Nilai x yang Memenuhi sin(x‑π/6)=√3 sin x untuk 0≤x≤2π

Nilai x yang Memenuhi Persamaan sin(x‑φ/6)=√3 sin x untuk 0≤x≤2π – Nilai x yang Memenuhi Persamaan sin(x‑π/6)=√3 sin x untuk 0≤x≤2π bukan sekadar soal hitungan biasa, melainkan teka-teki trigonometri yang menantang logika dan ketelitian. Persamaan ini menghadirkan perpaduan menarik antara identitas sudut selisih dan manipulasi aljabar, mengajak kita menelusuri keindahan matematika dalam batasan satu putaran penuh lingkaran. Menemukan solusinya berarti memahami bagaimana gelombang sinus saling berinteraksi pada titik-titik kritis tertentu.

Dengan menerapkan identitas sin(A-B) dan menyederhanakannya, persamaan yang tampak kompleks akan terurai menjadi bentuk yang lebih sederhana, yakni tan x = k. Proses ini mengungkap inti permasalahan dan membuka jalan untuk menemukan semua nilai x yang valid dalam interval 0 hingga 2π. Setiap solusi yang ditemukan kemudian harus diverifikasi, baik secara aljabar maupun melalui interpretasi geometris pada lingkaran satuan, guna memastikan keakuratannya.

Pemahaman Dasar Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri sering kali tampak rumit, namun dengan pemahaman identitas yang tepat, kita dapat mengurai kompleksitasnya menjadi bentuk yang lebih sederhana. Persamaan yang kita hadapi, sin(x – π/6) = √3 sin x, merupakan contoh klasik di mana sudut dalam fungsi sinus tidak sama. Kunci penyelesaiannya terletak pada ekspansi atau pemecahan bentuk sudut selisih tersebut.

Identitas trigonometri fundamental yang menjadi senjata utama adalah rumus selisih sudut untuk sinus: sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin B. Identitas ini memungkinkan kita untuk memisahkan variabel x dari konstanta sudut, dalam hal ini π/6. Dengan menerapkan identitas ini pada ruas kiri persamaan, kita melakukan transformasi aljabar yang crucial.

Penerapan Identitas dan Penyederhanaan Awal

Mari kita terapkan identitas sin(A – B) pada persamaan sin(x – π/6) = √3 sin x. Dengan A = x dan B = π/6, kita peroleh sin x cos(π/6)
-cos x sin(π/6) = √3 sin x. Nilai cos(π/6) dan sin(π/6) adalah konstanta yang diketahui, yaitu √3/2 dan 1/
2. Substitusi nilai-nilai ini menghasilkan persamaan baru: (√3/2) sin x – (1/2) cos x = √3 sin x.

Langkah selanjutnya adalah menyatukan semua suku yang mengandung sin x dan cos x. Dengan memindahkan √3 sin x dari ruas kanan ke kiri, persamaan menjadi (√3/2) sin x – (1/2) cos x – √3 sin x =
0. Untuk mempermudah, kita bisa menulis √3 sebagai (2√3)/2 agar penyebutnya sama. Persamaan kemudian disederhanakan menjadi: (√3/2 – 2√3/2) sin x – (1/2) cos x = 0, yang setara dengan (-√3/2) sin x – (1/2) cos x =
0.

Mengalikan seluruh persamaan dengan 2 untuk menghilangkan penyebut memberikan bentuk akhir yang lebih bersih: -√3 sin x – cos x = 0.

Penyederhanaan dan Pencarian Solusi Umum

Setelah melalui proses aljabar, kita berhasil mereduksi persamaan trigonometri awal menjadi bentuk yang lebih elementer: -√3 sin x – cos x = 0. Bentuk ini, yang secara umum dapat ditulis sebagai a sin x + b cos x = 0, mengarah langsung pada hubungan tangen antara sin x dan cos x, asalkan cos x tidak nol. Ini adalah pintu gerbang menuju solusi umum.

