Panjang Garis Singgung Dalam Dua Lingkaran menjadi konsep kunci dalam geometri yang menghubungkan dua bentuk lingkaran dalam satu tarikan garis lurus. Garis misterius ini hanya menyentuh masing-masing lingkaran di satu titik, membentuk jembatan terpendek yang melintasi ruang antara kedua bentuk bundar tersebut.
Konsep ini tidak hanya sekadar teori, tetapi memiliki rumus pasti yang diturunkan dari teorema Pythagoras, yaitu akar dari kuadrat jarak pusat dikurangi kuadrat jumlah jari-jari. Pemahaman terhadap garis singgung dalam membuka solusi bagi berbagai masalah geometri, mulai dari konstruksi teknik hingga penghitungan jarak efektif antara dua objek melingkar.
Pengertian dan Konsep Dasar Garis Singgung Dalam Dua Lingkaran
Garis singgung dalam dua lingkaran adalah garis lurus yang menyinggung kedua lingkaran tersebut di titik-titik yang berbeda, dan garis tersebut memisahkan kedua lingkaran. Artinya, kedua lingkaran berada pada sisi yang sama dari garis singgung ini. Konsep ini berbeda dengan garis singgung luar, di mana kedua lingkaran berada pada sisi yang berlawanan dari garis singgungnya. Pemahaman akan perbedaan posisi relatif ini menjadi kunci dalam mengidentifikasi dan menghitung panjang garis singgung.
Definisi dan Sifat-Sifat Geometri Utama
Garis singgung dalam didefinisikan sebagai garis yang tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran di titik singgungnya. Sifat ini berlaku untuk kedua lingkaran. Jika ditarik garis dari pusat masing-masing lingkaran ke titik singgungnya, maka kedua garis jari-jari tersebut akan sejajar karena sama-sama tegak lurus terhadap garis singgung yang sama. Sifat penting lainnya adalah bahwa garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran (d) akan memotong garis singgung dalam di suatu titik.
Panjang ruas garis dari titik potong ini ke masing-masing titik singgung adalah sama.
Sebagai deskripsi tekstual, bayangkan dua lingkaran yang tidak saling berpotongan dan tidak satu di dalam lainnya, melainkan terpisah. Lingkaran pertama di sebelah kiri dengan jari-jari R yang lebih besar, dan lingkaran kedua di sebelah kanan dengan jari-jari r yang lebih kecil. Sebuah garis singgung dalam digambarkan di bagian bawah kedua lingkaran, melengkung sedikit ke bawah, menyentuh tepi bawah lingkaran kiri dan tepi bawah lingkaran kanan.
Garis penghubung pusat kedua lingkaran adalah horizontal. Garis singgung dalam, garis jari-jari ke titik singgung, dan garis pusat membentuk dua segitiga siku-siku yang sebangun.
Kondisi Terbentuknya Garis Singgung Dalam
Tidak semua pasangan lingkaran dapat memiliki garis singgung dalam. Pembentukannya bergantung pada jarak antara kedua pusat lingkaran (d) dan jumlah jari-jarinya (R + r). Syarat utama agar garis singgung dalam dapat ditarik adalah jarak pusat (d) harus lebih besar dari jumlah jari-jari kedua lingkaran. Secara matematis, kondisi ini dinyatakan sebagai d > R + r. Jika d sama dengan R + r, maka kedua lingkaran bersinggungan di dalam (saling bersentuhan di satu titik di dalam garis singgung), dan panjang garis singgung dalam menjadi nol.
Jika d kurang dari R + r, lingkaran akan berpotongan atau salah satu berada di dalam yang lain, sehingga garis singgung dalam tidak terdefinisi.
Rumus dan Penurunan Panjang Garis Singgung Dalam: Panjang Garis Singgung Dalam Dua Lingkaran
Panjang ruas garis singgung dalam dari titik potongnya dengan garis pusat hingga ke salah satu titik singgung dapat dihitung menggunakan sebuah rumus yang elegan. Rumus ini diturunkan dari penerapan teorema Pythagoras pada konstruksi geometri yang dibentuk oleh pusat lingkaran, titik singgung, dan titik potong garis.
