Nilai limit (x→2) (3−√(4x+1))/(x−2) itu ibarat teka-teki aljabar yang bikin penasaran. Coba deh kita masukkan angka 2 langsung ke rumusnya, hasilnya malah 0 dibagi 0, sebuah bentuk tak tentu yang seperti jalan buntu. Tapi jangan khawatir, di balik kemisteriusan itu sebenarnya tersembunyi nilai pasti yang bisa kita gali dengan sedikit trik aljabar yang cerdik. Soal seperti ini adalah gerbang untuk memahami bagaimana kalkulus melihat kecenderungan suatu fungsi, bahkan di titik di mana ia sendiri enggan untuk didefinisikan.
Melalui eksplorasi ini, kita akan membedah langkah demi langkah transformasi ekspresi tersebut, dari bentuk tak tentu menuju sebuah kepastian numerik. Prosesnya melibatkan manipulasi akar dan pemfaktoran yang elegan, menunjukkan keindahan matematika dalam menyederhanakan hal yang rumit. Pemahaman ini tidak hanya menjawab satu soal, tetapi memberi kita kerangka berpikir untuk menyelesaikan berbagai masalah limit serupa yang melibatkan bentuk akar dan singularitas.
Menelusuri Jejak Abstraksi Limit dalam Aljabar Rasional yang Melibatkan Bentuk Akar: Nilai Limit (x→2) (3−√(4x+1))/(x−2)
Konsep limit dalam kalkulus seringkali digambarkan sebagai upaya untuk mengintip perilaku suatu fungsi ketika variabelnya berjalan sangat dekat ke suatu titik, tanpa harus benar-benar tiba di titik tersebut. Bayangkan kamu mencoba membaca angka pada speedometer mobil yang sedang melaju; limit adalah angka yang ditunjuk jarum saat kita melihatnya dari dekat, bahkan jika kita tidak pernah benar-benar mempertahankan kecepatan tepat pada angka itu.
Dalam konteks aljabar, ketika kita mensubstitusi nilai x yang didekati langsung ke dalam fungsi, kita berharap mendapatkan jawaban yang jelas. Namun, pada soal limit (x→2) (3−√(4x+1))/(x−2), substitusi x=2 justru menghasilkan (3−√(9))/(2-2) = (3-3)/0 = 0/0.
Bentuk 0/0 ini disebut bentuk tak tentu. Hasil ini tidak berarti limitnya adalah 0 atau tak hingga, melainkan memberi sinyal bahwa fungsi tersebut memiliki “masalah” di titik x=2. Penyebut nol mengindikasikan kemungkinan adanya asimtot atau lubang pada grafik, sementara pembilang nol menawarkan harapan bahwa faktor penyebab nol tersebut mungkin bisa disederhanakan. Intinya, substitusi langsung gagal memberikan jawaban karena ia mencoba mengevaluasi fungsi pada titik yang justru tidak terdefinisi.
Perjalanan kita adalah mencari nilai yang “hampir” tercapai, bukan nilai yang “ada” di titik itu.
Perbandingan Metode Penyelesaian Limit Aljabar
Berbagai teknik aljabar dikembangkan untuk mengatasi bentuk tak tentu, masing-masing efektif untuk karakteristik fungsi yang berbeda. Metode substitusi adalah uji awal, pemfaktoran cocok untuk polinomial, sementara perkalian sekawan menjadi senjata andalan untuk bentuk yang melibatkan akar. Tabel berikut membandingkan penerapan ketiganya.
| Metode | Jenis Fungsi yang Cocok | Langkah Kunci | Hasil dari Substitusi Awal |
|---|---|---|---|
| Substitusi Langsung | Fungsi kontinu di titik limit | Ganti variabel dengan nilai yang didekati | Bilangan tertentu (bukan 0/0 atau ∞/∞) |
| Pemfaktoran | Fungsi rasional berbentuk polinomial/polinomial | Faktorkan pembilang dan penyebut, lalu sederhanakan faktor yang sama | Bentuk tak tentu 0/0 |
| Perkalian Sekawan | Fungsi dengan ekspresi irasional (bentuk akar) | Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari ekspresi yang mengandung akar | Bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞ |
Demonstrasi Aljabar Perkalian Sekawan
Pada limit kita, faktor penyebab nol tersembunyi di balik bentuk akar. Triknya adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari pembilang, yaitu (3+√(4x+1)). Proses aljabarnya adalah sebagai berikut.
