Persamaan Garis Hasil Rotasi 90° Searah Jarum Jam dan Translasi (0,5) dalam Geometri

Persamaan Garis Hasil Rotasi 90° Searah Jarum Jam dan Translasi (0,5) membuka pintu menuju dunia dinamis transformasi geometri. Bayangkan sebuah garis di papan koordinat tidak hanya bergeser, tetapi juga berputar layaknya tarian yang terencana, menciptakan bentuk baru dengan aturan matematika yang elegan. Proses ini mengubah pandangan statis menjadi sesuatu yang hidup dan penuh gerak.

Topik ini mengajak untuk menelusuri perjalanan sebuah garis lurus yang mengalami dua transformasi beruntun: sebuah putaran tajam sebesar 90 derajat mengikuti arah jarum jam, diikuti oleh pergeseran halus sejauh 5 satuan ke atas. Setiap langkah akan mengubah karakteristik garis, dari kemiringan hingga posisinya, menghasilkan persamaan akhir yang unik dan dapat diprediksi melalui prosedur yang sistematis.

Konsep Dasar Transformasi Geometri

Sebelum kita membedah persamaan garis yang mengalami rotasi dan translasi, penting untuk memahami fondasinya. Transformasi geometri adalah operasi memindahkan atau mengubah bentuk suatu objek geometri, seperti titik, garis, atau bangun datar. Dua jenis transformasi yang akan kita gunakan, yaitu rotasi (perputaran) dan translasi (pergeseran), memiliki karakter dan aturan yang berbeda namun dapat dikombinasikan.

Rotasi memutar setiap titik pada suatu objek dengan sudut dan pusat rotasi tertentu. Bayangkan memutar sebuah gambar di sekitar suatu poros. Sementara itu, translasi menggeser setiap titik pada objek dengan jarak yang sama ke arah yang ditentukan, seperti menggeser buku di atas meja tanpa mengubah orientasinya. Kombinasi keduanya dapat menghasilkan posisi dan orientasi objek yang baru.

Aturan Rotasi 90° Searah Jarum Jam

Source: geogebra.org

Rotasi dengan pusat di titik asal (0,0) mengikuti pola yang sistematis. Untuk rotasi 90° searah jarum jam, posisi suatu titik (x, y) akan berubah secara spesifik. Bayangkan sumbu koordinat diputar; sumbu X positif bergeser ke arah sumbu Y negatif. Aturan transformasinya adalah:

(x, y) → (y, -x)

Artinya, nilai koordinat x yang baru adalah nilai y lama, sedangkan nilai koordinat y yang baru adalah negatif dari nilai x lama. Aturan ini menjadi kunci untuk memanipulasi persamaan garis.

Pengaruh Translasi (0,5)

Translasi dinyatakan dengan pasangan bilangan, dalam hal ini (0,5). Angka pertama (0) menunjukkan pergeseran horizontal, dan angka kedua (5) menunjukkan pergeseran vertikal. Translasi (0,5) berarti tidak ada pergeseran ke kiri atau kanan, tetapi setiap titik pada objek digeser sejauh 5 satuan ke atas (arah sumbu Y positif). Aturan transformasinya sederhana:

(x, y) → (x, y + 5)

Perbandingan Rotasi dan Translasi

Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas, tabel berikut merangkum perbedaan mendasar antara kedua transformasi ini berdasarkan karakteristik utamanya.

Menganalisis Persamaan Garis Awal: Persamaan Garis Hasil Rotasi 90° Searah Jarum Jam Dan Translasi (0,5)

Setiap transformasi dimulai dari objek awal. Dalam konteks ini, objek awal kita adalah sebuah garis lurus. Garis lurus pada bidang Kartesius paling sering direpresentasikan dalam bentuk persamaan linear. Bentuk ini memudahkan kita untuk mengidentifikasi karakteristik garis dan melakukan manipulasi aljabar nantinya.

