Persamaan Garis Menyinggung Parabola y = x³-3x²-7x+1 Tegak Lurus x+2y+10=0 bukan sekadar soal hitung-hitungan kalkulus biasa, melainkan teka-teki geometri yang elegan. Di sini, konsep turunan bertemu dengan hubungan gradien garis tegak lurus, menciptakan sebuah pencarian yang sistematis untuk menemukan garis yang tepat yang hanya menyentuh kurva di satu titik, namun memiliki orientasi khusus terhadap garis lain.
Mencari persamaan garis singgung parabola y = x³-3x²-7x+1 yang tegak lurus garis x+2y+10=0 memerlukan pemahaman kuat tentang turunan dan hubungan gradien. Konsep kemiringan garis ini juga sering muncul dalam soal trigonometri yang melibatkan sudut, seperti yang bisa dipelajari lebih lanjut pada TRIGONOMETRI: Kerjakan soal No 15 dan 16 beserta cara pengerjaannya. Dengan demikian, penguasaan materi trigonometri dapat memperkaya analisis saat menentukan titik singgung dan gradien yang tepat pada persamaan kurva tersebut.
Permasalahan ini mengajak untuk mengeksplorasi perilaku kurva polinomial derajat tiga, yang memiliki lekukan yang lebih kompleks dibanding parabola kuadrat biasa. Dengan menganalisis gradien garis yang diketahui, kita dapat menentukan syarat kemiringan yang harus dipenuhi garis singgung. Proses selanjutnya adalah petualangan matematis yang menggabungkan diferensiasi, penyelesaian persamaan polinomial, dan verifikasi geometris untuk mendapatkan solusi yang valid dan akurat.
Pendahuluan dan Konsep Dasar
Dalam geometri analitik, salah satu persoalan yang menarik adalah menemukan garis yang hanya menyentuh suatu kurva di satu titik tertentu, yang dikenal sebagai garis singgung. Tantangannya menjadi lebih kompleks ketika garis singgung ini harus memenuhi syarat geometris tambahan, seperti tegak lurus terhadap garis lain yang telah diketahui. Persoalan ini menggabungkan pemahaman mendalam tentang kalkulus diferensial dan hubungan antar garis dalam koordinat Kartesius.
Syarat dua garis saling tegak lurus direpresentasikan secara elegan melalui hubungan gradiennya. Jika garis pertama memiliki gradien \( m_1 \) dan garis kedua memiliki gradien \( m_2 \), maka kondisi tegak lurus dinyatakan sebagai \( m_1 \cdot m_2 = -1 \). Sementara itu, untuk menemukan gradien garis singgung pada suatu titik di kurva fungsi, kita memerlukan konsep turunan. Turunan pertama fungsi \( y = f(x) \) yang dievaluasi di titik \( x = a \), dinotasikan \( f'(a) \), memberikan nilai kemiringan atau gradien garis singgung kurva di titik \( (a, f(a)) \).
Kurva yang kita hadapi, \( y = x^3 – 3x^2 – 7x + 1 \), adalah sebuah polinomial kubik. Secara visual, kurva ini memiliki bentuk seperti gelombang yang naik dan turun, dengan dua titik belok. Garis \( x + 2y + 10 = 0 \) adalah sebuah garis lurus dengan kemiringan negatif. Garis singgung yang kita cari akan tampak sebagai garis-garis lurus yang hanya bersentuhan dengan kurva kubik tersebut di satu titik, dan setiap garis tersebut akan membentuk sudut 90 derajat terhadap garis pembanding yang telah disebutkan.
Analisis Garis Pembanding dan Gradien yang Diperlukan
Langkah pertama adalah mengurai informasi dari garis yang menjadi acuan tegak lurus. Dari persamaan garis \( x + 2y + 10 = 0 \), kita dapat mengubahnya ke bentuk eksplisit \( y = mx + c \) untuk mengidentifikasi gradiennya dengan mudah.
Identifikasi Gradien Garis Pembanding, Persamaan Garis Menyinggung Parabola y = x³-3x²-7x+1 Tegak Lurus x+2y+10=0
Persamaan \( x + 2y + 10 = 0 \) dapat ditulis ulang menjadi \( 2y = -x – 10 \), dan kemudian \( y = -\frac12x – 5 \). Dari bentuk ini, terlihat jelas bahwa gradien garis tersebut, kita sebut \( m_1 \), adalah \( -\frac12 \).
Menentukan Gradien Garis Singgung
Karena garis singgung yang kita cari harus tegak lurus dengan garis di atas, maka hasil kali gradien keduanya harus -1. Dengan \( m_1 = -\frac12 \), kita dapat mencari \( m_2 \).
