Panjang Garis Singgung Persekutuan PQ dengan AP=10 cm BQ=2 cm AB=17 cm bukanlah sekadar angka acak, melainkan sebuah teka-teki geometri yang menantang untuk dipecahkan. Soal ini mengajak kita untuk menyelami konsep garis singgung persekutuan luar, di mana dua lingkaran dengan jari-jari berbeda ditarik sebuah garis lurus yang hanya menyentuh masing-masing lingkaran di satu titik tepat.
Pemahaman mendasar tentang hubungan antara jarak pusat kedua lingkaran (AB) dan selisih jari-jarinya (AP dan BQ) menjadi kunci utama. Melalui pendekatan rumus matematika yang telah teruji, kita dapat mengungkap nilai panjang PQ yang tersembunyi, mengubah data mentah menjadi sebuah solusi yang elegan dan akurat.
Konsep Dasar Garis Singgung Persekutuan
Dalam geometri, garis singgung persekutuan adalah garis lurus yang menyinggung dua buah lingkaran secara bersamaan. Garis ini menjadi elemen penting untuk menganalisis hubungan posisi antara dua lingkaran. Secara umum, garis singgung persekutuan terbagi menjadi dua jenis berdasarkan posisinya terhadap kedua lingkaran, yaitu garis singgung persekutuan luar dan garis singgung persekutuan dalam.
Pada konteks soal dengan data AP = 10 cm, BQ = 2 cm, dan AB = 17 cm, kita berhadapan dengan dua lingkaran yang memiliki pusat di titik A dan B. Panjang ruas garis AP mewakili jari-jari lingkaran pertama (R), sementara BQ adalah jari-jari lingkaran kedua (r). Jarak antara kedua pusat lingkaran ini dinyatakan oleh panjang ruas garis AB. Garis singgung persekutuan luarnya, yang kita sebut PQ, adalah garis yang berada di luar kedua lingkaran dan tidak memotong garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran.
Perbandingan Garis Singgung Persekutuan Luar dan Dalam, Panjang Garis Singgung Persekutuan PQ dengan AP=10 cm BQ=2 cm AB=17 cm
Source: slidesharecdn.com
Dalam geometri, perhitungan panjang garis singgung persekutuan luar PQ dengan data AP=10 cm, BQ=2 cm, dan AB=17 cm memerlukan ketelitian analitis yang sistematis, layaknya proses kompleks Tiga Tahap Pembentukan Urine oleh Ginjal Secara Berurutan yang berlangsung secara presisi. Keduanya sama-sama mengandalkan urutan langkah yang tepat untuk mencapai hasil yang akurat, sebagaimana nilai PQ yang ditemukan melalui penerapan rumus Pythagoras.
Memahami perbedaan mendasar antara kedua jenis garis singgung ini sangat krusial untuk identifikasi dan perhitungan yang tepat. Tabel berikut merangkum karakteristik utamanya.
| Aspect | Garis Singgung Persekutuan Luar | Garis Singgung Persekutuan Dalam |
|---|---|---|
| Posisi Relatif | Berada di luar kedua lingkaran dan tidak memotong garis penghubung pusat. | Berada di antara kedua lingkaran dan memotong garis penghubung pusat. |
| Rumus Panjang | √(d²
|
√(d²
|
| Jumlah Maksimum | Dua buah untuk dua lingkaran yang terpisah. | Dua buah untuk dua lingkaran yang terpisah. |
| Kondisi Keberadaan | d > |R – r| | d > R + r |
Rumus dan Pendekatan Matematika
Untuk menghitung panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran, digunakan sebuah rumus yang diturunkan dari penerapan Teorema Pythagoras. Rumus ini menghubungkan tiga besaran utama: jarak antar pusat (d), jari-jari lingkaran besar (R), dan jari-jari lingkaran kecil (r).
Rumus utama untuk panjang garis singgung persekutuan luar (P) adalah:
P = √(d²
(R – r)²)
Dalam soal kita, nilai-nilai yang diketahui adalah R = AP = 10 cm, r = BQ = 2 cm, dan d = AB = 17 cm. Langkah pertama adalah memastikan bahwa garis singgung tersebut memang ada. Karena jarak pusat (d = 17 cm) lebih besar dari selisih jari-jari (|10 – 2| = 8 cm), maka garis singgung persekutuan luar memang dapat digambarkan.
Selanjutnya, nilai-nilai ini siap untuk disubstitusikan ke dalam rumus.