Bentuk Umum dan Karakteristik Garis, Persamaan Garis Hasil Rotasi 90° Searah Jarum Jam dan Translasi (0,5)

Bentuk umum persamaan garis lurus yang sering digunakan adalah y = mx + c, di mana m adalah gradien atau kemiringan garis, dan c adalah konstanta yang menunjukkan titik potong garis dengan sumbu Y. Titik potong dengan sumbu X dapat ditemukan dengan mensubstitusi y = 0 ke dalam persamaan. Gradien m menentukan seberapa curam garis tersebut; nilai positif berarti garis naik ke kanan, nilai negatif berarti turun ke kanan.

Contoh Garis Awal

Mari kita ambil sebuah contoh konkret untuk dijadikan bahan analisis sepanjang pembahasan. Perhatikan persamaan garis berikut:

y = 2x + 1

Garis ini memiliki gradien (m) = 2 dan memotong sumbu Y di titik (0, 1). Untuk menemukan titik potong sumbu X, kita set y=0: 0 = 2x + 1, sehingga x = -0.5. Jadi, garis juga memotong sumbu X di titik (-0.5, 0). Secara visual, gambaran garis ini adalah sebuah garis lurus yang miring ke atas dari kiri ke kanan.

Garis dimulai dari kuadran II (melalui titik (-0.5, 0)), naik dengan kemiringan yang cukup curam (setiap pergeseran 1 satuan ke kanan, naik 2 satuan), dan memotong sumbu Y di titik (0,1) sebelum terus ke kuadran I.

Prosedur Rotasi 90° Searah Jarum Jam

Proses rotasi pada persamaan garis dilakukan dengan memutar setiap titik yang memenuhi persamaan awal. Daripada memutar tak terhingga banyaknya titik, kita memanfaatkan aturan transformasi koordinat untuk mencari hubungan antara variabel x dan y yang baru.

Langkah Rotasi pada Sebuah Titik

Misalkan kita memiliki titik A(3, 4). Untuk merotasinya 90° searah jarum jam dengan pusat (0,0), kita terapkan aturan (x, y) → (y, -x). Koordinat x baru adalah y lama = 4. Koordinat y baru adalah negatif x lama = -3. Jadi, bayangan titik A setelah rotasi adalah A'(4, -3).

Proses ini berlaku untuk semua titik.

Memutar Seluruh Persamaan Garis

Kita terapkan aturan yang sama pada persamaan garis y = 2x +
1. Jika (x, y) adalah titik pada garis asal, maka setelah rotasi, titik tersebut akan memiliki koordinat (x’, y’) dimana:

• x’ = y
• y’ = -x

Dari hubungan ini, kita dapat nyatakan variabel lama dalam variabel baru: y = x’ dan x = -y’. Selanjutnya, kita substitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan garis asal (y = 2x + 1).

Substitusi: (x’) = 2(-y’) +
1. Ini menghasilkan x’ = -2y’ +
1. Untuk menuliskan persamaan bayangan dalam bentuk baku, kita atur ulang menjadi hubungan y’ terhadap x’: -2y’ = x’
-1, sehingga y’ = -(1/2)x’ + 1/2. Dengan menghilangkan tanda aksen (‘), kita peroleh persamaan garis hasil rotasi.

y = -½x + ½

Perubahan yang jelas terlihat adalah gradien. Gradien awal 2 berubah menjadi -½ setelah rotasi. Hasil ini sesuai dengan intuisi geometris: memutar garis 90° searah jarum jam akan mengubah kemiringannya secara drastis.

Penerapan Translasi (0,5) pada Hasil Rotasi

Setelah garis kita putar, langkah selanjutnya adalah menggesernya ke atas. Translasi (0,5) berarti kita menambahkan 5 pada nilai y dari setiap titik pada garis hasil rotasi, tanpa mengubah nilai x-nya. Operasi ini secara langsung memengaruhi konstanta dalam persamaan.

Proses Translasi pada Persamaan

Kita mulai dari persamaan hasil rotasi, y = -½x + ½. Translasi (0,5) mengubah setiap titik (x, y) menjadi (x, y + 5). Jika kita misalkan (x”, y”) adalah koordinat akhir setelah translasi, maka hubungannya adalah x” = x dan y” = y + 5, yang berarti y = y”
-5.