Rumus Umum dan Penurunannya, Panjang Garis Singgung Dalam Dua Lingkaran
Source: slidesharecdn.com
Panjang garis singgung dalam (biasa dilambangkan dengan p) diberikan oleh rumus:
p = √(d²
(R + r)²)
Penurunan rumus ini dimulai dengan menggambar kedua lingkaran beserta garis singgung dalamnya. Tarik garis dari pusat lingkaran besar (O1) dan pusat lingkaran kecil (O2) masing-masing tegak lurus ke garis singgung, berturut-turut di titik T1 dan T
2. Karena O1T1 dan O2T2 sejajar, tarik garis dari O1 sejajar dengan garis singgung hingga memotong perpanjangan O2T2 di titik, sebutlah titik B. Terbentuk segitiga siku-siku O1BO2 dengan sudut siku-siku di B.
Panjang O1B sama dengan panjang garis singgung dalam (p). Panjang O2B adalah selisih antara O2T2 dan O1T1, yaitu (R + r). Sisi miring segitiga adalah jarak pusat d. Dengan teorema Pythagoras: d² = p² + (R + r)². Mengatur ulang persamaan tersebut menghasilkan rumus p = √(d²
-(R + r)²).
Tabel Variabel dan Contoh Numerik
Berikut adalah tabel yang menunjukkan hubungan antara variabel-variabel utama dalam perhitungan panjang garis singgung dalam.
| Jarak Pusat (d) | Jari-jari Besar (R) | Jari-jari Kecil (r) | Panjang Garis Singgung Dalam (p) |
|---|---|---|---|
| 20 cm | 8 cm | 5 cm | √(20²
|
| 15 cm | 6 cm | 4 cm | √(15²
|
| 10 cm | 7 cm | 3 cm | √(10²
|
Sebagai contoh spesifik, misalkan dua lingkaran dengan jarak pusat 13 cm. Lingkaran pertama berjari-jari 5 cm dan lingkaran kedua berjari-jari 3 cm. Untuk mencari panjang garis singgung dalamnya, kita terapkan rumus: p = √(13²
-(5 + 3)²) = √(169 – 64) = √105 cm. Hasil ini sekitar 10.25 cm. Nilai ini merepresentasikan panjang dari titik di garis singgung yang tegak lurus dengan garis penghubung pusat hingga ke salah satu titik singgung lingkaran.
Contoh Soal dan Penyelesaian Langkah Demi Langkah
Penerapan konsep garis singgung dalam sering muncul dalam masalah geometri yang kontekstual. Memahami langkah-langkah penyelesaiannya membantu dalam menginternalisasi rumus dan logika geometri yang mendasarinya.
Penyelesaian Soal Cerita Kontekstual
Dua buah menara air berbentuk silinder dengan dasar lingkaran berjari-jari 4 meter dan 2 meter diletakkan di suatu lapangan. Jarak antara pusat kedua dasar menara tersebut adalah 10 meter. Sebuah pipa air lurus akan dipasang di bawah tanah yang secara geometris merupakan garis singgung dalam dari kedua dasar lingkaran menara tersebut. Hitunglah panjang minimum pipa yang dibutuhkan dari titik tengahnya (titik di pipa yang terdekat dengan garis penghubung pusat menara) hingga ke dinding salah satu menara.
Langkah 1: Identifikasi variabel. Jari-jari lingkaran besar R = 4 m, jari-jari kecil r = 2 m, jarak pusat d = 10 m.
Langkah 2: Pastikan syarat garis singgung dalam terpenuhi. Periksa: d > R + r? 10 > 4+2 → 10 > 6 (Benar), jadi garis singgung dalam ada.
Langkah 3: Gunakan rumus panjang garis singgung dalam. p = √(d²
- (R + r)²) = √(10²
- (4+2)²) = √(100 – 36) = √64.
Langkah 4: Hitung hasilnya. p = 8 meter.
Jadi, panjang pipa dari titik tengahnya ke dinding menara adalah 8 meter. Perlu dicatat bahwa panjang total pipa yang berada di antara kedua titik singgung adalah dua kali nilai ini, yaitu 16 meter.
Tips dan Kasus Khusus
Beberapa hal penting perlu diperhatikan saat menyelesaikan masalah terkait garis singgung dalam.
- Selalu verifikasi kondisi d > R + r sebelum menggunakan rumus. Jika tidak terpenuhi, soal mungkin membahas tentang garis singgung luar atau kasus lain.
- Pahami bahwa hasil rumus (p) adalah panjang dari titik potong dengan garis pusat ke titik singgung, bukan panjang total garis singgung antara kedua titik singgung.