Proses isolasi variabel x kini menjadi lebih langsung. Kita dapat memanipulasi persamaan dasar tersebut untuk mendapatkan rasio sin x terhadap cos x, yang tak lain adalah fungsi tangen dari x.

Menurunkan Persamaan Tangen dan Solusi Umum, Nilai x yang Memenuhi Persamaan sin(x‑φ/6)=√3 sin x untuk 0≤x≤2π

Dari persamaan -√3 sin x – cos x = 0, kita pindahkan cos x ke ruas kanan: -√3 sin x = cos x. Selanjutnya, bagi kedua ruas dengan cos x, dengan syarat cos x ≠
0. Pembagian ini menghasilkan -√3 (sin x / cos x) = 1, atau -√3 tan x =
1. Dengan demikian, kita peroleh persamaan tangen yang sederhana: tan x = -1/√3.

tan x = -1/√3

Nilai -1/√3 dapat disederhanakan menjadi -√3/
3. Ini adalah nilai tangen dari sudut-sudut istimewa. Secara umum, solusi untuk persamaan tan x = k diberikan oleh rumus: x = arctan(k) + nπ, di mana n adalah bilangan bulat (n ∈ ℤ). Rumus ini mencerminkan sifat periodik fungsi tangen yang berulang setiap π radian.

Identifikasi Solusi dalam Interval 0 ≤ x ≤ 2π

Rumus umum x = arctan(-1/√3) + nπ memberikan kita tak hingga banyaknya solusi. Namun, soal membatasi pencarian pada interval 0 ≤ x ≤ 2π. Tugas kita adalah mencari semua nilai bilangan bulat n yang menghasilkan x berada dalam rentang tersebut. Kita mulai dengan mencari nilai utama, arctan(-1/√3).

Nilai tangen negatif menunjukkan sudut x berada di kuadran II atau IV. Sudut referensi yang sesuai adalah π/6, karena tan(π/6) = 1/√3. Oleh karena itu, arctan(-1/√3) = -π/6 (sudut di kuadran IV) atau π
-π/6 = 5π/6 (sudut di kuadran II). Dalam konteks rumus umum, kita biasanya menggunakan nilai utama yang terletak di interval (-π/2, π/2), yaitu -π/6.

Tabulasi Solusi Kandidat dan Verifikasi

Dengan rumus x = -π/6 + nπ, kita substitusi nilai-nilai n untuk mendapatkan kandidat solusi dalam [0, 2π]. Perhitungan dan pemeriksaan rentangnya dirangkum dalam tabel berikut.

Dari tabel, kita peroleh dua kandidat solusi: x₁ = 5π/6 dan x₂ = 11π/6. Verifikasi akhir sangat penting untuk memastikan tidak ada kesalahan aljabar, terutama terkait pembagian dengan cos x yang mensyaratkan cos x ≠ 0. Mari kita uji kedua nilai ini ke persamaan awal sin(x – π/6) = √3 sin x.

• Untuk x = 5π/6: sin(5π/6 – π/6) = sin(4π/6) = sin(2π/3) = √3/
  2. Ruas kanan: √3 sin(5π/6) = √3
  – (1/2) = √3/2. Cocok.
• Untuk x = 11π/6: sin(11π/6 – π/6) = sin(10π/6) = sin(5π/3) = -√3/
  2. Ruas kanan: √3 sin(11π/6) = √3
  – (-1/2) = -√3/2. Cocok.

Kedua nilai memenuhi persamaan, sehingga valid sebagai solusi.

Analisis dan Interpretasi Solusi: Nilai x Yang Memenuhi Persamaan Sin(x‑φ/6)=√3 sin x Untuk 0≤x≤2π

Dua solusi yang ditemukan, 5π/6 dan 11π/6, memiliki makna geometris yang jelas baik pada lingkaran satuan maupun dalam representasi grafis. Jika kita gambarkan grafik fungsi y = sin(x – π/6) dan y = √3 sin x dalam satu bidang koordinat, kedua kurva akan berpotongan tepat di dua titik pada interval satu periode penuh (0 hingga 2π). Titik potong tersebut merepresentasikan nilai x dimana kedua ekspresi bernilai sama, yang sesuai dengan solusi kita.