Langkah 1: Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan.(3−√(4x+1))/(x−2) × (3+√(4x+1))/(3+√(4x+1))
Langkah 2: Manfaatkan identitas (a-b)(a+b) = a²
b² pada pembilang.
= [3²
(√(4x+1))²] / [(x-2)(3+√(4x+1))]
Langkah 3: Sederhanakan pembilang.= [9 – (4x+1)] / [(x-2)(3+√(4x+1))]= (9 – 4x – 1) / [(x-2)(3+√(4x+1))]= (8 – 4x) / [(x-2)(3+√(4x+1))]
Langkah 4: Faktorkan pembilang untuk menyederhanakan faktor (x-2).= 4(2 – x) / [(x-2)(3+√(4x+1))]= -4(x – 2) / [(x-2)(3+√(4x+1))]
Langkah 5: Sederhanakan faktor (x-2) yang sama.= -4 / (3+√(4x+1))
Sekarang, fungsi telah bertransformasi menjadi bentuk yang ramah untuk disubstitusi x=2.
Analogii Perilaku Fungsi Mendekati Singularitas, Nilai limit (x→2) (3−√(4x+1))/(x−2)
Memvisualisasikan limit tanpa grafik membutuhkan analogi yang kuat. Pertama, bayangkan kamu berjalan menuju sebuah pintu yang terkunci (titik x=2). Di depan pintu, ada sebuah cermin ajaib (fungsi asal) yang memantulkan bayanganmu. Jika kamu berdiri tepat di depan pintu, cermin itu hanya menunjukkan kegelapan (tak terdefinisi). Namun, jika kamu perlahan mendekat dari jarak 1 meter, 50 cm, 10 cm, bayangan di cermin itu semakin jelas mendekati sebuah ekspresi wajah tertentu (nilai limit).
Perilaku mendekati itu yang kita ukur, bukan kondisi saat tepat di pintu.
Kedua, pikirkan tentang resep membuat sirup gula jenuh. Saat kamu menambahkan gula ke dalam air panas, ada titik di mana gula tidak bisa larut lagi (titik jenuh, x=2). Jika kamu mencoba mengukur kelarutan tepat pada titik jenuh, alat ukurmu mungkin error (0/0). Tapi, dengan mengamati tren kelarutan saat konsentrasi gula mendekati titik jenuh dari bawah (larutan hampir jenuh), kamu bisa memperkirakan dengan sangat akurat kondisi pada titik jenuh tersebut.
Limit bekerja dengan cara yang serupa: memprediksi titik yang tak terukur dengan mengamati tren pendekatan menuju titik itu.
Transformasi Simbolik dari Ketakpastian Menuju Kepastian Nilai Numerik
Proses penyederhanaan dari bentuk (3−√(4x+1))/(x−2) menjadi -4/(3+√(4x+1)) adalah sebuah transformasi simbolik yang elegan. Transformasi ini tidak mengubah nilai limit asal, karena kita hanya mengalikan dengan 1, yaitu dalam bentuk (3+√(4x+1))/(3+√(4x+1)). Tujuannya tunggal: mengungkap faktor yang tersembunyi yang menyebabkan bentuk tak tentu, yaitu (x-2), dan kemudian mencoretnya. Setelah faktor penyebab masalah dihilangkan, kita mendapatkan fungsi baru yang identik perilaku limitnya dengan fungsi lama, kecuali pada titik x=2 itu sendiri.
Menyelesaikan limit (x→2) (3−√(4x+1))/(x−2) itu seru banget, karena kita harus manipulasi aljabar biar nggak dapat bentuk tak tentu. Proses mencari solusi pasti ini mirip semangat Galileo Galilei yang mendesain Termometer Pertama Dibuat Tahun 1592 , di mana ketelitian dan pendekatan bertahap sangat krusial. Nah, setelah memahami prinsip dasar itu, kita bisa kembali ke limit tadi dan dengan tenang menyimpulkan hasil akhirnya adalah -2/3.
Titik inilah yang kemudian bisa kita isi dengan substitusi tanpa rasa takut.