\( m_1 \cdot m_2 = -1 \) \( \Rightarrow (-\frac12) \cdot m_2 = -1 \) \( \Rightarrow m_2 = 2 \)
Jadi, semua garis singgung yang memenuhi syarat harus memiliki gradien sebesar 2. Informasi ini menjadi kunci untuk menemukan titik-titik singgung pada kurva.
| Persamaan Garis Pembanding | Gradien (m₁) | Gradien Garis Tegak Lurus (m₂) |
|---|---|---|
| x + 2y + 10 = 0 | -½ | 2 |
Menentukan Titik Singgung pada Kurva
Setelah mengetahui bahwa gradien garis singgung (m₂) harus bernilai 2, langkah selanjutnya adalah mencari titik-titik di mana kurva \( y = x^3 – 3x^2 – 7x + 1 \) memiliki garis singgung dengan gradien tepat 2. Di sinilah peran turunan menjadi sentral.
Turunan sebagai Fungsi Gradien
Turunan pertama dari fungsi \( y \) terhadap \( x \) diberikan oleh: \( y’ = \fracdydx = 3x^2 – 6x – 7 \). Ekspresi \( y’ \) ini merupakan rumus umum untuk gradien garis singgung di sembarang titik \( x \) pada kurva.
Pencarian Nilai x Titik Singgung
Kita menyamakan rumus gradien umum tersebut dengan nilai gradien yang diinginkan, yaitu 2. Hal ini menghasilkan sebuah persamaan kuadrat.
\( 3x^2 – 6x – 7 = 2 \) \( \Rightarrow 3x^2 – 6x – 9 = 0 \) \( \Rightarrow x^2 – 2x – 3 = 0 \)
Persamaan kuadrat \( x^2 – 2x – 3 = 0 \) kemudian diselesaikan untuk mendapatkan nilai-nilai \( x \) kandidat titik singgung.
Menentukan persamaan garis singgung parabola y = x³-3x²-7x+1 yang tegak lurus garis x+2y+10=0 memerlukan ketelitian analitis yang ketat, mirip dengan pendekatan sistematis dalam Konsep Dasar Pendidikan Audit. Keduanya menuntut pemahaman prinsip inti dan penerapan prosedur baku untuk mencapai hasil yang akurat. Dalam matematika, setelah prinsip dasar dikuasai, langkah-langkah teknis menemukan titik singgung dan gradien yang tepat dapat diselesaikan dengan presisi yang sama.
- Faktorkan persamaan: \( (x – 3)(x + 1) = 0 \).
- Dari faktorisasi tersebut, diperoleh dua solusi: \( x_1 = 3 \) dan \( x_2 = -1 \).
Dengan demikian, terdapat dua titik pada kurva yang memiliki garis singgung dengan gradien 2. Koordinat lengkapnya belum diketahui, hanya nilai absis (x)-nya saja.
Menentukan persamaan garis singgung parabola y = x³-3x²-7x+1 yang tegak lurus dengan garis x+2y+10=0 memerlukan ketelitian analitis, sebuah proses yang juga menuntut kejelasan ekspresi dalam penulisan. Untuk mengasah kemampuan menyusun argumen yang presisi, memahami perbedaan mendasar antara Contoh Essay Adjective Clause vs Adverb menjadi sangat relevan, karena keduanya adalah alat untuk memperjelas hubungan logika. Dengan demikian, penguasaan konsep linguistik tersebut dapat mendukung penyajian solusi matematis yang koheren dan sistematis, termasuk dalam menurunkan gradien serta titik singgung yang memenuhi syarat tegak lurus tersebut.
Perhitungan Koordinat Titik Singgung dan Persamaan Garis: Persamaan Garis Menyinggung Parabola Y = X³-3x²-7x+1 Tegak Lurus X+2y+10=0
Nilai \( x = 3 \) dan \( x = -1 \) yang telah ditemukan adalah kunci untuk mengungkap koordinat titik singgung secara lengkap. Proses ini dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai \( x \) tersebut kembali ke dalam persamaan kurva awal, bukan ke dalam turunannya.
Menentukan Koordinat y
- Untuk \( x_1 = 3 \): \( y_1 = (3)^3 – 3(3)^2 – 7(3) + 1 = 27 – 27 – 21 + 1 = -20 \). Jadi, titik singgung pertama adalah \( A(3, -20) \).
- Untuk \( x_2 = -1 \): \( y_2 = (-1)^3 – 3(-1)^2 – 7(-1) + 1 = -1 – 3 + 7 + 1 = 4 \). Jadi, titik singgung kedua adalah \( B(-1, 4) \).
Formulasi Persamaan Garis Singgung
Persamaan garis lurus dengan gradien \( m = 2 \) yang melalui sebuah titik \( (x_0, y_0) \) dirumuskan sebagai \( y – y_0 = 2(x – x_0) \). Kita terapkan rumus ini untuk kedua titik yang telah ditemukan.
| Titik Singgung (x, y) | Gradien (m₂) | Persamaan Garis Singgung (Bentuk Titik-Gradien) | Persamaan dalam Bentuk Umum |
|---|---|---|---|
| (3, -20) | 2 | y – (-20) = 2(x – 3) | y = 2x – 26 |
| (-1, 4) | 2 | y – 4 = 2(x – (-1)) | y = 2x + 6 |
Dari tabel di atas, terlihat bahwa kedua persamaan garis singgung telah disederhanakan ke bentuk eksplisit \( y = 2x + c \), yang konsisten dengan gradien 2 yang telah ditetapkan sebelumnya.
