Panjang sisi persegi panjang dari kawat 50 cm, luas 84 cm², terdengar seperti teka-teki sederhana, bukan? Tapi jangan salah, di balik angka-angka itu tersimpan cerita menarik tentang hubungan antara keliling dan luas yang bisa bikin otak sedikit berasap. Soal seperti ini adalah klasik yang sering muncul, menguji pemahaman kita tentang bagaimana batasan panjang kawat membentuk beragam kemungkinan bentuk, dan bagaimana kita memilih satu yang tepat.
Mari kita bongkar bersama. Intinya, kita punya seutas kawat sepanjang 50 sentimeter yang dibentuk menjadi persegi panjang. Dari semua bentuk persegi panjang yang mungkin, kita harus menemukan satu spesial yang punya luas tepat 84 sentimeter persegi. Proses menemukannya melibatkan sedikit aljabar, logika, dan pemahaman bahwa dalam matematika, seringkali hanya satu jawaban yang masuk akal di dunia nyata, meski secara hitungan ada beberapa kandidat.
Memahami Masalah: Kawat, Keliling, dan Luas
Bayangkan kamu punya seutas kawat sepanjang 50 sentimeter. Kawat itu lentur dan bisa kita bengkokkan untuk membentuk sebuah bingkai, tepatnya sebuah persegi panjang. Nah, panjang kawat yang 50 cm itu bukanlah sekadar angka; ia adalah batas total dari semua sisi persegi panjang yang akan kita buat. Dalam bahasa matematika, panjang kawat itu sama dengan keliling dari persegi panjang tersebut.
Kita punya satu petunjuk lagi: luas daerah di dalam bingkai persegi panjang itu haruslah 84 cm². Ini seperti punya sebidang tanah kecil yang harus kita pagari dengan kawat sepanjang 50 meter, dan kita sudah tahu luas tanahnya. Dua informasi ini—keliling dan luas—adalah kunci untuk menemukan ukuran panjang dan lebar sebenarnya dari persegi panjang itu. Rumus dasarnya sederhana: keliling adalah dua kali jumlah panjang dan lebar, sementara luas adalah hasil kali keduanya.
Hubungan Kawat dengan Keliling dan Luas
Jika kita sebut panjang sebagai ‘p’ dan lebar sebagai ‘l’, maka dua informasi dari soal bisa kita terjemahkan menjadi dua persamaan yang saling terkait. Pertama, kelilingnya: 2 × (p + l) =
50. Kedua, luasnya: p × l = 84. Dari sini, kita bisa menjelajahi berbagai kemungkinan pasangan angka untuk p dan l yang memenuhi salah satu persyaratan, lalu melihat mana yang memenuhi keduanya secara bersamaan.
| Panjang (p) | Lebar (l) | Keliling 2(p+l) | Luas (p×l) |
|---|---|---|---|
| 20 cm | 5 cm | 50 cm | 100 cm² |
| 15 cm | 10 cm | 50 cm | 150 cm² |
| 14 cm | 11 cm | 50 cm | 154 cm² |
| 12 cm | 13 cm | 50 cm | 156 cm² |
| 12 cm | 5 cm | 34 cm | 60 cm² |
Perhatikan tabel di atas. Baris-baris pertama menunjukkan pasangan yang kelilingnya tepat 50 cm, tetapi luasnya jauh meleset dari 84 cm². Baris terakhir sengaja saya selipkan untuk menunjukkan sesuatu: angka 12 dan 5 memang menghasilkan luas 60 (mendekati 84), tetapi kelilingnya hanya 34 cm, tidak memenuhi syarat panjang kawat. Dari semua kemungkinan tak terhingga, hanya akan ada satu pasangan unik yang membuat kedua persamaan—untuk keliling dan luas—benar-benar terpenuhi dalam waktu bersamaan.
Itulah solusi yang kita cari.
Menemukan Ukuran Sisi Persegi Panjang
Setelah memahami masalahnya, sekarang kita masuk ke tahap penyelesaian yang lebih teknis namun tetap elegan. Kita akan mengubah cerita tentang kawat dan luas menjadi bahasa matematika yang presisi, lalu menyelesaikannya langkah demi langkah. Proses ini seperti menyusun puzzle; setiap langkah membawa kita lebih dekat ke gambar utuh.
