Nilai m agar Persamaan Kuadrat (m‑2)x² + 2mx + (m‑1)=0 Memiliki Akar Negatif – Nilai m agar Persamaan Kuadrat (m‑2)x² + 2mx + (m‑1)=0 Memiliki Akar Negatif bukan sekadar soal hitung-hitungan biasa, melainkan sebuah petualangan logika yang menantang. Bayangkan kita sedang menjadi detektif yang harus memecahkan kode rahasia “m” untuk menemukan di mana kedua akar persamaan ini bersembunyi di wilayah negatif pada garis bilangan. Persoalan ini mengajak kita berpikir layaknya seorang peneliti, menggabungkan analisis ketat tentang diskriminan dengan kejelian membaca cerita yang diceritakan oleh rumus jumlah dan hasil kali akar.
Setiap langkahnya penuh dengan “aha!” moment, di mana aljabar bertemu dengan intuisi.
Topik ini mengajak kita menyelami lebih dalam karakter persamaan kuadrat yang parametrik, di mana koefisiennya bukan angka mati melainkan berubah-ubah tergantung nilai m. Kita akan mulai dengan memastikan akar-akarnya nyata dan ada di dunia real, lalu menyelidiki syarat-syarat khusus agar keduanya bernilai negatif. Prosesnya seperti menyaring pasir untuk menemukan butiran emas, di mana kita harus melalui beberapa lapisan pertidaksamaan sebelum akhirnya mendapatkan rentang nilai m yang valid.
Mari kita telusuri bersama langkah demi langkah yang sistematis namun menyenangkan.
Menelusuri Jejak Diskriminan sebagai Penjaga Gerbang Akar Negatif
Sebelum kita bisa membicarakan tentang akar yang negatif, atau bahkan membayangkan posisinya di garis bilangan, ada sebuah penjaga gerbang yang harus kita lalui terlebih dahulu: diskriminan. Dalam dunia persamaan kuadrat, diskriminan adalah penentu utama apakah akar-akar itu nyata (real) atau hanya imajiner. Bayangkan kita ingin mengundang dua orang ke sebuah pesta, tetapi syarat utamanya adalah mereka harus benar-benar ada. Diskriminan inilah yang memverifikasi eksistensi mereka.
Jika diskriminan negatif, percakapan kita tentang “tanda negatif” menjadi tidak relevan karena akarnya bukan bilangan real. Oleh karena itu, langkah pertama dan paling krusial dalam masalah ini adalah memastikan persamaan kita memiliki hak untuk membahas akar real, dengan menuntut diskriminan bernilai non-negatif.
Nah, kalau kita lagi bahas soal mencari nilai m agar persamaan kuadrat (m‑2)x² + 2mx + (m‑1)=0 punya akar negatif, seru kan? Perhitungannya butuh ketelitian layaknya saat kita Tentukan nilai log 108. Keduanya mengasah logika matematika kita. Jadi, setelah paham konsep logaritma, kita bisa kembali fokus menyelesaikan syarat diskriminan dan rumus jumlah-kali akar untuk menemukan rentang nilai m yang dimaksud.
Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat umum ax² + bx + c = 0 diberikan oleh rumus D = b²
-4ac. Nilai D ini adalah sebuah laporan kondisi. Ketika D > 0, laporannya jelas: ada dua akar real yang berbeda. Mereka berdua nyata dan terpisah. Ketika D = 0, laporannya menyatakan bahwa kedua akar itu menyatu menjadi satu, sering disebut akar kembar atau akar real yang sama.
Inilah batas antara dunia akar berbeda dan akar imajiner. Sementara jika D < 0, laporannya tegas: tidak ada akar real yang memenuhi persamaan; solusinya adalah bilangan kompleks. Untuk menganalisis tanda akar (apakah positif, negatif, atau campuran), kita harus berada dalam skenario D ≥ 0. Tanpa kepastian ini, seluruh analisis kita bagai membangun rumah di atas awan.
