Menentukan Persamaan Kuadrat Baru dengan Akar 2×1‑5 dan 2×2‑5 itu seperti punya resep rahasia untuk mengolah ulang matematika. Bayangin, dari sebuah persamaan lama, kita bisa bikin versi barunya yang lebih keren dan punya karakter akar yang berbeda. Nggak perlu ribet nyari akar satu-satu dulu, karena triknya ada pada hubungan elegan antara jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Ini adalah salah satu senjata pamungkas di dunia aljabar yang bikin soal-soal transformasi jadi lebih mudah dipecahkan.
Pada dasarnya, kita akan memanfaatkan informasi dari persamaan kuadrat awal. Dengan mengetahui jumlah (x1+x2) dan hasil kali (x1*x2) akar-akarnya, kita bisa menghitung dengan cepat jumlah dan hasil kali dari akar baru yang sudah ditransformasi, yaitu 2×1-5 dan 2×2-5. Dari sana, menyusun persamaan kuadrat barunya tinggal selangkah lagi. Proses ini menunjukkan betapa fleksibel dan terstrukturnya konsep persamaan kuadrat.
Bingung cari persamaan kuadrat baru dengan akar 2x₁–5 dan 2x₂–5? Tenang, prosesnya mirip merawat sesuatu yang berharga agar tetap kokoh. Seperti menjaga masjid yang butuh konsistensi, ada panduan praktis 7 Langkah Memelihara Masjid yang bisa jadi analogi. Intinya, sama halnya dalam matematika, fondasi yang kuat dari akar-akar lama adalah kunci untuk membangun persamaan baru yang akurat dan elegan.
Konsep Dasar Akar Persamaan Kuadrat dan Transformasi Akar
Source: co.id
Persamaan kuadrat, dalam wujud paling polosnya ax² + bx + c = 0, punya dua kawan akrab yang selalu hadir: x₁ dan x₂. Kedua akar ini bukan sekadar angka yang memenuhi persamaan, tapi mereka punya hubungan yang sangat terstruktur dengan koefisien-koefisien a, b, dan c. Hubungan itu terangkum dalam dua rumus klasik: jumlah akar (x₁ + x₂) sama dengan -b/a, dan hasil kali akar (x₁
– x₂) sama dengan c/a.
Inilah fondasi yang akan kita pakai untuk membongkar pasang segala macam transformasi.
Sekarang, bayangkan kita ingin membuat persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya bukan lagi x₁ dan x₂, melainkan versi modifikasi dari mereka, misalnya (2x₁
-5) dan (2x₂
-5). Ini seperti kita memberikan rumus transformasi khusus pada setiap akar lama. Operasi aljabar seperti dikali 2 lalu dikurangi 5 ini akan menggeser dan mengubah “karakter” akar-akar tersebut secara sistematis. Efeknya terhadap persamaan kuadrat baru akan sangat bergantung pada operasi yang kita lakukan.
Untuk melihat perbandingannya secara langsung, simak tabel berikut.
| Sifat Akar | Akar Asli (x₁, x₂) | Akar Transformasi (α, β) | Hubungan |
|---|---|---|---|
| Jumlah Akar | S = x₁ + x₂ = -b/a | α + β = (2x₁-5)+(2x₂-5) | α + β = 2(x₁+x₂)
|
| Hasil Kali Akar | P = x₁
|
αβ = (2x₁-5)*(2x₂-5) | αβ = 4(x₁x₂)
|
Menyusun Persamaan Kuadrat Baru dari Akar yang Ditransformasi
Setelah memahami hubungan dasarnya, sekarang kita masuk ke dapur untuk memasak persamaan kuadrat baru. Prosesnya sebenarnya sangat prosedural dan elegan. Jika kita sudah punya nilai jumlah dan hasil kali dari akar-akar yang baru (α dan β), maka persamaan kuadrat baru bisa langsung kita susun dengan pola: x²
-(α+β)x + (αβ) = 0 . Tantangannya adalah bagaimana menemukan nilai (α+β) dan (αβ) itu tanpa perlu tahu nilai x₁ dan x₂ secara individual, cukup dari S dan P saja.