Menyelesaikan persamaan trigonometri seperti sin(x‑φ/6)=√3 sin x untuk 0≤x≤2π memerlukan pendekatan metodis yang sistematis. Proses ini sejalan dengan Penjelasan Konsep Dasar Penelitian , di mana langkah-langkah analitis yang jelas dan verifikasi solusi menjadi kunci utama. Dengan menerapkan identitas trigonometri dan aljabar secara tepat, kita dapat mengurai persamaan tersebut untuk menemukan nilai x yang valid dalam interval yang ditentukan.

Pada lingkaran satuan, solusi-solusi ini berkorespondensi dengan titik-titik dimana garis yang membentuk sudut x tersebut memiliki nilai tangen yang sama, yaitu -1/√3. Garis ini memiliki kemiringan negatif dan memotong lingkaran satuan di kuadran II dan IV.

Ringkasan Solusi dan Interpretasi Geometris

Berikut adalah daftar solusi akhir beserta penjelasan singkat posisinya pada lingkaran satuan.

• x = 5π/6 (150°): Terletak di kuadran II. Pada sudut ini, nilai sinus positif dan cosinus negatif. Pergeseran fase pada fungsi sin(x – π/6) menyebabkan kedua fungsi mencapai nilai yang sama, yaitu √3/2, meskipun dengan bentuk gelombang yang berbeda.
• x = 11π/6 (330°): Terletak di kuadran IV. Pada sudut ini, nilai sinus negatif dan cosinus positif. Kedua fungsi bernilai sama, yaitu -√3/2, yang menunjukkan titik potong lainnya di bagian bawah sumbu koordinat.

Kedua solusi ini terpisah sejauh π radian, yang konsisten dengan sifat periodik fungsi tangen. Mereka adalah representasi dari dua keluarga solusi tak hingga yang dihasilkan oleh rumus umum x = -π/6 + nπ yang jatuh dalam satu putaran penuh lingkaran.

Contoh Penerapan dan Latihan Serupa

Untuk menguasai konsep penyelesaian persamaan bentuk sin(x – α) = c sin x, penting untuk berlatih dengan variasi parameter yang berbeda. Prinsipnya tetap sama: ekspansi identitas selisih sudut, pengelompokan suku sejenis, dan reduksi ke dalam bentuk dasar tangen atau bentuk persamaan trigonometri sederhana lainnya.

Sebagai ilustrasi, pertimbangkan persamaan sin(x – π/4) = 2 sin x. Prosedur penyelesaiannya mengikuti pola yang telah kita bangun, dan akan menghasilkan persamaan dengan koefisien yang berbeda. Latihan semacam ini mengasah kemampuan manipulasi aljabar dan pemahaman terhadap sifat-sifat fungsi trigonometri.

Prosedur Umum dan Langkah-Langkah Kunci

Berdasarkan pembahasan, dapat dirancang suatu prosedur sistematis untuk menyelesaikan persamaan trigonometri jenis sin(x – α) = c sin x. Berikut adalah panduan langkah demi langkah yang dirangkum.

Langkah 1: Terapkan identitas sin(A – B) pada ruas kiri: sin x cos α
-cos x sin α = c sin x.
Langkah 2: Kumpulkan semua suku yang mengandung sin x dan cos x: (cos α
-c) sin x – (sin α) cos x = 0.
Langkah 3: Selesaikan persamaan bentuk a sin x + b cos x = 0. Jika cos x ≠ 0, bagi dengan cos x untuk mendapatkan a tan x + b = 0, sehingga tan x = -b/a.

Langkah 4: Tentukan solusi umum: x = arctan(-b/a) + nπ, n ∈ ℤ.
Langkah 5: Substitusi nilai-nilai n untuk mendapatkan solusi khusus dalam interval yang ditentukan.
Langkah 6: Lakukan verifikasi dengan mensubstitusi solusi kandidat ke persamaan awal, dan periksa kasus khusus jika pembagian dengan cos x mensyaratkan pemeriksaan terpisah untuk cos x = 0.

