Persamaan Garis Singgung Kurva x²‑y+2x‑3=0 Tegak Lurus x‑2y+3=0 adalah salah satu tantangan menarik dalam kalkulus diferensial yang menggabungkan keanggunan aljabar dengan visualisasi geometri. Soal ini mengajak kita untuk tidak hanya mencari garis yang menyentuh sebuah kurva, tetapi juga mensyaratkan hubungan tegak lurus yang spesifik dengan garis lain, menciptakan sebuah teka-teki matematika yang memuaskan untuk dipecahkan.
Melalui proses ini, kita akan menguak titik-titik rahasia pada kurva parabola di mana garis singgungnya berdiri tegak lurus terhadap garis lurus yang diberikan. Perjalanan dari memahami syarat tegak lurus, menurunkan fungsi, hingga merumuskan persamaan akhir, menunjukkan bagaimana konsep-konsep matematika yang tampak terpisah saling terhubung dengan apik untuk menghasilkan solusi yang elegan.
Memahami Permasalahan dan Konsep Dasar: Persamaan Garis Singgung Kurva X²‑y+2x‑3=0 Tegak Lurus X‑2y+3=0
Sebelum menyelesaikan soal, mari kita pahami dulu medan tempurnya. Kita punya dua pemain utama: sebuah kurva dan sebuah garis lurus. Persamaan kurva diberikan dalam bentuk x². Secara geometri, ini adalah persamaan parabola. Kita bisa mengaturnya ulang untuk melihat bentuknya lebih jelas.
-y + 2x - 3 = 0
Sementara itu, persamaan x - 2y + 3 = 0 mewakili sebuah garis lurus. Inti soalnya adalah mencari garis-garis yang menyinggung kurva parabola tersebut dan tegak lurus terhadap garis lurus yang sudah diberikan.
Kunci hubungan “tegak lurus” ada pada gradien. Dua garis yang saling tegak lurus memiliki hasil kali gradien sama dengan -1. Jika garis pertama bergradien m₁ dan garis kedua bergradien m₂, maka syarat tegak lurusnya adalah m₁ × m₂ = -1. Untuk menerapkan ini, kita perlu mengubah persamaan kurva ke bentuk eksplisit y = f(x) agar turunannya, yang merupakan gradien garis singgung, mudah dihitung.
Bentuk Eksplisit Kurva Parabola, Persamaan Garis Singgung Kurva x²‑y+2x‑3=0 Tegak Lurus x‑2y+3=0
Dari persamaan x², kita pindahkan suku-suku yang mengandung
-y + 2x - 3 = 0 y. Langkahnya adalah sebagai berikut:
x² + 2x – 3 = y
y = x² + 2x – 3
Dengan demikian, kurva kita adalah parabola yang terbuka ke atas dengan persamaan eksplisit y = x² + 2x - 3. Bentuk ini akan memudahkan proses diferensiasi pada langkah selanjutnya.
Menentukan Gradien Garis yang Diketahui
Langkah pertama yang konkret adalah mencari gradien dari garis acuan, yaitu garis x - 2y + 3 = 0. Gradien sebuah garis lurus paling mudah dilihat ketika persamaannya dalam bentuk y = mx + c, di mana m adalah gradien yang kita cari.
Konversi ke Bentuk Gradien-Intercept
Kita ubah persamaan garis tersebut langkah demi langkah:
x – 2y + 3 = 0
- 2y = -x – 3
- y = x + 3
y = (1/2)x + (3/2)
Dari bentuk terakhir y = (1/2)x + 3/2, kita dapat langsung membaca bahwa gradien garis ini, sebut saja m_g, adalah 1/2. Nilai inilah yang akan menjadi patokan untuk mencari gradien garis singgung yang tegak lurus.
Mencari Gradien Garis Singgung yang Diinginkan
Sekarang kita terapkan syarat tegak lurus. Misalkan gradien garis singgung yang kita cari adalah m_s. Karena garis singgung ini harus tegak lurus dengan garis yang gradiennya 1/2, maka hubungannya adalah:
m_g × m_s = -1
(1/2) × m_s = -1
m_s = -2
Jadi, gradien semua garis singgung yang memenuhi syarat soal adalah -2. Ini berarti, di titik-titik singgung yang akan kita cari nanti, kurva parabola memiliki kemiringan (nilai turunan) sebesar -2.
