Menyelesaikan Sistem Persamaan -3x+7y=1 dan 2x+5y=-20 Metode Campuran menjadi tantangan aljabar yang menarik untuk dipecahkan. Metode campuran, yang menggabungkan kelebihan eliminasi dan substitusi, menawarkan jalan pintas yang efisien dan minim kesalahan, terutama ketika berhadapan dengan koefisien yang tidak sederhana seperti dalam sistem persamaan ini.
Pemecahan masalah seperti ini bukan sekadar latihan akademis, tetapi melatih logika sistematis yang dapat diterapkan dalam memecahkan masalah nyata, seperti menghitung keuntungan usaha atau menentukan komposisi bahan. Artikel ini akan memandu Anda langkah demi langkah untuk menemukan solusi tepat dari sistem persamaan tersebut dengan pendekatan yang terstruktur.
Pengantar Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel, atau biasa disingkat SPLDV, adalah kumpulan dari dua persamaan linear yang masing-masing memiliki dua variabel yang belum diketahui, biasanya x dan y. Bentuk umumnya bisa ditulis sebagai a₁x + b₁y = c₁ dan a₂x + b₂y = c₂, di mana a, b, dan c adalah bilangan-bilangan yang diketahui. Inti dari menyelesaikan SPLDV adalah mencari sepasang nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut secara bersamaan.Metode campuran, yang menggabungkan eliminasi dan substitusi, sering menjadi pilihan yang cerdas karena fleksibel.
Kita bisa memanfaatkan kecepatan eliminasi untuk menemukan satu variabel, lalu ketelitian substitusi untuk menemukan variabel lainnya, terutama ketika koefisiennya tidak sederhana. Ini seperti kerja bakti, ada yang membersihkan jalan dulu (eliminasi) baru kemudian yang lain merapikan detailnya (substitusi).Contoh penerapannya dalam keseharian kita banyak sekali. Misalnya, saat kita beli jengki dan saksang di lapo. Kalau kita tahu total harga dari dua pesanan yang berbeda, kita bisa buat model SPLDV untuk mencari harga satuan jengki dan saksang.
Atau, menghitung kecepatan dan waktu tempuh jika kita tahu jarak yang ditempuh dengan dua kondisi yang berbeda.
Persiapan Penyelesaian: Analisis dan Penyelarasan Persamaan: Menyelesaikan Sistem Persamaan -3x+7y=1 Dan 2x+5y=-20 Metode Campuran
Sebelum mulai menghitung, mari kita kenali dulu musuh kita, yaitu sistem persamaan:
-3x + 7y = 1
x + 5y = -20
Di sini, koefisien untuk x adalah -3 dan 2, untuk y adalah 7 dan 5, sementara konstanta di ruas kanan adalah 1 dan -20. Langkah pertama dalam metode campuran adalah memilih variabel mana yang akan dieliminasi lebih dulu. Biasanya, kita pilih variabel yang koefisiennya lebih mudah disamakan. Melihat angka -3 dan 2, kita bisa samakan menjadi 6 (kelipatan persekutuan terkecilnya).
Ini lebih mudah daripada menyamakan koefisien y (7 dan 5) yang kelipatannya 35. Jadi, kita akan eliminasi variabel x terlebih dahulu.Berikut adalah tabel perbandingan untuk memudahkan analisis:
| Persamaan | Koefisien x | Koefisien y | Konstanta |
|---|---|---|---|
| Pertama | -3 | 7 | 1 |
| Kedua | 2 | 5 | -20 |
Prosedur Metode Campuran: Tahap Eliminasi
Tujuan tahap eliminasi adalah menghilangkan variabel x. Untuk itu, koefisien x di kedua persamaan harus sama besar tetapi berlawanan tanda. Koefisien x pada persamaan pertama adalah -3 dan pada persamaan kedua adalah 2. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 3 dan 2 adalah 6. Jadi, kita kalikan persamaan pertama dengan 2 dan persamaan kedua dengan
3.
Persamaan Pertama (dikali 2)
2(-3x + 7y) = 2(1) → -6x + 14y = 2Persamaan Kedua (dikali 3): 3(2x + 5y) = 3(-20) → 6x + 15y = -60
Sekarang, perhatikan koefisien x: -6 dan 6. Keduanya sudah sama besar dan berlawanan tanda. Langkah selanjutnya adalah menjumlahkan kedua persamaan baru ini untuk mengeliminasi x.
(-6x + 14y) + (6x + 15y) = 2 + (-60)
- 6x + 6x + 14y + 15y = -58
- x + 29y = -58
Dari proses eliminasi ini, kita peroleh persamaan baru yang sederhana:
29y = -58
Prosedur Metode Campuran: Tahap Substitusi
Source: slidesharecdn.com
Dari hasil eliminasi, kita dapatkan 29y = –
Dengan membagi kedua ruas dengan 29, kita peroleh nilai y:
y = -58 / 29 = -2
Nilai y = -2 ini kemudian kita substitusikan ke salah satu persamaan awal untuk mencari x. Biasanya, kita pilih persamaan yang koefisien variabelnya lebih sederhana. Persamaan kedua, 2x + 5y = -20, terlihat lebih sederhana karena koefisien x-nya positif 2, dibanding persamaan pertama yang –
3. Mari kita substitusi
2x + 5(-2) = -20
- x – 10 = -20
- x = -20 + 10
- x = -10
x = -10 / 2 = -5
Dengan demikian, kita telah menemukan nilai variabel lainnya, yaitu x = -5.