Menentukan nilai x yang memenuhi persamaan trigonometri sin(x−π/6)=√3 sin x dalam interval 0≤x≤2π memerlukan penerapan identitas dan manipulasi aljabar yang tepat. Untuk memahami langkah-langkah solusinya secara runtut, Anda dapat merujuk pada prinsip Jawaban Cepat Beserta Cara yang esensial dalam matematika. Dengan demikian, solusi akhir untuk x dapat diverifikasi kebenarannya, memastikan hasil yang akurat sesuai batas yang ditentukan.

Dengan mengikuti kerangka kerja ini, berbagai variasi persamaan trigonometri sejenis dapat diatasi dengan metodis. Kunci keberhasilannya adalah ketelitian dalam manipulasi aljabar dan pemahaman mendalam tentang periode serta sifat simetri fungsi trigonometri.

Terakhir

Source: z-dn.net

Dari proses analisis yang dilakukan, terungkap bahwa persamaan sin(x‑π/6)=√3 sin x memberikan solusi spesifik dalam rentang satu putaran. Solusi-solusi ini bukan angka acak, melainkan titik-titik presisi di mana dua fungsi sinus yang telah dimodifikasi saling berpotongan. Pemahaman mendalam terhadap langkah-langkah penyelesaiannya, mulai dari ekspansi identitas hingga pengecekan interval, memberikan kerangka kuat untuk menyelesaikan berbagai variasi persamaan trigonometri serupa. Dengan demikian, penguasaan atas satu masalah ini membuka gerbang untuk menaklukkan banyak masalah lainnya dalam kajian trigonometri yang lebih luas.

Area Tanya Jawab

Apakah nilai φ pada judul persamaan itu spesifik?

Ya, dalam konteks soal ini, φ merupakan simbol yang umum digunakan untuk mewakili sudut dalam radian, dan pada Artikel serta pembahasan, nilainya adalah π/6. Jadi, persamaan lengkapnya adalah sin(x – π/6) = √3 sin x.

Mengapa solusi persamaan trigonometri seringkali lebih dari satu dalam interval 0≤x≤2π?

Menyelesaikan persamaan trigonometri seperti sin(x‑φ/6)=√3 sin x untuk 0≤x≤2π memerlukan ketelitian analitis yang serupa dengan perencanaan strategis di Pusat Industri di Singapura , di mana efisiensi dan presisi menjadi kunci. Setelah mengeksplorasi dinamika industri tersebut, kita kembali fokus untuk mengekstrak nilai x yang memenuhi persamaan, menguji batas interval yang diberikan dengan pendekatan metodis.

Karena fungsi trigonometri seperti sinus dan cosinus bersifat periodik, artinya nilainya berulang setiap selang periode tertentu (2π untuk sinus dan cosinus). Dalam satu rentang periode penuh (0 hingga 2π), dapat terdapat beberapa sudut yang menghasilkan nilai fungsi yang sama, sehingga memunculkan multiple solutions.

Bagaimana jika konstanta √3 diganti dengan angka lain, apakah metode penyelesaiannya tetap sama?

Prinsip dasarnya tetap sama. Metode penyederhanaan menggunakan identitas sin(A-B) akan tetap menghasilkan persamaan bentuk a sin x + b cos x = 0, yang kemudian dapat dibawa ke bentuk tan x = k, di mana nilai k bergantung pada konstanta baru tersebut. Hanya nilai akhir k dan solusinya yang akan berubah.

Apakah solusi yang ditemukan harus selalu dicek kembali ke persamaan awal?

Sangat disarankan. Proses penyederhanaan aljabar (seperti membagi kedua ruas dengan suatu ekspresi) terkadang dapat menghilangkan atau mengubah syarat tertentu. Memasukkan solusi kandidat kembali ke persamaan asli adalah langkah validasi akhir untuk memastikan tidak ada solusi palsu (extraneous solution) yang terbawa.