Menentukan suku keempat barisan geometri, jumlah dua suku pertama 9, adalah sebuah teka-teki matematika yang elegan sekaligus aplikasi langsung dari konsep barisan geometri dalam pemecahan masalah. Soal ini tidak hanya menguji hafalan rumus, tetapi juga kemampuan logika dalam menerjemahkan informasi verbal menjadi persamaan matematika yang solutif. Dengan pendekatan yang tepat, puzzle angka ini dapat diurai menjadi solusi yang jelas dan terverifikasi.
Barisan geometri, di mana setiap suku diperoleh dari suku sebelumnya dengan dikalikan suatu bilangan tetap yang disebut rasio, merupakan pola pertumbuhan yang banyak ditemui dalam dunia nyata. Mulai dari peluruhan zat radioaktif, pertumbuhan bakteri, hingga perhitungan bunga majemuk, pemahaman akan barisan ini menjadi kunci. Dalam konteks soal ini, informasi tentang jumlah dua suku awal menjadi pintu masuk untuk mengungkap nilai rasio dan suku pertama, yang kemudian membawa kita pada suku keempat yang dicari.
Pengertian dan Komponen Barisan Geometri
Dalam matematika, barisan geometri adalah sederet bilangan yang memiliki pola perkalian yang konsisten. Jika barisan aritmatika bergerak dengan cara menambah atau mengurangi nilai yang sama (beda), barisan geometri bergerak dengan cara mengalikan atau membagi dengan bilangan yang sama, yang disebut rasio. Konsep ini sangat fundamental dan memiliki aplikasi yang luas, mulai dari perhitungan bunga majemuk di bank hingga model pertumbuhan populasi.
Komponen utama dalam barisan geometri hanya ada tiga: suku pertama, rasio, dan suku ke-n. Suku pertama, biasanya dilambangkan dengan ‘a’, adalah titik awal dari barisan. Rasio, dilambangkan dengan ‘r’, adalah bilangan pengali konstan yang menghubungkan satu suku dengan suku berikutnya. Suku ke-n, dilambangkan dengan U n, mewakili posisi bilangan tertentu dalam barisan tersebut.
Contoh Barisan Geometri dan Bukan Geometri, Menentukan suku keempat barisan geometri, jumlah dua suku pertama 9
Untuk membedakan dengan jelas, perhatikan tabel berikut yang membandingkan beberapa contoh barisan. Tabel ini dirancang responsif agar mudah dibaca di berbagai perangkat.
| Barisan | Pola | Rasio (r) | Kategori |
|---|---|---|---|
| 2, 4, 8, 16, … | Dikali 2 | 2 | Geometri |
| 81, 27, 9, 3, … | Dibagi 3 (atau dikali ⅓) | ⅓ | Geometri |
| 5, -10, 20, -40, … | Dikali -2 | -2 | Geometri |
| 3, 6, 9, 12, … | Ditambah 3 | – | Aritmatika (Bukan Geometri) |
| 1, 4, 9, 16, … | Kuadrat bilangan asli | – | Bukan Geometri |
Dalam kehidupan sehari-hari, barisan geometri muncul pada peluruhan zat radioaktif di bidang kimia, penyebaran berita atau virus (dalam model sederhana), dan yang paling umum adalah perhitungan bunga majemuk. Misalnya, jika Anda mendepositokan uang dengan bunga 5% per tahun, saldo Anda setiap tahunnya membentuk barisan geometri dengan rasio 1,05.
Rumus Umum dan Penerapan Dasar
Kekuatan utama dari pemahaman konsep barisan geometri terletak pada kemampuan untuk merumuskannya secara matematis. Dengan rumus yang tepat, kita dapat menemukan suku yang letaknya sangat jauh tanpa harus menuliskan semua suku sebelumnya, suatu efisiensi yang sangat vital.