Ketika x mendekati 2, penyebut baru (3+√(4x+1)) mendekati (3+√9)=6, sehingga nilai limit keseluruhan mendekati -4/6 = -2/3. Inilah kepastian numerik yang kita cari dari rahim ketakpastian 0/0. Proses ini menegaskan bahwa meskipun fungsi asli “berlubang” di x=2, perilaku sekitarnya sangat teratur dan mengarah ke nilai -2/3.
Kesalahan Umum dalam Manipulasi Bentuk Akar
Dalam proses perkalian sekawan dan penyederhanaan, beberapa jebakan aljabar sering muncul. Kesalahan-kesalahan ini dapat mengarah pada hasil yang salah, sehingga penting untuk diwaspadai.
- Kesalahan dalam mengkuadratkan akar: Menganggap (√(4x+1))² sama dengan 4x+1, bukan (4x+1). Ingat, kuadrat dan akar kuadrat saling menghilangkan, meninggalkan ekspresi di dalam akar asalkan ia non-negatif.
- Lupa memfaktorkan tanda negatif: Pada langkah 4(2-x), banyak yang langsung membagi dengan (x-2) tanpa menyadari bahwa (2-x) = -(x-2). Mengabaikan tanda negatif ini akan menghasilkan nilai limit yang keliru tanda (positif, bukan negatif).
- Menyederhanakan sebelum substitusi yang aman: Mencoba menyederhanakan atau mencoret suku sebelum faktor (x-2) benar-benar muncul secara eksplisit. Pastikan bentuk tak tentu 0/0 telah dieliminasi melalui perkalian sekawan sebelum melakukan penyederhanaan lebih lanjut.
- Kesalahan dalam mensubstitusi setelah penyederhanaan: Tetap mensubstitusi x=2 ke dalam bentuk yang masih mengandung faktor (x-2) di penyebut, yang akan kembali menghasilkan pembagian nol. Pastikan penyebut baru tidak lagi bernilai nol di titik limit.
Makna Filosofis Bentuk Tak Tentu
Bentuk tak tentu 0/0 dalam kalkulus bukanlah sebuah kegagalan, melainkan sebuah pertanyaan. Ia adalah paradoks yang menantang: pembagian dengan nol yang mustahil, namun diapit oleh pembilang yang juga nol, menciptakan ruang ketidakpastian yang justru mengandung potensi jawaban yang pasti. Filosofinya mirip dengan mencari makna dalam kontradiksi. Limit mengajarkan bahwa dari keadaan “tidak terdefinisi” bisa lahir sebuah nilai yang sangat terdefinisi melalui proses pendekatan dan penyederhanaan. Ini adalah pencarian keteraturan di balik kekacauan yang tampak, menemukan kontinuitas di tengah-tengah diskontinuitas. Nilai limit -2/3 itu adalah esensi perilaku fungsi di titik x=2, sebuah esensi yang hanya bisa dipahami dengan melihat dari dekat, bukan dengan menatap tepat ke titiknya.
Prosedur Sistematis untuk Limit Bentuk (a – √(bx+c))/(x-d)
Untuk menyelesaikan limit fungsi berbentuk (a – √(bx+c))/(x-d) yang menghasilkan 0/0, ikuti langkah-langkah sistematis berikut. Prosedur ini memastikan ketepatan dan menghindari kesalahan umum.
- Verifikasi bahwa substitusi x=d menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Jika iya, lanjutkan.
- Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari pembilang, yaitu (a + √(bx+c)).
- Pada pembilang, terapkan identitas selisih kuadrat: (a)²
- (√(bx+c))² = a²
- (bx+c).
- Sederhanakan ekspresi aljabar pada pembilang. Hasilnya akan berupa bentuk linear dalam x, biasanya berbentuk k(d – x) atau k(x – d), dengan k adalah suatu konstanta.
- Faktorkan konstanta k, dan identifikasi faktor (x-d) atau (d-x) pada pembilang. Jika diperoleh (d-x), nyatakan sebagai -(x-d).
- Sederhanakan faktor (x-d) yang sama pada pembilang dan penyebut.
- Setelah penyederhanaan, substitusikan x=d ke dalam ekspresi yang tersisa (yang sudah tidak mengandung x-d di penyebut).