Langkah-langkahnya bisa kita urutkan dengan rapi. Pertama, pastikan kamu sudah mengantongi nilai S (jumlah akar lama) dan P (hasil kali akar lama) dari persamaan awal. Kedua, gunakan rumus transformasi yang sudah kita temukan di tabel untuk menghitung jumlah dan hasil kali akar baru. Proses perhitungan ini adalah inti dari segalanya.
- Hitung jumlah akar baru: α + β = 2S – 10.
- Hitung hasil kali akar baru: αβ = 4P – 10S + 25.
Dua angka yang didapat dari langkah di atas langsung kita masukkan ke dalam cetakan persamaan kuadrat. Secara umum, untuk transformasi akar berbentuk linear px + q, pola perhitungannya mengikuti logika yang sama. Perhatikan rumus umum dalam blokquote berikut.
Rumus Umum Transformasi Akar (px + q):
Jika akar baru adalah α = p x₁ + q dan β = p x₂ + q, maka:
α + β = p(x₁ + x₂) + 2q = pS + 2q
αβ = (p x₁ + q)(p x₂ + q) = p²(x₁ x₂) + p q (x₁ + x₂) + q² = p²P + p q S + q²
Koefisien p berperan sebagai faktor penskalaan (memperbesar/memperkecil), sedangkan konstanta q berperan sebagai faktor penggeser (translasi).
Contoh Perhitungan dan Penerapan Langsung: Menentukan Persamaan Kuadrat Baru Dengan Akar 2×1‑5 Dan 2×2‑5
Mari kita bawa teori ini ke dalam dunia nyata dengan sebuah contoh. Misalkan kita punya persamaan kuadrat awal x²
-6x + 8 = 0 . Dari sini, kita ingin membentuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah 2x₁
-5 dan 2x₂
-5. Kita akan menyelesaikannya dengan dua metode berbeda untuk menunjukkan bahwa jalannya bisa beda, tapi finish-nya sama.
Pertama, kita identifikasi dulu data dari persamaan awal. Kemudian, kita hitung langkah demi langkah hingga mendapatkan persamaan akhir. Tabel berikut merangkum alur perhitungannya.
| Tahapan | Keterangan | Nilai | Perhitungan |
|---|---|---|---|
| 1. Data Awal | Persamaan kuadrat asli | x² – 6x + 8 = 0 | a=1, b=-6, c=8 |
| 2. S dan P | Jumlah & Hasil Kali Akar Asli | S = 6, P = 8 | S = -(-6)/1 = 6, P = 8/1 = 8 |
| 3. α+β dan αβ | Jumlah & Hasil Kali Akar Baru | α+β = 2, αβ = -3 | α+β = 2(6)-10=2 αβ = 4(8)-10(6)+25 = 32-60+25 = -3 |
| 4. Persamaan Baru | Bentuk akhir persamaan | x²
|
x²
|
Nah, metode di atas adalah metode jumlah-hasil kali yang paling efisien. Metode kedua, substitusi balik, lebih panjang tapi mengajak kita untuk bernostalgia dengan manipulasi aljabar. Caranya, dari rumus akar baru α = 2x – 5, kita nyatakan x dalam α: x = (α + 5)/2. Substitusi ekspresi x ini ke dalam persamaan awal x²
-6x + 8 = 0 .
Setelah disubstitusi dan disederhanakan, kita akan mendapatkan persamaan dalam variabel α yang identik, yaitu α²
-2α
-3 = 0 . Dua metode, satu hasil.
Variasi Soal dan Interpretasi Geometris Transformasi
Transformasi akar persamaan kuadrat tidak berhenti pada bentuk linear seperti 2x-
5. Ada banyak variasi lain yang sering muncul, misalnya akar-akar baru berbentuk kuadrat (x₁² dan x₂²), atau berbentuk kebalikan (1/x₁ dan 1/x₂). Prinsip kerjanya sama: cari hubungan jumlah dan hasil kali akar baru berdasarkan S dan P. Untuk akar kuadrat, jumlahnya adalah x₁²+x₂² = (x₁+x₂)²
-2x₁x₂ = S²
-2P.
Nah, ngomongin soal manipulasi akar persamaan kuadrat baru kayak 2x₁-5 dan 2x₂-5, intinya kita lagi main-main dengan transformasi. Logikanya mirip kayak kita ngitung volume bangun ruang, misalnya Hitung volume limas segiempat rusuk alas 10 cm dan tinggi 17 cm —harus paham dulu konsep dasarnya baru bisa modifikasi. Jadi, setelah lihat aplikasi matematika di situ, balik lagi ke akar-akar tadi, kita jadi lebih ngerti gimana caranya menyusun persamaan barunya dengan lebih percaya diri.
