Panjang busur juring lingkaran sudut 90° jari‑jari 1/4 cm – Panjang busur juring lingkaran sudut 90° jari‑jari 1/4 cm mungkin terdengar seperti detail teknis yang sangat spesifik, namun di balik angka-angka itu tersembunyi logika geometri yang elegan dan aplikasinya yang mengejutkan dekat dengan keseharian. Bayangkan seperempat bagian dari sebuah kue bulat yang sangat mini, atau sepotong kecil dari roda gigi berukuran mikro. Konsep ini adalah contoh sempurna bagaimana matematika mengukur bagian dari kelengkungan, sekalipun pada skala yang hampir tak terlihat oleh mata.
Memahami perhitungan panjang busur untuk kasus spesifik ini membuka pintu untuk menguasai prinsip yang sama pada lingkaran berukuran apa pun. Dari desain arsitektur hingga merancang perhiasan, kemampuan menghitung bagian dari suatu keliling adalah keterampilan dasar. Mari kita telusuri bagaimana sebuah sudut 90 derajat dan jari-jari seperempat sentimeter menghasilkan sebuah nilai panjang yang konkret, dan apa maknanya dalam konteks yang lebih luas.
Konsep Dasar Panjang Busur dan Juring Lingkaran
Dalam dunia geometri, lingkaran bukan hanya tentang garis lengkung yang sempurna. Ia terdiri dari bagian-bagian yang lebih kecil dan terukur, seperti busur dan juring. Memahami kedua unsur ini adalah kunci untuk membuka berbagai perhitungan praktis, mulai dari merancang potongan kue yang adil hingga menghitung jarak pada lintasan melingkar. Konsepnya sebenarnya sangat intuitif karena berkaitan langsung dengan proporsi atau seberapa besar “potongan” yang kita ambil dari lingkaran utuh.
Busur lingkaran adalah bagian dari keliling lingkaran itu sendiri. Panjangnya tidak ditentukan oleh nasib, melainkan oleh dua faktor utama: panjang jari-jari lingkaran dan besar sudut pusat yang menghadap busur tersebut. Sudut pusat adalah sudut yang titik puncaknya berada tepat di titik pusat lingkaran. Sementara itu, juring adalah daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur. Bayangkan juring seperti sepotong pizza; tepi luarnya yang melengkung adalah busur, sedangkan seluruh area potongan pizza itu adalah juring.
Rumus Umum Panjang Busur
Untuk menghitung panjang busur, kita menggunakan logika proporsi. Jika sudut pusat sebuah busur adalah α dan sudut satu lingkaran penuh adalah 360°, maka panjang busur adalah pecahan α/360 dari keliling lingkaran penuh. Dengan demikian, rumusnya dapat dituliskan sebagai berikut.
Panjang Busur = (α / 360°) × 2 × π × r
Di mana α adalah sudut pusat dalam satuan derajat, π (pi) bernilai sekitar 3.14 atau 22/7, dan r adalah panjang jari-jari lingkaran. Rumus ini menunjukkan hubungan linear yang jelas: semakin besar sudut, semakin panjang busurnya untuk jari-jari yang sama.
Perbandingan Panjang Busur Berdasarkan Sudut Pusat
Untuk memberikan gambaran yang lebih konkret, tabel berikut membandingkan pengaruh perubahan sudut pusat terhadap panjang busur, dengan asumsi jari-jari lingkaran tetap sepanjang 10 cm. Perbandingan ini mengilustrasikan prinsip proporsionalitas secara langsung.
| Sudut Pusat (α) | Fraksi dari Lingkaran (α/360°) | Keliling Penuh (2πr) | Panjang Busur |
|---|---|---|---|
| 30° | 30/360 = 1/12 | ≈ 62.8 cm | (1/12) × 62.8 ≈ 5.23 cm |
| 90° | 90/360 = 1/4 | ≈ 62.8 cm | (1/4) × 62.8 ≈ 15.7 cm |
| 180° | 180/360 = 1/2 | ≈ 62.8 cm | (1/2) × 62.8 ≈ 31.4 cm |
Analisis Kasus Spesifik: Sudut 90° dan Jari-jari 1/4 cm
Mari kita bongkar kasus yang spesifik ini. Meski angkanya terlihat sederhana dan kecil, proses perhitungannya justru memperlihatkan keanggunan matematika dalam skala mini. Sebuah juring dengan sudut 90° pada lingkaran berjari-jari seperempat centimeter adalah contoh yang bagus untuk melihat bagaimana teori diterapkan pada bilangan pecahan.
