Menentukan Suku ke‑5 Barisan Geometri dari Suku ke‑3 dan ke‑6 adalah sebuah teka-teki matematika yang elegan, di mana dua potongan informasi yang terpisah justru membuka jalan untuk menemukan jawaban yang tersembunyi di antaranya. Bayangkan kita memiliki dua titik terang dalam sebuah pola, dan dari sana kita bisa merekonstruksi seluruh alur cerita bilangan tersebut, sebuah proses deduksi yang memadukan logika dan keindahan rumus.
Topik ini mengajak kita menyelami inti dari barisan geometri, di mana setiap suku terhubung oleh pengali tetap yang disebut rasio. Dengan memahami hubungan ini, kita dapat membongkar misteri suku-suku lain yang belum diketahui, hanya berbekal dua suku yang diberikan. Prosesnya mirip menyelesaikan puzzle, di mana menemukan rasio dan suku pertama menjadi kunci utama sebelum akhirnya mengungkap suku kelima yang menjadi target.
Konsep Dasar Barisan Geometri
Barisan geometri adalah sederet bilangan yang memiliki pola perkalian tetap. Artinya, untuk berpindah dari satu suku ke suku berikutnya, kita selalu mengalikan dengan bilangan yang sama. Bilangan pengali konstan ini disebut rasio, dilambangkan dengan r. Suku pertama barisan dilambangkan dengan a. Dengan dua informasi kunci ini, kita bisa menemukan nilai suku mana pun dalam barisan.
Rumus umum untuk mencari suku ke- n (U n) dari suatu barisan geometri adalah alat fundamental yang akan kita gunakan. Rumus tersebut dinyatakan sebagai:
Un = a × r (n-1)
Di sini, n menunjukkan posisi suku yang ingin dicari. Perhatikan bahwa pangkat dari rasio r selalu satu kurang dari nomor suku. Misalnya, untuk suku ke-5, pangkatnya adalah 4 (5-1). Untuk memberikan gambaran yang lebih konkret, berikut contoh sebuah barisan geometri dengan suku pertama 2 dan rasio 3.
| Nomor Suku (n) | Nilai Suku | Rasio (dengan suku sebelumnya) | Perhitungan Menggunakan Rumus |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | – | a = 2 |
| 2 | 6 | 6 / 2 = 3 | a × r1 = 2 × 3 = 6 |
| 3 | 18 | 18 / 6 = 3 | a × r2 = 2 × 9 = 18 |
| 4 | 54 | 54 / 18 = 3 | a × r3 = 2 × 27 = 54 |
Dari tabel di atas, terlihat peran sentral a dan r. Nilai a adalah titik awal, sementara r menentukan arah dan laju pertumbuhan (jika |r| > 1) atau penyusutan (jika |r| < 1) barisan. Dalam menyelesaikan masalah mencari suku lain ketika diberikan dua suku tertentu, tujuan utama kita adalah menemukan nilai dari dua kunci ini terlebih dahulu.
Menghubungkan Informasi Suku yang Diketahui: Menentukan Suku Ke‑5 Barisan Geometri Dari Suku Ke‑3 Dan Ke‑6
Source: amazonaws.com
Ketika sebuah soal memberikan informasi tentang nilai dua suku yang berbeda, misalnya U 3 = 10 dan U 6 = 80, kita sebenarnya diberikan dua persamaan yang berbeda. Setiap persamaan dibangun dari rumus dasar U n = a × r n-1. Langkah pertama adalah menuliskan informasi tersebut dalam bentuk persamaan matematika yang melibatkan variabel a dan r.
Representasi dari kedua suku yang diketahui dapat ditampilkan secara jelas untuk membandingkannya.
| Suku | Rumus Umum | Persamaan dengan Variabel | Contoh Nilai Numerik |
|---|---|---|---|
| U3 | a × r2 | a × r2 = U3 | a × r2 = 10 |
| U6 | a × r5 | a × r5 = U6 | a × r5 = 80 |
Dari dua persamaan ini, kita memiliki sistem persamaan dengan dua variabel yang tidak diketahui ( a dan r). Strategi yang paling efisien adalah dengan membagi persamaan untuk U 6 dengan persamaan untuk U 3. Tindakan pembagian ini akan mengeliminasi variabel suku pertama a, karena a ada di kedua pembilang dan penyebut, sehingga menyisakan persamaan dengan satu variabel r saja.
Menentukan Rasio dan Suku Pertama
Proses menemukan rasio dimulai dari pembagian kedua persamaan. Dengan membagi U 6 oleh U 3, kita mendapatkan (a × r 5) / (a × r 2) = U 6 / U 3. Suku a saling menghilang, dan menurut sifat eksponen, r 5 / r 2 = r 3. Persamaan yang tersisa adalah r 3 = U 6 / U 3.
Sebagai contoh numerik spesifik, mari kita gunakan nilai dari tabel sebelumnya:
Diketahui U3 = 10 dan U 6 = 80.Maka, r 3 = 80 / 10 = 8.Untuk mencari r, kita cari akar pangkat tiga dari 8, sehingga r = ∛8 = 2.