Sebagai contoh penerapan dengan angka berbeda, misalkan terdapat dua lingkaran dengan R = 8 cm, r = 3 cm, dan d = 15 cm. Panjang garis singgung persekutuannya adalah P = √(15²
-(8 – 3)²) = √(225 – 25) = √200 = 10√2 cm. Proses ini memperkuat pemahaman bahwa selisih jari-jari merupakan komponen kunci dalam perhitungan.
Penyelesaian Langkah Demi Langkah: Panjang Garis Singgung Persekutuan PQ Dengan AP=10 Cm BQ=2 Cm AB=17 Cm
Menyelesaikan masalah ini memerlukan prosedur yang sistematis untuk meminimalisir kesalahan, terutama dalam operasi aljabar dan aritmetika. Pendekatan langkah demi langkah memastikan setiap bagian dari proses perhitungan dapat diikuti dan diverifikasi dengan mudah.
Prosedur untuk mencari panjang PQ adalah sebagai berikut:
- Identifikasi data: Tentukan nilai R (jari-jari lingkaran besar), r (jari-jari lingkaran kecil), dan d (jarak antar pusat).
- Pastikan syarat garis singgung persekutuan luar terpenuhi: d > (R – r).
- Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus P = √(d²
(R – r)²).
- Lakukan operasi hitung di dalam tanda kurung terlebih dahulu.
- Hitung kuadrat dari hasil operasi dalam kurung.
- Kurangi hasil kuadrat jarak pusat dengan hasil sebelumnya.
- Terakhir, akarkan hasil pengurangan tersebut.
Langkah kalkulasi untuk soal ini:R = 10 cm, r = 2 cm, d = 17 cm.
2. Cek syarat
17 cm > (10 – 2) = 8 cm → terpenuhi.
- P = √(17²
- (10 – 2)²)
- P = √(289 – (8)²)
- P = √(289 – 64)
- P = √225
- P = 15 cm
Kesalahan umum yang sering terjadi termasuk salah dalam menentukan operasi (misalnya, menggunakan penjumlahan R + r untuk persekutuan luar), kesalahan aritmetika dalam mengkuadratkan angka, atau lupa untuk menarik akar di akhir proses. Selalu double-check perhitungan pada setiap langkah dan pastikan rumus yang digunakan sesuai dengan jenis garis singgungnya.
Visualisasi dan Interpretasi Hasil
Bayangkan dua lingkaran yang tidak saling berpotongan. Lingkaran pertama, dengan pusat A, memiliki jari-jari yang lebih panjang. Lingkaran kedua, berpusat di B, berukuran lebih kecil dan terletak terpisah dari lingkaran pertama. Garis singgung persekutuan luar PQ digambarkan sebagai sebuah garis lurus yang menyinggung kedua lingkaran di titik P dan Q. Garis ini sejajar dengan garis singgung lainnya dan terletak di sisi luar kedua lingkaran.
Jika kita tarik garis dari pusat A dan B ke titik singgung masing-masing (membentuk AP dan BQ yang tegak lurus terhadap PQ), serta menarik garis AB, maka akan terbentuk sebuah trapesium siku-siku. Dari trapesium inilah, dengan menarik garis bantu, terbentuk segitiga siku-siku yang menjadi dasar penurunan rumus.
Hasil perhitungan sebesar 15 cm untuk panjang PQ memiliki makna yang jelas dalam ilustrasi geometris tersebut. Ini adalah jarak terpendek antara kedua titik singgung pada garis lurus tersebut. Angka ini menunjukkan seberapa “jauh” atau “terpisah” kedua lingkaran tersebut jika dihubungkan oleh garis singgung luar. Semakin panjang nilai PQ, semakin jauh pula posisi relatif kedua lingkaran itu.
Data dari soal dan hasil akhir perhitungan dapat disajikan secara informatif dalam tabel berikut.
| Variabel | Nilai (cm) | Keterangan |
|---|---|---|
| AP (R) | 10 | Jari-jari lingkaran pusat A |
| BQ (r) | 2 | Jari-jari lingkaran pusat B |
| AB (d) | 17 | Jarak antara pusat A dan B |
| PQ | 15 | Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar |
Aplikasi dan Variasi Soal
Panjang garis singgung persekutuan sangat sensitif terhadap perubahan nilai jari-jari atau jarak pusat. Sebagai contoh, jika jarak pusat (d) diperbesar sementara jari-jari tetap, maka panjang garis singgungnya akan semakin besar. Sebaliknya, jika selisih jari-jari (|R – r|) diperbesar, misalnya dengan membuat lingkaran pertama jauh lebih besar, maka panjang garis singgung akan cenderung mengecil untuk jarak pusat yang sama.