Formulasi dan Penyelesaian Sistem Persamaan
Dari informasi yang ada, kita peroleh sistem persamaan berikut:
(p + l) = 50
p × l = 84
Langkah pertama adalah menyederhanakan. Bagi persamaan keliling dengan 2, sehingga didapat p + l =
25. Sekarang kita punya dua persamaan yang lebih ramah:
- p + l = 25
- p × l = 84
Dari sini, kita bisa menyatakan salah satu variabel. Misalnya, l = 25 – p. Selanjutnya, substitusikan ini ke dalam persamaan luas: p × (25 – p) =
84. Ini akan membawa kita ke sebuah persamaan kuadrat: -p² + 25p – 84 = 0, atau lebih rapi, p²
-25p + 84 = 0.
Langkah Kunci Penyelesaian
Berikut adalah rangkaian langkah sistematis dari awal hingga akhir:
- Terjemahkan soal menjadi sistem persamaan: 2(p+l)=50 dan p×l=84.
- Sederhanakan persamaan keliling menjadi p + l = 25.
- Nyatakan l dalam p: l = 25 – p.
- Substitusi ke persamaan luas: p(25 – p) = 84.
- Ubah ke bentuk persamaan kuadrat standar: p² – 25p + 84 = 0.
- Faktorkan persamaan tersebut menjadi (p – 21)(p – 4) = 0.
- Akar-akarnya adalah p = 21 atau p = 4.
- Substitusi kembali ke p + l = 25. Jika p=21, maka l=4. Jika p=4, maka l=21.
Dari dua kemungkinan ini, kita mendapatkan pasangan ukuran yang sama secara esensi: 21 cm dan 4 cm. Dalam konteks persegi panjang, mana yang disebut panjang dan mana yang disebut lebar hanyalah konvensi; yang penting ukuran sisinya adalah 21 cm dan 4 cm.
Penyelesaian Alternatif dengan Pemfaktoran Cepat
Ada cara lain yang lebih langsung, hampir seperti trik. Kita tahu p + l = 25 dan p × l =
84. Kita mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya 25 dan jika dikalikan hasilnya
84. Kita bisa mencoba pasangan faktor dari 84: 12 dan 7 (jumlah 19), 14 dan 6 (jumlah 20), 21 dan 4 (jumlah 25!). Nah, ketemu.
Ini adalah penerapan langsung dari sifat akar-akar persamaan kuadrat tanpa harus melalui proses aljabar panjang. Metode ini sangat efektif untuk angka-angka yang mudah difaktorkan.
Aplikasi dan Variasi Soal Serupa: Panjang Sisi Persegi Panjang Dari Kawat 50 cm, Luas 84 cm²
Struktur soal “diketahui keliling dan luas, cari panjang sisi” ini adalah klasik. Ia tidak hanya hidup di buku matematika SMP, tapi juga dalam berbagai konteks praktis. Misalnya, menghitung dimensi kebun, ukuran bingkai foto, atau layout sebuah ruangan kecil. Dengan menguasai pola penyelesaiannya, kamu bisa menghadapi berbagai variasi angka dengan percaya diri.
Contoh Variasi Soal dan Perbandingannya
Berikut tiga contoh variasi soal dengan struktur yang sama namun angka dan konteks yang berbeda.
| Konteks Soal | Keliling (K) | Luas (L) | Langkah Penyelesaian Singkat |
|---|---|---|---|
| Bingkai Kayu | 36 cm | 77 cm² | p+l=18, p×l=
77. Faktor 77 11& 7. Solusi 11 cm & 7 cm. |
| Kebun Sayur | 40 m | 96 m² | p+l=20, p×l=
96. Faktor 96 12& 8. Solusi 12 m & 8 m. |
| Kolam Ikan | 26 m | 40 m² | p+l=13, p×l=
40. Faktor 40 8& 5. Solusi 8 m & 5 m. |
Strategi Umum Penyelesaian, Panjang sisi persegi panjang dari kawat 50 cm, luas 84 cm²
Strategi untuk semua tipe soal ini selalu konsisten, bagaikan resep yang teruji. Pertama, selalu mulai dengan menuliskan rumus dasar: K = 2(p+l) dan L = p×l. Kedua, gunakan informasi keliling untuk mendapatkan hubungan penjumlahan (p+l = K/2). Ketiga, gunakan hubungan ini untuk menyatakan satu variabel dengan variabel lain.
Nah, coba kita hitung, dari kawat 50 cm bisa dibentuk persegi panjang dengan luas 84 cm². Hitungannya mirip kayak merancang pola, perlu ketelitian biar presisi. Soal presisi, kamu wajib cek Bahan Baju yang Dipakai Penari Ngarojeng buat tahu detail kain tradisional yang nggak main-main. Kembali ke hitungan tadi, mencari panjang dan lebarnya itu tantangan seru yang butuh logika tepat, kayak memadukan estetika dan fungsi.