- Nilai yang diperoleh dari substitusi ini adalah nilai limit yang dicari.
Pelacakan Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi di Balik Tirai Limit
Penemuan nilai limit -2/3 untuk x mendekati 2 mengungkap cerita yang menarik tentang hubungan antara limit dan kontinuitas. Suatu fungsi dikatakan kontinu di titik x=c jika tiga syarat terpenuhi: fungsi terdefinisi di c, limit fungsi ketika x→c ada, dan nilai limit tersebut sama dengan nilai fungsi di c. Pada kasus kita, fungsi asal f(x) = (3−√(4x+1))/(x−2) jelas tidak terdefinisi di x=2 karena penyebutnya nol, sehingga syarat pertama gagal.
Ini otomatis membuat fungsi tersebut diskontinu di titik tersebut.
Namun, keberadaan limit yang bernilai -2/3 menunjukkan jenis diskontinuitas yang “jinak”, yang disebut diskontinuitas yang dapat dihapus atau removable discontinuity. Mengapa bisa dihapus? Karena ketidakterdefinisian itu semata-mata disebabkan oleh faktor (x-2) yang bisa dicoret setelah manipulasi aljabar. Jika kita mendefinisikan ulang fungsi dengan sebuah nilai di titik “lubang” itu, misalnya dengan membuat fungsi baru g(x) yang sama dengan f(x) untuk x≠2 dan g(2) = -2/3, maka fungsi g(x) akan menjadi kontinu di x=2.
Dengan kata lain, masalahnya bukan pada perilaku fungsi di sekitar titik itu, melainkan hanya pada titik itu sendiri yang kosong.
Pemetaan Konsep Limit, Nilai Fungsi, dan Jenis Diskontinuitas
Memisahkan konsep limit, nilai fungsi, dan kontinuitas adalah kunci memahami perilaku fungsi. Tabel berikut membandingkannya dalam berbagai skenario.
| Kondisi | Nilai Limit x→c | Nilai Fungsi f(c) | Kontinuitas di x=c & Jenis Diskontinuitas |
|---|---|---|---|
| Fungsi Polinomial (e.g., f(x)=x²) | Ada, sama dengan f(c) | Terdefinisi | Kontinu (tidak ada diskontinuitas) |
| Fungsi Rasional dengan Faktor Sederhana (kasus kita) | Ada (misal -2/3) | Tidak terdefinisi | Diskontinu, Jenis Dapat Dihapus |
| Fungsi dengan Asimtot Vertikal (e.g., f(x)=1/(x-2)) | Tidak ada (menuju ±∞) | Tidak terdefinisi | Diskontinu, Jenis Tak Hingga |
| Fungsi Bertanda (e.g., f(x)=|x|/x di x=0) | Tidak ada (limit kiri ≠ limit kanan) | Tidak terdefinisi atau terdefinisi | Diskontinu, Jenis Lompat |
Implikasi pada Bentuk Visual Grafik
Keberadaan limit -2/3 dan diskontinuitas yang dapat dihapus di x=2 memberikan gambaran visual yang sangat spesifik. Bayangkan sebuah bidang koordinat. Grafik dari fungsi asal f(x) akan berupa sebuah kurva mulus yang menggambarkan hubungan antara x dan y. Kurva ini akan melewati berbagai titik, namun ketika mendekati garis vertikal x=2, nilai fungsi akan semakin mendekati -2/3. Jika kamu menghitung nilai untuk x=1.9, 1.99, 2.01, dan 2.1, hasilnya akan berkerumun di sekitar -0.666…
Titik (2, -2/3) sendiri akan kosong, ditandai dengan sebuah lingkaran kecil yang terbuka. Di sekeliling titik kosong itu, kurva akan terlihat terus menerus seolah-olah ingin menghubungkan bagian kiri dan kanan, tetapi terputus oleh lubang kecil tepat di (2, -2/3). Visualnya seperti sebuah jalan yang mulus, namun ada satu batu kerikil yang hilang di tengah jalan; kendaraan bisa melewati dengan merasakan sedikit hentakan (ketidakterdefinisian), tetapi arah dan kelanjutan jalannya sangat jelas.