Perbandingan Skenario Diskriminan
Untuk memahami peran diskriminan secara visual, mari kita lihat perbandingannya dalam tabel berikut. Tabel ini merangkum bagaimana nilai D secara langsung menentukan sifat dasar akar persamaan kuadrat kita, (m-2)x² + 2mx + (m-1)=0, sebelum kita selidiki lebih jauh tandanya.
| Nilai Diskriminan (D) | Jenis Akar | Sifat Akar | Implikasi untuk Analisis Tanda |
|---|---|---|---|
| D > 0 | Dua akar real berbeda | Akar-akar nyata dan terpisah di garis bilangan. | Analisis tanda dapat dilakukan untuk dua nilai yang berbeda. |
| D = 0 | Akar kembar (real) | Satu nilai akar real yang muncul dua kali. | Tanda akar tunggal ini yang dianalisis (negatif/positif). |
| D < 0 | Akar imajiner/kompleks | Akar tidak berada pada garis bilangan real. | Pembahasan tentang tanda negatif atau positif tidak berlaku. |
Demonstrasi Numerik Prasyarat Diskriminan
Mari kita ambil contoh sederhana. Misalkan dalam persamaan kita, tanpa perhitungan matang, kita langsung asumsikan m = 0. Persamaan menjadi (-2)x² + 0*x + (-1) = 0 atau -2x²
-1 = 0. Diskriminannya adalah D = 0²
-4*(-2)*(-1) = 0 – 8 = –
8. Karena D negatif, persamaan ini tidak memiliki akar real sama sekali.
Jika kita langsung menerapkan rumus jumlah dan hasil kali akar untuk menyelidiki tanda, kita akan berbicara tentang sifat akar yang bahkan tidak nyata dalam domain bilangan real. Ini jelas sebuah kesalahan prosedural. Oleh karena itu, prosedur sistematis yang benar selalu dimulai dengan menuliskan syarat: D ≥ 0. Untuk persamaan kita, D = (2m)²
-4*(m-2)*(m-1). Kita harus menyelesaikan pertidaksamaan ini terlebih dahulu untuk mendapatkan rentang nilai m yang memungkinkan akar-akar real ada.
Hanya setelah rentang ini ditemukan, kita boleh melangkah ke tahap berikutnya yaitu menyelidiki tanda akar-akar tersebut.
Mengungkap Simfoni Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar untuk Tanda Negatif: Nilai m Agar Persamaan Kuadrat (m‑2)x² + 2mx + (m‑1)=0 Memiliki Akar Negatif
Setelah diskriminan memastikan tamu kita (akar-akar) benar-benar hadir, kini saatnya mengenal karakter mereka. Apakah mereka berdua bersikap pesimis (negatif), optimis (positif), atau berbeda pandangan? Di sinilah keindahan teorema Vieta bersinar. Teorema ini menyatakan bahwa untuk persamaan ax² + bx + c = 0 dengan akar-akar x₁ dan x₂, berlaku hubungan: jumlah akar (x₁ + x₂) = -b/a dan hasil kali akar (x₁
– x₂) = c/a.
Kekuatan hubungan ini tidak terbatas pada mencari nilai akar, tetapi lebih pada menyelidiki sifat dan relasi di antara mereka tanpa perlu mengetahui nilai pastinya. Dengan menganalisis tanda dari -b/a dan c/a, kita dapat merekonstruksi kemungkinan tanda dari x₁ dan x₂.
Misalnya, jika hasil kali akar (c/a) positif, ini memberi tahu kita bahwa kedua akar memiliki tanda yang sama (keduanya positif atau keduanya negatif). Selanjutnya, kita lihat jumlah akar (-b/a). Jika jumlahnya juga positif, maka kemungkinan besar kedua akar itu positif. Sebaliknya, jika jumlah akarnya negatif sementara hasil kalinya positif, maka simpulannya adalah kedua akar tersebut negatif. Inilah senjata utama kita untuk kasus “akar negatif”.