Perhitungan Panjang Busur
Langkah perhitungannya dilakukan secara sistematis. Pertama, kita tentukan dulu keliling lingkaran penuh dengan jari-jari r = 1/4 cm atau 0.25 cm. Kemudian, karena sudutnya 90°, yang merupakan seperempat dari 360°, kita ambil seperempat dari keliling tersebut.
- Keliling lingkaran (K) = 2 × π × r = 2 × 3.14 × 0.25 cm = 1.57 cm.
- Panjang Busur = (90° / 360°) × K = (1/4) × 1.57 cm = 0.3925 cm.
Jadi, panjang busur untuk juring tersebut adalah 0.3925 centimeter. Jika menggunakan nilai π yang lebih akurat (22/7), perhitungannya menjadi: 2 × (22/7) × (1/4) = (44/7) × (1/4) = 44/28 = 11/7 cm untuk keliling. Panjang busur = (1/4) × (11/7) = 11/28 cm ≈ 0.3929 cm. Hasilnya sangat mirip.
Perbandingan dengan Keliling Lingkaran Penuh, Panjang busur juring lingkaran sudut 90° jari‑jari 1/4 cm
Untuk memahami makna angka 0.3925 cm tersebut, berguna untuk membandingkannya dengan keseluruhan lingkaran.
- Panjang busur juring 90° ini tepat seperempat dari panjang keliling lingkaran penuh.
- Artinya, jika kita memiliki empat buah juring identik dengan sudut 90°, kita dapat menyusunnya menjadi satu lingkaran utuh.
- Secara numerik, keliling penuh adalah 1.57 cm, dan 1.57 cm dibagi 4 memang menghasilkan 0.3925 cm.
Konversi Satuan dan Konteks Penggunaan
Dalam satuan milimeter (mm), panjang busur 0.3925 cm setara dengan 3.925 mm. Nilai ini sangat kecil, mendekati tebal beberapa lembar kertas yang ditumpuk. Pengukuran seperti ini relevan dalam konteks yang membutuhkan presisi tinggi, misalnya dalam perancangan komponen mekanis berukuran mikro, pembuatan pola pada perhiasan kecil, atau bahkan dalam dunia model miniatur. Ia mengajarkan kita bahwa prinsip geometri berlaku universal, dari skala astronomis hingga skala yang hampir tak terlihat oleh mata.
Ilustrasi Deskriptif Juring 90°
Bayangkan sebuah lingkaran yang diameternya hanya 0.5 cm, kira-kira seukuran biji wijen atau titik yang dibuat oleh pulpen dengan tekanan cukup. Dari lingkaran mini ini, kita ambil seperempat bagiannya, membentuk bidang datar yang mirip selembar kue pie yang sangat kecil. Juring 90° ini akan berbentuk segitiga melengkung sempurna, di mana kedua sisi lurusnya (jari-jari) membentuk sudut siku-siku. Jika diletakkan di ujung jari, ia akan terasa seperti serpihan kecil yang hampir tak berbobot.
Visual ini menegaskan bahwa meski ukurannya mikro, sifat-sifat geometrinya tetap sama dan konsisten dengan lingkaran berukuran raksasa.
Aplikasi dan Contoh Soal Terkait
Penguasaan konsep menjadi lebih mantap ketika diuji dengan variasi soal. Berikut adalah beberapa contoh soal yang dirancang untuk mengasah pemahaman tentang hubungan antara sudut, jari-jari, dan panjang busur. Variasi ini mencakup situasi di mana yang diketahui dan yang ditanyakan bisa berbeda-beda.
Kalau kita hitung panjang busur juring lingkaran sudut 90° dengan jari-jari ¼ cm, hasilnya sangat kecil, sekitar 0,3925 cm. Analoginya, proses fragmentasi pada Perkembangbiakan Porifera Secara Vegetatif dan Generatif juga melibatkan pemisahan bagian kecil untuk tumbuh menjadi individu baru. Mirip seperti busur yang hanya sebagian kecil dari keliling penuh lingkaran, namun keduanya memiliki proporsi dan rumus yang terukur dengan presisi.
Variasi Soal Latihan dan Penyelesaian
Soal 1: Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 21 cm. Hitunglah panjang busur yang dihadapi oleh sudut pusat 60°.
Penyelesaian: Panjang Busur = (60/360) × 2 × (22/7) × 21 = (1/6) × 2 × 22 × 3 = (1/6) × 132 = 22 cm.
Soal 2: Panjang busur suatu lingkaran adalah 11 cm. Jika sudut pusatnya 45°, tentukan panjang jari-jari lingkaran tersebut.
Penyelesaian: 11 = (45/360) × 2 × (22/7) × r → 11 = (1/8) × (44/7) × r → 11 = (44r)/(56) → 11 = (11r)/14 → r = 14 cm.