Verifikasi Solusi dan Pemaparan Hasil Akhir
Sebelum dinyatakan final, solusi (x, y) = (-5, -2) harus diverifikasi dengan memasukkannya kembali ke kedua persamaan awal.
- Verifikasi ke Persamaan Pertama: -3(-5) + 7(-2) = 15 – 14 = 1 (Benar, sama dengan 1).
- Verifikasi ke Persamaan Kedua: 2(-5) + 5(-2) = -10 – 10 = -20 (Benar, sama dengan -20).
Karena memenuhi kedua persamaan, solusi kita sudah pasti benar. Berikut adalah rangkuman proses penyelesaiannya dalam bentuk tabel:
| Tahap | Persamaan yang Digunakan | Operasi | Hasil |
|---|---|---|---|
| Analisis | -3x+7y=1 dan 2x+5y=-20 | Identifikasi koefisien | Pilih eliminasi x |
| Eliminasi x | Pers.1 (x2), Pers.2 (x3) | Penjumlahan | 29y = -58 → y = -2 |
| Substitusi | Substitusi y=-2 ke 2x+5y=-20 | Penyelesaian aljabar | x = -5 |
| Verifikasi | Substitusi x=-5, y=-2 ke kedua persamaan awal | Pengecekan | Kedua persamaan terpenuhi |
Visualisasi dan Interpretasi Solusi
Dalam interpretasi geometris, setiap persamaan linear dua variabel merepresentasikan sebuah garis lurus pada bidang Kartesius. Sistem persamaan ini mencari titik potong dari kedua garis tersebut. Garis pertama, -3x + 7y = 1, memiliki gradien (kemiringan) 3/7 dan memotong sumbu Y di titik (0, 1/7). Garis kedua, 2x + 5y = -20, memiliki gradien -2/5 dan memotong sumbu Y di titik (0, -4).Titik potong kedua garis ini adalah solusi sistem persamaan, yaitu (-5, -2).
Titik ini terletak di kuadran III, di mana nilai x dan y sama-sama negatif. Artinya, titik tersebut berada di sebelah kiri sumbu Y (x negatif) dan di bawah sumbu X (y negatif). Kedua garis tersebut berpotongan hanya di satu titik ini, menunjukkan bahwa sistem persamaan ini memiliki solusi tunggal.
Variasi Soal dan Penerapan Metode Campuran
Metode campuran sangat berguna untuk berbagai karakteristik koefisien. Misalnya, untuk sistem 4x + 3y = 18 dan 5x – 2y = 11, eliminasi y akan efisien karena KPK dari 3 dan 2 adalah
Namun, jika bertemu sistem seperti 2x + 3y = 7 dan 2x – y = 1, strateginya lebih cepat: karena koefisien x sudah sama (2), kita bisa langsung mengurangkan kedua persamaan untuk mengeliminasi x tanpa perlu perkalian awal.
Berikut ilustrasi naratif penerapannya: Seorang pedagang di Pasar Tomok menjual kalung dan gelang perak. Dari penjualan 3 kalung dan 2 gelang, ia mendapat uang Rp 1.200.000. Di hari lain, dari penjualan 1 kalung dan 4 gelang, ia mendapat Rp 1.400.000. Jika kita misalkan harga satu kalung = x dan harga satu gelang = y, kita dapat membentuk sistem persamaan 3x + 2y = 1200000 dan x + 4y = 1400000.
Metode campuran sangat cocok untuk menyelesaikan masalah ini, misalnya dengan mengeliminasi x terlebih dahulu.
Simpulan Akhir
Dengan demikian, penerapan metode campuran telah berhasil mengungkap solusi dari sistem persamaan tersebut. Proses yang sistematis ini menegaskan bahwa matematika adalah tentang menemukan pola dan strategi yang tepat. Nilai x dan y yang diperoleh bukanlah akhir, melainkan awal untuk memverifikasi dan menginterpretasikan makna dari setiap solusi dalam konteks yang lebih luas, membuktikan keandalan pendekatan gabungan ini untuk berbagai bentuk SPLDV lainnya.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Mengapa metode ini disebut campuran dan kapan paling efektif digunakan?
Metode ini disebut campuran karena menggabungkan dua teknik sekaligus: eliminasi untuk menemukan satu variabel, lalu substitusi untuk menemukan variabel lainnya. Metode ini paling efektif digunakan ketika koefisien variabel tidak mudah disamakan hanya dengan mengalikan satu persamaan, sehingga membutuhkan penggabungan strategi untuk efisiensi.
Apakah hasilnya akan berbeda jika kita mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, bukan x?
Tidak, hasil akhirnya akan tetap sama. Namun, langkah perhitungannya mungkin akan berbeda tingkat kerumitannya. Pemilihan variabel mana yang dieliminasi pertama kali dapat mempengaruhi kemudahan hitungan, tetapi tidak mempengaruhi kebenaran solusi akhir.
Bagaimana jika setelah eliminasi didapatkan pernyataan yang salah, seperti 0 = 5?
Jika diperoleh pernyataan yang salah (kontradiksi), itu berarti sistem persamaan linear tersebut tidak memiliki solusi atau disebut tidak konsisten. Secara grafis, kedua garis yang mewakili persamaan tersebut adalah sejajar dan tidak pernah berpotongan.
Dapatkah metode campuran digunakan untuk sistem persamaan dengan tiga variabel (SPLTV)?
Prinsip dasarnya bisa diterapkan, tetapi prosesnya lebih panjang. Untuk SPLTV, metode campuran biasanya melibatkan eliminasi berulang untuk mengurangi sistem dari tiga variabel menjadi dua variabel terlebih dahulu, baru kemudian diselesaikan seperti SPLDV.