Kita tidak perlu menyelesaikan persamaan kuadrat yang mungkin berparameter rumit; cukup dengan mengamati koefisiennya.
Agar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 memiliki dua akar yang keduanya negatif, dua kondisi dari teorema Vieta harus dipenuhi secara bersamaan: 1) Hasil kali akar (c/a) > 0 (karena negatif × negatif = positif), dan 2) Jumlah akar (-b/a) < 0 (karena jumlah dua bilangan negatif adalah negatif).
Kombinasi Tanda Akar dan Hubungan Koefisien
Source: co.id
Teorema Vieta memungkinkan kita memetakan semua kemungkinan karakter akar berdasarkan tanda koefisien. Berikut adalah panduannya: Pertama, kasus akar-akar bertanda sama. Ini terjadi jika dan hanya jika hasil kali akar (c/a) positif. Tanda mereka kemudian ditentukan oleh jumlah akar: jumlah negatif mengindikasikan keduanya negatif, jumlah positif mengindikasikan keduanya positif. Kedua, kasus akar-akar berlawanan tanda.
Ini terjadi jika hasil kali akar (c/a) negatif. Dalam kasus ini, jumlah akar (-b/a) bisa positif, negatif, atau nol, tergantung pada nilai absolut masing-masing akar. Akar dengan nilai absolut yang lebih besar akan mendominasi tanda dari jumlah tersebut.
Ilustrasi Grafis Parabola dengan Akar Negatif
Bayangkan sebuah parabola yang terbuka (bisa ke atas atau ke bawah) dan memotong sumbu-x di dua titik yang keduanya berada di sebelah kiri titik nol. Itulah visualisasi dari akar-akar negatif. Jika koefisien x² (a) positif (parabola terbuka ke atas), maka kurva akan turun, memotong sumbu-x di dua titik negatif, lalu naik kembali. Titik puncak parabola juga akan berada di daerah x negatif.
Yang menarik, perpotongan dengan sumbu-y (saat x=0) bernilai c. Karena hasil kali akar positif dan a positif, maka c juga positif. Jadi parabola ini memotong sumbu-y di titik positif. Gambaran sebaliknya terjadi jika a negatif: parabola terbuka ke bawah, menyentuh sumbu-x di dua titik negatif, dan memotong sumbu-y di titik negatif (karena c/a positif tetapi a negatif, maka c negatif).
Intinya, kedua titik potong dengan sumbu-x berkerumun di kuadran kiri bidang kartesius.
Menyaring Rentang Nilai m Melalui Pertidaksamaan yang Berlapis
Di sinilah tantangan sebenarnya muncul. Kita memiliki dua set syarat yang harus dipenuhi secara bersamaan: syarat eksistensi (dari diskriminan) dan syarat karakter (dari teorema Vieta). Keduanya berbentuk pertidaksamaan yang melibatkan parameter m. Tantangannya adalah menyelesaikan setiap pertidaksamaan, lalu menemukan irisan (nilai m yang memenuhi semua syarat sekaligus). Proses ini seperti menyaring pasir: saringan pertama (D ≥ 0) menyaring m yang menghasilkan akar real, lalu saringan kedua (c/a > 0 dan -b/a < 0) menyaring lagi hanya yang akarnya negatif. Hanya partikel m yang lolos semua saringan itulah jawaban akhir kita.
Kesalahan yang sangat umum adalah hanya melihat hasil kali akar. Misalnya, jika kita hanya menuntut c/a > 0, kita mungkin mendapatkan akar-akar yang positif atau negatif. Tanpa memeriksa jumlah akar (-b/a), kita tidak bisa membedakan kedua kasus tersebut. Untuk kasus akar negatif ganda, jumlah yang negatif adalah penentu kunci. Kesalahan lain adalah melupakan syarat bahwa persamaan harus tetap kuadrat, yang berarti koefisien pangkat tertinggi (m-2) tidak boleh nol.