Setelah nilai rasio ditemukan, langkah berikutnya adalah mensubstitusikannya kembali ke dalam salah satu persamaan awal untuk mendapatkan suku pertama a. Biasanya, menggunakan persamaan dengan angka yang lebih sederhana adalah pilihan yang baik. Mari substitusi r = 2 ke dalam persamaan U 3: a × (2) 2 =
10. Ini berarti a × 4 = 10, sehingga nilai a adalah 10 / 4 = 2.
5. Dengan demikian, kedua kunci penyusun barisan telah kita peroleh: a = 2.5 dan r = 2.
Perhitungan Langsung untuk Suku ke-5
Dengan suku pertama (a = 2.5) dan rasio (r = 2) yang telah diketahui, menghitung suku ke-5 menjadi langkah yang sangat langsung. Kita tinggal menerapkan rumus umum U n = a × r n-1 untuk n =
5. Secara berurutan, proses dari data awal hingga hasil akhir dapat digambarkan dalam bagan alur sederhana: Mulai dari (U 3, U 6) → Bagi U 6/U 3 untuk dapatkan r 3 → Hitung r → Substitusi r ke persamaan U 3 atau U 6 untuk dapatkan a → Substitusi a dan r ke rumus U 5 = a × r 4 → Dapatkan nilai U 5.
Mari kita selesaikan perhitungan untuk contoh kita dan lihat contoh lain dengan angka yang berbeda.
- Contoh 1 (lanjutan): a = 2.5, r = 2. U 5 = 2.5 × 2 4 = 2.5 × 16 = 40.
- Contoh 2: Diketahui U 3 = 18 dan U 6 = 486.
- Langkah 1: r 3 = 486 / 18 = 27 → r = ∛27 = 3.
- Langkah 2: a × 3 2 = 18 → a × 9 = 18 → a = 2.
- Langkah 3: U 5 = 2 × 3 4 = 2 × 81 = 162.
Variasi Soal dan Pengecekan Konsistensi
Metode yang kita pelajari tidak terbatas pada pasangan suku ke-3 dan ke-
6. Prinsipnya universal: untuk dua suku ke- m dan ke- n, pembagian U n / U m akan menghasilkan r (n-m). Penting untuk menyesuaikan pangkat dari rasio sesuai dengan selisih indeks suku yang diketahui.
Tabel berikut menunjukkan pola hubungan untuk beberapa pasangan suku yang umum.
| Pasangan Suku Diketahui | Hasil Pembagian (Un/Um) | Persamaan untuk r | Pangkat r yang Dicari |
|---|---|---|---|
| U2 dan U5 | U5 / U2 | r3 = U5/U2 | 3 (karena 5-2=3) |
| U4 dan U7 | U7 / U4 | r3 = U7/U4 | 3 |
| U1 (a) dan U4 | U4 / a | r3 = U4/a | 3 |
Setelah mendapatkan nilai a dan r, sangat dianjurkan untuk melakukan pengecekan konsistensi. Caranya adalah dengan memastikan rasio antara beberapa suku yang berurutan bernilai sama dengan r yang kita hitung. Misalnya, dari contoh pertama kita (a=2.5, r=2), kita bisa hitung U 4 = a × r 3 = 2.5 × 8 =
20. Kemudian kita periksa: U 4/U 3 = 20/10 = 2, U 5/U 4 = 40/20 = 2, dan U 6/U 5 = 80/40 = 2.
Semua hasilnya konsisten, yaitu 2, yang membuktikan perhitungan kita benar.
Penutupan Akhir
Pada akhirnya, perjalanan untuk Menentukan Suku ke‑5 Barisan Geometri dari Suku ke‑3 dan ke‑6 lebih dari sekadar substitusi angka ke dalam rumus. Ini adalah latihan dalam melihat pola, memahami hubungan mendasar antar elemen, dan menerapkan langkah-langkah sistematis yang dapat diandalkan. Keterampilan ini tidak hanya memecahkan satu soal, tetapi membekali kita dengan kerangka pikir untuk menangani berbagai variasi masalah barisan geometri lainnya dengan percaya diri dan ketepatan.
FAQ dan Informasi Bermanfaat
Apakah metode ini hanya bekerja untuk suku ke-3 dan ke-6?
Tidak. Metode dasarnya universal. Prinsip membagi dua persamaan untuk mengeliminasi suku pertama (a) dan mencari rasio (r) dapat diterapkan pada dua suku
-apa pun* yang diketahui, asalkan posisi suku-suku tersebut jelas. Misalnya, dari suku ke-2 dan ke-5, atau suku ke-4 dan ke-7.
Bagaimana jika nilai rasio (r) yang ditemukan adalah negatif?
Itu sah-sah saja dan merupakan jawaban yang benar. Barisan geometri dapat memiliki rasio positif atau negatif. Rasio negatif akan menghasilkan barisan yang nilainya berselang-seling antara positif dan negatif.
Apakah mungkin ada dua jawaban untuk suku ke-5?
Ya, dalam kasus tertentu. Saat mencari rasio (r) dari persamaan seperti r^3 = K, seringkali ada lebih dari satu akar real (misalnya, jika K positif, r bisa positif atau negatif). Oleh karena itu, nilai suku pertama (a) dan suku ke-5 (U5) yang dihitung juga mungkin memiliki dua kemungkinan nilai yang valid.
Mengapa kita harus membagi U6 oleh U3, bukan sebaliknya?
Kita bisa membagi U3 oleh U6, namun akan lebih praktis membagi suku dengan indeks lebih besar oleh suku dengan indeks lebih kecil. Ini menghasilkan pangkat rasio yang positif (r^(6-3) = r^3), sehingga memudahkan perhitungan untuk mengisolasi nilai r.
Dapatkah soal seperti ini muncul dalam bentuk cerita atau konteks kehidupan nyata?
Sangat mungkin. Konsep barisan geometri banyak diterapkan dalam masalah pertumbuhan bakteri (pembelahan sel), peluruhan radioaktif, bunga majemuk, atau penyusutan nilai aset. Soal bisa dikemas dengan memberikan kondisi pada waktu ke-3 dan ke-6, lalu menanyakan prediksi pada waktu ke-5.