- Dalam gambar sketsa, pastikan garis jari-jari ke titik singgung selalu tegak lurus terhadap garis singgung.
Kasus khusus terjadi ketika dua lingkaran bersinggungan di dalam, yaitu ketika d = R + r. Dalam situasi ini, kedua lingkaran bersentuhan di satu titik. Jika kita substitusi nilai d = R + r ke dalam rumus, kita mendapatkan p = √((R+r)²
-(R+r)²) = √0 = 0. Implikasinya adalah bahwa “garis singgung dalam” yang dimaksud merosot menjadi titik singgung itu sendiri.
Panjangnya nol, yang secara geometris berarti tidak ada garis lurus yang dapat ditarik yang menyinggung kedua lingkaran dan memisahkannya selain titik kontak tersebut.
Aplikasi dan Penerapan dalam Masalah Geometri
Konsep garis singgung dalam bukan hanya sekadar perhitungan aljabar, tetapi memiliki aplikasi praktis dalam konstruksi geometri dan pemecahan masalah yang lebih kompleks. Pemahaman ini memperkaya alat yang tersedia untuk menganalisis hubungan spasial antar bentuk lingkaran.
Peran dalam Konstruksi dan Jarak Terpendek
Dalam konstruksi geometri, garis singgung dalam digunakan untuk membuat garis yang menghubungkan dua lingkaran dengan cara tertentu, sering menjadi dasar dalam desain teknis atau arsitektural yang melibatkan roda gigi atau elemen melingkar. Lebih lanjut, konsep ini terkait erat dengan ide jarak. Untuk dua lingkaran yang tidak berpotongan dan tidak satu di dalam lainnya, jarak terpendek antara kedua keliling lingkaran dapat dianggap sepanjang garis yang menghubungkan kedua pusat, dikurangi jumlah jari-jari.
Sementara garis singgung dalam memberikan jalur alternatif yang bersinggungan dengan kedua lingkaran.
Integrasi dengan Konsep Geometri Lain
Garis singgung dalam sering dipelajari bersama dengan garis singgung persekutuan luar. Keduanya membentuk keluarga garis singgung persekutuan. Dalam beberapa masalah, terutama yang melibatkan mencari panjang semua garis singgung persekutuan, rumus untuk garis singgung dalam dan luar (√(d²
-(R – r)²)) digunakan bersama-sama. Konsep ini juga terintegrasi dengan trigonometri, di mana sudut antara garis singgung dan garis penghubung pusat dapat dihitung menggunakan rasio trigonometri dari segitiga siku-siku yang terbentuk.
Sebagai demonstrasi masalah kompleks, misalkan diberikan dua lingkaran dengan data tertentu dan sebuah garis singgung dalamnya. Jika dari titik tengah garis singgung dalam ditarik garis ke kedua pusat lingkaran, dapat ditunjukkan bahwa kedua garis tersebut membagi sudut sama besar. Masalah seperti ini diselesaikan dengan membuktikan kekongruenan dua segitiga siku-siku yang dibentuk oleh titik tengah garis singgung, titik pusat, dan proyeksi titik pusat pada garis singgung.
Panjang garis singgung dalam (p) menjadi sisi yang penting dalam pembuktian kekongruenan segitiga-segitiga tersebut.
Latihan dan Eksplorasi Variasi Soal
Untuk menguasai materi ini, latihan dengan variasi parameter dan tingkat kesulitan sangat diperlukan. Eksplorasi terhadap hubungan antar variabel juga akan memperdalam pemahaman intuitif tentang perilaku geometri garis singgung dalam.
Soal Latihan Bertingkat
Berikut tiga soal latihan dengan tingkat kesulitan yang berbeda.
- (Mudah) Dua lingkaran berjari-jari 6 cm dan 4 cm. Jika jarak kedua pusatnya 13 cm, hitung panjang garis singgung dalamnya. Kunci Jawaban: √(169 – 100) = √69 ≈ 8.31 cm.
- (Sedang) Panjang garis singgung dalam dua lingkaran adalah 12 cm. Jika jari-jari lingkaran besar 8 cm dan jarak pusat 17 cm, tentukan jari-jari lingkaran kecil. Kunci Jawaban: Dari rumus 12² = 17²
(8+r)², diperoleh (8+r)² = 145, sehingga r = √145 – 8 ≈ 4.04 cm.