Keempat, substitusi ke dalam persamaan luas, yang akan menghasilkan sebuah persamaan kuadrat dalam satu variabel. Kelima, selesaikan persamaan kuadrat itu, baik dengan pemfaktoran, rumus ABC, atau melengkapkan kuadrat. Terakhir, jangan lupa untuk memeriksa kembali solusi yang didapat dengan mensubstitusikannya ke kedua persamaan awal. Pola ini berlaku universal, terlepas dari angkanya 50 dan 84 atau yang lainnya.
Visualisasi dan Penjelasan Geometris
Mari kita bayangkan prosesnya secara lebih hidup. Kamu memegang seutas kawat lurus sepanjang 50 cm. Ketika kamu membengkokkannya untuk membentuk persegi panjang, titik awal dan akhir kawat bertemu. Setiap sentimeter kawat menjadi bagian dari sisi-sisinya. Jika kamu memutuskan untuk membuat sisi panjangnya sangat besar, misalnya 24 cm, maka otomatis, karena total keliling tetap, sisi lebarnya akan terpaksa menjadi sangat kecil, yaitu hanya 1 cm (karena 24+24+1+1=50).
Bentuknya akan seperti sebuah pita yang sangat memanjang dan kurus. Sebaliknya, jika kamu menginginkan bentuk yang hampir menyerupai persegi, misalnya panjang dan lebar sama-sama sekitar 12.5 cm, bentuknya akan lebih padat dan kompak. Luasnya pun akan berubah-ubah secara dramatis mengikuti proporsi ini.
Prinsip penting di sini adalah hubungan berbalik nilai antara panjang dan lebar untuk keliling tetap: ketika satu sisi diperpanjang, sisi lainnya harus dipersingkat. Namun, luas tidak berubah secara linear; ia mencapai nilai maksimum tertentu justru ketika bentuknya mendekati persegi, dan akan mengecil jika bentuknya terlalu memanjang atau terlalu lebar.
Untuk solusi kita, persegi panjang berukuran 21 cm x 4 cm. Coba visualisasikan: sebuah bentuk yang cukup panjang, tiga kali lebih panjang daripada lebarnya. Bayangkan sebuah buku tulis yang agak tipis, atau sebuah smartphone lama dengan layar memanjang. Proporsinya jelas bukan persegi, tetapi ia memenuhi syarat dengan sempurna: menggunakan tepat 50 cm kawat dan mengurung area seluas 84 cm² di dalamnya.
Jika digambar, bentuknya akan terlihat cukup signifikan perbedaan antara sisi yang panjang dan yang pendek.
Pemeriksaan dan Interpretasi Hasil
Setelah mendapatkan angka 21 dan 4, pekerjaan kita belum selesai. Seorang yang cermat selalu melakukan pengecekan. Ini bukan sekadar formalitas, tapi cara untuk memastikan tidak ada selip hitung atau kesalahan logika yang terselip di tengah proses. Selain itu, pengecekan membantu kita memahami mengapa ada dua jawaban dari persamaan kuadrat, tetapi hanya satu interpretasi yang masuk akal.
Proses Pemeriksaan Kebenaran Solusi
Mari kita uji pasangan (p=21, l=4). Pertama, untuk keliling: 2 × (21 + 4) = 2 × 25 = 50 cm. Cocok. Kedua, untuk luas: 21 × 4 = 84 cm². Cocok.
Hasil ini konfirmasi bahwa solusi kita benar. Proses substitusi ini sederhana tetapi sangat powerful untuk menghilangkan keraguan.
Kesalahan Umum yang Perlu Diwaspadai
Beberapa jebakan sering muncul. Pertama, lupa membagi keliling dengan 2 saat menyederhanakan persamaan p+l. Kedua, kesalahan tanda saat memindahkan ruas dalam persamaan kuadrat, misalnya dari p(25-p)=84 menjadi p²
-25p – 84 = 0 (seharusnya +84). Ketiga, kesalahan dalam memfaktorkan bilangan
84. Keempat, yang paling konseptual: setelah mendapatkan akar p=21 dan p=4, ada yang lupa mencari nilai l-nya, atau bingung menentukan mana panjang dan mana lebar.