Soal 3: Pada sebuah lintasan melingkar dengan jari-jari 50 m, seorang pelari menempuh jarak 78.5 m. Berapa besar sudut pusat (dalam derajat) yang sesuai dengan jarak tempuhnya?
Penyelesaian: 78.5 = (α/360) × 2 × 3.14 × 50 → 78.5 = (α/360) × 314 → α/360 = 78.5 / 314 = 0.25 → α = 0.25 × 360 = 90°.
Prosedur Mencari Jari-jari dari Panjang Busur
Ketika yang diketahui adalah panjang busur (L) dan sudut pusat (α), mencari jari-jari (r) merupakan proses aljabar yang langsung. Berikut adalah prosedur standar yang dapat diikuti.
Langkah 1: Tuliskan rumus dasar panjang busur: L = (α / 360°) × 2πr.Langkah 2: Kalikan kedua sisi dengan 360° untuk menghilangkan penyebut: 360° × L = α × 2πr.Langkah 3: Bagi kedua sisi dengan (α × 2π) untuk mengisolasi r: r = (360° × L) / (α × 2π).Langkah 4: Substitusikan nilai L dan α yang diketahui, serta nilai π (3.14 atau 22/7), lalu hitung.
Penerapan Konsep dalam Konteks Nyata
Konsep panjang busur dan juring hidup dalam banyak aktivitas sehari-hari. Dalam pembagian kue tart yang adil, setiap potongan adalah sebuah juring; panjang pisau yang dibutuhkan untuk memotong kulit luar kue (busur) dapat diestimasi dengan rumus ini. Di bidang teknik sipil, perhitungan ini digunakan untuk merancang tikungan jalan atau rel kereta yang melengkung sempurna. Dalam desain grafis dan arsitektur, membuat lengkungan yang proporsional pada sketsa juga mengandalkan prinsip yang sama.
Ia adalah alat matematika sederhana yang memiliki dampak visual dan fungsional yang besar.
Tabel Contoh Data Perhitungan Panjang Busur
Tabel berikut menyajikan berbagai skenario perhitungan panjang busur dengan parameter yang berbeda-beda, memberikan gambaran yang lebih luas tentang keluasan aplikasi rumus ini.
Menghitung panjang busur juring 90° dengan jari-jari ¼ cm itu sederhana: hasilnya 0,3925 cm. Layaknya mengelola keuangan, presisi itu kunci. Dalam laporan keuangan, misalnya, memahami Akun yang termasuk ke dalam aset lancar adalah fundamental untuk likuiditas yang sehat. Kembali ke lingkaran, nilai kecil ini mengajarkan bahwa detail sekecil apa pun, baik di matematika maupun akuntansi, punya peran signifikan dalam gambaran besar.
| Sudut Pusat (α) | Jari-jari (r) | Nilai π yang Digunakan | Panjang Busur (Hasil) |
|---|---|---|---|
| 120° | 15 cm | 3.14 | (120/360) × 2×3.14×15 = 31.4 cm |
| 270° | 0.1 m (10 cm) | 22/7 | (270/360) × 2×(22/7)×0.1 = 0.471 m ≈ 47.1 cm |
| 36° | 35 cm | 22/7 | (36/360) × 2×(22/7)×35 = 22 cm |
| 180° | 2.5 cm | 3.14 | (1/2) × 2×3.14×2.5 = 7.85 cm |
Hubungan dengan Luas Juring dan Unsur Lingkaran Lain: Panjang Busur Juring Lingkaran Sudut 90° Jari‑jari 1/4 cm
Panjang busur tidak berdiri sendiri; ia memiliki hubungan kembar dengan luas juring. Selain itu, dalam lingkaran masih ada beberapa unsur lain seperti tali busur dan apotema yang seringkali membingungkan. Memetakan hubungan dan perbedaan antara semua unsur ini akan memberikan pemahaman yang holistik tentang struktur lingkaran.
Hubungan Proporsional Panjang Busur dan Luas Juring
Hubungan antara panjang busur dan luas juring sangat elegan karena sama-sama mengikuti proporsi yang ditentukan oleh sudut pusat. Jika panjang busur adalah (α/360°) dari keliling, maka luas juring adalah (α/360°) dari luas lingkaran penuh. Dengan kata lain, untuk sudut α yang sama, perbandingan panjang busur terhadap keliling sama dengan perbandingan luas juring terhadap luas lingkaran. Ini adalah konsep kesebangunan sektor.