Substitusikan y = y”
-5 ke dalam persamaan rotasi: (y”
-5) = -½x” + ½. Selanjutnya, kita selesaikan untuk y”: y” = -½x” + ½ +
5. Hasil akhir persamaan garis setelah kedua transformasi adalah:

y = -½x + 5.5

Efek translasi sangat jelas: konstanta ½ berubah menjadi 5.5, atau naik sebesar 5 satuan. Ini menunjukkan seluruh garis digeser vertikal ke atas sejauh 5 satuan, sementara kemiringannya tetap -½.

Perbandingan Koordinat Titik Contoh

Mari kita lihat perjalanan sebuah titik dari garis asal, melalui rotasi, hingga translasi. Kita ambil titik potong sumbu Y garis awal, yaitu A(0, 1).

Dapat diperiksa bahwa titik-titik akhir seperti (1,5) dan (5,3) memang memenuhi persamaan akhir y = -½x + 5.5.

Menyusun Persamaan Akhir dan Verifikasi

Dari prosedur bertahap di atas, kita telah menyusun persamaan akhir transformasi gabungan rotasi 90° searah jarum jam dan translasi (0,5) terhadap garis y = 2x + 1. Proses ini dapat dirumuskan dalam satu langkah aljabar yang padat.

Persamaan Akhir Transformasi Gabungan

Menggabungkan kedua aturan transformasi: sebuah titik (x, y) pada garis asal pertama berubah menjadi (y, -x) karena rotasi, kemudian berubah lagi menjadi (y, -x + 5) karena translasi. Jadi, hubungan akhirnya adalah x’ = y dan y’ = -x + 5, di mana (x’, y’) adalah koordinat akhir. Dari sini, x = -y’ + 5 dan y = x’. Substitusi ke persamaan awal y = 2x + 1 menghasilkan: x’ = 2(-y’ + 5) + 1 → x’ = -2y’ + 10 + 1 → x’ = -2y’ +
11.

Atur ulang menjadi 2y’ = -x’ + 11, sehingga diperoleh persamaan akhir yang sama:

y = -½x + 5.5

Metode Verifikasi Kebenaran

Verifikasi dapat dilakukan dengan dua cara. Pertama, dengan mengambil beberapa titik pada garis asal, menghitung bayangannya melalui transformasi titik-per-titik, lalu memeriksa apakah titik bayangan tersebut memenuhi persamaan akhir. Kedua, dengan memeriksa sifat transformasi. Misalnya, translasi (0,5) seharusnya hanya mengubah konstanta. Karena hasil rotasi adalah y = -½x + ½, maka menambahkan 5 pada konstanta secara langsung menghasilkan y = -½x + 5.5, yang konsisten dengan perhitungan kita.

Contoh Perhitungan Lengkap untuk Kasus Lain

Mari kita ambil persamaan garis awal yang berbeda: y = -x + 3. Gradien m = -1, memotong sumbu Y di (0,3).

1. Rotasi 90° Searah Jarum Jam: Substitusi x = -y’ dan y = x’ ke persamaan awal.
   x’ = -(-y’) + 3 → x’ = y’ + 3. Atau, y’ = x’
   –
   3. Jadi, hasil rotasi: y = x – 3.
2. Translasi (0,5): Geser vertikal dengan menambah 5 pada konstanta.
   Persamaan akhir: y = x – 3 + 5 → y = x + 2.

Verifikasi dengan titik: Ambil titik (3,0) dari garis awal. Setelah rotasi: (0, -3). Setelah translasi: (0, -3+5) = (0,2). Titik (0,2) memang memenuhi persamaan akhir y = x + 2.

Aplikasi dan Contoh Soal Bervariasi

Pemahaman konsep menjadi lebih kokoh ketika diterapkan pada berbagai situasi. Berikut adalah beberapa contoh soal dengan tingkat kompleksitas berbeda untuk melatih penerapan rotasi dan translasi pada persamaan garis.

Contoh Soal Tingkat Dasar

Tentukan persamaan bayangan garis y = 4x – 2 setelah dirotasi 90° searah jarum jam dengan pusat (0,0), kemudian ditranslasikan oleh T(0, -1).