Dalam barisan geometri, menentukan suku keempat saat jumlah dua suku pertama adalah 9 memerlukan pemahaman rasio yang tepat, mirip bagaimana memahami kebutuhan orang tua adalah kunci harmoni. Upaya tulus untuk menerapkan Cara Membahagiakan Orang Tua merupakan persamaan hidup yang bernilai, sebagaimana nilai suku keempat yang dicari harus selaras dengan informasi awal yang diberikan untuk menemukan solusi yang akurat dan memuaskan.
Rumus untuk mencari suku ke-n (U n) dari barisan geometri adalah U n = a × r n-1. Sementara itu, untuk menghitung jumlah n suku pertama (S n), digunakan rumus S n = a(1 – r n) / (1 – r) untuk r ≠ 1. Penerapan rumus U n sangat langsung. Sebagai contoh, untuk barisan geometri dengan a = 3 dan r = 2, suku ke-5 (U 5) adalah 3 × 2 5-1 = 3 × 2 4 = 3 × 16 = 48.
Tips mengingat: Rumus suku ke-n (Un) selalu melibatkan pemangkatan rasio (r n-1), karena perkalian berulang. Sedangkan rumus jumlah (S n) memiliki struktur pecahan yang khas, yang pada dasarnya adalah hasil penjumlahan dari semua suku U n tersebut. Fokus pada pengertian ini akan mencegah tertukarnya kedua rumus.
Analisis Soal: Menyusun Persamaan dari Informasi Awal: Menentukan Suku Keempat Barisan Geometri, Jumlah Dua Suku Pertama 9
Menyelesaikan soal matematika seringkali dimulai dari menerjemahkan kalimat verbal menjadi persamaan matematika yang tepat. Pada konteks soal kita, informasi kuncinya adalah “jumlah dua suku pertama adalah 9”. Proses ini memerlukan pemahaman yang sistematis tentang notasi dalam barisan geometri.
Langkah-langkah untuk mengidentifikasi dan menerjemahkan informasi tersebut adalah sebagai berikut:
- Suku pertama barisan geometri secara universal dilambangkan dengan U 1 atau ‘a’.
- Suku kedua (U 2) diperoleh dengan mengalikan suku pertama dengan rasio satu kali, sehingga U 2 = a × r.
- Kalimat “jumlah dua suku pertama adalah 9” secara matematis berarti U 1 + U 2 = 9.
- Dengan substitusi, kita mendapatkan persamaan fundamental: a + a×r = 9, atau a(1 + r) = 9.
Informasi ini memberikan satu persamaan dengan dua variabel (a dan r). Ini berarti kita memerlukan satu persamaan lain yang menghubungkan a dan r untuk bisa menemukan nilai keduanya secara tunggal. Tanpa informasi tambahan, akan ada tak hingga kemungkinan pasangan (a, r) yang memenuhi.
Strategi Mencari Rasio dan Suku Pertama
Dalam konteks soal lengkap yang umum, informasi lain biasanya diberikan, seperti nilai suku ke-n tertentu atau hubungan antara suku yang lain. Strategi intinya adalah membangun sistem persamaan dari informasi yang ada, lalu menyelesaikannya untuk mencari nilai a dan r. Metode substitusi atau eliminasi sering kali menjadi pilihan.
Sebagai ilustrasi, mari kita asumsikan kita memiliki informasi tambahan bahwa suku ketiga adalah
8. Maka kita punya dua persamaan: a(1 + r) = 9 dan U 3 = a × r 2 = 8. Dari sini, kita bisa menyatakan a = 9/(1+r) dari persamaan pertama, lalu mensubstitusikannya ke persamaan kedua. Nilai rasio (r) yang ditemukan dapat beragam, mempengaruhi sifat barisan.