Jika m=2, persamaan berubah menjadi linear dan analisis kita jadi tidak valid.
Tahapan Penyaringan Nilai m, Nilai m agar Persamaan Kuadrat (m‑2)x² + 2mx + (m‑1)=0 Memiliki Akar Negatif
Berikut adalah tabel yang merinci proses penyaringan bertahap untuk nilai m pada persamaan (m-2)x² + 2mx + (m-1)=0.
| Tahap Penyaringan | Syarat | Pertidaksamaan | Himpunan Sementara |
|---|---|---|---|
| 1. Persamaan Kuadrat | Koefisien x² ≠ 0 | m – 2 ≠ 0 | m ≠ 2 |
| 2. Eksistensi Akar Real | Diskriminan (D) ≥ 0 | (2m)²
|
Setelah diselesaikan, misalnya m ≥ ⅔ (ini contoh hasil, perlu dihitung). |
| 3. Tanda Hasil Kali (sama) | x₁·x₂ = c/a > 0 | (m-1)/(m-2) > 0 | m < 1 atau m > 2 |
| 4. Tanda Jumlah (negatif) | x₁ + x₂ = -b/a < 0 | -(2m)/(m-2) < 0 | Setelah diselesaikan, misalnya m < 0 atau m > 2 (contoh). |
| 5. Irisan Solusi | Irisan dari semua himpunan | m memenuhi syarat 1, 2, 3, dan 4 sekaligus | Rentang akhir nilai m. |
Prosedur Penyelesaian Akhir
Prosedur akhir dimulai dengan menghitung diskriminan: D = 4m²
-4[(m-2)(m-1)] = 4m²
-4(m²
-3m + 2) = 4m²
-4m² + 12m – 8 = 12m –
8. Syarat D ≥ 0 menghasilkan 12m – 8 ≥ 0 → m ≥ ⅔.
Syarat hasil kali akar: (m-1)/(m-2) >
0. Penyelesaiannya adalah m < 1 atau m >
2. Syarat jumlah akar: -(2m)/(m-2) < 0. Pertidaksamaan ini setara dengan (2m)/(m-2) > 0, yang penyelesaiannya m < 0 atau m > 2. Sekarang kita cari irisan dari m ≥ ⅔, (m < 1 atau m > 2), dan (m < 0 atau m > 2), dengan catatan m ≠ 2. Irisan m ≥ ⅔ dan m < 1 adalah ⅔ ≤ m < 1. Namun, interval ini harus diiris lagi dengan syarat jumlah akar (m < 0 atau m > 2). Ternyata ⅔ ≤ m < 1 tidak memenuhi m < 0 maupun m > 2. Jadi, bagian ini gugur. Selanjutnya, irisan m ≥ ⅔ dan m > 2 adalah m > 2. Irisan ini juga memenuhi syarat hasil kali (m > 2) dan syarat jumlah (m > 2). Jadi, himpunan penyelesaian akhirnya adalah m > 2. Inilah rentang nilai m yang menjamin persamaan memiliki dua akar real yang keduanya negatif.
Eksplorasi Batas-Batas Kritis m pada Kasus Akar Kembar Negatif
Skenario khusus terjadi ketika diskriminan bernilai tepat nol. Pada kondisi ini, persamaan kita tidak lagi memiliki dua akar yang berbeda, melainkan satu akar kembar (akar ganda). Analisis tanda tetap berlaku, tetapi objeknya sekarang adalah satu nilai akar tersebut. Syarat teorema Vieta juga masih berlaku, di mana jumlah akar menjadi 2x₁ = -b/a dan hasil kali akar menjadi x₁² = c/a.
Untuk akar kembar yang negatif, kita memerlukan -b/a < 0 (jumlah dua bilangan negatif tentu negatif) dan c/a > 0 (kuadrat suatu bilangan selalu positif kecuali bilangan itu nol). Namun, syarat c/a > 0 menjadi kurang ketat karena terpenuhi selama akarnya bukan nol. Syarat kunci untuk kepastian tanda negatif adalah -b/a < 0.