Untuk akar kebalikan, jumlahnya adalah (1/x₁ + 1/x₂) = (x₁+x₂)/(x₁x₂) = S/P, dan hasil kalinya adalah 1/P.
Selain dari sudut pandang aljabar, transformasi ini juga punya makna geometris yang menarik. Bayangkan grafik fungsi kuadrat f(x) = ax²+bx+c memotong sumbu-x di titik (x₁, 0) dan (x₂, 0). Transformasi akar 2x-5 secara geometris bisa dianggap sebagai operasi pada titik-titik potong tersebut. Mengalikan akar dengan 2 (operasi 2x) menyebabkan penskalaan horizontal terhadap grafik, seolah-olah kita “merentangkan” posisi akar menjauh dari sumbu-y jika faktor >1.
Kemudian, mengurangi 5 (operasi -5) menggeser seluruh grafik (dan akar-akarnya) sejauh 5 satuan ke kiri.
Pada garis bilangan, proses ini bisa divisualisasikan dengan jelas. Misalkan akar lama x₁ dan x₂ berada di titik 2 dan
4. Setelah dikali 2, mereka pindah ke 4 dan
8. Lalu, setelah dikurangi 5, posisi akhir mereka menjadi -1 dan
3. Jadi, dari interval [2,4], akar-akar baru menempati interval [-1,3].
Transformasi linear seperti ini mengubah jarak antar akar juga; jarak awal 2 satuan (4-2) berubah menjadi 4 satuan (8-4) setelah dikali 2, dan tetap 4 satuan (3-(-1)) setelah digeser. Ini menunjukkan operasi perkalian mempengaruhi sebaran akar, sedangkan penggeseran hanya memindahkan posisi tanpa mengubah jarak relatifnya.
Pemungkas
Jadi, gitu ceritanya. Menyusun persamaan kuadrat baru dari akar yang ditransformasi itu sebenarnya adalah permainan yang rapi. Intinya, kamu cuma perlu pegang dua kunci utama: rumus jumlah dan hasil kali akar. Setelah itu, transformasi apapun—entah dikali, dibagi, ditambah, atau dikurangi—bisa kamu atasi dengan logika yang sama. Praktikkan dengan beberapa contoh soal, maka kamu akan lihat polanya dan semua jadi terasa intuitif.
Selamat mencoba dan jadilah maestro transformasi persamaan kuadrat!
Tanya Jawab Umum
Apakah metode ini hanya berlaku untuk transformasi bentuk 2x-5?
Tidak. Metode menggunakan jumlah dan hasil kali akar ini berlaku universal untuk transformasi linear apa pun berbentuk px + q, di mana p dan q adalah konstanta.
Bagaimana jika persamaan kuadrat awalnya memiliki akar imajiner atau kembar?
Metode ini tetap berlaku. Rumus jumlah dan hasil kali akar (yang berasal dari koefisien persamaan) tetap valid, sehingga transformasi akar imajiner atau kembar akan mengikuti aturan yang sama.
Apakah bisa langsung mensubstitusi x dengan (y+5)/2 ke persamaan awal?
Bisa! Itu adalah metode lain yang valid, yaitu substitusi balik. Jika akar baru adalah 2x-5, maka x = (y+5)/2. Substitusi nilai x ini ke persamaan awal akan langsung menghasilkan persamaan dalam variabel y (akar baru).
Mengapa kita tidak mencari nilai x1 dan x2 secara numerik dulu?
Karena seringkali lebih efisien dan elegan. Mencari akar secara eksplisit bisa memakan waktu, terutama jika angkanya tidak bulat. Metode jumlah-hasil kali memungkinkan kita bekerja langsung dengan koefisien persamaan tanpa perlu tahu nilai akar individualnya.
Apa arti geometris dari mengubah akar menjadi 2x-5?
Secara geometris, operasi “kali 2” berarti penskalaan (peregangan) grafik secara horizontal, sedangkan “kurang 5” berarti pergeseran grafik ke kanan. Kombinasi keduanya mengubah posisi titik potong grafik dengan sumbu x (akar-akarnya).