| Skenario Rasio (r) | Karakteristik Barisan | Pengaruh pada Nilai a | Contoh Pasangan (a, r) |
|---|---|---|---|
| r > 1 | Barisan naik secara eksponensial (contoh: 2, 6, 18,…) | Nilai a cenderung lebih kecil karena dikalikan dengan bilangan besar. | Dari persamaan a(1+r)=9, jika r=2, maka a=3. |
| 0 < r < 1 | Barisan turun menuju nol (contoh: 12, 6, 3,…) | Nilai a cenderung lebih besar. | Jika r=0.5, maka a=6. |
| -1 < r < 0 | Barisan berosilasi menuju nol (contoh: 9, -4.5, 2.25,…) | Nilai a positif atau negatif bergantung konteks. | Jika r=-0.5, maka a=18. |
| r < -1 | Barisan berosilasi dengan amplitudo membesar (contoh: 1, -3, 9,…) | Nilai a bisa positif atau negatif. | Jika r=-2, maka a=-9. |
Alur kerja logisnya selalu dimulai dari mendefinisikan variabel, menerjemahkan setiap kalimat soal menjadi persamaan, menyelesaikan sistem persamaan untuk a dan r, dan akhirnya memeriksa konsistensi hasil.
Menghitung Suku Keempat dan Verifikasi
Setelah nilai suku pertama (a) dan rasio (r) berhasil ditentukan, perhitungan suku keempat (U 4) menjadi langkah yang sangat mudah dan langsung. Kita tinggal menerapkan rumus dasar U n = a × r n-1 dengan n=4, yaitu U 4 = a × r 3.
Sebagai demonstrasi, mari kita lanjutkan contoh sebelumnya dengan asumsi kita telah menemukan a = 3 dan r = 2 dari sistem persamaan a(1+r)=9 dan a×r 2=
8. Maka, suku keempat adalah U 4 = 3 × 2 3 = 3 × 8 =
24. Proses verifikasi adalah langkah penjamin kualitas. Kita harus memastikan kembali bahwa nilai a dan r ini memenuhi informasi awal: jumlah dua suku pertama adalah a + a×r = 3 + (3×2) = 3 + 6 = 9.
Menentukan suku keempat barisan geometri saat jumlah dua suku pertamanya 9 memang mengasah logika berhitung. Kemampuan berpikir sistematis seperti ini juga diperlukan untuk menyelesaikan masalah distribusi, misalnya saat Menentukan Jumlah Bungkus untuk Menyamakan Kelereng Agus, Badu, dan Candra. Kembali ke barisan geometri, setelah menemukan rasio dari informasi awal, pencarian suku keempat menjadi lebih terstruktur dan jelas langkah-langkahnya.
Hasil yang sesuai mengonfirmasi bahwa solusi kita koheren.
Poin kritis verifikasi: Pastikan pasangan (a, r) yang ditemukan memenuhi semua persamaan yang dibangun dari soal, bukan hanya persamaan terakhir yang digunakan untuk menghitung. Periksa juga apakah nilai r yang ditemukan masuk akal dalam konteks soal (misalnya, rasio populasi tidak mungkin negatif). Terakhir, pastikan tidak ada kesalahan aritmatika sederhana dalam perhitungan pangkat atau perkalian.
Variasi Soal dan Latihan Pengembangan
Untuk menguasai konsep ini, penting untuk berlatih dengan variasi soal yang berbeda. Pola umumnya tetap sama: terjemahkan informasi menjadi persamaan dalam a dan r, selesaikan sistemnya, lalu hitung suku yang ditanyakan. Berikut tiga variasi soal yang dibangun dari konsep dasar yang sama.