Strategi identifikasi jenis garis singgung bergantung pada konfigurasi lingkaran. Jika kedua lingkaran terpisah dan garis singgung tidak melintasi daerah antara kedua pusat, maka itu adalah persekutuan luar. Jika garis singgung tersebut memotong garis hubung pusat, maka itu adalah persekutuan dalam. Soal biasanya langsung menyebutkan jenisnya, namun memahami visualisasi adalah kunci untuk soal yang tidak menyebutkan secara eksplisit.
Berikut beberapa variasi latihan soal untuk mengasah kemampuan:
- Soal 1: Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 13 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusatnya 20 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luarnya. (Petunjuk: Gunakan rumus P = √(d²
-(R – r)²)). - Soal 2: Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm. Jika jarak kedua pusat 15 cm dan selisih jari-jarinya 3 cm, dapatkah kamu menentukan panjang jari-jari kedua lingkaran? (Petunjuk: Susun persamaan berdasarkan rumus dan selesaikan).
- Soal 3: Diberikan R = 9 cm, r = 4 cm, dan d = 15 cm. Selidiki jenis garis singgung persekutuan (luar atau dalam) yang dapat dibuat dan hitung panjangnya. (Petunjuk: Periksa kedua syarat keberadaan, d > |R – r| untuk luar dan d > R + r untuk dalam).
Ringkasan Penutup
Dengan demikian, perhitungan panjang garis singgung persekutuan luar telah mengantarkan pada jawaban akhir, yaitu √185 cm. Nilai ini bukanlah akhir, melainkan sebuah bukti nyata penerapan teori geometri dalam menyelesaikan masalah konkret. Pemahaman terhadap langkah-langkah kalkulasi dan visualisasi geometris yang telah diuraikan diharapkan dapat menjadi bekal untuk menyelesaikan berbagai variasi soal serupa dengan lebih percaya diri dan tepat.
Jawaban untuk Pertanyaan Umum
Apakah hasil panjang garis singgung persekutuan luar selalu lebih pendek dari jarak antar pusat lingkaran (AB)
Ya, dalam几乎所有kasus, panjang garis singgung persekutuan luar (PQ) memang selalu lebih kecil dari jarak antar pusat (AB). Hal ini dapat dilihat dari rumusnya, PQ = √(AB²
-(R – r)²), di mana nilai (R – r)² selalu positif sehingga AB² dikurangi suatu nilai pasti menghasilkan angka yang lebih kecil dari AB², dan akarnya pun lebih kecil dari AB.
Bagaimana jika jarak antar pusat (AB) sama dengan selisih jari-jari (AP – BQ)
Perhitungan panjang garis singgung persekutuan luar PQ, dengan AP=10 cm, BQ=2 cm, dan AB=17 cm, memerlukan pemahaman konseptual yang mendalam, layaknya memahami proses biologis yang kompleks seperti bagaimana Protein Dicerna pada Organ. Keduanya sama-sama membutuhkan analisis yang cermat dan teliti untuk menemukan solusi yang akurat, dalam hal ini menerapkan rumus akar kuadrat dari (AB² – (AP – BQ)²) untuk mendapatkan hasil akhir.
Jika AB = (AP – BQ), maka nilai di dalam akar pada rumus menjadi AB²
-(AP – BQ)² = 0. Akar dari 0 adalah 0, sehingga panjang PQ = 0 cm. Secara geometris, ini berarti kedua lingkaran bersinggungan di dalam, sehingga tidak ada garis singgung persekutuan luar yang dapat ditarik.
Mengapa kita menggunakan selisih jari-jari (R – r) untuk garis singgung persekutuan luar, bukan jumlahnya
Dalam geometri, panjang garis singgung persekutuan luar PQ, dengan data AP=10 cm, BQ=2 cm, dan AB=17 cm, dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras setelah mencari selisih jari-jari dan jarak antar titik pusat. Proses visualisasi soal seperti ini sangat terbantu dengan penggunaan Manfaat Model Benda fisik atau diagram, yang memungkinkan kita untuk melihat hubungan spasial antar unsur sehingga perhitungan teoretis PQ menjadi lebih konkret dan mudah dipahami.
Karena pada konfigurasi garis singgung persekutuan luar, proyeksi horizontal dari jarak antar pusat (AB) adalah sepanjang selisih jari-jari kedua lingkaran. Sementara untuk garis singgung persekutuan dalam, proyeksinya adalah jumlah jari-jari (R + r), yang kemudian digunakan dalam rumus yang berbeda, yaitu √(AB²
-(R + r)²).