• Strategi: Ikuti langkah standar. Pertama, lakukan rotasi: substitusi x’ = y dan y’ = -x, atau x = -y’ dan y = x’. Kedua, untuk translasi (0, -1), kurangi 1 dari nilai y hasil rotasi (atau konstanta persamaan).
• Penyelesaian:
  1. Rotasi: Substitusi ke y = 4x – 2: x’ = 4(-y’)
     -2 → x’ = -4y’
     -2 → 4y’ = -x’
     -2 → y’ = -¼x’
     -½. Hasil rotasi: y = -¼x – ½.
  2. Translasi (0,-1): Kurangi 1 pada konstanta. y = -¼x – ½
     -1 → y = -¼x – 1.5.

Contoh Soal Tingkat Menengah

Sebuah garis dengan persamaan 2x + 3y – 6 = 0 mengalami transformasi. Pertama, garis ditranslasikan sehingga titik potongnya dengan sumbu Y bergeser dari (0,2) menjadi (0,7). Kemudian, hasilnya dirotasi 90° searah jarum jam. Tentukan persamaan garis akhir.

• Strategi: Analisis translasi terlebih dahulu. Pergeseran titik potong sumbu Y dari 2 ke 7 menunjukkan translasi (0,5). Lakukan translasi ini pada persamaan awal, baru kemudian lakukan rotasi pada hasilnya.
• Penyelesaian:
  1. Persamaan awal: 2x + 3y – 6 =
     0. Titik potong Y: saat x=0, 3y=6 → y=
     2. Translasi (0,5): Ganti y dengan (y – 5) pada persamaan. 2x + 3(y – 5)
     -6 = 0 → 2x + 3y -15 -6 = 0 → 2x + 3y – 21 = 0 (Hasil translasi).
  2. Rotasi 90° CW: Pada persamaan Ax + By + C = 0, rotasi 90° CW menghasilkan A’ = B dan B’ = -A. Dari 2x + 3y – 21 = 0, A=2, B=3, C=-
     21. Maka, persamaan bayangan: 3x + (-2)y + C’ = 0 → 3x – 2y + C’ =
     0. Cari C’ dengan substitusi sebuah titik yang diketahui bayangannya.

     Ambil titik pada garis hasil translasi, misal (0,7). Bayangannya setelah rotasi: (7, 0). Substitusi (7,0) ke 3x – 2y + C’ = 0: 3(7)
     -0 + C’ = 0 → 21 + C’ = 0 → C’ = –
     21. Jadi, persamaan akhir: 3x – 2y – 21 = 0.

Contoh Soal Tingkat Lanjut dengan Visualisasi Proses

Diberikan garis g dengan persamaan y = (1/3)x. Garis g dirotasi 90° searah jarum jam dengan pusat P(1, 1), kemudian hasilnya ditranslasikan oleh T(2, -3). Tentukan persamaan garis akhir.

• Strategi: Rotasi tidak lagi berpusat di (0,0), sehingga memerlukan langkah tambahan: translasikan pusat rotasi ke (0,0), lakukan rotasi standar, lalu kembalikan. Prosedur detailnya adalah sebagai berikut.
• Visualisasi dan Penyelesaian Bertahap:
  1. Langkah 0 – Pemahaman Awal: Garis y = (1/3)x adalah garis yang melalui titik asal dengan gradien landai 1/3. Pusat rotasi P(1,1) adalah sebuah titik di luar garis tersebut.
  2. Langkah 1 – Translasi Pusat ke O(0,0): Agar bisa menggunakan aturan rotasi standar, kita buat pusat rotasi menjadi (0,0) dengan mentranslasikan seluruh bidang oleh T(-1, -1). Persamaan garis g berubah: substitusi x’ = x – 1 dan y’ = y – 1, sehingga x = x’ + 1, y = y’ +
     1. Persamaan g menjadi: y’ + 1 = (1/3)(x’ + 1) → y’ = (1/3)x’ + 1/3 – 1 → y’ = (1/3)x’
     -⅔ .

     Ini adalah persamaan garis di sistem koordinat baru.