| Informasi Awal | Persamaan yang Terbentuk | Langkah Penyelesaian Kunci | Hasil (a, r dan suku yang ditanya) |
|---|---|---|---|
| 1. Jumlah dua suku pertama 12 dan suku ketiga adalah 16. | a + ar = 12; a r² = 16 | Dari persamaan pertama, a = 12/(1+r). Substitusi ke persamaan kedua menjadi [12/(1+r)]
|
r = 2 atau r = -⅔. Untuk r=2, a=4. Suku keempat (U₄) = a r³ = 32. Untuk r=-⅔, a=36, U₄ = 36
|
|
2. Suku kedua adalah 6 dan suku kelima adalah 48. |
a r = 6; a r⁴ = 48 | Bagi persamaan kedua dengan pertama
(a r⁴)/(a r) = 48/6 → r³ = 8. |
r = 2. Substitusi ke a r = 6 → a=3. Suku pertama (U₁) = a = 3. |
|
a + a r² = 20 → a(1+r²)=20 | Diperlukan informasi tambahan karena satu persamaan dua variabel. Jika ditambah info “suku kedua adalah 8”, maka a r =
|
Dengan a r=8 dan a(1+r²)=20, substitusi menghasilkan 8(1+r²)/r =
20. Sederhanakan Menentukan suku keempat barisan geometri dengan jumlah dua suku pertama 9 memerlukan ketelitian dalam mengurai pola, mirip dengan perencanaan jadwal akademis yang mempertimbangkan Berapa Menit Interval Antara Pelajaran Pagi di Sekolah. Keduanya sama-sama membutuhkan presisi untuk mencapai hasil optimal. Dalam matematika, setelah menemukan rasio dari kondisi awal, perhitungan suku keempat menjadi jelas dan terukur. 2r² -5r +2=0. Dengan r positif, r=2. Maka a=4. Suku keenam (U₆) = a r⁵ = 128. |
Pola efisien yang dapat diterapkan adalah mencari peluang untuk melakukan pembagian antar persamaan jika bentuknya seperti U m dan U n diketahui, karena variabel ‘a’ akan seringkali tereliminasi. Selalu perhatikan kemungkinan lebih dari satu jawaban (terutama dari nilai rasio yang dikuadratkan) dan pilih yang sesuai dengan batasan soal.
Ulasan Penutup
Source: kompas.com
Dengan demikian, proses menentukan suku keempat dari barisan geometri ketika diketahui jumlah dua suku pertamanya adalah 9 telah menunjukkan kekuatan pendekatan sistematis dalam matematika. Mulai dari menerjemahkan kalimat menjadi persamaan, menganalisis kemungkinan nilai rasio, hingga melakukan verifikasi akhir, setiap langkah bersifat krusial. Pemecahan masalah seperti ini melatih ketelitian dan pola pikir terstruktur, yang mana nilainya melampaui sekadar mendapatkan angka akhir, yaitu suku keempat yang mungkin bernilai 12 atau 27 tergantung rasio barisannya.
Pertanyaan Umum (FAQ)
Apakah soal ini selalu memiliki dua jawaban?
Tidak selalu. Dua jawaban muncul karena persamaan yang terbentuk dari informasi “jumlah dua suku pertama adalah 9” (a + ar = 9) biasanya menghasilkan dua kemungkinan nilai rasio (r). Namun, jika ada informasi tambahan seperti “barisan naik” atau “rasio positif”, maka hanya satu jawaban yang valid.
Bagaimana jika yang diketahui adalah jumlah suku pertama dan ketiga, bukan suku pertama dan kedua?
Prinsipnya tetap sama: terjemahkan menjadi persamaan. Jika diketahui U1 + U3 = 9, maka persamaannya menjadi a + ar² = 9. Penyelesaiannya akan melibatkan pencarian nilai a dan r yang memenuhi, dan mungkin membutuhkan informasi tambahan karena persamaan tersebut memiliki lebih dari satu kemungkinan solusi.
Apakah metode ini bisa dipakai untuk barisan aritmetika?
Bisa, dengan logika yang serupa. Perbedaannya terletak pada rumus suku ke-n. Pada barisan aritmetika, hubungan antar suku adalah penambahan beda (b), sehingga persamaan yang dibentuk akan berbentuk linear (misal: a + (a+b) = 9), yang biasanya menghasilkan satu solusi tunggal untuk a dan b.
Mengapa verifikasi hasil itu penting?
Verifikasi penting untuk memastikan tidak terjadi kesalahan aljabar selama proses perhitungan. Dengan memasukkan kembali nilai a dan r yang didapat ke dalam kondisi awal (a + ar = 9), kita mengonfirmasi bahwa solusi kita konsisten dan memenuhi semua syarat yang diberikan dalam soal.