Verifikasi dan Pemaparan Hasil Akhir
Sebagai bagian dari proses matematika yang rigor, verifikasi terhadap solusi yang diperoleh sangat penting. Verifikasi ini memastikan bahwa tidak terjadi kesalahan hitung dan bahwa solusi memenuhi semua kondisi masalah.
Verifikasi Titik Singgung pada Kurva
Pertama, kita pastikan titik \( (3, -20) \) dan \( (-1, 4) \) benar-benar terletak pada kurva \( y = x^3 – 3x^2 – 7x + 1 \). Substitusi langsung telah dilakukan pada langkah perhitungan koordinat y, yang secara implisit telah membuktikan hal ini. Jika koordinat dimasukkan ke persamaan kurva, akan diperoleh kesamaan.
Verifikasi KetegepLurusan
Kedua, kita buktikan bahwa garis \( y = 2x – 26 \) dan \( y = 2x + 6 \) masing-masing tegak lurus dengan garis \( x + 2y + 10 = 0 \). Gradien garis singgung adalah \( m_2 = 2 \), dan gradien garis pembanding adalah \( m_1 = -\frac12 \). Hasil kalinya: \( 2 \times (-\frac12) = -1 \).
Kondisi tegak lurus terpenuhi untuk kedua garis singgung.
Ringkasan Solusi
Terdapat dua persamaan garis singgung pada kurva \( y = x^3 – 3x^2 – 7x + 1 \) yang tegak lurus terhadap garis \( x + 2y + 10 = 0 \), yaitu:
- \( y = 2x – 26 \)
- \( y = 2x + 6 \)
Interpretasi geometris dari solusi ini cukup jelas. Kurva kubik, karena sifatnya yang berbelok, memungkinkan adanya lebih dari satu titik di mana gradien garis singgungnya bernilai sama. Dalam kasus ini, nilai gradien 2 ditemukan di dua titik yang berbeda. Secara visual, dua garis sejajar (karena gradiennya sama, yaitu 2) masing-masing menyentuh kurva di titik \( (3, -20) \) dan \( (-1, 4) \), dan kedua garis ini pasti tegak lurus dengan garis pembanding yang diberikan.
Kesimpulan
Dari analisis mendalam ini, diperoleh dua solusi yang memenuhi semua kriteria: dua garis singgung berbeda yang keduanya tegak lurus terhadap garis x+2y+10=0. Keberadaan dua solusi ini mengindikasikan sifat kurva kubik yang memiliki lebih dari satu titik dengan gradien tertentu. Hasil akhir bukan hanya sekadar rumus, tetapi sebuah konfirmasi tentang keindahan dan konsistensi dalam matematika, di mana aljabar dan geometri bersatu untuk memberikan jawaban yang pasti dan elegan.
Tanya Jawab Umum
Mengapa kurva y = x³-3x²-7x+1 disebut parabola dalam judul, padahal itu fungsi kubik?
Penggunaan istilah “parabola” dalam konteks sehari-hari dan beberapa materi pengantar sering kali diperluas untuk menyebut berbagai kurva lengkung. Secara teknis, fungsi berderajat tiga seperti ini lebih tepat disebut kurva kubik. Judul mungkin menggunakan istilah yang lebih umum dikenal untuk memudahkan penjelasan awal.
Apakah selalu ada solusi untuk masalah mencari garis singgung yang tegak lurus garis lain?
Tidak selalu. Jumlah solusi bergantung pada fungsi kurva dan gradien yang disyaratkan. Bisa tidak ada solusi (jika tidak ada titik di kurva dengan gradien tersebut), satu solusi, atau lebih dari satu seperti pada kasus kubik ini. Itu ditentukan oleh penyelesaian persamaan saat menyamakan turunan dengan gradien yang dicari.
Bagaimana jika garis pembandingnya sejajar, bukan tegak lurus?
Langkahnya serupa, tetapi syaratnya berubah. Jika mencari garis singgung yang sejajar dengan garis lain, maka gradien garis singgung (m2) harus sama persis dengan gradien garis pembanding (m1), bukan hasil kali -1. Selanjutnya, proses mencari titik singgung dengan menyamakan turunan fungsi dengan m1 tersebut.
Apakah hasil perhitungan ini bisa dibuktikan secara grafis?
Sangat bisa. Dengan menggunakan software grafik seperti GeoGebra, Desmos, atau kalkulator grafik canggih, kita dapat memplot kurva y = x³-3x²-7x+1, garis x+2y+10=0, dan kedua garis singgung hasil perhitungan. Verifikasi visual akan menunjukkan bahwa garis singgung benar-benar menyentuh kurva di satu titik dan membentuk sudut 90 derajat terhadap garis pembanding.