Keterbatasan dan Alternatif Metode Perkalian Sekawan
Meski ampuh, metode perkalian sekawan bukanlah solusi universal. Metode ini menjadi kurang efektif atau bahkan bertele-tele ketika bentuk akar lebih kompleks, misalnya melibatkan akar pangkat tiga atau akar di dalam akar. Selain itu, jika setelah perkalian sekawan faktor penyebab nol tidak muncul atau tidak dapat disederhanakan, maka bentuk tak tentu mungkin masih bertahan, menandakan kita perlu pendekatan lain.
Dalam kasus seperti itu, kalkulus menawarkan metode yang lebih kuat, yaitu Aturan L’Hôpital. Aturan ini berlaku untuk bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞ dengan syarat tertentu. Prinsipnya adalah dengan mendiferensialkan (menurunkan) pembilang dan penyebut secara terpisah, lalu mengambil limit dari hasil bagi turunannya. Untuk limit kita, menerapkan Aturan L’Hôpital akan langsung memberikan: limit (x→2) [turunan dari (3−√(4x+1))] / [turunan dari (x-2)] = limit (x→2) [(-4/(2√(4x+1))] / [1] = -4/(2*√9) = -4/6 = -2/3.
Metode ini sangat efisien, terutama untuk bentuk yang rumit secara aljabar.
Dekonstruksi Elemen Penyusun Ekspresi Aljabar dan Pengaruhnya Terhadap Hasil Limit
Setiap konstanta dan koefisien dalam ekspresi √(4x+1) dan (x-2) memainkan peran kunci dalam menentukan nilai limit akhir -2/3. Mari kita dekonstruksi. Di dalam akar, bentuk 4x+1 menentukan nilai saat x=2, yaitu √9=3. Angka 3 ini kebetulan sama dengan konstanta 3 di pembilang, itulah sebabnya substitusi langsung menghasilkan 0. Koefisien 4 di depan x dalam akar adalah aktor utama.
Setelah proses perkalian sekawan dan penyederhanaan, ia muncul sebagai faktor -4 di pembilang (setelah melalui proses 9 – (4x+1) = 8 – 4x = -4(x-2)). Sementara itu, penyebut (x-2) bertindak sebagai “penyebab masalah” yang akhirnya dicoret, namun ia juga memastikan bahwa proses perkalian sekawan menghasilkan faktor linier yang bisa dicoret. Konstanta 1 di dalam akar dan konstanta 3 di luar akar bersama-sama mengatur nilai penyebut baru setelah penyederhanaan, yaitu (3+√(4x+1)) yang mendekati 6.
Hasil akhir -4/6 adalah buah interaksi spesifik dari semua angka-angka ini.
Variasi Nilai Limit dengan Perubahan Koefisien
Perubahan kecil pada koefisien akan mengubah interaksi aljabar dan menghasilkan nilai limit yang berbeda. Berikut adalah tiga variasi contoh.
- Variasi 1: Limit (x→2) (5−√(4x+1))/(x-2). Substitusi awal: (5-3)/0 = 2/0 (bukan 0/0). Ini langsung menunjukkan limit tak hingga, karena tidak ada faktor yang bisa dicoret. Metode perkalian sekawan tidak akan menghilangkan (x-2).
- Variasi 2: Limit (x→2) (3−√(2x+5))/(x-2). Substitusi: (3-√9)/0 = (3-3)/0 = 0/0. Setelah perkalian sekawan dan penyederhanaan, akan diperoleh limit = -2/(3+3) = -2/6 = -1/3. Perubahan koefisien di dalam akar dari 4 menjadi 2 mengubah hasil limit.
- Variasi 3: Limit (x→3) (3−√(4x+1))/(x-3). Substitusi: (3-√13)/0 (bukan 0/0, karena √13 ≠ 3). Limitnya cenderung tak hingga. Titik singularitasnya bergeser, dan hubungan antara konstanta pembilang dengan nilai akar di titik itu hilang.