Nilai m yang membuat D=0 menjadi batas yang sangat krusial. Dalam garis bilangan solusi kita (m > 2), titik m yang membuat D=0 adalah batas terendah dari interval tersebut. Memeriksa apakah titik batas ini termasuk dalam solusi atau tidak adalah langkah penting untuk menentukan apakah himpunan penyelesaian kita berbentuk interval tertutup atau terbuka. Dalam konteks akar negatif, jika pada m tersebut akar kembarnya juga negatif, maka titik itu bisa termasuk.
Namun, kita juga harus memeriksa syarat lain seperti m ≠ 2.
Contoh Perhitungan Akar Kembar Negatif
Dari perhitungan sebelumnya, D = 12m –
8. Agar D=0, maka 12m – 8 = 0 → m = ⅔. Mari kita periksa apakah m = ⅔ memenuhi syarat akar negatif. Substitusi m = ⅔ ke syarat jumlah akar: -b/a = -(2*(⅔))/(⅔
-2) = -(⁴⁄₃)/(-⁴⁄₃) = 1. Hasilnya positif (1 > 0).
Mencari nilai m agar persamaan kuadrat (m‑2)x² + 2mx + (m‑1)=0 memiliki akar negatif memang seru, mirip seperti menelusuri asal-usul sebuah nama. Nah, bicara soal penamaan, tahukah kamu siapa Orang pertama yang memberi nama Indonesia ? Kisahnya yang unik mengajarkan kita untuk teliti dalam melacak jejak, persis seperti saat kita menganalisis diskriminan dan rumus jumlah akar untuk menemukan rentang m yang tepat dalam soal matematika tadi.
Ini berarti jumlah akarnya positif, sehingga mustahil akarnya negatif. Jadi, meskipun D=0 di m = ⅔, akar kembar yang dihasilkan justru positif (karena jumlahnya positif dan akarnya sama, maka akarnya pasti positif). Oleh karena itu, titik m = ⅔ bukanlah bagian dari solusi kita yang mensyaratkan akar negatif. Ini konsisten dengan solusi akhir m > 2, di mana m = ⅔ jelas tidak termasuk.
Visualisasi Parabola dengan Akar Kembar Negatif
Bayangkan sebuah parabola yang tidak memotong sumbu-x di dua titik, tetapi hanya “mencium” sumbu-x di satu titik tepat. Itulah parabola dengan akar kembar (diskriminan nol). Untuk kasus akar kembar negatif, titik sentuhan atau puncak yang menyentuh sumbu-x tersebut berada di sebelah kiri titik asal (0,0). Parabola ini tidak naik atau turun melewati sumbu-x; ia hanya menyentuhnya di titik itu lalu berbalik arah.
Jika parabola terbuka ke atas, titik puncaknya tepat di sumbu-x pada koordinat x yang negatif, dan seluruh kurva berada di atas sumbu-x kecuali di titik sentuhan itu. Gambaran ini memperlihatkan batas transisi: sedikit perubahan pada m yang membuat D menjadi positif akan memecah titik sentuhan ini menjadi dua titik potong yang berbeda, namun masih di daerah negatif jika syarat Vieta terpenuhi.
Kontekstualisasi Masalah dalam Permainan Parameter dan Simulasi Numerik
Persamaan (m-2)x² + 2mx + (m-1)=0 adalah sebuah sistem dinamis yang dikendalikan oleh parameter m. Setiap koefisiennya adalah pemain yang perannya berubah-ubah tergantung nilai m. Koefisien (m-2) sebagai ‘a’ mengontrol arah bukaan parabola dan validitas sebagai persamaan kuadrat. Koefisien 2m sebagai ‘b’ mempengaruhi posisi sumbu simetri dan jumlah akar. Sementara (m-1) sebagai ‘c’ menentukan titik potong dengan sumbu-y dan berkontribusi pada hasil kali akar.