Menurunkan Persamaan Kurva dan Mencari Titik Singgung
Source: googleapis.com
Kita sudah punya persamaan kurva y = x² + 2x - 3 dan gradien garis singgung target m_s = -2. Gradien garis singgung pada suatu titik di kurva sama dengan nilai turunan pertama fungsi di titik tersebut. Oleh karena itu, kita perlu menghitung turunan dy/dx.
Proses Diferensiasi dan Pencarian Titik
Turunan dari y = x² + 2x - 3 adalah y' = 2x + 2. Nilai turunan ini harus sama dengan gradien garis singgung, yaitu -2.
y’ = m_s
- x + 2 = -2
- x = -4
x = -2
Kita peroleh nilai x = -2. Ini adalah absis dari titik singgung. Untuk mencari ordinatnya ( y), kita substitusikan x = -2 ke dalam persamaan kurva awal.
y = (-2)² + 2(-2)
3
Menentukan persamaan garis singgung kurva x²‑y+2x‑3=0 yang tegak lurus dengan garis x‑2y+3=0 memerlukan ketelitian dalam menganalisis gradien. Proses perhitungan yang detail ini mengingatkan pada soal lain yang menantang, seperti Menentukan a²+b²+c² dari 2^a·5^b/3^c=1000/423 , di mana keduanya menguji pemahaman konsep matematika secara mendalam. Dengan demikian, menyelesaikan soal garis singgung ini pun menjadi lebih mudah jika kita telah menguasai teknik manipulasi aljabar dan logika yang serupa.
y = 4 – 4 – 3
y = -3Mencari persamaan garis singgung kurva x²‑y+2x‑3=0 yang tegak lurus dengan garis x‑2y+3=0 memerlukan ketelitian dan logika bertahap, layaknya menyusun strategi karier di berbagai Contoh Pekerjaan Swasta. Kemampuan analitis yang diasah di dunia kerja tersebut sangat berguna untuk menyelesaikan langkah-langkah aljabar dalam menentukan titik singgung dan gradien yang tepat pada soal matematika ini.
Dengan demikian, hanya ada satu titik singgung yang memenuhi syarat, yaitu (x₁, y₁) = (-2, -3). Mari kita verifikasi cepat: titik (-2, -3) memang terletak pada kurva x².
-y + 2x - 3 = (-2)²
-(-3) + 2(-2)
-3 = 4 + 3 - 4 - 3 = 0
Merumuskan Persamaan Garis Singgung
Kita telah memiliki semua komponen yang diperlukan: satu titik singgung (-2, -3) dan gradien m = -2. Persamaan garis lurus dengan gradien m yang melalui titik (x₁, y₁) dirumuskan sebagai y - y₁ = m(x - x₁).
Penyusunan Persamaan Akhir
Substitusikan nilai yang kita punya ke dalam rumus tersebut:
y – (-3) = -2(x – (-2))
y + 3 = -2(x + 2)
y + 3 = -2x – 4
y = -2x – 7
Atau, dalam bentuk implisit yang rapi, kita tulis sebagai 2x + y + 7 = 0. Berikut adalah rangkuman hasil perhitungan dalam bentuk tabel.
| No | Titik Singgung (x₁, y₁) | Gradien (m) | Persamaan Garis Singgung |
|---|---|---|---|
| 1. | (-2, -3) | -2 | 2x + y + 7 = 0 |
Verifikasi dan Interpretasi Grafis
Verifikasi dapat dilakukan dengan dua cara. Pertama, pastikan titik (-2, -3) berada pada garis singgung: 2(-2) + (-3) + 7 = -4 -3 +7 = 0 (benar). Kedua, periksa hubungan tegak lurus: gradien garis awal adalah 1/2, gradien garis singgung adalah -2. Hasil kalinya (1/2) × (-2) = -1 (memenuhi syarat tegak lurus).
Deskripsi Visual Grafis
Secara grafis, kita dapat membayangkan sebuah parabola yang terbuka ke atas dengan puncak di sebelah kiri sumbu-y. Garis x - 2y + 3 = 0 akan digambarkan sebagai garis dengan kemiringan landai ke atas. Garis singgung kita, 2x + y + 7 = 0, adalah garis dengan kemiringan curam ke bawah yang menyentuh parabola tepat di satu titik, yaitu (-2, -3). Di titik singgung tersebut, garis singgung ini akan memotong garis awal dengan membentuk sudut 90 derajat.
Ilustrasi ini menggambarkan konsep geometri kalkulus di mana turunan sebagai kemiringan garis singgung diterapkan dalam kondisi spesifik (tegak lurus terhadap garis lain).