  3. Langkah 2 – Rotasi 90° CW di Sistem Baru: Lakukan rotasi standar pada persamaan di atas. Substitusi x” = y’ dan y” = -x’. Maka: x” = (1/3)(-y”)
     -⅔ → x” =
     -(1/3)y”
     -⅔. Kalikan 3: 3x” = -y”
     -2 → y” = -3x”
     –
     2. Jadi, hasil rotasi di sistem koordinat baru: y = -3x – 2.

  4. Langkah 3 – Kembalikan Translasi Pusat: Balikkan translasi T(-1,-1) dengan T(1,1). Substitusi x = x” + 1 dan y = y” + 1 ke persamaan hasil rotasi: (y” + 1) = -3(x” + 1)
     -2 → y” + 1 = -3x”
     -3 – 2 → y” = -3x”
     -6. Dalam variabel x”, y”, persamaan ini adalah y = -3x – 6. Ini adalah hasil rotasi di sistem koordinat asal sebelum translasi T(2,-3).

  5. Langkah 4 – Terapkan Translasi Akhir T(2,-3): Translasi ini mengubah (x, y) → (x+2, y-3). Substitusi x = X – 2 dan y = Y + 3 (dengan (X,Y) koordinat akhir). (Y + 3) = -3(X – 2)
     -6 → Y + 3 = -3X + 6 – 6 → Y + 3 = -3X → Y = -3X – 3.

  Jadi, persamaan garis akhir setelah seluruh transformasi adalah y = -3x – 3. Proses ini menggambarkan bagaimana transformasi bertingkat dengan pusat rotasi sembarang diselesaikan dengan mereduksinya ke kasus standar melalui penggeseran sistem koordinat.

Kesimpulan

Melalui eksplorasi transformasi rotasi dan translasi, terlihat betapa kuas matematika dapat melukis ulang wajah sebuah garis dengan presisi mutlak. Persamaan akhir yang dihasilkan bukan sekadar rumus baru, melainkan bukti nyata dari alur logika yang runtut dan dapat diverifikasi. Penguasaan terhadap konsep ini tidak hanya memecahkan soal, tetapi juga melatih pikiran untuk melihat pola, urutan, dan hubungan ruang dalam sudut pandang yang berbeda dan lebih kreatif.

Tanya Jawab Umum

Apakah urutan transformasi (rotasi dulu baru translasi) memengaruhi hasil akhir?

Ya, urutan sangat berpengaruh. Rotasi terhadap titik asal (0,0) terlebih dahulu, lalu mentranslasi hasilnya, akan memberikan persamaan garis akhir yang berbeda jika dibandingkan dengan melakukan translasi terlebih dahulu baru kemudian merotasikan garis tersebut. Transformasi geometri umumnya tidak komutatif.

Bagaimana jika pusat rotasinya bukan titik (0,0)?

Prosedurnya menjadi lebih kompleks. Langkah pertama adalah mentranslasikan seluruh sistem koordinat sehingga pusat rotasi yang baru berimpit dengan (0,0). Setelah rotasi dilakukan, sistem koordinat harus ditranslasikan kembali ke posisi semula. Ini akan memengaruhi rumus rotasi dan bentuk persamaan akhir.

Dapatkah transformasi ini diterapkan pada bentuk kurva lain seperti parabola atau lingkaran?

Prinsip dasarnya sama. Aturan rotasi dan translasi diterapkan pada variabel x dan y dalam persamaan kurva tersebut. Namun, manipulasi aljabarnya mungkin lebih rumit dibandingkan dengan persamaan garis lurus, tetapi proses transformasi titik demi titik pada kurva tetap mengikuti aturan yang sama.

Mengapa translasi (0,5) hanya mengubah konstanta dalam persamaan garis?

Karena translasi (0,5) merupakan pergeseran vertikal murni sejauh 5 satuan ke atas. Operasi ini hanya menambah nilai y setiap titik sebesar 5, yang dalam bentuk persamaan y = mx + c secara efektif hanya menambah nilai konstanta c, tanpa mengubah kemiringan (m) garis tersebut.