Dualitas Solusi Matematis dan Kontekstual
Source: cilacapklik.com
Persamaan kuadrat p²
-25p + 84 = 0 memang memberikan dua akar: 21 dan
4. Secara matematis murni, kedua angka ini sama-sama valid sebagai solusi untuk variabel ‘p’. Namun, ketika kita kembalikan ke konteks dunia nyata—sebuah persegi panjang dengan sisi panjang dan lebar—kedua solusi ini sebenarnya merepresentasikan satu objek yang sama. Jika kita sebut 21 sebagai panjang, maka 4 adalah lebarnya.
Jika kita balik, sebut 4 sebagai panjang, maka 21 adalah lebarnya. Pada dasarnya, kita mendapatkan satu set ukuran sisi: 21 cm dan 4 cm. Dalam soal, biasanya kita menyebut nilai yang lebih besar sebagai panjang. Jadi, interpretasi kontekstual yang diterima adalah panjang = 21 cm dan lebar = 4 cm. Inilah keindahan matematika: ia memberikan semua kemungkinan, dan kita yang memilih yang paling sesuai dengan realitas soal.
Soal kawat sepanjang 50 cm yang dibentuk persegi panjang dengan luas 84 cm² itu bikin mikir, ya? Sama kayak kita ngitung sisa lahan kosong di kebun, nih. Nah, biar lebih paham soal cara ngitung area yang tersisa, coba cek penjelasan tentang Luas Tanah Belum Ditanami Setelah Penanaman Bunga dan Sayur. Konsepnya mirip, lho! Jadi, setelah tahu triknya, kamu pasti lebih jago cari panjang dan lebar dari kawat tadi.
Penutup
Jadi, begitulah ceritanya. Dari seutas kawat 50 cm, kita berhasil mengungkap dimensi persegi panjang ajaib seluas 84 cm². Proses ini mengajarkan lebih dari sekadar memasukkan angka ke rumus; ini tentang berpikir sistematis, memeriksa konsistensi, dan memahami bahwa matematika seringkali adalah seni memilih solusi yang paling masuk akal. Selanjutnya, jika bertemu soal serupa, ingatlah langkah-langkahnya: ubah cerita jadi persamaan, selesaikan dengan teliti, dan selalu uji kembali jawabanmu.
Selamat berpetualang dengan angka!
Pertanyaan Umum yang Sering Muncul
Apakah mungkin ada lebih dari satu ukuran persegi panjang yang memenuhi syarat keliling 50 cm dan luas 84 cm²?
Secara matematis, persamaan kuadrat yang dihasilkan akan memberikan dua pasangan solusi. Namun, dalam konteks ukuran sisi persegi panjang, hanya satu pasangan yang valid di mana panjang dan lebar adalah bilangan positif dan panjang biasanya lebih besar dari lebar. Pasangan lainnya seringkali hanya kebalikan (tukar posisi panjang dan lebar) atau melibatkan bilangan negatif yang tidak masuk akal untuk ukuran panjang.
Bagaimana jika kawatnya bukan dibentuk persegi panjang, tetapi bangun datar lain seperti segitiga atau trapesium?
Soalnya akan menjadi jauh lebih kompleks karena membutuhkan lebih banyak informasi. Untuk segitiga, misalnya, keliling 50 cm saja tidak cukup untuk menentukan luas yang unik. Diperlukan informasi tambahan seperti jenis segitiga atau panjang salah satu sisi secara spesifik. Soal persegi panjang dengan keliling dan luas diketahui menjadi populer karena solusinya elegan dan dapat diselesaikan dengan sistem dua persamaan.
Mengapa kita harus memeriksa ulang jawaban dengan substitusi ke rumus keliling dan luas?
Pemeriksaan ulang adalah langkah kritis untuk memastikan tidak ada kesalahan hitung atau logika selama proses penyelesaian. Dengan mensubstitusi nilai panjang dan lebar yang ditemukan ke dalam rumus awal, kita memverifikasi bahwa kedua kondisi (keliling 50 cm DAN luas 84 cm²) benar-benar terpenuhi secara simultan. Ini adalah cara sederhana untuk memastikan solusi kita akurat dan kontekstual.
Apakah soal tipe ini sering muncul dalam ujian?
Sangat sering. Soal cerita tentang mencari dimensi suatu bidang (biasanya persegi panjang) ketika diketahui keliling dan luasnya adalah materi klasik dalam aljabar dan penerapan persamaan kuadrat. Soal ini menguji kemampuan menerjemahkan masalah kata ke dalam model matematika dan menyelesaikannya, sehingga menjadi favorit dalam berbagai tes kemampuan.