Pembahasan Metode Alternatif dan Contoh Soal Serupa
Selain mengubah kurva ke bentuk eksplisit, kita bisa menggunakan diferensiasi implisit. Metode ini berguna jika mengubah bentuk eksplisit sulit atau rumit. Langsung kita turunkan kedua ruas persamaan awal x² terhadap
-y + 2x - 3 = 0 x.
d/dx (x²)
- d/dx(y) + d/dx(2x)
- d/dx(3) = d/dx(0)
- x – dy/dx + 2 = 0
dy/dx = 2x + 2
Hasilnya sama, y' = 2x + 2. Langkah selanjutnya identik dengan yang telah dibahas.
Contoh Penerapan pada Soal Lain
Untuk memperdalam pemahaman, mari kita coba selesaikan soal dengan struktur serupa. Misalkan kita ingin mencari persamaan garis singgung pada kurva y = x³ yang tegak lurus terhadap garis
-3x + 1 y = (1/9)x.
Langkah 1: Gradien garis diketahui,
m_g = 1/9. Karena tegak lurus, gradien garis singgungm_s = -9(karena(1/9) × (-9) = -1).Mencari persamaan garis singgung kurva x²-y+2x-3=0 yang tegak lurus dengan garis x-2y+3=0 membutuhkan ketelitian dalam menghitung gradien, mirip seperti ketepatan teknik dasar dalam Menendang bola dengan kaki bagian dalam yang fokus pada akurasi. Keduanya mengandalkan prinsip yang tepat, di mana perhitungan matematis untuk garis singgung itu pun akhirnya bisa ditemukan dengan langkah-langkah sistematis.
Langkah 2: Turunan kurva:
y' = 3x²3. Samakan dengan
m_s
3x²3 = -9 →
3x² = -6→x² = -2.Langkah 3: Persamaan
x² = -2tidak memiliki solusi real. Interpretasi: Tidak ada garis singgung pada kurvay = x³
- 3x + 1 yang tegak lurus terhadap garis
y = (1/9)x. Hal ini karena nilai turunan3x²- 3 selalu lebih besar atau sama dengan
-3, tidak mungkin mencapai-9. Contoh ini menunjukkan bahwa tidak semua soal memiliki jawaban dalam bilangan real.
Simpulan Akhir
Dengan demikian, pencarian Persamaan Garis Singgung Kurva x²‑y+2x‑3=0 Tegak Lurus x‑2y+3=0 telah membawa kita pada dua solusi yang valid. Proses ini lebih dari sekadar manipulasi simbol; ia adalah sebuah narasi tentang hubungan geometris. Garis singgung yang kita temukan bukan hanya menyentuh lembut kurva parabola, tetapi juga membentuk sudut siku-siku yang sempurna dengan garis acuan, sebuah bukti nyata harmoni antara aljabar dan geometri yang menunggu untuk divisualisasikan pada bidang koordinat.
Bagian Pertanyaan Umum (FAQ)
Apakah selalu ada dua garis singgung yang tegak lurus dengan sebuah garis tertentu?
Tidak selalu. Jumlah garis singgung yang memenuhi syarat tegak lurus bergantung pada bentuk kurva dan posisi garis acuan. Pada kasus parabola tertentu, bisa ditemukan dua, satu, atau bahkan tidak ada solusi.
Mengapa kita perlu mencari turunan dari persamaan kurva?
Turunan pertama (dy/dx) dari fungsi kurva pada suatu titik secara geometris menyatakan gradien garis singgung kurva di titik tersebut. Inilah kunci untuk menghubungkan syarat tegak lurus dengan titik-titik pada kurva.
Bisakah soal ini diselesaikan tanpa mengubah persamaan kurva ke bentuk y = f(x)?
Ya, bisa menggunakan diferensiasi implisit. Dengan metode ini, kita mendiferensiasikan kedua ruas persamaan kurva x²
-y + 2x – 3 = 0 secara implisit terhadap x untuk langsung mendapatkan hubungan dy/dx tanpa harus menjadikan y subjek terlebih dahulu.
Apa arti geometris dari hasil dua titik singgung yang ditemukan?
Artinya, terdapat dua titik berbeda pada kurva parabola tersebut di mana garis singgungnya masing-masing membentuk sudut 90 derajat terhadap garis x – 2y + 3 = 0. Secara grafis, akan terlihat dua garis yang menyinggung parabola dan keduanya tegak lurus terhadap garis acuan.
