesaikan persamaan.
- Dua lingkaran berjarak pusat 20 cm. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya 16 cm. Jika salah satu jari-jari lingkaran 6 cm, hitunglah jari-jari lingkaran yang lain.
- Perbandingan jari-jari dua lingkaran adalah 3:5. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 15 cm dan jarak pusatnya 39 cm, tentukan panjang jari-jari masing-masing lingkaran.
Sebagai pegangan, tabel ringkasan rumus berikut dapat menjadi referensi cepat.
| Konsep | Rumus | Keterangan | Contoh Penerapan |
|---|---|---|---|
| Garis Singgung Dalam | s² = d²
|
s = panjang garis singgung, d = jarak pusat, R & r = jari-jari. | Diketahui d=30, s=18, R+r=24. Maka 18² = 30² – 24². |
| Garis Singgung Luar | s² = d²
|
R ≥ r. (R – r) adalah selisih jari-jari. | Diketahui d=39, s=15, R:r=5:3. Maka 15² = 39²
|
| Teorema Pythagoras | c² = a² + b² | Dasar dari kedua rumus di atas. | Segitiga siku-siku dengan sisi miring d dan sisi penyiku s serta (R ± r). |
Bukti geometris untuk rumus garis singgung persekutuan dalam dapat digambarkan dengan menarik garis dari pusat lingkaran kecil (r) sejajar dengan garis singgung, hingga memotong jari-jari lingkaran besar (R) yang ditarik tegak lurus ke titik singgung. Terbentuk segitiga siku-siku dengan sisi miring = d (jarak pusat), satu sisi penyiku = s (garis singgung), dan sisi penyiku lainnya = (R + r).
Penerapan langsung teorema Pythagoras memberikan hubungan s² + (R + r)² = d², yang setara dengan s² = d²
-(R + r)². Bukti untuk garis singgung luar mengikuti logika serupa, dengan sisi penyiku lainnya menjadi (R – r).
Kesimpulan
Jadi, dari teka-teki angka perbandingan 5:7, jarak 30 cm, dan garis 18 cm, kita berhasil mengungkap bahwa jari-jari kedua lingkaran tersebut adalah 10 cm dan 14 cm. Perhitungan ini bukan sekadar memecahkan soal, tetapi juga menunjukkan keindahan matematika dalam menggambarkan hubungan spasial antar bentuk geometris. Pemahaman ini menjadi fondasi kuat untuk menyelesaikan berbagai variasi soal geometri lingkaran lainnya dengan lebih percaya diri.
FAQ Terkini
Bagaimana cara cepat membedakan garis singgung persekutuan dalam dan luar?
Bayangkan posisi kedua lingkaran. Jika garis singgungnya berada di antara kedua lingkaran, maka itu adalah garis singgung persekutuan dalam. Jika garis singgungnya berada di sisi luar kedua lingkaran (sehingga kedua lingkaran berada di sisi yang sama dari garis tersebut), maka itu adalah garis singgung persekutuan luar.
Menyelesaikan soal jari-jari lingkaran dengan perbandingan 5:7, jarak pusat 30 cm, dan garis singgung 18 cm itu seperti memecahkan teka-teki logika yang memuaskan. Proses analitis ini punya kesamaan dengan mengurai elemen seni, misalnya saat kita membedah Yang Tidak Termasuk Unsur Pembacaan Puisi untuk memahami esensinya. Nah, setelah klarifikasi itu, fokus kita kembali ke rumus geometri untuk menemukan nilai r1 dan r2 yang tepat dari data yang ada.
Apakah mungkin ada dua jawaban dari soal seperti ini?
Dalam konteks mencari panjang jari-jari yang bernilai positif, biasanya hanya ada satu solusi yang memenuhi. Namun, proses penyelesaian persamaan kuadrat bisa menghasilkan dua nilai, di mana hanya satu yang masuk akal secara geometris (tidak negatif dan memenuhi hubungan jarak pusat).
Bagaimana jika perbandingan jari-jarinya dibalik, misalnya 7:5?
Hasil akhirnya akan sama saja, yaitu nilai jari-jari yang besar adalah 14 cm dan yang kecil 10 cm. Yang penting adalah konsistensi dalam memisalkan variabel. Jika dimisalkan r1 = 5x dan r2 = 7x, hasilnya r1=10 dan r2=14. Jika dibalik, misalnya r1 = 7x dan r2 = 5x, maka hasilnya menjadi r1=14 dan r2=10. Pasangan jari-jarinya tetap sama.
Bisakah soal ini diselesaikan tanpa menggunakan rumus kuadrat?
Untuk data yang spesifik seperti ini, penyelesaiannya akan selalu melibatkan persamaan kuadrat karena adanya hubungan Pythagoras yang menghasilkan selisih kuadrat jari-jari. Namun, untuk angka-angka tertentu yang lebih sederhana, mungkin bisa diselesaikan dengan mencoba-coba nilai x yang memenuhi.