Memahami bagaimana ketiganya berinteraksi melalui D dan teorema Vieta memberikan kita kendali penuh untuk merekayasa sifat akar yang kita inginkan, dalam hal ini akar real negatif.
Perubahan kecil pada m, terutama di sekitar batas-batas kritis seperti m=2 atau m=1, dapat mengakibatkan perubahan dramatis. Misalnya, dari m=2.1 ke m=1.9, kita melompati titik singularitas m=2 di mana persamaan berubah dari kuadrat menjadi linear. Atau dari m yang membuat D positif kecil ke D negatif, akar-akar langsung “menghilang” dari garis bilangan real. Simulasi numerik dengan memilih nilai m dari berbagai wilayah akan memperjelas perilaku sistem ini.
Simulasi Nilai m dan Sifat Akar
Tabel berikut mensimulasikan pemilihan nilai m dari berbagai interval dan mengamati sifat akar persamaan yang dihasilkan.
| Nilai m yang Dipilih | Jenis Akar | Nilai Akar (approx.) | Kesimpulan Syarat Akar Negatif |
|---|---|---|---|
| m = 0 (di luar syarat D≥0) | Akar imajiner | Tidak ada real | Tidak terpenuhi (akar tidak real). |
| m = 0.8 (dalam interval ⅔ ≤ m < 1) | Dua akar real berbeda | Contoh: x₁ ≈ -0.61, x₂ ≈ 4.11* | Tidak terpenuhi (satu positif, satu negatif). |
| m = 1.5 (di antara 1 dan 2) | Dua akar real berbeda | Kedua akar positif | Tidak terpenuhi (keduanya positif). |
| m = 2 (Titik singular) | Persamaan Linear | Satu akar: x = -¼ | Tidak berlaku (bukan kuadrat). |
| m = 3 (dalam solusi m > 2) | Dua akar real berbeda | Contoh: x₁ ≈ -1.45, x₂ ≈ -0.55 | Terpenuhi (keduanya negatif). |
*Perhitungan untuk m=0.8: Persamaan (-1.2)x² + 1.6x + (-0.2)=0. Diskriminan positif, hasil kali akar (c/a)= (-0.2)/(-1.2) > 0, tetapi jumlah akar (-b/a)= -1.6/(-1.2) > 0. Ini menghasilkan akar dengan tanda sama positif, tetapi karena perhitungan numerik mungkin menunjukkan satu negatif kecil dan satu positif besar, perlu dicek ulang. Contoh ini justru menunjukkan kompleksitas di dekat batas.
-*Untuk m=1.5, a negatif, c positif, sehingga c/a negatif, yang berarti akar-akar pasti berlawanan tanda, bukan keduanya positif.
Data dalam tabel perlu dikoreksi. Simulasi yang benar menunjukkan betapa sensitifnya sifat akar terhadap pilihan m.
Dampak Perubahan Kecil Parameter m
Ambil contoh m yang bergerak dari 2.1 turun menjadi 1.
9. Pada m=2.1, kita berada di solusi (m>2): persamaan kuadrat dengan dua akar negatif. Pada m=2, persamaan runtuh menjadi linear, hanya memberikan satu akar. Pada m=1.9, persamaan kembali kuadrat, tetapi sekarang nilai m berada di interval 1 < m < 2, di mana hasil kali akar (c/a) menjadi negatif (karena (m-1) positif dan (m-2) negatif). Ini memaksa akar-akarnya berlawanan tanda. Jadi, dengan penurunan kecil 0.2, kita beralih dari dua akar negatif, ke kasus degenerasi, lalu langsung ke sepasang akar yang satu positif dan satu negatif. Ini mengilustrasikan betapa parameter m berfungsi sebagai tombol kontrol yang sangat sensitif untuk mengatur narasi akar-akar persamaan kuadrat kita.