Prinsip Umum Penyederhanaan Limit Bentuk Akar
Prinsip kunci dalam menyelesaikan limit bentuk akar yang menghasilkan 0/0 adalah mengisolasi dan mengeliminasi faktor penyebab nol pada penyebut. Langkah utamanya selalu dimulai dengan perkalian sekawan untuk menghilangkan bentuk irasional di pembilang, yang seringkali mengungkap faktor aljabar yang sama antara pembilang dan penyebut. Setelah faktor tersebut disederhanakan, fungsi menjadi “tenang” dan nilai limit dapat ditemukan melalui substitusi aman. Ingat, tujuan akhirnya bukan menghitung nilai di titik itu, melainkan menghilangkan halangan yang mencegah kita menghitungnya.
Narasi Perjalanan Nilai x Mendekati 2
Bayangkan x sebagai seorang pengelana yang berjalan di sepanjang garis bilangan menuju kota bertanda
2. Dari arah barat (kiri), ia mulai dari 1.
5. Saat itu, fungsi menghitung: (3 – √(4*1.5+1)) / (1.5-2) = (3 – √7) / (-0.5) ≈ (3 – 2.6458) / (-0.5) ≈ -0.
7084.
Pengelana itu melangkah lagi ke 1.9: perhitungan memberikan nilai sekitar -0.
669. Semakin dekat, di 1.99: nilainya sekitar -0.
667. Dari arah timur (kanan), sang pengelana mulai dari 2.5, kemudian 2.1, lalu 2.
01. Nilai fungsinya dari arah ini juga berkerumun di sekitar -0.666… Kedua rombongan, baik dari kiri maupun kanan, melaporkan bahwa tujuan mereka, meskipun kota 2 sendiri tertutup kabut (tak terdefinisi), memiliki sebuah penanda tak kasat mata yang kuat di koordinat -2/
3. Semua pendekatan, dari mana pun asalnya, bersepakat: inilah nilai yang dituju.
Ringkasan Akhir
Jadi, perjalanan kita menyelesaikan limit (x→2) (3−√(4x+1))/(x−2) telah sampai pada kesimpulan yang memuaskan. Nilai -2 yang kita dapatkan bukan sekadar angka, melainkan cerita tentang pendekatan, kontinuitas, dan keajaiban aljabar yang mengubah ketidakpastian menjadi kepastian. Meski fungsi aslinya ‘berlubang’ di x=2, limitnya memberi tahu kita dengan sangat jelas ke mana arah perilaku fungsi tersebut. Ini membuktikan bahwa seringkali, jawaban dari sebuah pertanyaan yang tampak mustahil justru tersembunyi di dalam proses pencariannya sendiri.
Area Tanya Jawab
Apakah metode perkalian sekawan ini selalu berhasil untuk limit bentuk akar?
Tidak selalu. Metode ini efektif ketika substitusi langsung menghasilkan bentuk 0/0 akibat adanya faktor (x-a) yang sama di pembilang dan penyebut setelah disederhanakan. Untuk bentuk tak tentu lain atau struktur akar yang lebih kompleks, metode seperti aturan L’Hôpital atau ekspansi deret mungkin lebih sesuai.
Mengapa harus dikali dengan bentuk sekawan (3+√(4x+1)) bukan yang lain?
Karena mengalikan pembilang (3 – √(4x+1)) dengan sekawannya (3 + √(4x+1)) akan memanfaatkan rumus selisih kuadrat (a-b)(a+b)=a²-b². Ini akan menghilangkan tanda akar, yang merupakan sumber kesulitan utama, sehingga memungkinkan penyederhanaan dengan faktor (x-2) di penyebut.
Apakah nilai limit -2 ini bisa kita sebut sebagai nilai fungsi di x=2?
Sama sekali tidak. Fungsi asli f(x) = (3−√(4x+1))/(x−2) tidak terdefinisi (tidak ada) di x=2 karena penyebutnya nol. Nilai limit -2 hanya menggambarkan nilai yang didekati oleh f(x) ketika x sangat-sangat dekat dengan 2 dari kiri maupun kanan, bukan nilai fungsi pada titik itu sendiri.
Bagaimana jika soal diubah, misalnya x mendekati 0 atau bilangan lain?
Langkah pertama tetaplah substitusi langsung. Jika hasilnya bilangan tertentu (bukan 0/0), maka itulah nilai limitnya. Jika menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, maka prosedur perkalian sekawan dan penyederhanaan serupa dapat diterapkan, tetapi nilai akhir limitnya akan berbeda karena bergantung pada konstanta dan koefisien dalam soal.