Perhitungan Luas Juring untuk Kasus 90° dan r=1/4 cm
Mari kita hitung luas juring yang sesuai dengan kasus utama kita. Luas lingkaran penuh dengan r = 1/4 cm adalah πr² = 3.14 × (0.25)² = 3.14 × 0.0625 = 0.19625 cm². Karena sudutnya 90° (1/4 lingkaran), maka luas juringnya adalah (1/4) × 0.19625 cm² = 0.0490625 cm². Nilai ini sangat kecil, mengonfirmasi bahwa juring kita memang hanya seperempat dari sebuah lingkaran yang sudah mini.
Perbedaan Mendasar Unsur-Unsur Lingkaran
Source: slidesharecdn.com
Meski namanya mirip, busur, tali busur, dan apotema merujuk pada hal yang berbeda. Berikut penjabarannya.
- Panjang Busur: Merupakan panjang bagian dari keliling lingkaran. Ia adalah besaran panjang (satu dimensi) yang diukur sepanjang garis lengkung.
- Tali Busur: Adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Panjang tali busur selalu lebih pendek dari panjang busur yang menghubungkan dua titik yang sama, kecuali untuk busur setengah lingkaran di mana tali busurnya adalah diameter.
- Apotema: Dalam konteks lingkaran, apotema adalah jarak terpendek dari titik pusat lingkaran ke sebuah tali busur. Ia selalu tegak lurus terhadap tali busur tersebut. Pada segi-n beraturan yang dilukis dalam lingkaran, apotema sering diartikan sebagai jarak dari pusat ke sisi segi-n.
Ilustrasi Deskriptif Unsur-Unsur Lingkaran
Bayangkan sebuah lingkaran dengan titik pusat O. Gambarlah dua jari-jari, OA dan OB, yang membentuk sudut 90°. Daerah yang diarsir antara OA, OB, dan busur AB adalah juring. Garis lengkung dari A ke B sepanjang tepi lingkaran adalah busur AB. Sekarang, tarik sebuah garis lurus dari titik A ke titik B; garis lurus ini adalah tali busur AB.
Dari titik pusat O, turunkan garis yang tegak lurus memotong tali busur AB di titik tengahnya; ruas garis dari O ke titik tengah tali busur itu adalah apotema yang berhubungan dengan tali busur AB. Dalam satu gambar konseptual ini, semua unsur saling terhubung, menunjukkan bahwa lingkaran adalah jaringan geometris yang rapi dan saling terkait.
Ringkasan Penutup
Jadi, meski angka 1/4 cm dan 90° terkesan sederhana, perjalanan menghitung panjang busurnya telah mengajak kita menjelajahi hubungan fundamental dalam geometri. Dari rumus proporsional yang rapi hingga perbandingannya dengan keliling penuh, setiap langkah perhitungan memperkuat pemahaman bahwa bagian tidak terlepas dari keseluruhan. Konsep ini, sekalipun diterapkan pada lingkaran mikroskopis atau raksasa, tetap berdiri di atas prinsip yang sama: setiap sudut membawa cerita panjangnya sendiri pada tepian lingkaran.
FAQ dan Informasi Bermanfaat
Apakah panjang busur untuk sudut 90° selalu seperempat keliling lingkaran, berapa pun jari-jarinya?
Ya, tepat sekali. Karena 90° adalah seperempat dari 360°, maka panjang busurnya selalu akan menjadi seperempat dari keliling lingkaran penuh, terlepas dari berapa pun panjang jari-jarinya. Hubungan ini murni proporsional.
Mengapa kita perlu mengonversi hasil perhitungan ke satuan milimeter?
Konversi ke milimeter sering dilakukan untuk konteks praktis karena hasil perhitungan dengan jari-jari 1/4 cm akan menghasilkan angka yang sangat kecil dalam satuan sentimeter. Milimeter memberikan skala pengukuran yang lebih tepat dan mudah dibayangkan untuk objek-objek berukuran mini dalam dunia nyata, seperti komponen elektronik atau perhiasan.
Bagaimana membedakan antara “busur” dan “tali busur” dalam juring?
Busur adalah bagian lengkung dari keliling lingkaran itu sendiri. Sementara tali busur adalah garis lurus yang menghubungkan kedua ujung busur tersebut. Dalam juring 90°, busurnya adalah lengkungan, sedangkan tali busurnya adalah sisi lurus yang membentuk segitiga siku-siku dengan dua jari-jari lainnya.
Apakah perhitungan ini bisa diterapkan untuk sudut yang dinyatakan dalam radian?
Tentu bisa, dan justru lebih langsung. Rumus panjang busur adalah sudut pusat (dalam radian) dikali jari-jari. Sudut 90° setara dengan π/2 radian. Jadi, panjang busur = (π/2)
– (1/4 cm) = π/8 cm, yang hasilnya persis sama.