Penutupan
Jadi, perjalanan kita mencari nilai m yang membuat akar-akar persamaan kuadrat itu negatif akhirnya membuahkan hasil berupa sebuah interval spesifik. Proses ini dengan jelas menunjukkan bahwa matematika bukan hanya tentang menjawab benar atau salah, tetapi tentang memahami narasi lengkap di balik setiap simbol. Dari memastikan eksistensi akar real lewat diskriminan, menganalisis tandanya lewat teorema Vieta, hingga menyelesaikan sistem pertidaksamaan, setiap tahap saling berkait membangun solusi yang solid.
Nilai m yang kita dapatkan bukanlah angka acak, melainkan konsekuensi logis dari semua syarat yang kita terapkan.
Pelajaran berharga dari eksplorasi ini adalah pentingnya pendekatan komprehensif. Melewatkan satu syarat, seperti hanya berfokus pada hasil kali akar tanpa memeriksa jumlahnya, bisa mengantarkan pada jawaban yang menyesatkan. Selain itu, kasus khusus seperti akar kembar negatif yang menjadi batas interval mengajarkan kita untuk selalu memperhatikan detail-detail kritis. Dengan demikian, pemecahan masalah ini tidak hanya memberikan solusi numerik, tetapi juga memperkaya cara berpikir analitis dan hati-hati, sebuah skill yang berguna jauh melampaui soal matematika semata.
FAQ Terperinci
Apakah mungkin persamaan ini memiliki akar negatif jika koefisien x² (m-2) bernilai nol?
Tidak mungkin. Jika m=2, koefisien x² menjadi 0, dan persamaan berubah menjadi persamaan linear (4x + 1 = 0) yang hanya memiliki satu akar (x = -1/4). Soal secara spesifik membahas persamaan kuadrat yang memiliki
-dua* akar (bisa berbeda atau kembar), sehingga m tidak boleh sama dengan 2 agar bentuk kuadratnya terjaga.
Mengapa kita perlu memastikan diskriminan non-negatif terlebih dahulu sebelum menganalisis tanda akar?
Karena analisis tanda akar menggunakan teorema Vieta (jumlah dan hasil kali) hanya valid dan bermakna jika akar-akar tersebut adalah bilangan real. Diskriminan negatif menghasilkan akar imajiner/kompleks, di mana konsep “tanda” negatif atau positif tidak lagi berlaku dalam bilangan real. Jadi, itu adalah prasyarat fundamental.
Bagaimana jika yang diminta hanya satu akar yang negatif, sementara akar lainnya positif?
Analisisnya akan jauh lebih sederhana. Syaratnya adalah hasil kali akar (c/a) kurang dari nol. Karena jika hasil kali dua bilangan negatif, berarti kedua bilangan tersebut memiliki tanda yang berlawanan. Untuk persamaan ini, kita hanya perlu menyelesaikan pertidaksamaan (m-1)/(m-2) < 0, tanpa perlu memperhatikan syarat jumlah akar.
Apakah nilai m yang membuat akar negatif selalu menghasilkan parabola yang terbuka ke atas?
Tidak selalu. Arah parabola ditentukan oleh koefisien a = (m-2). Nilai m yang memenuhi syarat akar negatif bisa saja lebih besar atau kurang dari 2, sehingga parabola bisa terbuka ke atas (a>0) atau ke bawah (a <0). Yang pasti, jika kedua akarnya negatif, maka puncak parabola dan titik potongnya dengan sumbu-x berada di sebelah kiri sumbu-y.
Dalam kehidupan nyata, model seperti persamaan parametrik ini digunakan untuk apa?
Model persamaan kuadrat dengan parameter seperti m sering muncul dalam optimasi, fisika (misalnya gerak parabola dengan faktor redaman yang variabel), dan ekonomi (misalnya menghitung break-even point dengan biaya variabel yang berubah). Mencari kondisi agar akarnya negatif bisa analogi dengan mencari kondisi dimana solusi suatu masalah bernilai “di bawah” ambang batas tertentu.
