Menentukan Suku ke‑6 Barisan Geometri dari U2·U5 = 3 dan U3 = 27 terdengar seperti teka-teki matematika yang klasik, bukan? Soal semacam ini sering kali muncul dan menguji pemahaman kita tentang hubungan antar suku dalam sebuah barisan. Di balik angka-angka yang diberikan, tersembunyi pola indah yang menunggu untuk diurai, dan tantangannya adalah menemukan kunci rasio dan suku pertama yang tepat.
Dengan informasi hasil kali suku kedua dan kelima adalah 3, serta suku ketiga bernilai 27, kita diajak untuk menyelami sistem persamaan yang melibatkan dua variabel utama: suku awal (a) dan rasio (r). Proses penyelesaiannya mirip detektif yang menghubungkan petunjuk, di mana dari U3=27 kita dapat hubungan pertama, lalu mensubstitusikannya ke persamaan U2*U5=3 untuk mengungkap nilai rasio yang mungkin, yang menariknya bisa lebih dari satu.
Memahami Permasalahan Dasar Barisan Geometri
Sebelum menyelam ke dalam penyelesaian soal, mari kita sepakati dulu konsep dasarnya. Barisan geometri adalah sederet bilangan di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio (r). Rumus umum untuk mencari suku ke-n (Un) adalah alat utama kita, dinyatakan sebagai Un = a · r(n-1), dengan ‘a’ mewakili suku pertama.
Soal yang kita hadapi memberikan dua petunjuk penting: hasil kali suku kedua (U2) dan suku kelima (U5) adalah 3, dan nilai suku ketiga (U3) adalah 27. Tugas kita adalah menerjemahkan petunjuk verbal ini menjadi persamaan matematika yang solid menggunakan rumus umum tadi. Proses translasi ini menjadi kunci untuk membuka nilai ‘a’ dan ‘r’ yang tersembunyi.
Penerjemahan Informasi Soal ke dalam Persamaan
Setiap informasi dari soal dapat diubah menjadi bentuk aljabar. Berikut adalah tabel yang merangkum proses penerjemahan tersebut secara jelas.
| Informasi Soal | Notasi Rumus | Persamaan yang Terbentuk |
|---|---|---|
| U2 · U5 = 3 | (a·r1) · (a·r4) | a·r · a·r4 = a2 · r5 = 3 |
| U3 = 27 | a·r2 | a · r2 = 27 |
Dari tabel di atas, kita sekarang memiliki dua persamaan inti yang akan kita gunakan untuk menyelesaikan sistem: a 2r 5 = 3 dan a r 2 = 27. Sistem inilah yang akan kita olah lebih lanjut.
Menyusun dan Menyelesaikan Sistem Persamaan
Source: googleapis.com
Dengan dua persamaan yang sudah kita miliki, langkah selanjutnya adalah melakukan substitusi dan penyederhanaan secara sistematis. Tujuannya adalah mengisolasi variabel ‘r’ terlebih dahulu, karena pangkatnya lebih tinggi, sehingga seringkali lebih mudah ditemukan. Setelah ‘r’ diketahui, mencari nilai ‘a’ menjadi pekerjaan yang relatif sederhana.
Langkah-langkah Penyelesaian Sistem
Proses penyelesaiannya dapat diuraikan dalam poin-poin berikut ini.
- Dari persamaan U 3 = a r 2 = 27, kita dapat menyatakan suku pertama ‘a’ dalam bentuk rasio ‘r’, yaitu: a = 27 / r2.
- Substitusikan nilai ‘a’ ini ke dalam persamaan pertama: a 2 r 5 =
3.
Menjadi: (27 / r 2) 2 · r 5 = 3 → (729 / r 4) · r 5 = 3 → 729 · r = 3. - Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai rasio ‘r’: r = 3 / 729 = 1/243.
- Substitusikan nilai r = 1/243 ke dalam persamaan a = 27 / r 2 untuk mendapatkan suku pertama ‘a’.
a = 27 / (1/243) 2 = 27 / (1/59049) = 27 × 59049 = 1,594,323.
Perhitungan di atas menghasilkan satu pasangan solusi: a = 1.594.323 dan r = 1/243. Namun, dalam barisan geometri, kita harus selalu waspada terhadap kemungkinan rasio bernilai negatif, karena kuadrat dari bilangan negatif adalah positif. Mari kita periksa.
Analisis Solusi dan Penentuan Suku ke-6: Menentukan Suku Ke‑6 Barisan Geometri Dari U2·U5 = 3 Dan U3 = 27
Pada langkah penyederhanaan, kita memiliki persamaan 729 · r =
3. Jika kita lebih hati-hati, sebenarnya dari a 2r 5 = 3 dan a r 2 = 27, kita bisa membagi persamaan pertama dengan kuadrat persamaan kedua untuk menghilangkan ‘a’. Hasilnya adalah (a 2r 5) / (a 2r 4) = 3 / (27 2)? Tunggu, mari kita lakukan dengan benar: (a 2r 5) / (a r 2) 2 = 3 / (27) 2.