- (Sulit) Dua lingkaran dengan pusat P dan Q memiliki garis singgung dalam AB (A di lingkaran P, B di lingkaran Q). Jika panjang PA = 9 cm, QB = 4 cm, dan panjang garis singgung dalam dari titik potongnya dengan PQ ke titik A adalah 12 cm, hitung jarak PQ. Kunci Jawaban: p=12, R=9, r=4. Dari p² = d²
- (R+r)², maka 144 = d²
- 169, sehingga d²=313, d=√313 ≈ 17.69 cm.
Tabel Skenario Pembentukan Garis Singgung Dalam
Tabel berikut menyajikan berbagai skenario nilai d, R, dan r. Tentukanlah apakah garis singgung dalam dapat terbentuk.
| Jarak Pusat (d) | Jari-jari Besar (R) | Jari-jari Kecil (r) | Garis Singgung Dalam Terbentuk? (Ya/Tidak) |
|---|---|---|---|
| 14 | 10 | 5 | Tidak (karena 14 < 15) |
| 20 | 7 | 5 | Ya (20 > 12) |
| 9 | 5 | 4 | Tidak (9 = 9, bersinggungan dalam) |
| 6 | 5 | 3 | Tidak (6 < 8, lingkaran berpotongan) |
Eksplorasi dan Kasus Khusus
Untuk mengeksplorasi hubungan antara jarak pusat (d) dan panjang garis singgung dalam (p), buatlah asumsi jari-jari R dan r tetap. Misalkan R=5 dan r=3, sehingga (R+r)=8. Hitung nilai p untuk berbagai nilai d > 8, seperti d=9, 10, 12, 15, 20. Plot nilai-nilai ini atau amati polanya. Anda akan menemukan bahwa ketika d sangat mendekati 8, p mendekati 0.
Semakin besar nilai d, nilai p akan semakin besar, dan pertambahannya tidak linear.
Untuk kasus khusus ketika salah satu lingkaran berada di dalam lingkaran lain tetapi tidak konsentris (d < R - r), garis singgung dalam tidak terdefinisi. Sebagai gantinya, yang ada adalah dua garis singgung persekutuan luar. Dalam sketsa, lingkaran kecil berada sepenuhnya di dalam lingkaran besar, dengan pusatnya tidak berhimpit. Anda dapat menggambar dua garis lurus yang menyinggung kedua lingkaran dan tidak memotong garis penghubung pusat di antara kedua lingkaran. Jarak antara kedua garis singgung luar ini dapat dihitung dengan rumus yang melibatkan √(d² -(R - r)²).
Ulasan Penutup
Eksplorasi terhadap Panjang Garis Singgung Dalam Dua Lingkaran mengungkapkan keanggunan matematika dalam menyederhanakan hubungan spasial yang kompleks. Dari rumus yang elegan hingga penerapannya dalam soal cerita, konsep ini menegaskan bahwa garis lurus terpendek antara dua lingkaran seringkali adalah garis yang secara tepat menyentuh keduanya dari dalam, sebuah prinsip yang terus relevan dalam analisis geometris modern.
FAQ Lengkap
Apakah garis singgung dalam selalu lebih pendek dari garis singgung luar?
Ya, untuk dua lingkaran yang terpisah, garis singgung dalam selalu lebih pendek daripada garis singgung luar yang sesuai, karena jarak antara titik singgungnya lebih dekat.
Bagaimana jika jarak pusat (d) sama dengan jumlah jari-jari (R+r)?
Jika d = R + r, maka kedua lingkaran bersinggungan di dalam. Panjang garis singgung dalam menjadi nol, karena kedua titik singgungnya menyatu menjadi satu titik persinggungan tersebut.
Bisakah garis singgung dalam terbentuk jika satu lingkaran berada di dalam lingkaran lain?
Tidak bisa. Garis singgung dalam hanya terbentuk jika kedua lingkaran terletak terpisah di luar satu sama lain, atau bersinggungan di luar. Jika satu lingkaran berada di dalam yang lain, yang terbentuk adalah konsep yang berbeda.
Dalam dunia nyata, di mana konsep ini diterapkan?
Konsep ini digunakan dalam perancangan roda gigi, perencanaan jalur conveyor yang menghubungkan dua silinder, penentuan jarak aman antara pipa bundar, dan dalam algoritma grafis untuk deteksi tabrakan.