Menyelesaikan soal barisan geometri seperti mencari suku ke-6 dari U2·U5 = 3 dan U3 = 27 memang butuh ketelitian sistematis. Prinsip yang sama berlaku di ranah lain, misalnya dalam upaya Ada yang Bisa Membuat Follow Jadi Terbaik , di mana strategi yang tepat dan konsisten adalah kunci. Kembali ke soal, setelah menemukan rasio dan suku pertama, perhitungan suku keenam pun menjadi jelas dan terukur.
Ini akan menghasilkan r = 1/243. Cara ini langsung memberikan satu nilai r. Namun, pendekatan substitusi awal kita sudah benar. Perlu dicatat bahwa karena persamaan akhirnya linier (729r = 3), hanya ada satu nilai r yang memenuhi. Jadi, hanya ada satu solusi untuk sistem ini.
Perhitungan Suku Keenam, Menentukan Suku ke‑6 Barisan Geometri dari U2·U5 = 3 dan U3 = 27
Dengan nilai a dan r yang telah ditemukan, menghitung U 6 menjadi pekerjaan yang langsung. Kita gunakan rumus U n = a · r (n-1).
- U 6 = a · r 5 = 1.594.323 · (1/243) 5
- Hitung (1/243) 5. 243 = 3 5, jadi (1/243) 5 = 1 / (3 5) 5 = 1 / 3 25.
- U 6 = 1.594.323 / 3 25. Perhatikan bahwa 1.594.323 = 27 × 59049 = 3 3 × 3 10 = 3 13 (karena 59049 = 3 10).
- Maka, U 6 = 3 13 / 3 25 = 3 (13-25) = 3-12 atau 1 / 531.441.
Untuk menguji kebenaran solusi, kita bisa memeriksa kondisi awal: U 3 = a r 2 = (3 13) · (1/3 5) 2 = 3 13 / 3 10 = 3 3 = 27 (Benar). U 2·U 5 = (a r)(a r 4) = a 2 r 5 = (3 13) 2 · (1/3 5) 5 = 3 26 / 3 25 = 3 1 = 3 (Benar).
| Variabel | Solusi | Keterangan |
|---|---|---|
| Suku Pertama (a) | 1.594.323 atau 313 | Nilai yang sangat besar. |
| Rasio (r) | 1/243 atau 1/35 | Rasio positif pecahan sangat kecil. |
| Suku ke-6 (U6) | 3-12 atau 1/531.441 | Nilai suku yang sudah mengecil sangat drastis. |
Visualisasi dan Interpretasi Hasil
Barisan geometri yang kita dapatkan memiliki karakter yang sangat spesifik. Dengan suku pertama yang luar biasa besar, yaitu 1.594.323, dan rasio yang sangat kecil, yaitu 1/243, barisan ini menggambarkan pola penyusutan atau penurunan nilai yang sangat tajam dan cepat. Bayangkan sebuah bola yang dijatuhkan dari ketinggian, tetapi setiap kali memantul, tingginya hanya menjadi 1/243 dari tinggi sebelumnya. Pantulan ketiga (U 3) masih setinggi 27 unit, tetapi pada pantulan keenam (U 6), tingginya sudah nyaris tidak terukur, yaitu sekitar 0.00000188.
Barisan ini adalah contoh nyata deret geometri turun dengan rasio positif di antara 0 dan 1. Setiap suku berikutnya adalah pecahan dari suku sebelumnya, mendekati nol tetapi tidak pernah benar-benar negatif. Pola ini sering ditemukan dalam model peluruhan atau penyusutan nilai aset dengan tingkat yang sangat ekstrem.
Kesimpulan singkatnya, dari kondisi U2·U 5 = 3 dan U 3 = 27, hanya terbentuk satu barisan geometri yang valid. Barisan ini bersifat turun sangat curam, dimulai dari angka jutaan dan menyusut menjadi pecahan hanya dalam beberapa suku. Konsistensi pemeriksaan terhadap U 2, U 3, dan U 5 mengonfirmasi keabsahan solusi ini.
Pembahasan Variasi Soal Serupa
Soal dengan pola informasi seperti ini—perkalian dua suku dan nilai satu suku lain—adalah pola umum dalam masalah barisan geometri. Prosedur intinya tetap sama: terjemahkan semua informasi menjadi persamaan menggunakan Un = a r n-1, lalu selesaikan sistem persamaan untuk ‘a’ dan ‘r’. Tantangannya sering terletak pada manipulasi aljabar, terutama ketika melibatkan pangkat yang berbeda.
Prosedur Umum dan Poin Khusus
Berikut adalah panduan untuk menghadapi variasi soal sejenis, beserta hal-hal yang perlu diperhatikan.
| Tipe Informasi Diketahui | Langkah Awal Penyelesaian | Poin Perhatian Khusus |
|---|---|---|
| Diketahui Um · Un = K dan Up = M | Tulis dalam bentuk: (a rm-1)(a rn-1)=K dan a rp-1=M. Sederhanakan menjadi a2 r(m+n-2)=K. | Eksponen (m+n-2) dan (p-1). Cari cara untuk menyamakan pangkat ‘a’ atau ‘r’, seringkali dengan membagi atau mengkuadratkan persamaan. |
| Diketahui U1 · U4 = k dan U2 = m | Menjadi: (a)(a r3) = a2 r3 = k, dan a r = m. Dari sini, a = m/r. Substitusi ke persamaan pertama. | Hati-hati dengan kemungkinan nilai r yang berupa akar. Jika k dan m positif, r masih mungkin negatif karena r3 bisa positif meski r negatif. |
| Diketahui hasil bagi dua suku dan jumlah dua suku lainnya | Terjemahkan hasil bagi (Um/Un = rm-n) untuk langsung mencari rasio. Gunakan info jumlah untuk mencari ‘a’. | Soal hasil bagi sering memberi jalan pintas untuk mencari ‘r’ tanpa melibatkan ‘a’ terlebih dahulu. Manfaatkan ini. |
Hal utama yang selalu harus diwaspadai adalah sifat rasio. Rasio bisa positif atau negatif, bisa bilangan bulat, pecahan, bahkan bilangan irasional. Selalu periksa apakah solusi ‘r’ yang ditemukan, ketika dimasukkan kembali untuk mencari ‘a’, menghasilkan nilai yang konsisten dengan semua informasi soal. Jangan terburu-buru mengeliminasi solusi yang tampak “tidak biasa” seperti rasio negatif, sebelum memeriksanya secara matematis.
Akhir Kata
Jadi, perjalanan menyelesaikan soal ini membawa kita pada sebuah realisasi menarik: dari kondisi awal yang sama, bisa lahir dua barisan geometri dengan karakter berbeda—satu dengan rasio positif yang meledak cepat dan satu lagi dengan rasio negatif yang berosilasi. Nilai U6 pun mengikuti dua kemungkinan tersebut, yaitu 729 atau -729. Hal ini mengajarkan bahwa dalam matematika, penting untuk selalu memeriksa semua solusi yang mungkin dan menguji konsistensinya kembali ke soal awal, karena terkadang jawabannya tidak selalu tunggal dan justru di situlah letak keindahannya.
FAQ Terperinci
Apakah soal ini selalu menghasilkan dua jawaban untuk U6?
Tidak selalu. Jumlah solusi bergantung pada nilai-nilai yang diberikan dalam soal. Dalam kasus spesifik ini, karena persamaan menghasilkan r⁵ = 1/81, maka r bisa bernilai positif atau negatif (karena pangkat ganjil), sehingga melahirkan dua kemungkinan.
Menyelesaikan soal barisan geometri seperti mencari suku ke-6 dari U2·U5 = 3 dan U3 = 27 memang butuh logika sistematis. Prinsip keteraturan ini mirip dengan saat kita perlu Cara menghitung volume drum besi berkapasitas 209 liter , di mana rumus pasti diterapkan pada data yang ada. Dengan demikian, setelah memahami konsep dasarnya, perhitungan suku-suku dalam deret pun menjadi jelas dan terarah, layaknya menyelesaikan sebuah teka-teki matematika yang memuaskan.
Mengapa kita perlu memeriksa konsistensi solusi dengan semua suku yang diketahui?
Pemeriksaan konsistensi, misalnya dengan menghitung kembali U2 dan U5 dari nilai a dan r yang didapat, memastikan bahwa tidak ada kesalahan hitung dan bahwa kedua solusi memang benar-benar memenuhi semua kondisi awal soal, bukan hanya persamaan matematisnya saja.
Bagaimana jika soalnya bukan perkalian, tetapi penjumlahan dua suku?
Prinsipnya serupa: ubah informasi penjumlahan menjadi persamaan menggunakan rumus Un = a·r^(n-1). Namun, penyelesaiannya mungkin melibatkan manipulasi aljabar yang sedikit berbeda, dan kemungkinan untuk mendapatkan lebih dari satu solusi tetap ada tergantung bentuk persamaannya.
Apakah rasio (r) dalam barisan geometri soal ini bisa berupa pecahan?
Bisa saja. Dalam soal ini, setelah disubstitusi, kita mendapatkan r⁵ = 1/81. Nilai r yang memenuhi adalah akar pangkat lima dari 1/81, yang merupakan bilangan pecahan. Nilai eksaknya adalah 1/3, dan solusi negatifnya adalah -1/3.
